相似三角形的判定、性质及应用(讲义)

相似三角形的判定、性质及应用（讲义）

? 课前预习

一、回顾下列知识，再将各选项填到对应横线上：

A ．能够完全重合的两个图形称为全等图形

B ．全等图形的形状和大小都相同

C ．全等三角形的对应边相等，对应角相等

D ．三边分别相等的两个三角形全等，简写为“SSS ”

E ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“ASA ”

F ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“AAS ”

G ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“SAS ”

二、读一读，想一想

太阳光线可以看成平行光线．早在约公元前600年前，就有人利用平行光线去解决实际生活当中的问题了．他就是泰勒斯——古希腊第一位享有世界声誉，有“科学之父”和“希腊数学的鼻祖”美称的伟大学者．

泰勒斯已经观察金字塔很久了：底部是正方形，四个侧面都是相同的等腰三角形．要测量出底部正方形的边长并不困难，但仅仅知道这一点还无法解决问题．他苦苦思索着．

当他看到金字塔在阳光下的影子时，他突然想到办法了．这一天，阳光的角度很合适，把所有东西都拖出一条长长的影子．泰勒斯仔细地观察着影子的变化，找出金字塔底面正方形的一边的中点（这个点到边的两端的距离相等），并作了标记．然后他笔直地站立在沙地上，并请人不断测量他的影子的长度．当影子的长度和他的身高相等时，他立即跑过去测量金字塔影子的顶点到做标记的中点的距离．他稍做计算，就得出了这座金字塔的高度．

当他算出金字塔高度时，围观的人十分惊讶，纷纷问他是怎样算出金字塔的高度的．泰勒斯一边在沙地上画图示意，一边解释说：“当我笔直地站立在沙地上时，我和我的影子构成了一个直角三角形．当我的影子和我的身高相等时，就构成了一个等腰直角三角形．而这时金字塔的高

（金字

塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形．所以这个巨大的直角三角形的两条直角边也相等．”他停顿了一下，又说：“刚才金字塔的影子的顶点与我做标记的中心的连线，恰好与这个中点所在的边垂直，这时就很容易计算出金字塔影子的顶点与底面正方形中心的距离了．它等于底面正方形边长的一半加上我刚才测量的距离，算出来的数值也就是金字塔的高度了．

想一想：为什么金字塔的高（金字塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形呢？

? 知识点睛

1. 相似三角形的判定：

① _______________________________________________

_；

② _______________________________________________

_；

③ _______________________________________________

_；

④ _______________________________________________

_

_______________________________________．

2.相似三角形的性质：

①相似三角形___________，_______________，___________都等于相似

比；

②相似三角形的周长比等于_______，面积比等于_________．

3.测量旗杆高度的方法：

①利用阳光下的影子②利用标杆③利用镜子的反射

（太阳光是平行光）（同位角相等）（借助反射角、入射角相等）

4.位似：

①如果两个图形不仅________，而且____________________

_____________________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做_________．位似图形上__________________

________________等于相似比．

②在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一

个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是_______，它们的相似比为________．

?精讲精练

1.如图，线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD．给出下列条件，判断并写出

对应的相似三角形．

①若∠A=∠D，则_______∽______；

②若∠A=∠B，则_______∽______；

③若

OA OC

OD OB

，则______∽______；

D

C

A

B

O

④若AC ∥BD ，则______∽______．

2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上．给出下列条件：①∠AED =

∠B ；②∠ADE =∠C ；③∠ADE =∠B ；

④

AD AC AE AB =；⑤AD AE

AB AC

=

．其中能判断△ABC ∽△AED 的有_______________（填序号）．

3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC

相似的是（ ）

A

B

C

D

4. 如图，AB ∥CD ，AD ，BC 交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ，则图中相

似的三角形有______对．

F E

D

C

B

A

图2

5.

