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2018年全国初中数学竞赛试题及解答

一、选择题（只有一个结论正确）

1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（）

（A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。

2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（b

3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。

（A ）甲比乙大5岁；（B ）甲比乙大10岁；

（C ）乙比甲大10岁；（D ）乙比甲大5岁。

4、一个一次函数图象与直线59544

x +平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（）。

（A ）4个；（B ）5个；（C ）6个；（D ）7个。

5、设a,b,c 分别是△ABC 的三边的长，且a a b b a b c

+=++，则它的内角∠A、∠B 的关系是（）。

（A ）∠B＞2∠A；（B ）∠B＝2∠A；（C ）∠B＜2∠A；（D ）不确定。

6、已知△ABC 的三边长分别为a,b,c ，面积为S ，△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1,b 1,c 1，面积为S 1，且a>a 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（）。

（A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。

二、填空题

7、已知: a 23

331a a a ++＝________。

8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝

∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。

9、已知关于的方程 (a-1)x 2

+2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。

11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y=1

x+b恰好

将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝________。

12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________。

13、设m是不小于-1的实数，使得关于的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等的实

14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，

AB，且BD＝ABCD的面积。

15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）

解答

1.答：（B ）。 ∵M＝3a b c ++，N ＝2

a b +，P ＝222N c a b c +++=，M －P ＝212a b c +-， ∵a b c >>， ∴212a b c +-＞212

c c c +-，即M －P ＞0，即M ＞P 。 2. 答：（C ）。

因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。 3. 答：（A ）。由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。

4. 答：（B ）。

在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x ＝－1＋4N ，y ＝－25＋5N ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足－1＋4N ＞0，且－25＋5N≤0， ∴14

≤N≤5，即N ＝1，2，3，4，5。 5. 答：（B ）。由a a b b a b c +=++得a b b a c

=+，延长CB 至D ，使BD ＝AB ，于是CD ＝a+c ，在△ABC 与△DAC 中，∠C 为公共角，且BC:AC ＝AC:DC ，

∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，

∵∠BAD＝∠D，

∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。

6. 答：（D ）。

分别构造△ABC 与△A 1B 1C 1如下：

①作△ABC∽△A 1B 1C 1，显然2111s a s a ??=> ???

，即S ＞S 1；

②设a=b=，则1c h =，S ＝10，a 1=b 1=c 1=10，则S 1×100＞10，即S ＜S 1；

③设，则1c h =，S ＝10，a 1=b 1 c 1=10，则2c h =，S 1＝10，即S ＝S 1；因此，S 与S 1的大小关系不确定。 7. 答：1。

∵1)211a =-=，即

11a

。 ∴23331a a a ++=23331a a a ++

=3332333311111111211a a a a a a a ++++????-=-=+-=-=-= ? ?????.

8. 答：66＋

作AE 、BF 垂直于DC ，垂足分别为E 、F ，由BC ＝AE ＝BF ＝FC

＝6。由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，因为AE ＝6得DE ＝AB ＝EF ＝8，DC ＝

8＋6＝14＋1(8146662

ABCD S =++?=+梯形 9. 答：5。

①当a=1时，x=1；

②当1a ≠时，易知x=1是方程的一个整数根，再由211x a

+=-且x 是整数，知11,2a -=±±，∴a=-1,0,2,3；

由①、②得符合条件的整数a 有5个。

10. 答：2.4米。

作PQ⊥BD 于Q ，设BQ ＝x 米，QD ＝y 米，PQ ＝h 米，由AB∥PQ∥CD，得4h y x y =+及6h x x y =+，两式相加得5112

h =，由此得h=2.4米。即点P 离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，AB 、CD 之间相距多远，与题目结论无关。）

11. 答：12。

直线y=1

x 通过点D （15，5），故BD ＝1。当b=12时，直线1132y x =+通过110,,15,522???? ? ????

?两点，则它恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分。

12. 答：17％。设原进价为x 元，销售价为y 元，那么按原进价销售的利润率为y x x

-×100％，原进价降低6.4％后，在销售时的利润率为93.6%93.6%y x x -×100％，依题意得： y x x

-×100％＋8％＝93.6%93.6%y x x -×100％，解得y ＝1.17x ，故这种商品原来的利润率为1.17x x x

-×100％＝17％。 13. 解：因为方程有两个不相等的实数根，所以?=4(m-2)2-4(m 2-3m+3)=-4m+4>0 ∴m<1。根据题设，有11m -≤<。

