线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
Hilbert矩阵病态线性代数方程组的求解
实验一病态线性代数方程组的求解 1.估计Hilbert矩阵2-条件数与阶数的关系 运行tiaojianshu.m 输入m=10 可以得到如下表的结果 2.选择不同维数，分别用Guass消去（LU分解），Jacobi迭代，GS 迭代，SOR迭代求解，比较结果。 说明：Hx=b，H矩阵可以由matlab直接给出，为了设定参考解，我们先设x为分量全1的向量，求出b,然后将H和b作为已知量，求x，与设定的参考解对比。 对于Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代，取迭代初值x0为0向量，迭代精度eps=1.0e-6，迭代次数<100000, SOR迭代中w=1.2和0.8分别计算。 a. n=5 b. n=8
c. n=10 d. n=15
取不同的n值，得到如下结果: 对于Guass法，可以看出来，随着n的增大，求解结果误差变大，这是因为随着n增大，系数矩阵的条件数变大，微小的扰动就容易造成很大的误差。最后得不到精确解。 对于Jacobi迭代，计算结果为Inf，说明是发散的。 对于GS迭代和SOR迭代，结果是收敛的，但是可以看出迭代次数比较多，并且对于不同维数GS和SOR收敛速度不一样，有时候GS快，有时SOR快。对SOR取不同的w迭代速度也不一样，存在一个最优的松弛因子w。并且可以知道，迭代次数多少跟初值x0也有关系。 3.讨论病态问题求解的算法。 通过上面的实验分析，可以看出，求解病态矩阵的时候要小心，否则可能得不到所要求的精确度。可以采用高精度运算，用双倍多倍字长，使得由于误差放大而损失若干有效数字位之后，还能保留一些有效位。 另外可以通过对原方程作某些预处理，降低系数矩阵的条件数，因为cond(aA)=cond(A),所以不能通过将每一个方程乘上相同的常数来达到这个目标，可考虑将矩阵的每一行和每一列分别乘上不同的常数，亦即找到可逆的对角阵D1和D2将方程组化为 D1AD2y=D1b，x=D2y 这称为矩阵的平衡问题，但是这样计算量比原问题本身要多。 或者通过变分原理将求解线性方程组的问题转化为等价的求解无约束函数最优化问题的极小值等等，可以参考 [1]郑洲顺，黄光辉，杨晓辉求解病态线性方程组的混合算法
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二
习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为
2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；
刘三阳线性代数第二版第一章标准答案
刘三阳线性代数第二版第一章答案
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第一章矩阵及其应用习题解答 本章需要掌握的是： 1）矩阵的定义，以及矩阵的运算（加、减、数乘和乘法）； 2）方阵的幂和多项式，以及矩阵转置的性质； 3）逆阵的定义，以及逆阵的4条性质； 4）分块矩阵的运算规则； 5）矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵； 6）三种初等矩阵，以及定理1.4（左乘行变，右乘列变）、1.5、1.6和1.7；7）求逆阵的方法：定义法和初等变换法。 1、设方阵A满足，求。 题型分析：此类题型考核的知识点是逆阵的定义，即。因此无论题中给出的有关矩阵A的多项式（如本题是）多么复杂，只 需要把该多项式配方成“（所求逆的表达式）*（配方后的因子）=E”即可，即本题是要配成（A-E）*(?)=E。 解： %配出2003A可提取的（A-E） %配出1998可提取的（A-E） %提取公因式（A-E） %将只有单位阵的那一项移至等式右端 %写成“AB=BA=E”的形式
%由逆阵定义可知 巩固练习：教材第38页第13题 2、设，求。其中k为正整数。 题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。解题思路为依次计算 最多到，通常这时已经可以看出规律，依此规律解题即可。 解：，，因此推论，用数学归纳法证明如下： 1）当k=1时，成立； 2）假设当k=n-1时，上式成立，即，则有 当k=n时，也成立。 所以 巩固练习：教材第41页二、填空题（3） 3、设A=E-uu T ，E为n阶单位阵，u为n维非零列向量，u T 为u的转置，证明：1）A2=A的充要条件是u T u=1； 2）当u T u=1时，A是不可逆的。 题型分析：这道题综合了矩阵这一章的大部分知识点，是个综合题，对于刚学了第一章的同学们来说也是一道难题。解题思路首先要明确u为n为非零向量是指u是一个只有一行 或一列的矩阵，题中有即告诉我们u是一个n*1阶列矩阵即列向量。
研究生矩阵论课后习题答案全习题三
习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++= 10.
