1.1正弦定理(优质课比赛)

《正弦定理》第一课时

尊敬的各位专家、评委、老师们：

大家好！

我是第号参赛选手，我今天说课的课题是：正弦定理

（选自人教A版新课程标准实验教材必修5第一章第一节第一课时）

这里我将从教学背景分析、教法学法分析两大块先谈谈我对本节课的教学认识，再以“教什么，怎么教，为什么这样教”的思路，来说明我的教学过程和设计，最后是教学评价。

首先是教学背景分析我分三小点来说明：

一、教学背景分析

1、教材分析

随着解三角形在实际测量和物理中的广泛使用，正弦定理作为解三角形最有力的工具之一，有着很高的学习价值，从知识上讲它又是函数知识和平面三角形知识的的交汇，是任意三角形边角关系准确量化的表示，通过本节课对定理的探索，无论在知识上，还是思想方法上对后续的学习都有重要的意义，因此我认为，本节课的重点是定理的发现和证明，及定理的简单运用。

2、学情分析

正弦定理是在学生已经学习三角形知识，解直角三角形、向量知识，三角函数等知识后对任意三角形边角关系的探索，学生有了一定的知识基础，但学生对知识的构建、论证能力还不强，探究过程中在思维上难免会受限，另外学生的合作交流意识、知识的运用能力还有待加强。因此我认为本节课的难点是定理的发现、证明及已知两边和一边对角时的解三角形。

根据上述教材、学情的分析，我制定如下教学目标：

3、教学目标

（1）知识和技能

引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；

简单运用正弦定理解三角形。

(2)过程和方法

通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法和能力；

通过对定理的证明和运用，培养学生独立解决问题的能力、体会分类讨论和数形结合的思想方法.

（3）情感态度价值观

通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识，体会数学的使用价值。

为了使学生能够达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析。（首先是教法分析）

二、教法学法分析

1、教法分析

根据教材的内容和编排的特点，本讲我将以“教师为主导，以学生为主体”，'采用“师生互动"为基础的“启发——探究式课堂教学模式”，用层层深入的话题将学生引入对定理的发现证明运用过程中，使教师始终站在学生思维和兴趣的最近发展区上，有效的组织教学。

突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的探究兴趣；另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师给以适当的提示和指导。 突破难点的方法：抓住学生的能力线，联系方法和技能使学生通过合作学习较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点。

2、学法分析

指导学生掌握“观察——猜想——实验——证明——运用”这一思维方法，采取个人思考、集体合作等解难释疑的尝试活动，将自己所学知识使用于对任意三角形边角关系的探究中。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

我的整个教学是由八个话题组成的话题链来驱动的，共分六个环节，分别是：

创设情境，兴趣导入

积极诱导，生成猜想

师生互动 论证猜想

定理解读，突出重点

强化理解，简单使用

课堂小结，深化认识

下面我来的说明我的教学过程

三．教学过程和设计

（一）创设情境，兴趣导入

话题一. 我们坐着羊皮筏子，看着潺潺流水，你知道家乡的河有多宽？羊皮筏从河这岸A 点漂到对岸的B 点有多远吗？你会测量吗?

【设计意图】 “一个好的开头，就是成功的一半！”，如果一节课导入设计的精彩，那就意味着整节课也不会差。把我们的学习任务用探讨漂距作为导入，这种来自学生身边的测量本身就是学生最感兴趣的。而“兴趣又是最好的老师”

话题二 老师用一个尺子和测角仪就能解决，你信吗？

【设计意图】 老师极速的把问题简单化，又一次激发了学生的求知欲，及理性的思考，并通过引导就构造出来三角形的模型，并且发现有些问题在直角三角形中直接解决不了的，进而顺利的进入本章探索的主题——任意三角形边角关系。且让学生感觉到数学来源于生活， 同时无意中也培养了学生的建模意识。激发了探究的兴趣。

:此时顺势告诉学生本章章题：《解三角形》——已知三角形的某些边和角，求其他的边

和角的过程。

话题三 解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对任意三角形的边和角的知识知道多少？能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？

学情预设:“大角对大边，大边对大角”即a ＞b ＞c ←→ A ＞B ＞C ，老师强调这属于定性的研究

【设计意图】 从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

（二）积极诱导，生成猜想

话题四 从定量的角度考察三角形中边和对角的关系，猜想可能存在哪些关系？

学情预设：此处，学生可能出现以下答案情形。如：

b c ==, sinA sinB sinC a b c ==tanA tanB tanC a b c ==,cosA cosB cosC a b c ==,A B C a