（1）因为222222121212()24(2)2(33)21010x x x x x x m m m m m +=+-=---+=-+

∴221010m m -+

由于11m -≤<，故

。（2）22121211mx mx x x +--=22221221121212211212(1)(1)()(1)(1)1

m x x x x m x x x x x x x x x x x x ????-+-+-+????=----+ =223222(21010)(33)(2882)(33)(24)1m m m m m m m m m m m m m m

??-++-+-+-??=-++-+- =222(1)(31)2(31)(1)

m m m m m m m m --+=-+- 设y=2

2352(31)222y m m m ??=-+=-- ???,(11m -≤<) Y 在11m -≤<上是递减的，所以当m=-1时，y 取最大值10。故221212

11mx mx x x +--的最大值为10。 14. 解：由题设得AB 2＝2AE 2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB ，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，

∴∠ABE＝∠ACB，从而AB ＝AD 。连结AD ，交BD 于H ，则BH ＝HD

=1，AH ＝OA －OH ＝2－1＝1。

∴11122

ABD S BD AH ?==?是AC 的中点，∴ABE BCE S S ??=， ADE DCE

S S ??=，∴ADB DCB S S ??=，∴2ADB ABCD S S ?==四边形

15. 解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。

对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，s

今设电梯停在第x层，在第一层有y人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：S=3[1+2+…+(33-x)]+3(1+2+…+y)+[1+2+…+(x-y-1-1)]

=3(33)(34)3(1)(2)(1) 222

x x y y x y x y

?--+----

=2x2-xy-102x+2y2+3y+1684=2x2-(y+102)x+2y2+3y+1684

所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分。

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. .

2018年全国高中数学联合竞赛(A卷)

2018年全国高中数学联赛竞赛一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。 1.设集合{1,2,3,99}A =…，{2|},{|2}B x x A C x x A =∈=∈，则B C I 的元素个数为______. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30?且不大于60?，则这样的点Q 所构成的区域的面积为______. 3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为______. 4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是12F F 、，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P 。已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F ?的面积为______. 5.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ππ==，则不等式组121()2x f x ≤≤??≤≤? 的解集为______. 6.设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______. 7.设O 为ABC ?的外心，若2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则sin BAC ∠的值为______. 8.设整数数列1210,,,a a a …满足1012853,2a a a a a =+=，且 1{1,2},1,2,,9i i i a a a i +∈++=…，则这样的数列的个数为______。二、解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本题满分16分）已知定义在R + 上的函数()f x 为 3|log 1|,09,()49x x f x x -<≤??=?->?? 设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，求abc 的取值范围。 10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a …满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a -=，其中n S 表示数列的前n 项和。证明： 1）对任意正整数n ，有n a < 2）对任意正整数n ，有11n n a a +<。 11.在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线2 4y x =的过点(1,0)F 的弦，AOB ?的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）。若PF 平分APB ∠，求||PF 的所有可能值。加试（A 卷）一、（本题满分40分）设n 是正整数，1212,,,,,,,n n a a a b b b ?…，,A B 均为正实数，满足 ,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤=…，且 1212n n b b b B a a a A ≤……。二、（本题满分40分）如图，ABC ?为锐角三角形，AB AC <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为 ABC ?的外接圆?BAC 和?BC 的中点，F 为ABC ?的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足NB AB ⊥。证明：若BN EM =，则DF FG ⊥。（答题时请将图画在答卷纸上）

2019年全国初中数学竞赛试题及答案

１全国初中数学竞赛试题及答案考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab c ca b bc a 2 22++的值为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=，所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（）（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ，即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ，所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上，也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（）（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。

2018年全国高中数学联合竞赛(B卷)

2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形；（2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形；共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α

2018年上海市高三数学竞赛试题

2018年上海市高三数学竞赛试题时间：2小时，满分：120分姓名一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x = ． 3．已知椭圆2222 1(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ?面积的最大值为． 4．设集合111111{,,,,,}2711131532A =的非空子集为1263 ,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i =（单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++= ． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -= ． 7．在三棱锥P ABC -中，已知3,1,2AB AC PB PC ====则22ABC PBC S S ??+的取值范围是． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为2 1(,)4k k k A a a ，半径为2 1 (1,2,,2018)4k a k =，这里12201812018a a a >>>=，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k =，则1 a = ．

