关于数论函数方程
关于数论函数方程()
()2
S n n ?=
李宋宋
（安徽师范大学 安徽芜湖 241000）
摘要:对于任给的正整数n ，()n ?和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数，本文根据初等数论的理论以及分类讨论的方法，对数论方程()()2S n n ?=的解进行了讨论并给出了解的表达式以及解的判别条件。
关键词:Euler 函数;Smarandache 函数;阶乘;费马数;方程
On the Arithmetic Functional Equation
()()2S n n ?=
Abstract: For any given positive integer n,
()n ? and ()S n are Euler function and Smarandache function
respectively, according to the elementary number theory and the method of classification discussion, this article has discussed the arithmetic functional equation ()()2S n n ?=and finally given the expression and the
discriminants of solution.
Keywords: Euler function ；Smarandache function ；factorial ；Fermat number ；equations
1 引言
对于任意正整数n ,设()n ?和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数.其中,()n ?表示不大于n 且与n 互素的正整数的个数;()S n 定义为最小正整数m ,使得
|!n m ，即:!}|,{()min m n m m Z S n +=∈.
()S n 的各种性质是数论及其应用领域中一
个十分引人关注的研究课题[1]
.关于这两个
函数之间关系的讨论,一直也是很多学者研
究的对象[2]-[4]
, 例如文献[2]中讨论了数论方程()()t
n S n ?=的相关性质和求解过程，并且在很多学者努力下，此类型方程的求解结果已经很完善；文献[4]中讨论并给出了方程()()2n n ω?=的解.在诸多文章和结果的启发下，本文提出了一类数论方程
()()2S n n ?=的求解问题,并通过分类讨论的
方法，在现有的五个费马素数的基础上得到
了此类方程解的表达式和部分解的判别条件.现将本文的主要结果列在下面：
定理 对于任给的正整数n ,()n ?和
()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函
数，若n 为数论方程()
()2
S n n ?=的解，则n
的标准分解式为：
1
2m s n p p =,
1(3,15)s p p s ≤<<≤≤为素数,其中
22
1k i
i p =+，{0,1,2,3,4},(1,,)i k i s ∈=，
m 满足：
(1)当1s =时，1121k
m p =-+，
1{23,4}k ∈，，或者m 满足不等式组：
11111(21)21(22)221
k k k k a m a m m p ?+-≤-?+->-??≥-?
，1{12,3,4}k ∈， 特别地，当15p =时，21,3t m t =-≥.
（2）当15s <≤时，121i s
k s i m p ==-+∑，
或者m 满足不等式组：
11
11(21)21(22)22
1i i i i
s s
k k i i s s k k i i s a m a m m p ====?+-≤-?
?
?+->-??
?≥-??
∑∑∑∑ 其中{0,1,2,3,4}i k ∈.()a n 为n 的二进制表示的各数字之和.
2 相关引理
引理1[5]
对任意互素的正整数a 和b ，Euler 函数为积性函数，即
()()()ab a b ???=.
引理2[5]
如果12
12
s
s n p p p ααα=是正整
数n 的标准分解式,其中i p 为不同素数，i
α为正整数
=1,2,,s （i ），则有
11
(1)()i
s
i i i p p n α?-=-=∏
引理3[6] 如果12
12
s
s n p p p ααα=是正整
数n 的标准分解式,则有
1
2
12()max{(),(),
,()}s
s S n S p S p S p α
αα=
引理4[5]
若
12,,,s p p p 为不大于n
的互不相同的正素数，则!n 的标准分解式为
21
!k i i i i i
n n n s
p p p i n p
????
??+++??
??????????????
==∏
其中1
i i k k i i p n p +≤<.
引理5 对任给的正整数k ,方程
(2)m m k S +=的解m 满足：
()(1)1
a m k k
a m k k +≤??
+->-? 其中()a n 表示n 的二进制表示的各数字之和.
证明 设()!m k +的标准分解式中,2的指数为2()!Ord m
k +,首先证明
2()!()()Ord m k m k a m k +=+-+.
设()m k +的二进制表示为1
(s s m k a a -+=
102)a a ,其中0i a =或1，(0~)i s =,记
()a m k +为二进制表示的数字之和，即
110()s s a m k a a a a -+=++++
则由引理4,
2()!222m k m k m k Ord m k t ??
??+++??+=++
+??????????
??