······等等。

【设计意图】猜想也是一种数学能力，培养学生的发散思维。

话题五 我们已经学习了锐角三角函数，不妨在直角三角形中看看？

教师点提，学生通过联系旧知很快写出

在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,090=∠C ， 根据锐角的正弦函数的定义，有

sin a A c =，sin b B c =，sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === ，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a

b

c

A B C ==。

话题六 这一关系式在任意三角形中是否成立呢？

【设计意图】 启发学生猜想。奥苏伯尔认为，意义学习就是将符号所代表的新知识和学习者认知结构中已有的适当观念建立起非人为的和实质的联系。在此环节上，我突破难点的方法是利用已学知识引导学生从熟悉的求直角三角形各角的正弦入手，鼓励、引导学生积极主动地思考，创造意义学习的条件。这个特例作为切入点，从特殊到一般的思维方式。也符合学生合的认知规律 可培养学生合情猜想 。

话题七 算算看，下列三角形的边和对角的正弦比相等吗？

?60?

30?

90?

45?45?90?60?

60?

60c c a b B A

A B C

这儿我给了几个特殊的三角形，先让学生动手计算结果，然后教师用“几何画板”演示

【设计意图】 简单的验证能引发全员的参和，并且通过验证猜想增强了信心，不断地使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性，另外，媒体的演示，直观的视觉思维增添了学习兴趣，增强了论证的信心

（三）师生互动，论证猜想

话题八 你会证明吗?

证明是本节课又一个重点,教师可根据学生的实际情况，做适当的提示，如：

直角三角形 已证

锐角三角形 成立？

钝角三角形 成立？

如何证明？

（1）可不可以采取转化的方法?

给学生足够的时间，就锐角、钝角三角形先后，自主探究，合作交流，有进展的同学

在投影仪上展示成果，并说明关键，给不会的同学给以启示，将课堂气氛推向高潮。 然后，指导学生写出在锐角三角形中严格的推理证明过程（在钝角三角形中的证明过程学生自主完成，交流订正），养成严谨治学的数学品质。

（2）你还想到别的证明方法了吗？

教师提示：“前面我们学习了平面向量，能否运用向量的方法证明呢？”（当然有的小组还可能得到其他证明方法，我认为在本堂上不做更深的探究，可根据学生发言的情况做适当提示留做课后探究）

（四）定理解读，突出重点

通过上面的证明，告诉学生这就是正弦定理

正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即

让学生口述定理内容，教师提示，学生总结 1.对称美 2.三个等式 3.两边对角知三求一 【设计意图】 享受成果，对正弦定理有一个属于自己的直观的认识

（五）强化理解、简单使用

1、小试牛刀

（1）、.你会解决羊皮筏的飘距问题吗？（回应导入，尝试使用，了解解法即可）

（2）、(教材例题1)⊿ABC 中，已知A=30o，B=75o，a=40cm ，解三角形(比较简单，由学生自己完成，属于两角一边，一解问题)

（3）、（教材例题2）在⊿ABC 中a=20cm ，b=28cm,A=30o，解三角形。（也由学生完成，属两边和其中一边对角，多解问题，是本节课的又一个难点，老师适时提醒即可）

2.强化练习

让全体同学限时完成教材4页练习第一题，找两位同学上黑板。

【设计意图】 有效的数学学习过程，不能单纯的模仿和记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此。让学生在解题过程中亲身经历和实践体验。

（ 六）、课堂小结，深化认识

1、课堂小结

: 请同学们谈谈学习本课的收获和感受

学情预设：

生1：原来我只会解直角三角形，现在我会解一般三角形了。

师：通过本课学习，你发现自己更强大了。

生2：原来我以为正弦定理的证明，只有书上一种方法，今天我们还可用别的方法证明。

师：我们学习过两个重要数学工具，即三角函数和平面向量，正弦定理的证明 充分展示了它们的妙用。

生3：公式很美。

师：美在哪里？

生3：体现了公式的对称美，和谐美······

教师总结：在同学们的热烈讨论的基础上，用课件展示小结：

1、在正弦定理的发现及其证明中，蕴涵了丰富的思想方法，既有由特殊到一般

sin sin a b A B =sin sin b c B C =sin sin a c A C =b c ==, sinA sinB sinC a

的归纳思想，又有严格的演绎推理。在定理证明中我们从直观几何角度、向量运算角度探求了数学工具的多样性。

2、正弦定理反映了边和其对角正弦成正比的规律,据此，可以用角的正弦替代对边，具有美学价值

3、利用正弦定理解决三类三角形问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。

（3）实现边和角的正弦的互化。

【设计意图】通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参和的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。