若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，
线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组
习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
硕士研究生课程考试试题矩阵论答案
华北电力大学硕士研究生课程考试试题（A 卷） 2013～2014学年第一学期 课程编号：50920021 课程名称：矩阵论 年 级：2013 开课单位：数理系 命题教师： 考核方式：闭卷 考试时间：120分钟 试卷页数： 2页 特别注意：所有答案必须写在答题册上，答在试题纸上一律无效 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n ，后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确，线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误，按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题（每小题3分，共27分） （6）210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. （7）301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页，将矩阵做变换即得
矩阵论华中科技大学课后习题答案
习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ?
线性代数习题矩阵的初等变换与线性方程组讲课讲稿
线性代数习题［第三章］矩阵的初等变换与线 性方程组
习题3-1矩阵的初等变换及初等矩阵 3 2 1 3 1 5的逆矩阵. 3 2 3 4.设A 是n 阶可逆矩阵 将A 的第i 行与第j 行对换后得矩阵B . (1)证明B 可逆 ⑵求AB 1. 1?用初等行变换化矩阵A 1 0 2 1 2 0 3 1 为仃取简形 3 0 4 3 4 1 2 1 3 2 2 1 ,B= 2 2 ,求X 使AX B 3 1 1 3 1 3.设A 2?用初等变换求方阵A
习题3-2矩阵的秩1?求矩阵的秩: (1)A 1 2 3k 2.设A 1 2k 3问k为何值，可使 k 2 3 (1)R(A) 1 ； ⑵R(A) 2; ⑶ R(A) 3 qb o i 1,2, |||,n &1 b| &1 b? a? b| a?b? Ill III a n E a n b 2 a2b n III a n b n
3.从矩阵A中划去一行，得矩阵B,则R(A)与R(B)的关系是_______ a. R(A) R(B) b. R(A) R(B); c. R(B) R(A) 1 ; d. R(A) R(B) R(A) 1. 3 2 1 3 1 4.矩阵2 1 3 1 3 的秩R= 7 0 5 1 8 a.1; b. 2; c.: 3; d. 4. 1 a a a 5.设n(n 3)阶方阵 a A 1 a a 的秩R(A)=n-1,则 a a a a 1 a. 1; b. 1 ; c.—; d . 1 1 n n 1 6.设A为n阶方阵，且A2A,试证： R(A) R(A E) n
研究生矩阵论试题与答案
中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。
二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。
四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。
六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
线性代数方程组的直接解法赖志柱
第二章线性代数方程组的直接解法 教学目标： 1.了解线性代数方程组的结构、基本理论以及相关解法的发展历程； 2.掌握高斯消去法的原理和计算步骤，理解顺序消去法能够实现的条件，并在此基础上理解矩阵的三角分解（即LU分解），能应用高斯消去法熟练计算简单的线性代数方程组； 3.在理解高斯消去法的缺点的基础上，掌握有换行步骤的高斯消去法，从而理解和掌握选主元素的高斯消去法，尤其是列主元素消去法的理论和计算步骤，并能灵活的应用于实际中。 教学重点： 1. 高斯消去法的原理和计算步骤； 2. 顺序消去法能够实现的条件； 3. 矩阵的三角分解（即LU分解）； 4. 列主元素消去法的理论和计算步骤。 教学难点： 1. 高斯消去法的原理和计算步骤； 2. 矩阵的三角分解（即LU分解）； 3. 列主元素消去法的理论和计算步骤。 教学方法： 教具： 引言 在自然科学和工程技术中，许多问题的解决常常归结为线性方程组的求解，有的问题的数学模型中虽不直接表现为线性方程组，但它的数值解法中将问题“离散化”或“线性化”为线性方程组。例如，电学中的网络问题、船体数学放样中建立三次样条函数问题、最小二乘法用于求解实验数据的曲线拟合问题、求解非线性方程组问题、用差分法或有限元法求解常微分方程边值问题及偏微分方程的定解问题，都要导致求解一个或若干个线性方程组的问题。 目前，计算机上解线性方程组的数值方法尽管很多，但归纳起来，大致可以分为两大类：一类是直接法（也称精确解法）；另一类是迭代法。例如线性代数中的Cramer法则就是一种直接法，但其对高阶方程组计算量太大，不是一种实用的算法。实用的直接法中具有代表性的算法是高斯（Gauss）消元法，其它算法都是它的变形和应用。 在数值计算历史上，直接法和迭代法交替生辉。一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。对于中、低阶（200 n ）以及高阶带形的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。对于一般高阶方程组，特别是系数矩阵为大型稀疏矩阵的线性方程组用迭代法有效。
线性代数第一章行列式试题及答案
如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j 即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a ……… a n1 a n2…a nn 这里 n j j j 2 1 表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式. 用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 3、对角行列式计算
