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圆锥曲线解题方法技巧归纳(整理)

圆锥曲线解题方法技巧归纳

一、知识储备：

1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容

①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离002

Ax By C d A B

++=

③夹角公式：21

tan 1k k k k α-=+ ④两直线距离公式

（3）弦长公式

直线y kx b =+与圆锥曲线两交点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：

2121AB k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-或122

1AB y y k =+

- (若A 点为交点，另一点不在圆锥曲线上，上式仍然成立。) （4）两条直线的位置关系

①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且

2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式（三种形式）

标准方程：

1(0,0)x y m n m n m n

+=>>≠且距离式方程：2

()()2x c y x c y a +++-+= 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程：

1(0)x y m n m n

+=?<

参数方程：

距离式方程：2

|()()|2x c y x c y a ++--+=

(3)、三种圆锥曲线的通径

222b b p a a

椭圆：；双曲线：；抛物线：

(4)、圆锥曲线的定义

(5)、焦点三角形面积公式：122

tan

F PF P b θ

?=在椭圆上时，S 122cot

F PF P b θ

?=在双曲线上时，S

（其中222

1212121212||||4,cos ,||||cos ||||

PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?）

(6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，

可简记为“左加右减，上加下减”。

（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为（3）11||,||22

p p

x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形二、方法储备

1、点差法（中点弦问题）设

()11,y x A 、()22,y x B ，

的弦AB 中点则有

两式相减得

()()

21212121y y y y x x x x +--

=+-?AB k =

2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果

有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判

别式0?≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B

、

F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b =+，就意味着k 存在。

例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆80542

=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为0

90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.

分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为0

可得出AB ⊥AC ，从而得

016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程；

解：（1）设B （1x ,1y ）,C(2x ,2

y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有

116

20,1162022

222121=+=+y x y x 两式作差有

16)

)((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04

500=+k

y x (1) F(2,0)为三角形重心，所以由

2321=+x x ，得30=x ，由03

21=++y y 得20-=y ，代入（1）得5

k 直线BC 的方程为02856=--y x

2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x （2）

设直线BC 方程为8054,2

=++=y x b kx y 代入，得080510)54(2

=-+++b bkx x k

215410k kb

x x +-=

+，222154805k b x x +-= 2

22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得 0541632922=+--k b b ，解得)(4舍=b 或9

直线过定点（0，)94-，设D （x,y ），则1494

-=-?+

y x y ，即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9

20()916(222

≠=-+y y x 。

4、设而不求法

例2、如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当4

32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。

分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能

力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy ，如图，若设C ???

??h c , 2，代

入122

22=-b

y a x ，求得h =，进而求得,,E E x y =

再代入122

22=-b

y a x ，建立目标

函数(,,,)0f a b c λ=，整理(,)0f e λ=，此运算量可见是难上加难.我们对h 可采取设而不求的解题策略,

建立目标函数(,,,)0f a b c λ=，整理(,)0f e λ=,化繁为简.

解法一：如图，以AB 为垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称

依题意，记A ()0 ,c -，C ??

??h c , 2，E ()00 ,y x ，其中||21AB c =为双曲线的半焦

距，h 是梯形的高，由定比分点坐标公式得

()()122120+-=++-=λλλλ

c c

c x ， λλ+=10h y 设双曲线的方程为12222=-b

y a x ，则离心率a c

e =

由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和a

e =

代入双曲线方程得

1422

2=-b

h e ， ①

111242

2=?