图中相似三角形共有（ ） A ．1对 B ．2对

C ．3对

D ．4对

C

B

A

F E

C

A B D

E D C B A

6. 如图，线段AE ，BD 相交于点C ，连接AB ，DE ，其中AB :DE =1:2，AC =2，

BC =3．若AB ∥DE ，则CE =________，CD =________；若∠A =∠D ，则CE =_______，CD =_______．

E D

C

B

A

E D

C B

A 7. 如图，若A

B ⊥BD ，ED ⊥BD ，

C 是线段B

D 的中点，且

AC ⊥CE ，ED =1，BD =4，则AB =_______．

E

B

C

D A

B A

C

D

第7题图 第8题图

8. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，其中2AD BD DC =?，则∠

BAC =______；当AD :DC =1:2，AD =4时，BC =_______．

9. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别是边AB ，AC 上一点，点D 是边BC

上一点（不与B ，C 重合）．若∠EDF =∠B ，BE =2，BD =3，BC =6，则FC 的长为______________．

10. 如图，点M ，N 在线段AB 上，△PMN 是等

边三角形．

（1）若AM ·BN =PN ·PM ，求∠APB 的度数． （2）若∠APB =120°，求证：△AMP ∽△PNB ．

21

N

M

P

F

E D

C

B

A

11. 如图，l 1，l 2，…，l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，

分别与直线l 3和l 6相交于点B ，E ，C ，F ．若BC =2，则EF 的长是________．

F E

C

B A l 6

l 5

l 4l 2

l 3l 1

12. 将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积是△ABC

面积的一半．已知BC =2，求△ABC 平移的距离．

G

F

E D

C B A

13. 相似三角形的实际应用

①如图，在同一时刻，小明测得他的影长 为1 m ，距他不远处的一棵槟榔树的影长 为5 m ，若小明的身高为1.5 m ，则这棵 槟榔树的高度是_________． ②如图，若标杆高度CD =3 m ，标杆与旗杆的水平距离BD =15 m ，人的眼睛与地面的高度EF =1.6 m ，人与标杆CD 的水平距离DF =2 m ，则旗杆的高

度AB =_________．

③如图，把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4 m 的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮

尺量得DE =2.4 m ，观察者目高CD =1.6 m ，

则

A

树的高度AB =_______．

④如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS

垂直的直

线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．若 QS =60 m ，ST =120 m ，QR =80 m ，则 河的宽度PQ 为_________．

⑤如图，小明同学用自制的直角三角形纸板EFG 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边EG 保持水平，并且边EF 所在的直线经过点A ，已知纸板的两条直角边EF =

60 cm ，FG =30 cm ，测得小明与树的水平距离BD =8 m ，边EG 离地面的高度DE =1.6 m ，则树高为_________．

A

B C

D

E F G

14. 如图，若以O 为原点构造平面直角坐标系，其中A 点坐标为(6，-1)，B 点坐

标为(5，3)，C 点坐标为(3，-2)，以O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的

1

2

，则缩小后的△ABC 的三个顶点坐标是多少？

b

a

15.如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，若以点C为

位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′B′C，使得△A′B′C与△ABC位似，且相似比为2:1，则点B′的坐标为__________________．

【参考答案】

?课前预习

一、A；DEFG；B；C

二、由于太阳光是平行光线，因此同一时刻，太阳光与地面所成夹角相等，结合直角，构成了一组相似三角形

?知识点睛

1.①两角对应相等的两个三角形相似；

②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

③三边对应成比例的两个三角形相似；

④平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角

形与原三角形相似

2.①对应高的比；对应角平分线的比；对应中线的比．

②相似比；相似比的平方

4.①相似；每组对应顶点所在的直线都经过同一个点；位似中心；任意一对对

应点到位似中心的距离之比

②原点；|k|

?精讲精练

1.△AOC；△DOB；②△AOC；△BOD；③△AOC；△DOB；

④△AOC；△BOD

2.①②④

3. C

4. 3

5. C

6.4；6；6；4

7. 4

8.90°；10

9.9 2

10.（1）∠APB=120°；（2）证明略．

11.5

12.2

13.①7.5 m；②13.5 m；③5.6 m；④120 m；⑤5.6 m

14.

1

1 (3)

2

A-

，，

1

53 () 22

B，，

1

3 (1) 2

C-

，或

2

1 (3)

2

A-，，

2

53 ()

22

B--

，，

2

3 (1)

2

C-，15.(4，6)或(0，-2)

相似三角形全讲义(教师版)

相似三角形全讲义(教师版)

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相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段 的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

《相似三角形的应用举例》中考真题

相似三角形的应用举例 1. （2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A.600m B.500m C.400m D.300m 【答案】B 2. （2011浙江丽水，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直. 如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A.600m B.500m C.400m D.300m 【答案】B 3. （2011湖南怀化，21，10分）如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高， B C=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在B C 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，A D 与HG 的交点为M. (1) 求证：;AM HG AD BC (2) 求这个矩形EFGH 的周长.