2、布置作业

（1）、必做题:课本P10习题1.1 1、2

（2 ）选作题：用向量法证明定理。

（3）、研究类作业

在△ABC中，

k

C

c

B

b

A

a

=

=

=

sin

sin

sin，研究k的几何意义

【设计意图】作业分为必做题、选做题和研究类作业，必做题对本节课学生知识水平的反馈，选做题是对本节课内容的补充，不同学生不同梯度的题，既尊重学生的个性差异，又有利于因材施教的教学原则的贯彻，课后研究作业，给学生探索空间指一方向，利于学生的发展。

1.1.1正弦定理

引入正弦定理例3

练习

正弦定理例1

的推导例2 小结、作业

中学生注意力，便于学生记忆、理解相关内容，也便于学生记录和课后复习。

四、教学评价

1、在这节课的教学中，我立足于“数学教学是数学活动的教学”这一基本理念，对教材进行了处理，设计了八个层层递进话题让学生亲身感受定理发现、证明过程和使用，采用实验验证、自主探究、合作交流的学习方式。

2、在设计正弦定理的发现及其证明两个环节中，蕴涵了丰富的数学思想方法，既有由特殊到一般的归纳思想，类比联想又有严格的演绎推理，定理的证明实质是：用垂直做媒介，将一般三角形化为直角三角形处理，既有化归思想，又有逻辑推理，符合学生的认知规律。几何画板的运用让学生形成体验性认知，有效地将现代教育技术手段和数学学科整合起来。

3、教学设计中注意了课程和实际生活的联系，注重了知识的发生过程，从实际问题出发，引入数学课题，最后把所学知识使用于实际问题，让学生经历提出问题、探索问题、解决问题和使用问题的过程。

以上是我对这节课的教学预设，具体的教学过程还要根据学生在课堂中的具体情况适当

调整。最后我以赫尔巴特的一句名言结束我的说课,发挥我们的创造性，力争“使教育过程成为一种艺术的事业”,使我们不聪明的孩子变得聪明，使聪明的孩子变得更聪明。

《正弦定理》第一课时

----说课稿

2012、5、9

高中物理《动量守恒定律(2)》优质课教案、教学设计

【教材分析】 前一节已涉及动量守恒定律在物理学史上是如何被提出来的，本节 则以一维情况下两个相互作用的小球为例，根据牛顿第二定律和牛顿第三定律，导出具体的动量守恒定律的表达式。这样的处理，使学生对动量守恒定律的理解更深刻，同时也使学生对知识间的联系有了更深入的理解。 【教学目标】 (1)能运用牛顿第二定律和牛顿第三定律分析碰撞，导出动量守恒的 表达式。 (2)了解动量守恒定律的普遍适用性和牛顿运动定律适用范围的局限 性。 (3)加深对动量守恒定律的理解，进一步练习用动量守恒定律解决生产、生活中的问题。 （4）知道求初、末动量不在一条直线上的动量变化的方法。 【教学重点】掌握动量守恒定律的推导、表达式、适用范围和守恒条件【教学难点】动量守恒定律的理解及守恒条件的判定

【教学思路】首先通过演示实验使学生了解系统相互作用过程中动量守恒，再使学生清楚地理解动量守恒定律的推导过程、守恒 条件及适用范围，即用实验法、推理法、归纳法、举例讲授法。 【教学器材】多媒体、碰撞试验装置。 【教学过程】 新课导入 前面已经学习了动量定理，下面再来研究两个发生相互作用的物体所组成的物体系统，在不受外力的情况下，二者发生相互作用前后各自的动量发生什么变化，整个物体系统的动量又将如何? 这就是我们今天要介绍的动量守恒定律。它是自然界中最重要最普遍的定律之一。 新课展示 一、动量守恒定律 1.实验探究： 学生分组实验，探究碰撞前后系统的动量关系 2.理论探究：

课件展示：光滑的水平桌面上做匀速运动的两个小球，质量分别为m1 和m2。沿同一直线向相同的方向运动，速度分别是v l 和v2，且v l> v2，(1)两个小球的总动量为多少?一段时间后碰撞，碰后的速度为v1’ 和v2’,(2)则碰撞后的总动量为多少?(3)碰撞前后的总动量p 和p’有什么关系? 引导学生合作探究： 碰撞之前总动量：p=p1＋p2 = m1 v l + m2 v2 碰撞之后总动量：p’=p1’+ p2’= m1 v1’+ m2 v2’ 根据牛顿第二定律，碰撞过程中两球的加速度分别是 a1=F1/m1 , a2= F2/m2 (1) 根据牛顿第三定律得F1=-F2 所以m1a1=-m2a2 (2) 又由加速度公式 a1= v1’- v l/t a2= v2’- v2/t (3) 由以上（1）（2）（3）得 m1 v l + m2 v2= m1 v1’+ m2 v2’即p= p’