?? ??+-??? ??+-b h e λλλλ ② 由①式得 142

22-=e b

h ， ③

将③式代入②式，整理得

()λλ21444

+=-e ，

故 13

12+-=e λ

由题设43

32≤≤λ得，4

3231322≤+-≤e

解得 107≤≤e 所以双曲线的离心率的取值范围为

[]10 , 7

分析：考虑,AE AC 为焦半径,可用焦半径公式, ,AE AC 用,E C 的横坐标表示，回避h 的计算, 达到设而不求的解题策略．

解法二：建系同解法一，(),E C AE a ex AC a ex =-+=+，

()()22121E c

c c x λλλλ-+-==++，又1AE AC λλ

=+，代入整理1312+-=e λ，由题设43

32≤≤λ得，4

3231322

≤+-≤e 解得 107≤≤e 所以双曲线的离心率的取值范围为[]10 , 7

5、判别式法

例3已知双曲线12

2:2

2=-x y C ，直线l 过点(

)

0,2A

，斜率为k ，当10<

线的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时点B 的坐标。

分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B 作与l 平行的直线，必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式

0=?. 由此出发，可设计如下解题思路：

()10)

2(:

<<-=k x k y l

k k kx y l 2222:'-++=

的值解得k

解题过程略.

分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B 到直线l 的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：

简解：设点)2,(2x x M +为双曲线C 上支上任一点，则点M 到直线l 的距离为：

2222=+-+-k k

x kx

()10<

于是，问题即可转化为如上关于x 的方程. 由于10<>+2

2，从而有

.222222k x kx k x kx +++-=-+-

于是关于x 的方程()*

?)1(22222

+++-k k x kx

把直线l ’的方程代入双曲线方程，消去y ，令判别式0=?

直线l ’在l 的上方且到直线l 的距离为

转化为一元二次方程根的问题

求解

问题

关于x 的方程()102

222

2<<=+-+-k k k

x kx 有唯一

?()

????

?>+-++-+=+0

2)1(2,

)2)1(2(22

2222kx k k kx k k x ?(

)

()()

????

?>+-+=--++-++-.

02)1(2,022)1(22)1(2212

222kx k k k k

x k k k x k

由10<

()()

022)1(22)1(2212

22=--++

-++-k k

x k k

x k 的二根同正，

故02)1(22>+-+kx k k 恒成立，于是()*等价于

()

(

)()

022)1(22)1(2212

=--++

-++-k k

x k k k x k

由如上关于x 的方程有唯一解，得其判别式0=?，就可解得 5

k . 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.

例4已知椭圆C:x y 2

28+=和点P （4，1），过P 作直线交椭圆于A 、B 两点，在线

段AB 上取点Q ，使

AP PB AQ

=-，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程. 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.

由于点),(y x Q 的变化是由直线AB 的变化引起的，自然可选择直线AB 的斜率k 作为参数，如何将y x ,与k 联系起来？一方面利用点Q 在直线AB 上；另一方面就是运用题目条件：

AP PB AQ

QB =-来转化.由A 、B 、P 、Q 四点共线，不难得到)

(82)(4B A B A B A x x x x x x x +--+=，要建立x 与k 的关系，只需将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程，利用韦达定理即可.

通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.

在得到()k f x =之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于y x ,的方程（不含k ），则可由1)4(+-=x k y 解得4

--=x y k ，直接代入()k f x =即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。

简解：设()),(),(,,2211y x Q y x B y x A ，，则由

PB AP -

=可得：x x x x x x --=--212144，解之得：)

(82)(4212

121x x x x x x x +--+=

（1）

设直线AB 的方程为：1)4(+-=x k y ，代入椭圆C 的方程，消去y 得出关于 x 的一元二次方程：

()

08)41(2)41(412222

=--+-++k x k k x k

（2）

∴ ???

????

+--=+-=+.128)41(2,12)14(422

21221k k x x k k k x x 代入（1），化简得：.2

4++=

k k x (3) 与1)4(+-=x k y 联立，消去k 得：().0)4(42=--+x y x

将直线方程代入椭圆方程，消去y ，利用韦达定理

利用点Q 满足直线AB 的方程：y = k (x —4)+1，消去参数k

点Q 的轨迹方程

AQ PB

AP -

)

(82)(4B A B A B A x x x x x x x +--+=

()k f x =

在（2）中，由02464642

>++-=?k k ，解得 4

1024

2+<

k ，结合（3）可求得

10216910216+<<-x

故知点Q 的轨迹方程为：042=-+y x （9

10216910216+<<-x ）.