【答案】 (1) 解：∵四边形EFGH 为矩形 ∴EF∥GH ∴∠AHG=∠ABC 又∵∠HAG=∠BAC ∴ △AHG∽△ABC ∴ ;AM HG AD BC = （2）由（1）得 ;AM HG AD BC =设HE=x ，则HG=2x ，AM=AD-DM=AD-HE=30-x 可得40 23030x x =-，解得，x=12 ， 2x=24 所以矩形EFGH 的周长为2×（12+24）=72cm. 4. （2011上海，25，14分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，sin ∠EMP = 1213 ． （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长； （2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长． 图1 图2 备用图 【答案】（1）∵∠ACB =90°，∴AC ． ∵S =12 AB CP ??=1 2 AC BC ??, ∴CP =AC BC AB ?=403050 ?=24． 在Rt△CPM 中，∵sin∠EMP =1213 ， ∴1213CP CM =．

(完整版)相似三角形的判定方法

(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽ △ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； （双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．

相似三角形的判定方法

相似三角形的判定方法 证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。 方法一（预备定理） 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明） 方法二 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似 方法三 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似 方法四 如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似 方法五（定义） 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 一定相似的三角形 1.两个全等的三角形一定（肯定）相似。 2.两个等腰直角三角形一定（肯定）相似 （两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。） 3.两个等边三角形一定（肯定）相似。 直角三角形相似判定定理 1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 编辑本段三角形相似的判定定理推论 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

相似三角形的综合应用(提高)

相似三角形的应用 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算． 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 【知识回顾】 一、相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等． （2）相似三角形的周长比等于相似比． （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．． ． （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比． 二、相似三角形的应用: 1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 2、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等． 【典型例题】 例1：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 【同步练习】如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？ 例2：阅读以下文字并解答问题： 在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高 A B C Q M D N P E

度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米． 小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ． （1）在横线上直接填写甲树的高度为 米． （2）求出乙树的高度（画出示意图）． （3）请选择丙树的高度为（ ） A 、6.5米 B 、5.75米 C 、6.05米 D 、7.25米 （4）你能计算出丁树的高度吗？试试看． 【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度． 图1 图2 图3 图 4

九下 相似三角形4种判定方法 知识点+模型+例题+练习 (非常好 分类全面)

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 ○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ； 知识点二、相似三角形的判定

判定定理1：两角对应相等，两三角形相似． 符号语言： 拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。 （2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。 例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出 AD AE BD CE = 吗？请说明理由。（用两种方法说明） 例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D. 求证：（1）2AB BD BC =?；（2）2AD BD CD =?；（3）CB CD AC ?=2 例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则 BD BE AD AF =例题精讲 A E D B C A B C D

吗？说说你的理由. 例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C （1） 求证：△ABF ∽△EAD ； （2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。 2分之3倍根号3 随练： 一、选择题 1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对 2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）C A D C B E F G F E D C B A

北师大版-数学-九年级上册-4.5 相似三角形判定定理的证明 教案

相似三角形判定定理的证明 预习导学： 1．相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． 2．证明相似三角形判定定理时，先作辅助线，再根据条件选择适当的判定定理。 教学目标： 1．了解相似三角形判定定理,会证明相似三角形判定定理 2．掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 教学重点：会证明相似三角形判定定理 教学难点：掌握推理证明的方法，并提供应用能力 教学过程： 判定定理的证明： 定理1：两角分别相等的两个三角形相似 如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′， 那么，△ABC ∽△A′B′C′. 证明：在△ABC 的边AB （或延长线）上截取AD=A’B’,过点D 作BC 的平行线， 交AC 于点E,则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C, AD AE AB AC =(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). 过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F,则 AD CF AB CB =(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). ∴ AE CF AC CB =

∵DE ∥BC ，DF ∥AC ∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF ∴AE DE AC CB = ∴AD AE DE AB AC BC == 而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC. ∵∠A=∠A’, ∠ADE=∠B’, AD=A’B’, ∴△ADE ≌△A’B’C’ ∴△ABC ∽△A’B’C’. 定理2：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 探究2 如果∠B =∠B1， 那么，△ABC ∽△A1B1C1. 自己思考，与同学交流 定理3：三边对应成比例,两三角形相似. 如果 1111 ,AB BC k A B B C ==, AB BC AC A B B C A C ==''''''