111正弦定理第1课时

111正弦定理第1课时https://www.sodocs.net/doc/3d3540362.html,work Information Technology Company.2020YEAR

1.1.1 正弦定理（第1课时） 湖北省天门中学胡圣兵 一、教学设计 1、教学内容解析 本节课作为正弦定理的第一课时，主要包括章引言、正弦定理的发现、探索、证明和简单应用。正弦定理与初中学习的三角形的边角关系有着密切的联系，是解三角形的重要工具之一，既是三角函数知识的应用。又是初中解直角三角形内容的直接延伸，在日常生活、工业生产、天文、航海、航天、测量等领域中都有着广泛应用，对培养学生应用教学的意识起到重要作用。本节课让学生从已有的知识出发，通过探究得到正弦定理的内容，并能运用正弦定理解题。 根据以上分析，本节课的教学重点确定为：正弦定理的探索发现及其初步应用。 2、学生学情诊断 学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修四中又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这就为探索任意三角形的边角关系提供了基础。学生的困难在于如何将直角三角形中的正弦定理迁移到斜三角形中，特别是用向量的方法证明正弦定理的思路也是学生难以想到的。 根据以上分析，本节课的教学难点确定为：正弦定理的探索和证明。 3、教学目标设置

（1）知识与技能目标：掌握正弦定理的内容及证明；能初步应用正弦定理解题。 （2）过程与方法目标：使学生懂得认识事物有一个逐步深入的过程，对于三角形的边角关系从定性分析上升到定量分析；了解从特殊到一般的归纳方法以及分类讨论解决问题的方法。 （3）情感、态度和价值观目标：通过对正弦定理的探究发现的过程，培养学生的探索精神和创新意识；通过对正弦定理在各个领域中应用的了解，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，激发对数学的情感，培养学习数学的兴趣，不断提高自身的文化素质。4、教学策略分析 本节课将以学生熟悉的生活实例，创设问题情境，带领学生进入解三角形内容的学习，激起学生的求知欲；在正弦定理的探究过程中，采用从直角三角形出发，通过学生的合作交流，得到任意三角形中的结论，并让学生归纳整理，完成正弦定理的再创造过程，用向量的方法，几何的方法证明正弦定理，分层递进，逐步深入探究，让学生在不断的猜想与解决中体会合作的乐趣。从而熟悉正弦定理的内容，并能初步应用。在教学中采用多媒体辅助教学，使得信息技术与教学内容的整合过程完美自然，课堂容量大而不失层次。 教学流程：

§1.1 正弦定理导学案

§1.1 正弦定理导学案 一．学习目标： 1、熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用 2、探究三角形的面积公式,能根据条件判断三角形的形状,能根据条件判断某些三角形解的个数. 3、激情投入，高效学习，体验灵活运用公式的快乐。 二、学法指导 1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用； 2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数的有关公式，得出角的大小或边的关系。 三、问题导学： 阅读课本P45—P48面回答下面的问题 1、 在初中我们学习的直角三角形和等边三角形的边角之间存在这样的数量关系： sin sin a b A B = sin c C =，那么这个优美的关系式，对其他的三角形成立吗？ 2、 在课本中又是如何证明“正弦定理”的？你还有其他的证明方法吗？ 3、 “正弦定理”有什么作用？运用正弦定理能够解决什么样的三角形问题？ 4、 正弦定理的得到里面体现什么数学思想在其中呢？ 四、抽象概括 正弦定理:____________________________________________________________ ___________________________________________ 五、合作探究 例1 （1） 在三角形ABC 中，已知A= 45，B= 30,,2=a 解三角形； （2） 已知在三角形中，,105,8,7 ===A b a 求解三角形； （3） 已知在三角形中，,30,6,32 ===A b a 求解三角形； 思考： 1、 通过以上例题你的发现正弦定理适合解什么类型的三角形问题？ 2、 如何判断三角形的解的个数呢？ 例2 探究一 在直角三角形ABC 中，斜边AB 是三角形ABC 外接圆的直径（设直角三角形ABC 的外接圆的半径为R ），因此 sin sin a b A B = sin c C ==2R ，那么这个结论对任意的三角形能否成立呢？ 探究结果：正弦定理常用的变形公式 (1) __________________________________________________________ (2)___________________________________________________________ (3)_____________________________________________________________ (4)____________________________________________________________ (5)____________________________________________________________ 探究二 在直角三角形ABC 中，C=90 ，则三角形ABC 的面积S=C ab ab sin 21 21=，对于任 意的三角形ABC ，已知，则及C b a ,三角形ABC 的面积S=C ab ab sin 2 1 21=，这一结论 也是成立的，怎么证明呢？ 试一试： 如图在三角形ABC 中，).,(),,(v u AC y x AB ==→ → 试证明三角形ABC 的面积 yu xv S -=2 1