点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.

6、求根公式法

例5设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22

+=顺次交于A 、B 两点，试求AP PB 的取值范围.

分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =B

A x x -，但从此后却一筹莫展, 问题的根

源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.

分析1: 从第一条想法入手，

AP PB =B

A x x

-已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜

率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

所求量的取值范围

把直线l 的方程y = kx +3代入椭圆方程，消去y 得

到关于x 的一元二次方程

x A = f （k ），x B = g （k ）

得到所求量关于k 的函数关系式

求根公式

AP/PB = —（x A / x B ）

由判别式得出k 的取值范围

简解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得

-=PB AP ; 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得(

)

04554492

=+++kx x k

解之得 .4

9627222

,1+-±-=k k k x

因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形. 当0>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4

959627222+---=

k k k x ，所以 21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =2

929181k -+-

. 由 (

)

049180)54(2

≥+--=?k k , 解得 9

≥

k ，所以 5

92918112

-<-+-

≤-k ，综上 5

1-≤≤-PB AP .

分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根

源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于

1x x PB AP

-=不是关于21,x x 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,x x 的对称关系式.

把直线l 的方程y = kx +3代入椭圆方程，消去y

得到关于x 的一元二次方程

x A + x B = f （k ），x A x B = g （k ）

构造所求量与k 的关系式

韦达定理

AP/PB = —（x A / x B ）

由判别式得出k 的取值范围

简解2：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得

()

045544922

=+++kx x k

（*）

则

???

+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x 令

λ=21

x x ，则，.

453242122+=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0≥?可得 9

≥

k ，从而有 536

2045324422≤

+≤k k ，所以 536214≤++≤λλ，解得 55

≤≤λ. 结合10≤<λ得

151

≤≤λ. 综上，5

1-≤≤-PB AP .

点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.

解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.

第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学

求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。

例6椭圆长轴端点为B A ,，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1=?FB AF ，

1=OF ．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于Q P ,两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ?的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。思维流程：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

消元

解题过程：

2,1a b ==

写出椭圆方程

由1AF FB ?=，1OF = ()()1a c a c +-=，1c =

PQ k =由F 为PQM ?的重心

,PQ MF MP FQ ⊥⊥

y x m x y =+??+=? 2234220x mx m ++-=

两根之和，两根之积 0MP FQ ?=

得出关于 m 的方程

解出m

（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>,则1c =

又∵1=?FB AF 即 2

2()()1a c a c a

c +?-==-，∴22a =

故椭圆方程为2

212

x y += （Ⅱ）假设存在直线l 交椭圆于Q P ,两点，且F 恰为PQM ?的垂心，则

设1122(,),(,)P x y Q x y ，∵(0,1),(1,0)M F ，故1=PQ k ，

于是设直线l 为 y x m =+，由22

y x m x y =+??+=?得，22

34220x mx m ++-= ∵12210(1)(1)MP FQ x x y y ?==-+- 又(1,2)i i y x m i =+=

得12

21(1)()(1)0x x x m x m -+++-= 即

212122()(1)0x x x x m m m ++-+-= 由韦达定理得 222242(1)033

m m m m m -?--+-=

解得43m

=-或1m =（舍）经检验4

m =-符合条件．

点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．

例7、已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A -、(2,0)B 、

31,2C ??

???

三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程：

（Ⅱ）若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点，(1,0),(1,0)F H -，当ΔDFH 内切圆的面积最大时，求ΔDFH 内心的坐标；

思维流程：

（Ⅰ）

由椭圆经过A 、B 、C 三点设方程为12

=+ny mx 得到n m ,的方程

解出n m ,

（Ⅱ）

解题过程：（Ⅰ）设椭圆方程为12

=+ny mx ()0,0>>n m ，将(2,0)A -、(2,0)B 、

(1,)2

C 代入椭圆E 的方程，得

41,

m m n =??