2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题参考答案

2018年六年级数学竞赛试题及答案

2018年度六年级数学才艺展示题一、填空：（前7题每题5分，后3题每题6分，共53分） 1、如果x ÷y=z （x 、y 、z 均为整数，且y 不等于0），那么x 和y 的最大公因数是（ y ），最小公倍数是（ x ）。 2、已知x+20142013=y+20132012=z+2015 2014，( z )＜( x ) ＜( y ) 3、☆、○、◎各代表一个数，已知:☆+◎=46, ☆+○=91, ○+◎=63 , ☆=(37 ),○=( 54 )◎= （ 9 ）。 4、学校买来历史、文艺、科普三种图书各若干本，每个学生从中任意借两本。那么，至少（ 7 ）个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。 5、李伟和王刚两人大学毕业后合伙创业，李伟出资1.6万元，王刚出资1.2万元，一年后盈利 1.4万，如果按照出资多少来分配利润，李伟分得（ 8000 ）元，王刚分得（ 6000 ）元。 6、某商场由于节日效应一月份的营业额是150万元，二月份的营业额延续节日需求，比一月份增长了10%，三月份和一月份相比增长率为－9%，一季度营业额（ 451.5 ）万元。 7、庆“六一”，学校决定进行现场绘画比赛吗，按照如下摆放桌子和椅子，如果每个椅子坐一位同学，1张桌子可以坐6人，2张桌子可以10人，……，n 张桌子可以做（ 4n+2 ）人。如果像这样摆20张桌子，最多可以坐（ 82 ）人。 8、数学小组的同学在一次数学比赛中成绩统计如左下图。如果得优良和及格的同学都算达标。达标同学的平均成绩是80分，而全体同学的平均成绩是70分，则不及格同学的平均成绩（ 40 ）分。 9、如右上图，已知长方形的面积是282cm ,阴影部分的面积（9.44 2cm ）。 10、“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。其中年龄最大的老人今年（ 90 ）岁。二、用自己喜欢的方法计算：（每题5分，共15分） 1、0.78×7－ 5039＋4×5039 2、12.5×8÷12.5×8 （75 4）（64）

2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品

2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为_____8 、已知等差数列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.

2018年七年级数学竞赛

七年级“希望杯”竞赛试卷 (考试时间90分钟，满分100分) 一、选择题(每小题只有一个正确选项，每小题3分，共10题，总共30分) 1．x 是任意有理数，则2x x + 的值( ). A ．大于零 B ．不大于零 C ．小于零 D ．不小于零 2.某超市为了促销，先将彩电按原价提高了40%，然后在广告中写上“××节大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电的原价为（） A. 2150元 B.2200元 C.2250元 D. 2300元 3.设0a b c ++=，abc ＞0，则 b c c a a b a b c +++ ++的值是（） A ． 3- B. 1 C. 31-或 D. 31-或 4.把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图（1）所示的立方体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为（）． A ．21 B.24 C.33 D.37 5.某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。如果每只老虎每天吃肉 4.5千克，每只狮子每天吃肉3.5千克，那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉（） A. 625千克 B. 725千克 C.825千克 D.9 25千克 6.假设有2016名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1…… 的规律报数，那么第2010名学生所报的数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 7.设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，a ，b ，c 三个数的和为（） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、不存在 8. 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有 ………………（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 9. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米=0.000000001米=10-9米，则0.5纳米用科学记数法表示为（） A 、0.5×10-9米 B 、5×10-8米 C 、5×10-9米 D 、5×10-10米 10、已知a 、b 都是正整数,那么以a 、b 和8为边组成的三角形有（） A 3个 B 4个 C 5个 D 无数个二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算： 2016 20151 431321211?++?+?+? = 。 12.平时我们常说的“刹那间……”，在梵文书《僧袛律》里有这样一段文字：“一刹那者为一念，二十念为一瞬，二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预，二十罗预为一须臾，一日一夜（24小时）有三十须臾。”那么，一刹那．．．是秒。 13. 当ｘ＝﹣2时，37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，3 7ax bx +-的值是。 14.对于任意有理数a b c d 、、、，我们规定a c b ad bc d =-，如果21x - 281≤-，那么x 的取值范围是。 15.m 为正整数，已知二元一次方程组210 320 mx y x y +=?? -=?有整数解，即x 、y 均为整数，则 2________m =。 16. 如图（3），已知AB ∥CD ，且0 40,70B D ∠=∠=，那么 ____________DEB ∠=。（1） A B C D E （3）

2018年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)

2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。 1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 5、设βα,满足3)3tan(-=+ πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ?的面积为为 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组???≤≤≤≤1 )(010x f x 的解集为 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则1 33221z z z z z z ++的实部是（用含有r 的式子表示）

二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9、（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：71=a ， 21+=+n n n a a a ， ,3,2,1=n ，求满足20184>n a 的最小正整数n 。 10、（本题满分20分）已知定义在+R 上的函数)(x f 为???--=x x x f 41log )(39,90,>≤>b a ）的左、右顶点与上、下顶点．设Q P ,是椭圆上且位于第一象限的两点，满足AP OQ //，M 是线段AP 的中点，射线OM 与椭圆交于点R . 证明：线段BC OR OQ ,,能构成一个直角三角形。