相似三角形的应用举例

27.2.2相似三角形应用举例 教学目标: 1．进一步巩固相似三角形的知识． 2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题）等的一些实际问题． 3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力． 重点、难点 1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度． 2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 一、知识链接 1、判断两三角形相似有哪些方法? 2、相似三角形有什么性质？ 二、.探索新知 1、问题1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？ 2、在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例 练习：（1.）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为( ) A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米

（2.）在某一刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的高为60 米,那么高楼的影长是多少米? 3. 世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？ 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 3、例题讲解 例3： 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度． 如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？） 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度． 解： 4、课堂练习 在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）

相似三角形的判定及证明技巧讲义

- 1 - / 4 相似三角形（三） 知识点（一）：相似三角形的证明技巧 1.相似三角形的基本图形 2.相似三角形判定定理（3条） 3.相似三角形的具体解题方法 1.“三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 例1、已知:如图△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:AE?AB=AC?AF.（判断“横定”还是“竖定”？） 例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 练习1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF。

A D E F B C

2.过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． (1)等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的 延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． - 2 - / 4 (2)等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代

相似三角形在实际生活中的应用上课讲义

相似三角形在实际生活中的应用

相似三角形在实际生活中的应用 【知识点击】 1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过，那么这样的两个图形就称为位似图形。此时的这个点叫做，相似比又称为． 注：位似图形作为一种特殊的相似图形，是最重要的图形之一．但相似图形未必都能够成位似关系．所谓位似图形，是指两个图形不仅是相似图形，而且___________________，此时的这个点叫做位似中心，相似比又称为_____________．位似图形具有相似图形的所有性质，利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小． 2、相似多边形的性质_____________________________________________________ 【重点演练】 知识点一、位似图形 例1、如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点. （1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1︰2； （2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号） 例2、如图3，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．

B′ A′ -1 x 1 O -1 1 y B A C 标准对数视力 0.1 4.0 0.12 4.1 0.15 4.2 变式训练： 1.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E ”之间的变换是（ ） A ．平移 B ．旋转 C ．对称 D ．位似 2. 如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为 （4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ． 3、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ） A ．1 2 a - B ．1(1)2 a -+ C ．1 (1)2 a -- D ．1 (3)2 a -+ 图3 O A B C D E A ′ B ′ C ′ ′ E ′ y x A B C D F E G O

完整版相似三角形的判定方法

（一）相似三角形 1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. ①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形对应边的比叫做相似比. ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 ?所以全等三角形是相似三角形的特例?其 区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例. ②相似比具有顺序性.例如△ ABC A B，的对应边的比，即相似比为k，则△ A B' 0 △ ABC的相似比「当它们全等时，才有k=k' =1 ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小 的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出. 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ?/ DE // BC ,???△ ABC ADE ; ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的 应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似 （二）相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，/ 仁/ 2=7 3,求证：△ AB（0A ADE A （双A型）

相似三角形详细讲义

知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是：

BC DE // ， ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若

15相似三角形判定定理的证明知识讲解基础

相似三角形判定定理的证明(基础) 【学习目标】 1.熟记三个判定定理的内容. 2.三个判定定理的证明过程. 3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】 要点一、两角分别相等的两个三角形相似 已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C, ADAE?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ABAC过点D作AC的平行线，交BC与点F,则 ADCF?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ABCBAECF?∴ACCB∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ADAEDE??. ∴ABACBC而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.

【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似，求证：△ADE∽△ABC．D， CE⊥AB，垂足为E1、在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为 断可判∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB路点拨】由BD⊥AC，CE⊥AB得到【思 ，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的==，利用比例性质得△AEC∽△ADB，则判定方法即可得到结论．【答案与解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠ADB=90°，而∠EAC= ∠DAB，∴△AEC∽△ADB，∴，=∴，= ∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．有两组有两组角对应相等的两三角形相似；【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．举一反三°，ADE=60，且∠在BC、AC上，点是等边三角形D，E分别ABC【变式】如图，△CE. CD=AC?证求：BD? 【答案】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=AC， ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°， ∴∠BAD=∠CDE， ，DCE△∽ABD△∴．ABBDCC BCD=AC BCD=AC 2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延