高中物理《反冲运动火箭1》优质课教案、教学设计

探究二、火箭思考探究：分钟） 交流展示教师和学生 ①介绍我国古代的火箭？②现代的火箭与古代火箭有什么相同和不同之处？ 一起分析、 ③现代火箭主要用途是什么？④现代火箭为什么要采用多级结构？ 教师：指导学生看书，对照书上“三级火箭”图，介绍火箭的基本构造和工作原理。 小结： 1.火箭：是指一种靠喷射高温高压燃气获得反作用力向前推进的飞行器。 2.原理：反冲运动，满足动量守恒定律。 当火箭推进剂燃烧时，从尾部喷出的气体具有很大的动量，根据动量守恒定律，火箭获得大小相等，方向相反的动量，因而发生连续的反冲现象，随着推进剂的消耗， 火箭的质量逐渐减小，加速度不断增大，当推进剂燃尽时，火箭即以获得的速度沿着预定的空间轨道飞行 3.用途：运载工具 现代火箭主要用来发射探测仪器、常规弹头或核弹头，人造卫星或宇宙飞船，即利 用火箭作为运载工具。 思考与讨论：设火箭在Δt 时间内喷射燃气的质量是Δm，喷出燃气的速度是u，喷 出燃气后火箭的质量是m。设法算火箭在一次喷气后增加的速度Δv。 （忽略阻力和重力的影响） 火箭所获得的速度与哪些因素有关? 4.多级火箭 提高火箭速度的解决办法：要提高喷气速度，就要使用高质量的 燃料，目前常用的液体燃料是液氢，用液氧做氧化剂。目前的技术条 件下，要发射人造卫星，用一级火箭还不能达到所需的速度，必须用 多级火箭。 【例2】一火箭喷气发动机每次喷出m＝200 g 的气体，喷出的气体相对地面的速度v＝1 000 m/s。设此火箭初始质量M＝300 kg，发动机每秒喷气20 次，在不考虑地球引力及空气阻力的情况下：（1）当第三次气体喷出后，火箭的速度多大？ （2）火箭发动机1 s 末的速度是多大？归纳 规范解答思考回答 规范解答并板演 形成自己的思路 思考回答

优质课教学设计：正弦定理

正玄定理

一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余 弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用， 更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可 转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的 基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，自然生成疑问，激发学生探究欲望，从熟悉的解直 角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，实现知识的螺旋式上升，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点， 首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明，得到正弦定理， 以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归的数学思想；第三，解决引例，首尾呼应，并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历 史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗 透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次：探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来，到实际中去。 课堂上，引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是：“在本章中，学生将在已有知 识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的 数量关系，并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为：

高中数学《正弦定理》公开课优秀教学设计

2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 2016年10月 正弦定理 第一课时

一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，自然生成疑问，激发学生探究欲望，从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，实现知识的螺旋式上升，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点，首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明，得到正弦定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归的数学思想；第三，解决引例，首尾呼应，并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次：探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来，到实际中去。课堂上，引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是：“在本章中，学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系，并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为： 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理；

正弦定理导学案人教版

课题： 正弦定理 （新课） 学科： 数学 年级： 高2015级 主备人： 彭江龙 学习目标： 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 自主学习 1、三角形的内角和C B A ++= 。 2、三角形的三边之间的关系： 。 3、三角形的边、角之间的关系： 。 4、ABC ?的基本元素： 。 5、由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ ________________________________________ 6、在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -________ （一）课题导入 如图，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动. A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大.能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 引出课题———正弦定理 《设计意图》：激发学生学习兴趣，引导学生思考，为后续学习做好铺垫。 （二）探索研究：在三角形，如果已知角A ，所对的边BC 长为a ，角B 所对的边AC 长为b ，角C 所对的边AB 长为c ，研究角A 、B 、C 与边a 、b 、c 之间的关系 首先我们研究特殊的三角形————直角三角形 如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 老师：要建立角与边之间了连线，就目前而言？可通过什么建立？ 生：正弦、余弦、正切函数定义。 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又 sin 1c C c ==, 则 sin sin sin a b c c A B C = = = 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C = = 1页 得分： 等级 备课组长审核签字： 得分： 等级 中层领导审核签字： 得分： 等级 校级领导审核签字： B C

