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2011年港澳台联考数学真题(含答案)

绝密★启用前

2011年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试

数学

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知tan cot 0θθ+<，那么角θ是（）

（A ）第一或第二象限角（B ）第三或第四象限角

（C ）第一或第三象限角

（D ）第二或第四象限角

（2）设1111ABCD A BC D -是棱长为1的正方体，则四面体11ACB D 的体积是（）

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

（3）在△ABC 中，角A B C 、、的分别为a b c 、、，若2

a c

b =+-，则B ＝（）

（A ）

（B ）

（C ）

6π或56π （D ）3π或23

π （4）若复数z 的虚部不为零，且3

10z z ++=，则（）

（A ）1z < （B ）1z =

（C ）1z < <（D ）z （5）若2log 3a =，4log 6b =，6log 9c =，则（）

（A ）a b c ==

（B ）a b c <<

（C ）b c a <<

（D ）c b a <<

（6）在四面体ABCD 中，AB =，其余各棱长均为1，则二面角A CD B --的余弦值为（）

（A ）13

（B ）0

（C ）

（D ）

（7）设数列{}n a 的前n 项和1

121

n S n =-

+，则n a = （）（A ）121n - （B ） 1

21n + （C ）1(21)(21)n n -+ （D ）

2(21)(21)n n -+

（8）圆的直角坐标方程为22((1)4x y +-=，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，

该圆的方程为（）（A ）2ρ=

（B ）54cos()((,])3

ππ

ρθθ=-

∈-

（C ）24cos()((,])6

ππ

ρθθ=-∈-

（D ）4cos ((,])22

ππ

ρθθ=∈-

（9）函数1

1(1)1

y x x =

+ >-+的反函数为（）

（A ）1

1(1)1

y x x =+ >- （B ）1

1(1)1

y x x =+ >-+ （C ）1

1(1)1

y x x =

- >-+

（D ）1

1(1)1

y x x =

- >- （10）设1F ,2F 为双曲线22

22:1x y C a b

-=的两个焦点，P 为C 上一点，若△12F F P 是等腰直角三角形，

则C 的离心率为（）

（A （B ）

+ （C ）1+ （D （11）若函数2,1,

(),1

x x f x ax b x ? ≤=?+ >? 在1x =处可导，则a b -= （）

（A ）3

（B ）2

（C ）1

（D ）0

（12）点D E F 、、是△ABC 内三点，满足AD DE BE EF CF FD =，　=，　=，　设AF AB AC λμ

=+　，　

则,)λμ =( （）

（A ）42(,)77 （B ）14(,)77 （C ）41(,)77 （D ）24

(,)77

二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.

（13）若关于x 的方程320x x ax -+=有重根，则a =____________________．（14）已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出四个命题： ①若m ∥n ,m α⊥，则n α⊥ ②若α∥β,,m n αβ??，则m ∥n ③若m ∥α,m β⊥，则αβ⊥

④若αβ⊥,m ∥α，则m β⊥

其中正确命题的序号是____________________．

（15）设等比数列{}n a 的各项都为正数，前n 项和为n S ．若627S S =，则其公比为____________________．（16）在空间直角坐标系O xyz -中，经过点(2,1,1)P 且与直线310,

32210

x y z x y z -++=??

--+=?垂直的平面方程为

____________________．

（17）若多项式()p x 满足(1)1,(2)3p p = = ，则()p x 被2

32x x -+除所得的余式为_______________．

（18）设有4张不同的卡片，若有放回地抽取4次，每次随机抽取一张，则恰好有两张卡片未被抽到的概

率为____________________．

三、解答题：本大题共4小题；每小题15分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（19）设函数()232f x x x =-++．

（Ⅰ）把()f x 写成分段函数，并求()f x 的最小值；（Ⅱ）解不等式()5f x <．

（20）设△ABC 为锐角三角形．证明

（Ⅰ）sin sin 1cos A B C +>+；（Ⅱ）2sin sin sin A B C <++≤2

（21）设抛物线2

x C y =与直线:1l y kx =+交于A B 、两点，P 为抛物线在这两点的切线的交点．

（Ⅰ）当1k =时，求点P 的坐标；（Ⅱ）当k 变化时，求点P 的轨迹．

（22）数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足111,n n a a S n += -=．（1）写出｛a n ｝的前三项

（2）设b n=S n +n+1，证明｛b n ｝是等比数列（3）求｛a n ｝的通项公式

2011年港澳台联考数学真题答案

一、选择题：1—5：DBACD 6—10：ADCDC 11—12：AB 二、填空题：13．104或 14．①③ 15

16．857280x y z ++-= 17．21x - 18．21

三、解答题

19．解：（Ⅰ）当2x <-时，()32(2)13f x x x x =--+=-；

当3

x -≤≤

时，()32(2)5f x x x x =-++=-；当3

x >

时，()23231f x x x x =-++=-；所以13()531

f x x x -??

=-??-?