其中1
2()2
t t m k +≤+<,于是
21
2121
2211121112101
21010()!()()()(111)(111)+
+(11)(10001)(10001)++(1001)(101)(11)
()
()().
s s s s s s s
S S s s S S s s s s s s Ord m k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a m k a m k ---------+=++
++=++=-+--+-+-=-++
+=+-+个
个
个
个
其次,若m 为方程(2)m
m k S +=的解,由
()S n 的定义知,min{:2!
}m
m k n n +=,也就是：
22()!,(-1)!Ord m k m Ord m k m +≥+<且
即
()()(1)(1)().(1)1
m k a m k m m k a m k m a m k k a m k k +-+≥??
+--+--?
引理6
[7]
若p 为21t
+型的素数,则
2k t =,即221k
p =+为费马素数.
目前知道的费马素数只有3,5,17,257, 65537,本文就在这些费马素数的范围内讨论所给方程的解.
3 定理的证明
分两部分证明，首先证明方程解的标准分解式为 1
2m s n p p =,1(3p ≤<
<
,15)s p s ≤≤；其次给出1,
,,s p p m 应满
足的条件。
第一部分：
当1n =时,
(1)(1)1,22S ?==,因此
1n =不是方程的解；
当n p α
=
时,代入方程有：
1()()(1)2S n n p p α?-=-=
因此要求
(i) 当3p ≥时,1α=,即12p
p -=,显然等式不成立,故此种情形无解；
(ii) 当2p =,即1
(2)
2
2
,S αα-=从而
1(2)S α
α-=.由于
222111
(!)()222222
k k Ord αααααα????
??
=++
+≤++
+
??
——（*）
所以1(2)S α
αα-<<,故此种情形无解；
当12
2
1s
s
p n p p α
αα=时, 1(3p ≤<
,2,1,
,)s i p Z s i s α+<∈≥=为素数，
此时方程为：
1
()1
()(1)2i s
S n i i i n p p α?-==-=∏
要使方程有解,则1(1,
,)i i s α==,方程
可写为：1
(1)2s s
p i i p =-=∏.则(1,
,)i p i s =
必为21k
+型的素数,由引理6知, (i p i =
1,
,)s 为Fermat 素数,本文仅考虑3,5,17,
257,65537这5个费马素数.设为:
221k i
i p =+, {0,1,2,3,4}i k ∈,
其中1,,,24i s s =≤≤根据引理知，
s
1
1
222()=22
2s
k i
k k i n ?=∑=
12()max{(),(),,()}s s S n S p S p S p p ==
代入方程得:
21
221k s
i s
k i ==+∑, 但是
2321
11
2
5222
,(0)k s
i
s
s
s
k k k s i k k ++==∑
也即 ()()2S n n ?<.因此,此种情形方程无解.
排除以上几种情况,并且由上面的分析
可知,n 的标准分解式只能为：
112(3),15m s s n p p p p s =≤<<≤≤
——（**）
第二部分：
将（**）代入方程()()2S n n ?=有： 1()12(1)(1)2m S n s p p ---=
如果方程有解,则(1,
,)i p i s =必须为
21t +形的素数,由引理6,(1,
,)i p i s =为
费马素数221k
p =+.下面对s 进行分类讨论：
(1)当1s =时,即2m n p =,其中221k
p =+0,1,2,3,=（k ）,根据引理2和引理3,有：
11212
()2(1)222k k
m m m n p ?---+=-==()(2)max{(2),}m m S n S p S p ==
代入方程得：
12(2)2,(2)2
2
,(2)k
m p m
m S m
p S p S -+?≥?=?
① 当221(2)k
m p S +=≥时,若方程有解,则有：
2122121k
k k m m p -+=+?=-+
对k 进行分类讨论：
当0,3k p ==时,得3m =,但是
3
(2)43
S =>,矛盾！ 当1,5k p ==时, 521m =-+即
4m =，但是4(2)65S =>,矛盾！
当2,17k p ==时, 1741m =-+，即
14m =，并且14(2)17S <,故14217
n =?为方程的解；
当3,257k p ==时，得m =250，并且
250(2)257S <,故2502257n =?为方程的
解；
当4,65537k p ==时,得m =65522，并且65522(2)65537S <,故65522
265537
n =?为方程的解；
②当221(2)k
m p S +=<时,若方程有解,则12(2)k m m S -+=,同样对k 进行分类讨论：
当0,3k p ==时,有(2)m m S =,由
（*）式知此种情形无解；
当1,5k p ==时,有1(2)m m S +=,若
方程有解,由引理5知m 应满足：
(1)1
(1)1()0a m a m a m +≤??+=?