矩阵论考试试题(含答案)
矩阵论试题 、（10 分）设函数矩阵 sin t cost At cost sin t 求： A t dt 和( 0 t 0 A t dt )'。 解： A t dt = 0 tt sin t dt 00 t costdt cost dt t sin tdt = 1 cost sint sint 1 cost t2 ( A t dt )' 2 = A t 2 2t sint2 2t cost 2 cost cost2 sint2 、（15分）在R3中线性变换将基 1 0 1 1 1 ， 2 2 ，30 1 1 1 1 0 0 变为基 1 1 ， 2 1 ，33 0 1 2 (1 )求在基 1, 2, 3 下的矩阵表示A； (2 ) 求向量1,2,3 T及在基1, 2, 3下的坐标； (3 ) 求向量1,2,3 T及在基1, 2, 3下的坐标。解：（1）不难求得： 1 1 1 2
因此 在 1, 2, 3 下矩阵表示为 1 1 1 A 1 1 2 011 k 1 (2) 设 1 , 2 , 3 k 2 ，即 k 3 0 1 k 1 解之得： k 1 10, k 2 4, k 3 9 解：容易算得 在 1, 2 , 3下坐标可得 y 1 1 1 1 10 23 y 2 1 1 2 4 32 y 3 0 1 1 9 13 (3) 在基 1, 2 , 3下坐标为 10 10 1 10 1 A 1 4 11 14 15 9 11 09 6 在基 1, 2 , 3 下坐标为 23 10 1 23 10 A 1 32 11 1 32 4 13 11 0 13 9 0 02 三、（20 分）设 A 0 1 0 ，求 e At 。 1 03 2 , 3下坐标为 10, 4, 9 T 。 所以 在 1,
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素及另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 2322 21 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:
10-11(1)-10级-矩阵论试题与答案
参考答案 ‘1 0 0、 一(15 分〉、设 A= 0 3 1 , - b (1)求可逆矩阵P使得P'AP=J ,其中丿为A的Jordan标准形； (2)计算0； (3)求微分方程组斗卩=Ax(t), x(0) = 的解。 解：(1) |27-4| = (2-1)(2-2)2 ‘1 0(P 21 — A= 0 —1 -1 , rank(2/ — A) = 2, dim N(2/ — A) = 3 — 2 = 1 w 1 1 > 故A的Jordan标准形为 <1 、 J= 2 1 <1 、 记P = [a^a2,a3],由P~l AP = J = 2 1 得 1 2 丿 Aa x = a x T r 0、了 Aa2 = 2a2=> ?)=0 ,0 = J 1 ,巾= 0 Aa, =G2+ 2a30 、一 1丿 1 ‘1 0 0、 p =0 1 0 (不唯一)9P-}AP = J = 2 1 1 ° -1 b < J （2）根据
te 严=p e J,p-1 0 (T 2 、0 0、'e!0 0 0 1 0 e" te210 1 0 = 0 e"(l+f) te21 -1 1 / X e21 z 1 b 0 -te2'戶(1-?(3) x(t) = e At x(0) = e2t 二（15分人设 5 1 0、0 A = 1 2 1 ,b = 1 <0 1 1> kb （1）求A的满秩分解A = FG, （2）求A的广义逆矩阵?r： （3）求Ax=b的最小2—范数最小二乘解X”。 (2) fl 2 (3) x Ls. = A'b = — 2 9b r (1 o -n 1 2 '0 1 0 , <0 1> \ / FG（不唯一） 解：(1) A = 5
矩阵理论试题
矩阵理论2007年考试 一、判断题（40分）（对者打∨，错者打?） 1、设,n n A B C ?∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥> ，'''120n σσσ≥≥≥> ， 如果'(1,2,,)i i i n σσ>= ，则22||||||||A B ++>. ( ) 2、设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ) 3、设n n C A ?∈可逆，n n C B ?∈，若对算子范数有1||||||||1A B -?<，则B A +可逆. ( ∨ ) 4、设323121000a a A a a a a -?? ?=- ? ?-?? 为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵. ( ) 5、设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则P A 与A 有相同的奇异值. ( ) 6、设n n A C ?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( ) 7、如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则1||||min i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ) 8、0010140110620 118A ??????=?????? 至少有2个实特征值. ( ) 9、设,n n A C ?∈则矩阵范数m A ∞与向量的1-范数相容. ( ) 10、设n n A C ?∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( ) 二、计算与证明（60分） 1. (10分)设矩阵n n A C ?∈可逆, 矩阵范数||||?是n C 上的向量范数||||v ?诱导出的算子范数, 令()L x Ax =, 证明: ||||1 1||||1max ||()||||||||||min ||()||v v v x v y L x A A L y =-==?. 证明: 根据算子范数的定义, 有||||1max ||()||||||x L x A ==, 1 1100||||1||||10||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min ||||y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠=====,