?+=??解得11,43m n ==.∴椭圆E 的方程22143x y += ．

（Ⅱ）||2FH =，设ΔDFH 边上的高为h h S DFH =??=

?22

当点D 在椭圆的上顶点时，h 最大为3，所以DFH S ?的最大值为3．设ΔDFH 的内切圆的半径为R ，因为ΔDFH 的周长为定值6．所以，62

?=?R S DFH 所以R 的最大值为

3．所以内切圆圆心的坐标为3(0,)3.

点石成金：的内切圆的内切圆的周长?????=

r S 2

例8、已知定点)01

(，-C 及椭圆532

=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.

（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是1

，求直线AB 的方程；得出D 点坐标为???

? ??±

33,0 由DFH ?内切圆面积最大转化为DFH ?面积最大

转化为点D 的纵坐标的绝对值最大最大 D 为椭圆短轴端点

DFH ?面积最大值为3

内切圆周长r S DFH

??=?2

内切圆r

（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MB MA ?为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 思维流程：

（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，将(1)y k x =+代入532

=+y x ，消去y 整理得 2222(31)6350.k x k x k +++-= 设1122() () A x y B x y ，，，，

则4222

122364(31)(35)0 (1) 6. (2)

31k k k k x x k ??=-+->??+=-?+?

，由线段AB 中点的横坐标是1

2-，得2122312312x x k k +=-=-+，解得33

k =±，符合题意。

所以直线AB 的方程为 310x y -+=，或 310x y ++=. （Ⅱ）解：假设在x 轴上存在点(,0)M m ，使MB MA ?为常数. ①

当

直

线

与

轴不垂直时，由（Ⅰ）知

22121222635

. (3)3131

k k x x x x k k -+=-=++，

所以212121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ?=--+=--+++

2222

1212(1)()().k x x k m x x k m =++-+++将(3)代入，整理得

222

22114(2)(31)2(61)5333131

m k m m k MA MB m m k k -+--

--?=+=

+++221614

2.33(31)

m m m k +=+--+

注意到MB MA ?是与k 无关的常数，从而有761403m m +==-

，，此时4.9

MA MB ?= ② 当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A B ，的坐标分别为221133????

--- ? ?????

，、，

，当

73m =-时，亦有4

MA MB ?=

综上，在x 轴上存在定点7

M ??- ???

，

，使MB MA ?为常数. 点石成金：22

2222114(2)(31)2(61)5333131

m k m m k MA MB m m k k -+--

--?=+=+++ 2

21614

2.33(31)

m m m k +=+-

-+ 例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；

（Ⅲ）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程：

解：（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b

y a x

则?????==?????=+=28

42222

2b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y x （Ⅱ）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m 又K OM =

21 m x y l +=∴2

的方程为：由0422128

21222

2=-++∴???????=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，

,22,0)42(4)2(22≠<<->--=?∴m m m m 且解得

（Ⅲ）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可设42,2),,(),,(2

21212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且则2

,21222111--=--=

x y k x y k

由可得04222

2=-++m mx x

42,222121-=-++m x x m x x

而)

2)(2()

2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=

+x x x y x y x y x y k k )2)(2()1(4)2)(2(42)

2)(2()

1(4))(2()2)(2()

2)(121

()2)(12

1(212212*********------+-=

----+++=

----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x

)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.

点石成金：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形?021=+k k

例10、已知双曲线122

22=-b

y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距

离是

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 思维流程：解：∵（1）

2=a c 原点到直线AB ：1=-b

y a

x 的距离

3,1.23

=∴==+=a b c ab b a ab d .

故所求双曲线方程为 .13

=-y x

（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则

11,315

5311520020

02210k

x y k k kx y k k x x x BE

-=+=-=+=?-=+= ,000=++∴k ky x

即

7,0,0315311522

2=∴≠=+-+-k k k k

k k k 又故所求k=±7.