《相似三角形》最全讲义(完整版).docx

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1?图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位?用、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括?立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小 得 到的. ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形. 3?相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意:当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a. b的长度分別是m、n,那么就说这两条线段 a _ m 的比是a： b = m： n （或〃n） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a： b屮。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 兰_ ￡ 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如芦° a _ ￡ 4、比例外项：在比例“ d（或a： b=c： d）中a、d叫做比例外项。 a _ c 5、比例内项：在比例〃〃（或a： b = c： d）中b、c叫做比例内项。 a _ c 6、第四比例项：在比例〃d（或a： b=c： d）中，d叫a、b、c的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为U（或a:b=b:c时，我们把b 叫做a和d的比例中项。 &比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长

《相似三角形应用举例(1)》教学设计

《相似三角形应用举例（1）》教学设计 福报学校黄世辉 一、教学目标 1、进一步巩固相似三角形的判定方法和基本性质. 2、能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的高度和宽度等实际问题. 3、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力. 二、教学重难点 重点：运用三角形相似计算不能直接测量物体的高度和宽度．难点：如何把实际问题抽象为数学问题． 三、教学过程 （一）知识回顾 1、回顾相似三角形的概念及判定方法. 2、复习“相似多边形对应角相等、对应边的比相等”性质. （二）提出问题 利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度问题？（学生小组讨论） 师生归纳：“相似三角形对应边的比相等” 四条对应边中若已知三边则可求第四边. （三）小试牛刀—测量物高

1、例题探究：（教材第48页例3）据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两 个相似三角形来测量金字塔的高 度． 如图1，如果木杆EF 长2 m ， 它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度BO ．（思考如何测出OA 的长？） 师生活动：学生小组讨论，师生共同交流，画出示意图，通过观察示意图，使学生建立起相似图形的几何直觉，并能明确表述求OA 的方法中蕴含的数学知识. 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的性质，根据已知条件，求出金字塔的高度． 解：太阳光是平行光线，即B A ∥ED, ∴∠BAO =∠EDF. 又∠AOB =∠DFE=90°， ∴△ABO ∽△DEF. ∴BO OA EF FD =， 20121343 OA EF BO FD ??===. 因此金字塔的高度为134m. 2、换式练习：（教材第50页练习1）在某一时刻，测得一根高

相似三角形完整讲义(教师版)

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段 的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

相似三角形与实际应用

1 / 2 初中数学优秀生特长生培训方案 相似三角形与实际应用 一， 思想、方法解读 利用相似三角形解决实际问题的方法与步骤 1、 分析题意 2、 画出图形 3、 找出两个能解决问题的两个相似三角形 4、 证明这两个三角形相似 5、 写出比例式（要包含已知条件和题中要求的未知量或相关量） 6、 由比例式解决问题或由比例式列方程解决问题 二，思想方法分类例析 （一）利用相似三角形进行测量 例1．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m 的黄丽同学BC 的影长BA 为1.1m ，与此同时，测得教学楼DE 的影长DF 为12.1m ，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE 的高度．(精确到0.1m) 例2.我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但 不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼 前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。若 此时眼睛到食指的距离约为40cm ，食指的长约为8cm,你能根据上述 条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。 例3．小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得的树高是多少？ 例4.如图:学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水 平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC =20 米，斜坡坡面上的影长CD =8米，太阳光线AD 与水平地面成30° 角，斜坡CD 与水平地面BC 成30°的角，求旗杆AB 的高度（精确到1米）． （二）利用相似三角形进行方案设计 例5、如图， ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高 AH=80毫米,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上， 其余两个顶点分别在AB 、AC 上．这个正方形零件的边长是多少? 例6、一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面 积为1.22m ，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌 面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲的方案如图（1），乙的 A B C D

九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案(吐血推荐)

相似三角形的性质及应用 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算； 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】 要点一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 ∽ ，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ∽ ，则 分别作出 与 的高 和，则 211 22=1122 ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''????=='''''''''??△△ 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法

2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释： 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【典型例题】 类型一、相似三角形的性质 1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 【答案】 设另两边长是xcm，ycm，且x＜y. (1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. (2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. (3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. 综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm 或cm，cm三种可能. 2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC 上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.