，故()f x 的最小值为72．

（Ⅱ）当2x <-时，4

()51353

f x x x -

，这与2x <-矛盾；当322x -≤≤

时，()5550f x x x ，此时解为302

x <≤；当32x >

时，()53152f x x x

x <<．综上所述，()5f x <的解为02x <<．

20．解：（Ⅰ）1cos 1cos()1sin sin cos cos C A B A B A B +=-+=+-，

1cos sin sin (1sin )(1sin )cos cos C A B A B A B +--=---，

因为A ，B 都是锐角，所以cos A ，cos B 均大于0，所以1cos sin sin 0C A B +--<，所以sin sin 1cos A B C +>+．

（Ⅱ）因为sin sin 1cos A B C +>+，所以sin sin sin 1cos sin 2A B C C C ++>++>．

为证明sin sin sin 2

A B C ++≤

3C π≥，

由于sin sin 2sin

cos 2cos 222A B A B C A B +-+=≤，所以sin sin sin sin 2cos 2

A B C C ++≤+， sin 2cos

=sin[()]2cos[()]233626

C C C C ππππ

++-++-

)]2cos()][sin()]2sin()]23262326

C C C C ππππ-+-+--- 注意到=cos()]2cos(

)33

26C C π

π-

+-≤，sin()]2sin()0326

C C ππ

---≤，

因此sin 2cos

2C C +≤

，sin sin sin A B C ++≤ 21．解：设l 与抛物线的两交点坐标分别为(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，且A B x x <．

（Ⅰ）当1k =时，直线l ：1y x =+代入抛物线方程，得2

x x =+

，则2A x =-

2B x =+ 过A ，B 的抛物线的两条切线方程为：:()2A A A A x l y y x x -=

-，:()2

B B B B x

l y y x x -=-，联立解得2,1x y ==-，所以(2,1)P -．

（Ⅱ）将l 与C

的方程联立，解得2(A x k =

，2(B x k =+，将中两切线联立，解得

2,1x k y ==-，所以点P 的轨迹方程为：:1P l y =-．

22．解：（Ⅰ）由11a =，1n n a S n +-=，可得22a =，35a =．

（Ⅱ）由1n n a S n +-=得1()n n n S S S n +--=，即122(1)n n S n S n +++=++，即1

2n n

b b +=，所以{}n b 是（Ⅲ）由（Ⅱ）得1111(11)232n n n S n S --++=++=?，1321n n S n -=?--．

当2n ≥时，2211321321n n n n a S n n n ---=+-=?-+-=?-，当1n =时，1n a =不适合上式．

所以 2

13212

n n n a n -=?=??-≥?，．第3题解析：

方法1：估值法，31z z =+，3

11z z z -≤≤+，可以估计C 正确

方法2：三次方程若只有一个实数解，则必有两个共轭复根，设三个根依次为z1，z2，z3，不妨设z3为实数，则由韦达定理， 1231z z z =-，则2

123

1z z z z z ===-

，构造函数3()1f x x x =++，易知3

()1f x x x =++在R 上单调递增，由(1)10f -=-<，13()02

f -=

>可知3

()1f x x x =++在1(1,)2--存在零点，且零点唯一，故3112

z -<<-

， 22

12123

(1,2)z z z z z ===-

∈，所以

1z < <

2017年港澳台联考数学真题

2017年港澳台联考数学（真题）一：选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。 1.若集合{ }{},4,3,2,3,2,1==B A 则)(=?B A {}{}{} {}4,3,2,1.4,3.3,2.2.D C B A 2.)( 25sin 20sin 25cos 20cos =??-?? 2 2.0.2 1. 2 2 . - D C B A 3.设向量()() 1,3,1,3- == → → b a ，则→ →b a 和的夹角为（） ?? ? ? 150.120.60.30.D C B A 4.)( 232 =??? ? ??+i i D i C i B i A 2 321.2321.2321.2 3 21.+-+- -- 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，,,46451S S S a ≥≥=则公差d 的取值范围是（） []0,1.54,98.54,1.98,1.-?? ? ???-? ????? --? ????? --D C B A 6.椭圆C 的焦点为),0,1(),0,1(21F F -点P 在C 上，,3 2,2212π =∠=P F F P F 则C 的长轴长为（） 322.32.32.2.++D C B A

7.函数)(x f y =的图像与函数)1ln(-=x y 的图像关于y 轴对称，则)( )(=x f )1ln(.) 1ln(.) 1ln(.) 1ln(.+--+---x D x C x B x A 8.设10<> 9.4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有（）个 256.140.70.16.D C B A 10.正三棱锥111C B A ABC -各棱长均为1，D 为1AA 的中点，则四面体BCD A 1的体积是（） 24 3. 12 3. 8 3. 4 3 . D C B A 11.已知双曲线)0,0(1:22 22>>=-b a b y a x C 的右焦点为)0,(c F ，直线)(c x k y -=与 C 的右支有两个交点，则（） a c k D a c k C a b k B a b k A > < > < .... 12.函数)(x f 的定义域()+∞∞-,，若)1()(+=x f x g 和)1()(-=x f x h 都是偶函数，则（） )5()3(.) 4()2(.)(.)(.f f D f f C x f B x f A ==是奇函数是偶函数