点石成金: C ，D 都在以B 为圆心的圆上?BC=BD ?BE ⊥CD;

例11、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（II ）若直线:l y =k x +m 与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直

径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．

思维流程：

解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b

+=>>，

由已知得：31a c a c +=-=，，

222

213

a c

b a

c ==∴=-=，，

∴椭圆的标准方程为

143x y +=．

（II ）设1122()()A x y B x y ，，，．

联立22 1.4

3y kx m x y =+??

?+=??，

得 2

(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则

222222122

21226416(34)(3)03408344(3)

.34m k k m k m mk x x k m x x k ?

??=-+->+->??

+=-?+?

?-=

?+?

，即，，又222

121212122

3(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+．

因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，

1AD BD k k ∴=-，即

222

11-=-?-x y x y . 1212122()40y y x x x x ∴+-++=．

222222

3(4)4(3)1540343434m k m mk k k k

--∴+++=+++． 2271640m mk k ∴++=．解得：12227

k m k m =-=-

，，且均满足22

340k m +->．当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(20)，，与已知矛盾；

当227k m =-

时，l 的方程为27y k x ??=- ???，直线过定点207??

???

，

．

所以，直线l 过定点，定点坐标为207

?? ???

，

．点石成金：以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点? CA ⊥CB;

例12、已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左右两个焦点分别为21F F 、,点P 在双曲线右

支上.

（Ⅰ）若当点P 的坐标为)5

,5413(

时,21PF PF ⊥,求双曲线的方程；（Ⅱ）若||3||21PF PF =,求双曲线离心率e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 思维流程：

解：（Ⅰ）(法一)由题意知,1PF )516,5413(--

-=c , 2PF )516

,5413(--=c , 21PF PF ⊥,,021=?∴PF PF )5413(--∴c 0)5

()5413(2=-+-c （1分）

解得 5,252=∴=c c . 由双曲线定义得: ,2||||21a PF PF =-

2222)5

()54135()516()54135(2-+---+-

-=∴a

6)341()341(22=--+=,4,3==∴b a ∴所求双曲线的方程为: 116

2=-y x

(法二) 因21PF PF ⊥,由斜率之积为1-,可得解. （Ⅱ）设2211||,||r PF r PF ==, (法一)设

的坐标为

)

,( y x , 由焦半径公式得

ex ex a r ex a ex a r -=-=+=+= ||,||21,

c a x a ex ex a r r 2212),(3,3=∴-=+∴= ,,2,2

a c a a x ≥∴≥ c a ≥∴2， e ∴的最大值为2,无最小值. 此时31,222

2=-=-==e a

a c a

b a

c ,

∴此时双曲线的渐进线方程为x y 3±=

(法二)设θ=∠21PF F ,],0(πθ∈.

(1)当πθ=时, 22121423,2r c r r c r r =∴==+，且 , 22122r r r a =-= 此时 224222

===

r r a c e . (2)当）

，（πθ0∈,由余弦定理得: θ

θcos 610cos 222

2212

12r r r r r r c -=-+=）（∴

cos 6102cos 6102222θ

θ-=-?==

r r a c e , )1,1(cos -∈θ ,)2,1(∈∴e ,综上,e 的最大值为2,但e 无最小值. (以下法一)

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为（3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题）设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，

圆锥曲线解题技巧教案

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝ 1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ， C 同号，A ≠B ）。如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11 (3,)(,2)22 ---）；（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1 （0,0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ， B 异号）。如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点 )10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时2 2(0)x py p =->。如定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。 4 5 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 1