>?
12(3)21(3
t t
m t m t ?+=≥?=
-≥ 因此,2125,(3)t
n t -=?≥为方程的解.
当2,17k p ==时,有3(2)m
m S +=,
若m 为方程的解,由引理5,当且仅当
(3)3
(2)2
a m a m +≤??
+>? 当3,257k p ==时,有7(2)m m S +=,若m 为方程的解,由引理5,当且仅当
(7)7
(6)6
a m a m +≤??
+>? 当4,65537k p ==时,有15(2)m m S +=,若m 为方程的解,由引理5,当且仅当
(15)15
(14)14a m a m +≤??
+>?
综合起来,2m
n p =型的解为：
1121k m p =-+，12k ≥，或者m 满足不等式组：
111111(21)21
(22)22,11
k k k k
a m a m k m p ?+-≤-?+->-≥??≥-?
. 并且当15p =时，21,3t m t =-≥.解的具体表达式参见表格1.
表格1 方程()
()2S n n ?=的2
m
n p =型的解
Table 1
2m n p = type of solution of the equation ()()2S n n ?=
表格2 方程()()2S n n ?=的122m n p p =型的解
Table 2
122m n p p = type of solution of the equation ()()2S n n ?=
（2）当2s =时,即122m n p p =,其中
12
22121221,21(04)k k p p k k =+=+≤<≤,
根据引理2和引理3知：
12
12
122122()222
2
k k k k m m n ?--++==
22()
(2)22,(2)22
,(2)m
p m
S n S m
p S p S ?≥?=?
122
22,(2)
122(2),(2)m
k k m m
p p S m S p S ?≥?-++=?
k k m
k k m m
m p p S m S p S ?=--+≥???-++=
（3,4）进行分类讨论,具体步骤不再重复,最后得到对12(,)k k 的所有分类情况均存在方程的解.归纳起来有：122m n p p =型解中
122221k k m p =-++，或者m 满足不等式
组：
121212122(221)221
(222)2221
k k k k k k k k
a m a m m p ?++-≤+-?++->+-??≥-?
其中12,k k N ∈，且1204k k ≤<≤.解的具体表达式参见表格2.
(3) 当3s =时,即1232m
n p p p =,其中21232
1,1,2,3(04)
k i
i p i k k k =+=≤<<≤根据引理2和引理3知
3
3
121
2122212
22()22222k k k k k k m m n ?--+++==33()
(2)32,(2)
2
2
,(2)m
p m S n S m
p S p S ?≥?=?
33312
3
22221,21(2)1222(2),21(2)k
k
k m k k k m m S m S S ?++≥?-+++=?
+
3
331
3
3
121,(2)12(2),(2)
i i k m i k m m i m p p S m S p S ==?=-+≥?????-+=
∑∑ 同前面的讨论方法一样,对123(,,)k k k =（0,1,2），（0,1,3），（0,1,4），（0,2,3），（0,2,4），
（0,3,4），（1,2,3），（1,2,4），（1,3,4），（2,3,4）的进行分类讨论,最后得到每种情况均存在方程的解，综合起来有： 1232m n p p p =型解中3
3121i k i m p ==-
+∑或者m 满足不等式组：33
11
33113(21)21
(22)22
1i i
i i k k i i k k
i i a m a m m p ====?+-≤-??
?+->-??
?≥-??
∑∑∑∑ 其中123,,k k k N ∈，且12304k k k ≤<<≤.具体表达式参见表格3.
（4） 当4s =时, 12342m n p p p p =,其中221k i
i p =+,1,2,3,4i =，12(0k k ≤<
34)k k <<,此时：
31
24
12222()2
2222
k k k k m n ?-=
3124
1222+22
k k k k m -+++=
44()
(2)42,(2)22
,(2)m p m S n S m
p S p S ?≥?=?
若方程有解,则：
31241222+2k k k k m -+++
44422221,21(2)(2),21(2)k
k
k m m m S S S ?++≥?=?
+
4441
4
4121,(2)12(2),(2)i i k m i k m m i m p p S m S p S ==?=-+≥?????-+=
∑∑ 同前面的讨论方法一样,对1234(,,,)k k k k =（0,1,2,3）,（0,1,2,4）,（0,2,3,4）,（1,2,3,4）进行分类讨论,最后也可得到每种情况均存在方程的解， 12342m n p p p p =型的解中
4
41
21i k i m p ==-+∑或者m 满足不等式组：
44
11
44
114(21)21(22)221i i i i k k i i k k
i i a m a m m p ====?+-≤-?