2018年全国初中数学竞赛试题及解答

2018年全国初中数学竞赛试题及解答一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（）（A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（b a 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（）。（A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++＝________。 8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝ ∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。

2018年安徽数学竞赛(初赛)试题及答案word版

2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30）注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； 3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简） 1. 设三个复数l,i,z 在复平面上对应的三点共线，且|z |=5，则z =____． 2. 设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n =____． 3. 函数f (x )=|sin(2x)+sin(3x )+sin(4x )|的最小正周期=____． 4. 设点P ,Q 分别在函数y =2x 和y =log 2x 的图象上，则|PQ |的最小值=____． 5. 从l,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤l 的概率=____ 6. 在边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=____． 7. 设H 是△ABC 的垂心，且3HA +4HB +5HC =0，则cos ∠AHB =____． 8. 把l,2,…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是l,2,…,n. 例如：T 3=.设2018在T 100的第i 行第j 列，则(i ,j )= ．二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分） 9. 如图所示，设ABCD 是矩形，点E ,F 分别是线段AD ,BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D ,H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称．求证：∠HAB =3∠GAB ． A B C D E F G H l

2018-2019年六年级数学竞赛试卷

沙滩小学2018-2019学年度第一学期六年级数学竞赛试卷年级姓名分数等级一、填空（共20分，第1题4分，其他每空2分） 1、（）∶（）= 40 ( ) =80%=（）÷40 2、（）吨是30吨的1 3 ，50米比40米多（）%。 3、某班学生人数在40人到50人之间，男生人数和女生人数的比是5∶6，这个班有男生（）人，女生（）人。 4、用一根长12.56米的绳子围成一个圆，这个圆的直径是（），面积是（）。 5、小红15 小时行3 8 千米，她每小时行（）千米，行1千米要用（）小时。二、判断（10分，正确的打“√”，错误的打“×” ） 1、7米的18 与8米的1 7 一样长。（） 2、周长相等的两个圆，它们的面积也一定相等。（） 3、 1 100 和1%都是分母为100的分数，它们表示的意义完全相同。（） 4、5千克盐溶解在100千克水中，盐水的含盐率是5%。（） 5、比的前项增加10%，要使比值不变，后项应乘1.1。（）三、选择（10分，把正确答案的序号填在括号里） 1、若a 是非零自然数，下列算式中的计算结果最大的是（）。 A. a × 58 B. a ÷ 58 C. a ÷ 32 D. 3 2 ÷a 2、一根绳子剪成两段，第一段长37 米，第二段占全长的3 7 ，两段相比（）。 A. 第一段长 B. 第二段长 C. 一样长 D. 无法确定 3、林场去年种植了10000棵树苗，年底抽查了其中的1000棵，死亡率是2%。你预计一下，林场种植的这批树苗的成活率是（）。A.20% B.80% C.2% D.98%

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2018年度六年级数学才艺展示题一、填空：（前7题每题5分，后3题每题6分，共53分） 1、如果x ÷y=z （x 、y 、z 均为整数，且y 不等于0），那么x 和y 的最大公因数是（ y ），最小公倍数是（ x ）。 2、已知x+=y+=z+，( z )＜( x ) ＜( y )20142013201320122015 20143、☆、○、◎各代表一个数，已知:☆+◎=46, ☆+○=91, ○+◎=63 , ☆=(37 ),○=( 54 )◎= （ 9 ）。 4、学校买来历史、文艺、科普三种图书各若干本，每个学生从中任意借两本。那么，至少（ 7 ）个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。 5、李伟和王刚两人大学毕业后合伙创业，李伟出资1.6万元，王刚出资1.2万元，一年后盈利1.4万，如果按照出资多少来分配利润，李伟分得（ 8000 ）元，王刚分得（ 6000 ）元。 6、某商场由于节日效应一月份的营业额是150万元，二月份的营业额延续节日需求，比一月份增长了10%，三月份和一月份相比增长率为－9%，一季度营业额（ 451.5 ）万元。 7、庆“六一”，学校决定进行现场绘画比赛吗，按照如下摆放桌子和椅子，如果每个椅子坐一位同学，1张桌子可以坐6人，2张桌子可以10人，……，n 张桌子可以做（ 4n+2 ）人。如果像这样摆20张桌子，最多可以坐（ 82 ）人。 8、数学小组的同学在一次数学比赛中成绩统计如左下图。如果得优良和及格的同学都算达标。达标同学的平均成绩是80分，而全体同学的平均成绩是70分，则不及格同学的平均成绩（ 40 ）分。 9、如右上图，已知长方形的面积是28,阴影部分的面积（9.44 ）。 2cm 2 cm 10、“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。其中年龄最大的老人今年（ 90 ）岁。二、用自己喜欢的方法计算：（每题5分，共15分） 1、0.78×7－＋4× 2、12.5×8÷12.5×8 50395039