高中数学必修5第一章1.1第1课时正弦定理

第1课时 正弦定理 A 级 基础巩固 一、选择题 1．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，则B ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：由2B ＝A ＋C ?3B ＝A ＋B ＋C ＝180°，即B ＝60°. 答案：C 2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32 解析：利用正弦定理解三角形． 在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ， 所以AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×223 2 ＝2 3. 答案：B 3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 解析：利用正弦定理：a sin A ＝b sin B ，1532 ＝10sin B ，所以sin B ＝33 ，因为大边对大角(三角形中)，所以B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2 B

＝63 . 答案：D 4．在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．a ＝b ?sin 2A ＝sin 2B C.a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C D ．正弦值较大的角所对的边也较大 解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确． 当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误． 根据比例式的性质易得C 正确． 大边对大角，故D 正确． 答案：B 5．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 解析：由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝2R ， 由a ＝b sin A 得： 2R sin A ＝2R sin B ·sin A ，

1.1.1正弦定理导学案(必修五)

§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 一、课前准备 试验：固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．（简：大角对大边）能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C ==． 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =， 同理可得sin sin c b C B =，从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . s i n s i n a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．

1.1正弦定理(优质课比赛)

《正弦定理》第一课时 尊敬的各位专家、评委、老师们： 大家好！ 我是第号参赛选手，我今天说课的课题是：正弦定理 （选自人教A版新课程标准实验教材必修5第一章第一节第一课时） 这里我将从教学背景分析、教法学法分析两大块先谈谈我对本节课的教学认识，再以“教什么，怎么教，为什么这样教”的思路，来说明我的教学过程和设计，最后是教学评价。 首先是教学背景分析我分三小点来说明： 一、教学背景分析 1、教材分析 随着解三角形在实际测量和物理中的广泛使用，正弦定理作为解三角形最有力的工具之一，有着很高的学习价值，从知识上讲它又是函数知识和平面三角形知识的的交汇，是任意三角形边角关系准确量化的表示，通过本节课对定理的探索，无论在知识上，还是思想方法上对后续的学习都有重要的意义，因此我认为，本节课的重点是定理的发现和证明，及定理的简单运用。 2、学情分析 正弦定理是在学生已经学习三角形知识，解直角三角形、向量知识，三角函数等知识后对任意三角形边角关系的探索，学生有了一定的知识基础，但学生对知识的构建、论证能力还不强，探究过程中在思维上难免会受限，另外学生的合作交流意识、知识的运用能力还有待加强。因此我认为本节课的难点是定理的发现、证明及已知两边和一边对角时的解三角形。 根据上述教材、学情的分析，我制定如下教学目标： 3、教学目标 （1）知识和技能 引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法； 简单运用正弦定理解三角形。 (2)过程和方法 通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法和能力； 通过对定理的证明和运用，培养学生独立解决问题的能力、体会分类讨论和数形结合的思想方法. （3）情感态度价值观 通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识，体会数学的使用价值。 为了使学生能够达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析。（首先是教法分析） 二、教法学法分析 1、教法分析 根据教材的内容和编排的特点，本讲我将以“教师为主导，以学生为主体”，'采用“师生互动"为基础的“启发——探究式课堂教学模式”，用层层深入的话题将学生引入对定理的发现证明运用过程中，使教师始终站在学生思维和兴趣的最近发展区上，有效的组织教学。

2016年全国高中数学优质课：1.1正弦定理教学设计(人教A版必修5)

正 弦 定理教 学 设 计

《正弦定理》教学设计 一、教学内容分析 本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教 A 版必修 5 第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用， 更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时更是处理可 转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的 基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，形成疑问，激发学生探究欲望，提出斜三角形的边 角关系的猜想；第二，带着疑问，对猜想进行验证，首先对特殊的斜三角形边角关系进行验 证和实验探究验证，其次是严密的数学推导证明；第三，得到正弦定理，解决引例，首尾呼 应，并学以致用，简单应用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化，从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗 透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次，探索——发现——证明，从实际中来，到实际中去。通过课堂，体会直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证、实际应用的学习过程。 二、教学目标设置 1、从已有三角形知识出发，通过观察、实验、猜想、验证、证明，从特殊到一般得到 正弦定理，掌握正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法，并学会应用正弦定理解决斜三角 形的两类基本问题； 2、通过对实际问题的探索，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能 力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养学生的缜密思维；

正弦定理导学案(1)

第1章 解三角形 【知识结构】 正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→? ?? 【重点难点】 重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 难点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 1.1 正弦定理 第1课时 【学习导航】 知识网络 直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理 学习要求 1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法； 2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相 关问题 3.利用正弦定理判断解的情况（画图） 【课堂互动】 自学评价 1．正弦定理：在△ABC 中，===C c B b A a sin sin sin ______, 2．正弦定理可解决两类问题： （1）________________________________（解的情况唯一吗）； （2）_________________________________（解的情况唯一吗） 【精典范例】 【例1】在ABC ?中，30A =?，105C =?，10a =，求b ，c ． 分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边的解三角形问题，直接运用定理。 【解】