?
?+->-??
?≥-??
∑∑∑∑
其中1234,,,k k k k N ∈，且1230k k k ≤<<<
44k ≤.解的具体表达式参见表格4.
表格3 方程()
()2
S n n ?=的1232m n p p p =型的解
Table 3
1232m n p p p = type of solution of the equation ()()2S n n ?=
满足：
6)65)5+≤+> 35257n
m 满足
10)109)9+≤??
+>?3565537
满足
18)1817)17+≤+>满足
12)1211)11+≤+>m 满足
20)2019)19m m +≤??
+>?满足
24)24
+≤ 满足
13)13+≤ 满足
21)21
+≤ 525765537
满足
25)25+≤ 1725765537
满足
27)27+≤
表格4 方程()()2S n n ?=的12342m n p p p p =型的解
Table 1
12342m n p p p p = type of solution of the equation ()()2S n n ?=
（5）当5s =时,即23517m n =????
2565537?此时：
112481630()2222222m m n ?-+=?????=
65537()
(2)2,65537(2)22
,65537(2)m m S n S m
S S ?≥?=?
65537,65537(2)
30(2),65537(2)
m
m m
S m S S ?≥?+=?
306553765507m m +=?=
并且65507(2)65537S <,即65507
2
3n =?
51725765537????为方程的解；
若65537(2)m
S <,有30(2)m
m S +=,
则由引理6, m 满足：(30)30
(29)2965536a m a m m +≤??
+>??≥?
此时,2351725765537m
n =?????.也
综上,在现有的五个Fermat 素数的基础上,对数论方程()()2S n n ?=的解进行了讨论,给出了部分解的表达式和解的判别条件.值得思考的是,本文没有总结出解的一般形式,但并不意味着不存在这样的表达式.比如根据二进制数码和组合数的相关性质,结合给出的解答判别条件,或许能得到更优的结论.
参考文献：
[1]Dubuc S.Interpolation through an iterative scheme. Mathematical Analysis and Applications,1986,114(1): 185—204
[2] MA J P. An equation involving the Smarandache function [J]. Scientia Magna, 2005, 1( 2): 89- 90 [3] Y IY . An equation involving the Euler function and Smarandache function [J].Scientia Magna, 2005,
1( 2):173- 175.
[4]吕志宏.一个包含Euler 函数的方程[J]西北大学学报(自然科学版),2006(2)
[5]闵嗣鹤、严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社,1979
[6]FARRISM,MITCHELLP.BoundingtheSmarandach eFunction[J].SmarandacheNotions,2002,13:37-43 [7]于小秋、肖藻. Fermat 数的若干结论[J]. 佳木斯
大学学报（自然科学版）,2003（3）：0290-03
关于数论函数方程
关于数论函数方程() ()2 S n n ?= 李宋宋 （安徽师范大学 安徽芜湖 241000） 摘要:对于任给的正整数n ，()n ?和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数，本文根据初等数论的理论以及分类讨论的方法，对数论方程()()2S n n ?=的解进行了讨论并给出了解的表达式以及解的判别条件。 关键词:Euler 函数;Smarandache 函数;阶乘;费马数;方程 On the Arithmetic Functional Equation ()()2S n n ?= Abstract: For any given positive integer n, ()n ? and ()S n are Euler function and Smarandache function respectively, according to the elementary number theory and the method of classification discussion, this article has discussed the arithmetic functional equation ()()2S n n ?=and finally given the expression and the discriminants of solution. Keywords: Euler function ；Smarandache function ；factorial ；Fermat number ；equations 1 引言 对于任意正整数n ,设()n ?和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数.其中,()n ?表示不大于n 且与n 互素的正整数的个数;()S n 定义为最小正整数m ,使得 |!n m ，即:!