高考圆锥曲线解题技巧和方法综合

圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。（2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题给定双曲线。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点 P 的轨迹方程。（2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。，为焦点，，。（1 （2）求的最值。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2 y x +的最小值是___ ）（2）双曲线：焦点在x 轴上： 2 2 22b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2 3 ,1()1,( --∞）（2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =± ； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或 3 25）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： 22）（2）双曲线（以22 22 1x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤ 离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大； ⑥两条渐近线：b y x a =±。（3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围： 0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2 p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线 ?1e =。如设R a a ∈≠,0，则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________（答：)161 , 0(a ）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切；（3）相离：0?中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 11．了解下列结论（1）双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ；（2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数，λ≠0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ， 1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题：例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)

圆锥曲线解题方法技巧归纳

圆锥曲线解题方法技巧归纳例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆80542 2 =+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）. （1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为0 90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程. 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为0 90可得出AB ⊥AC ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程；解：（1）设B （1x ,1y ）,C(2x ,2 y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有 116 20,116202 2 222121=+=+y x y x 两式作差有 16) )((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04 500=+k y x (1) F(2,0)为三角形重心，所以由 2321=+x x ，得30=x ，由03421=++y y 得20-=y ，代入（1）得5 6 =k 直线BC 的方程为02856=--y x 2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x （2）设直线BC 方程为8054,2 2 =++=y x b kx y 代入，得080510)54(2 2 2 =-+++b bkx x k 2 215410k kb x x +-=+，222154805k b x x +-= 2 2 22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得 054163292 2=+--k b b ，解得)(4舍=b 或94 -=b 直线过定点（0，)94-，设D （x,y ），则1494 -=-?+ x y x y ，即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9 20()916(222 ≠=-+y y x 。 3、设而不求法例2、如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当 4 3 32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。

圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备: １. 直线方程的形式（１）直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式： 2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=－１ ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程 :|2a = (３)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足 221=-MF MF 则动点Ｍ的轨迹是( ) Ａ、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?）（6)、记住焦半径公式:(1） 00 ;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为（6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备１、点差法（中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有

圆锥曲线解题技巧

圆锥曲线：概念、方法、题型、及技巧总结 1.圆锥曲线的定义：（1）定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ． 421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （2）方程8=表示的曲线是_____ 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是 ___ （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？如（1）双曲线的离心率等于2 5，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______ （2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______ （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题（5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题（7）两线段垂直问题常用的八种方法 1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2 0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·| |12a k △ ·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来

圆锥曲线解题技巧和方法综合

（本文有两套教案，第一套比较笼统，第二套比较好）圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11， (,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。（2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点， ∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ；（2）求|||PF PF 13 23 +的最值。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。（1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x 、y 的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线y 2 =2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ， |AB|≤2p （1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。

圆锥曲线大题汇总(含解题思路)

已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2． (1)求椭圆C的方程； (2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．收藏答案数学【解答题】ID：878807 已知定点与分别在轴、轴上的动点满足：,动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于两点，直线与直线分别交于点（为坐标原点）；（i）试判断直线与以为直径的圆的位置关系；（ii）探究是否为定值？并证明你的结论. 收藏答案数学【解答题】ID：877532 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围. 收藏答案数学【解答题】ID：876190 已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．

(1)求椭圆C的方程； (2)己知点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．收藏答案数学【解答题】ID：869752 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－.设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)若＝ (O为坐标原点)，求|y1－y2|的值； (2)当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．收藏答案数学【解答题】ID：869575 已知离心率为的椭圆()过点 (1)求椭圆的方程; (2)过点作斜率为直线与椭圆相交于两点，求的长. 收藏答案数学【解答题】ID：869198 已知分别是椭圆的左，右顶点，点在椭圆上，且直线与直线的斜率之积为．

高考圆锥曲线解题技巧总结

第五篇高考解析几何万能解题套路解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。第一部分：基础知识 1.概念特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。（2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。

高考数学圆锥曲线及解题技巧

椭圆与双曲线的性质椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）

高中数学圆锥曲线解题技巧总结

高中数学圆锥曲线解题技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。（2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

圆锥曲线解题方法技巧归纳(整理)

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题技巧教案

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