【例2】根据下列条件解三角形（难点）： （1）60,1b B c ==?=； （2）45,2c A a ==?=． 分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角的解三角形问题。 技巧理解：注重分析解的情况，经常使用大边对大角。 如果解的情况不唯一，分类讨论即可。 【例3】根据下列条件，判断ABC ?有没有解？有解，解的个数？（画图判断） 分析：本题的知识点理解即可 （1）5a =，4b =，120A =?，求B ； （2）5a =，4b =，90A =?，求B ； （3）a =b =45A =?，求B ； （4）a =b =45A =?，求B ； （5）4a =，3b = ，60A =?，求B ． 追踪训练： 1．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin = B ，则A sin = （ ） A 43 B 61 C 21 D 1 2．在△ABC 中， （1）已知075=A ，045=B ，23=c ，解三角形 （2）13=b ，26=a ，030=B ，解三角形 3.在ABC ?中，已知8b c +=，30B ∠=?，45C ∠=?，则b = ，c = ．

正弦定理第一课时(教学设计)

《正弦定理》

§2.1《正弦定理》——第一课时（教学设计） 一、教学目标 1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探究，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。使学生进一步体会数形结合的思想；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。 3、情感、态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 二、教学重点和难点 重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用 难点：正弦定理的实际应用 三、教学方法：问题牵引、启发引导、合作探究 四、教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程 本节的教学过程由以下几个环节构成：

六、教学设计 1.正弦定理的建构 （1）创设情境—感知定理 ①视频情境 播放今年第12号台风海葵给我国吴山带来的伤害，让学生再一次感受大自然力量的强大，引 导学生如何利用科学知识预防自然灾难，引出本节课的内容——正弦定理。 设计意图: 由实际生活入手，让学生感受数学来源于生活，同时又服务于生活。 （2）观察证明—形成定理 ① 通过特殊三角形的研究，观察它的角和边之间的关系，猜想它们之间的联系。 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又=sin 1C , A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = (图1．1) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 方法一、利用三角形的高证明正弦定理 Ⅰ、当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有 =sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B =，同理可得 sin sin c b C B =， 故有 sin sin a b A B =sin c C =.从而这个结论在锐角三角形中成立. Ⅱ、当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点 D ，根据锐角三角函数 的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ， 同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由Ⅰ、Ⅱ可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换。 ② 思考： 问题：您能用其他方法证明这一关系吗？ 方法二、向量法证明正弦定理 如图，以A 为原点，以射线AB 的方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，C 点在y 轴上的射影为c '。 A B C D b a a b D A B C

正弦定理教案公开课

第 1 课时： §1.1 正弦定理（1） 民和高级中学 刘永宏 【三维目标】 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2. 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1. 在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力和处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】 重点：正弦定理的证明和应用 难点：1向量知识在证明正弦定理时的应用； 2 正弦定理在解三角形时的应用思路. 【教学教法的选择】 以问题驱动、层层铺垫，运用“发现—探究”教学模式。 【学法与教学用具】学法指导：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别 利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、直尺、 【授课类型】新授课 【课时安排】1课时 【教学设计】 教学流程及过程 学生活动 设计意图 一. 复习引入、发现问题 问题1、 在Rt △ABC,C 为直角,那么边角之间有哪些关系? sinA=c a ,sinB=c b ,sinC=c c =1,…… 即c=A a sin ,c=B b sin ,c=C c sin ． ∴A a sin =B b sin =C c sin 引导学生发现问题

最新正弦定理导学案

§1.1.1 正弦定理(一)导学案 学习目标: 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容 及其证明方法； 2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题； 3、通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力， 培养学生用数学的方法解决实际问题的能力，激发学生对数学学习的 热情。 教学重点:正弦定理的证明及基本运用。 教学难点:正弦定理的探索和证明及灵活应用。 一、预习案: “我学习，我主动，我参与，我收获！” 1、预习教材P45---48 2、基础知识梳理： (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的_______________的比相 等，即在ABC ?中,___________=__________=____________=2R. ， (其中2R 为外接圆直径) （2）由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===可以得到哪些变形公式？