}|,{()min m n m m Z S n +=∈. ()S n 的各种性质是数论及其应用领域中一 个十分引人关注的研究课题[1] .关于这两个 函数之间关系的讨论,一直也是很多学者研 究的对象[2]-[4] , 例如文献[2]中讨论了数论方程()()t n S n ?=的相关性质和求解过程，并且在很多学者努力下，此类型方程的求解结果已经很完善；文献[4]中讨论并给出了方程()()2n n ω?=的解.在诸多文章和结果的启发下，本文提出了一类数论方程 ()()2S n n ?=的求解问题,并通过分类讨论的 方法，在现有的五个费马素数的基础上得到 了此类方程解的表达式和部分解的判别条件.现将本文的主要结果列在下面： 定理 对于任给的正整数n ,()n ?和 ()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函 数，若n 为数论方程() ()2 S n n ?=的解，则n 的标准分解式为： 1 2m s n p p =, 1(3,15)s p p s ≤<<≤≤为素数,其中 22 1k i i p =+，{0,1,2,3,4},(1,,)i k i s ∈=， m 满足： (1)当1s =时，1121k m p =-+， 1{23,4}k ∈，，或者m 满足不等式组：
初等数论知识点汇总
第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1 m 次多项式，即 012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且 01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。在我们的日常 生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且 01 m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。 第二节 整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a 则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；
有关数论函数的一些问题
有关数论函数的一些问题 题目：有关数论函数的一些问题研究生：任荣珍 任课教师：杨海 学科专业：应用数学 学号：2014081034 学院：理学院 时间：2015年1月2日
有关数论函数的一些问题 数论函数是在数论这一门学科中提出的, 在介绍数论函数之前首先来说明有关数论的一些背景知识和数论这一门学科, 数论可以被定义为研究数的一门理论学科, 是数学的一个重要分支, 数论在研究数的方面有着悠久的历史, 它的发展源远流长, 早在远古时代人们就学会使用数字, 而数论在数学中有着很重要的位置, 就如数学家高斯所说”数学是科学-皇后, 而数论就是数学皇冠”. 数论这门学科最早时是从研究整数开始的, 因此叫做整数论, 随着整数论的进一步发展就把整数论叫做数论了[1], 数论在数学中就是研究数的规律, 它与几何学一样是数学中最古老的分支, 在数学中有着悠久的历史, 在现代基础数学研究中占有很重要的位置. 数论函数作为数论其中的一个分支对数学也起了很重要的作用,下面就来介绍一些有关数论函数的研究, 下面就来介绍一下有关数论函数()F n 的背景知识[2], 先介绍一些所需要的符号及定义: 对任意的正整数2n ≥, ()n ?是由满足如下条件的整数数组 12(,,...,)s a a a 所构成的集合: (1)2i a n ≤≤, 1,2,...,i s =; (2)若素数i p a , 则p n , 1,2,...,i s =; (3)2s ≥时, (,)1i j a a =, 1i j s ≤<≤. 定义()F n 为形如12...s a a a +++数的最大值, 其中12(,,...,)()s a a a n ∈? 设1 i k a i i n p ==∏为n 的标准分解式, 我们用()n k ω=表示n 的所有不同 素因子的个数.
数论函数与拓扑
数论函数与拓扑 摘要：自然数的诸多性质，由各种各样的数论函数来描述。有些数论函数之间存在着数量关系，可以看作数论研究领域的一种拓扑现象。 关键词：数论函数，拓扑 若干例子 1，不超过N的，孪生素数个数R2(N)与素数个数π(N)之间的关系 R2(N)=c1 N [π(N)]2 当N=2n t，t≥1取奇常数，n≥1取自然数变量时，式中c1是正常数。 2，偶数N表为两个奇素数之和的表法个数r2(N)，与不超过N的素数个数π(N)之间的关系 r2(N)=c2 N [π(N)]2 当N=2n t，t≥1取奇常数，n≥1取自然数变量时，式中c2是正常数。 3，不超过偶数N的孪生素数个数R2(N)，与表N为两个奇素数之和的表法r2(N)之间的关系 R2(N)=c3[r2(N)] 当N=2n t，t≥1取奇常数，n≥1取自然数变量时，式中c3是正常数。 4，不超过N的，多连生素数组的个数R k(N)，与素数个数π(N)之间的关系 R x(N)=c x[π(N)]m 当N=2n t，t≥1取奇常数，n≥1取自然数变量时，式中c x是正常数。 等等。 诸多数论函数之间往往存在着某种数量关系。 耐人寻味，值得研究。
参考资料： 1 初等数论：潘承洞，潘承彪著1997.6 月北京大学出版社 2 组合数学：屈婉玲著1997.9 月北京大学出版社 3 王元论哥德巴赫猜想李文林著1999.9 月山东大学出版社 4 数学与猜想G.玻利维亚2001.7 月科学出版社 5 数论导引哈代著2008.10 月人民邮电出版社 6 华罗庚文集2010.5 月科学出版社 7 代数数论冯克勤著2000.7 月科学出版社