2018年全国初中数学竞赛试题及答案

１ 2018年全国初中数学竞赛试题及答案考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则 ab c ca b bc a 2 22++的值为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20a t b t c ++ =，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有333 3a b c abc ++=，所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（）（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ，即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ，所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上，也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（）（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。

2018年全国高中数学联合竞赛

２６中等数学２０１８年全国高中数学联合竞赛中图分类号：Ｇ４２４７９文献标识码：Ａ文章编号：１００５６４１６（２０１８）１１００２６０６８．设整数数列ａｉ，ａ２，，。满足： … 第一试，一、填空题（每小题８分，共６４分）１．设集合＾＝｛１，２．．．，，９９｜，Ｂ＝＼２ｘｘ＾Ａ＼，Ｃ－＼ｘ２ｘＡ＼．则ｆｉｎｅ的元素个数为２．设点／＞到平面ａ的距离为Ｖ５，点（？在平面ａ上，使得直线与平面ａ所成角不小于３０。且不大于６０。．则这样的点所构成的区域的面积为．３．将１、２、３、４、５、６随机排成一行，记为ａ、６、ｃ、《ｆ、ｅ、／则ａ６ｃ＋ｃｅｆ／是偶数的概率为４．在平面直角坐标系中，椭圆Ｃ：％＋＆＝ｌ（ａ＞６＞０）的左、右焦点分别为ａ〇心、Ｆ２，弦Ｓ７＼Ｃ／Ｆ分别平行于＊轴、ｙ轴，且交于点Ｒ已知线段／＾、朽、／＾、／＾的长分别为１、２、３、６．则的面积为．５．设／（＊）是定义在Ｒ上的以２为周期的偶函数，在区间［０，１］上严格递减，且满足／（７Ｃ）＝ｌ，／（２７ｔ）＝２．则不等式组１＾＊＾２，１矣／〇）矣２的解集为６．设复数ｚ满足Ｉｚ＝１，使得关于＊的方程ｚａ＋２ｚ＊＋２＝０有实根．则这样的复数ｚ２的和为？７．设为△ＡＢＣ的外心．若ＡＯ＾＝ＡＢ＋２ＡＣ，则ｓｉｎＺ：似Ｃ的值为．且ａｉ＋１６Ｕ＋ａ￡，２＋ａＪ（ｉ＝ｌ，２， … ，９）．则这样的数列的个数为？二、解答题（共５６分）９．（１６分）已知定义在Ｒ＋上的函数ｆｌｏｇ３％－１，０＜％矣９；／（＊）＝厂１４－ａ／尤，ｘ＞９．设（＊、６、＜；为三个互不相同的实数，满足／（ａ）＝／（６）＝／（ｃ）．求Ｍｅ的取值范围．１０．（２０分）已知实数列ａｉ，ａ２，… 满足对任意正整数￣均有ａｎ（２Ｓｎ＾ａｎ）＝１，其中表示数列的前ｎ项和．证明：（１）对任意正整数／Ｉ，均有ａｎ＜２Ａ； ⑵ 对任意正整数？均有ａ？ａ？＋ｆ１．１１．（２０分）在平面直角坐标系中，为抛物线ｙ２＝４＊的过点Ｆ（１，０）的弦， △ ＡＯＢ的外接圆与抛物线交于点Ｐ（不同于点０人５）？若平分Ｚ求仲的所有可能值．加试一、（４０分）设７１为正整数，ａ！，ａ２，．．．，ａｎ，ｈ，６２，… Ａ及４、ｉｆ均为正实数，满足：ａ；斗，ａ；＾４ “ ＝１，２， … ，ｎ），且丛＾ｆ证明．：… ａＡｎ（ｆｅ！＋ｌ）（６２＋ｌ）－（６ｎ＋ｌ）Ｂ＋ｌ（ｏ１＋ｌ）（ａ２＋ｌ）－＊－（ａｎ＋ｌ）Ａ＋＼二、（４０分）如图１， △ 狀Ｃ为锐角三角形，ＡＳ＜４Ｃ，Ｍ为边ＢＣ的中点，Ｄ、Ｅ分别为 △ Ａ５Ｃ的外接圆弧２、＆的中点，ｆ为

2018年全国初中数学竞赛试题及解答

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