（3）三角形常用面积公式： 对于任意ABC ?，若a ，b ，c 为三角形的三边，且A,B,C 为三 边的对角，则三角形的面积为： ①1_____(2ABC a a S h h ?=表示a 边上的高）. ②11sin sin ____________22 ABC S ab C ac B ?===. 3、预习自测： （1）有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于直角三角形； ③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值； ④在ABC ?中，sin :sin :sin ::A B C a b c =。 其中正确的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 （2）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ． a sin A = b sin B B . a cos A = b cos B C . a sin B = b sin A D . a cos B = b cos A （3）在ABC ?中,sin sin A C =,则ABC ?是（ ） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、锐角三角形 D 、钝角三角形 (4) 在ABC ?中，三个内角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 A:B:C=1:2:3,则a ：b ：c=_____________________. 我的疑惑:__________________________________________ 二、探究案: “我探究，我分析，我思考，我提高！”

正弦定理第一课时(教学设计新部编版)

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

《正弦定理》 安徽省濉溪二中吕家强2012年9月19日

§2.1《正弦定理》——第一课时（教学设计） 一、教学目标 1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探究，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。使学生进一步体会数形结合的思想；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。 3、情感、态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 二、教学重点和难点 重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用 难点：正弦定理的实际应用 三、教学方法：问题牵引、启发引导、合作探究 四、教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程 本节的教学过程由以下几个环节构成：

六、教学设计 1.正弦定理的建构 （1）创设情境—感知定理 ①视频情境 播放今年第12号台风海葵给我国吴山带来的伤害，让学生再一次感受大自然力量 的强大，引导学生如何利用科学知识预防自然灾难，引出本节课的内容——正弦定理。 设计意图: 由实际生活入手，让学生感受数学来源于生活，同时又服务于生活。 （2）观察证明—形成定理 ① 通过特殊三角形的研究，观察它的角和边之间的关系，猜想它们之间的联系。 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又=sin 1C , A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 方法一、利用三角形的高证明正弦定理 Ⅰ、当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有 =sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B =， 同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. Ⅱ、当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ， 同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由Ⅰ、Ⅱ可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. （约需2 A B C D b a a b D A B C

1正弦定理导学案

姓名： 教学过程 一、引入新课 1．如右图，ABC Rt ?中的边角关系： =A sin ______ _______； =B sin ______________； =C sin _________ ___； 边=c _________=_________=_________． 2．任意ABC ?中的边角关系是否也可以如此？如何证明？ 3．正弦定理（内容）： 4．练习： （1）在ABC ?中，已知14=a ，7=b ，?=30B ，则=A _________； （2）在ABC ?中，已知6= a ，?=45A ，?=75B ，则=c _________； （3）一个三角形的两个内角分别为?30和?45，如果?45角所对的边长为8，那么?30角所对的边长是_________； 二、典例赏析 例1 尝试用其他方法证明正弦定理． C A B b c a

例2 在ABC ?中，?=30A ，?=135C ，10=a ，求b ，c ． 例3 根据下列条件解三角形： （1）26=a ，326=b ，?=30A ； （2）26=a ，13=b ，?=30A ． 归纳小结： 利用正弦定理解以下两类斜三角形： （1）已知两角与任一边,求其他 和 ； （2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的 （从而进一步求出其他的 和 ）． 仿照正弦定理的证法一，证明C ab S ABC sin 2 1= ?，并运用此结论解决下面问题： （1）在ABC ?中，已知2=a ，3=b ，?=150C ，求ABC S ?； （2）在ABC ?中，已知10=c ，?=45A ，?=30C ，求b 和ABC S ?； 三、针对训练： 1．在ABC ?中， （1）已知?=75A ，?=45B ，23=c ，求a ，b ； （2）已知?=30A ，?=120B ，12=b ，求a ，c ． 2．根据下列条件解三角形： （1）40=b ，20=c ，?=45C ； （2）67=b ，14=a ，?=60B ． 例4

高中数学 第一章 第1课时—— 正弦定理(1)学案(教师版) 苏教版必修5

听课随笔 第1章 解三角形 【知识结构】 正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→? ?? 【重点难点】 重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 难点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 1.1 正弦定理 第1课时 【学习导航】 知识网络 直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理 学习要求 1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法； 2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两 角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题 【课堂互动】 自学评价 1．正弦定理：在△ABC 中， ===C c B b A a sin sin sin ______, 2．正弦定理可解决两类问题： （1）________________________________； （2）_________________________________ ________________________________ 【精典范例】 【例1】在ABC ?中，30A =?，105C =?，10a =，求b ，c ． 分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 【解】 【例2】根据下列条件解三角形： （1 ）60,1b B c ==?=； （2 ）45,2c A a ==?=． 分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 【解】 追踪训练一 1．在△ABC 中， 0105=C ，045=B ，5=c ，则b 的值为（ ） A )13(5- B )13(5+ C 10 D )26(5+ 2．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ， 3 2 sin = B ，则A sin = （ ）