高一第一学期期末考试试卷
数学
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的.) 1.下列函数中,周期为π的函数是( )
A .2sin y x =
B .cos y x =
C .1
sin 2
3y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
D .cos 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
2.已知α的终边经过点(4,3)-,则cos α=( )
A .
1
5
B .45
-
C .
35
D .35
-
3.下列各组中的两个向量,共线的是( )
A .1(2,3),a =-1(4,6)b =
B .4(3,2),a =-4(6,4)b =-
C .3(2,3),a =3(3,2)b =
D .2(1,2),a =-2(7,14)b =
4.若1cos()3
πα+=-,则cos α的值为( )
A .
13
B .13
-
C
D . 5.已知α是第二象限角,且12
cos 13
α=-
,则tan α的值是( ) A .
1213
B .12
13
- C .512
D .5
12
-
6.向量(1,1),a =-(1,2)b =-,则(2)a b a +⋅( )
A .-1
B .0
C .1
D .2
7.函数()2x
f x e x =+-的零点所在的一个区间是( )
A .(2,1)--
B .(1,0)-
C .(0,1)
D .(1,2)
8.如图所示,在ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB ( )
A .
31
44
AB AC - B .
13
44
AB AC - C .
31
44
AB AC + D .
13
44
AB AC + 9.设非零向量a ,b 满足||||a b a b +=-则( )
A .a b ⊥
B .||||a b =
C .//a b
D .||||a b >
10.如图是我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方
形,如果小正方形的面积为4,大正方形的面积为100,直角三角形中较小的锐角为α,则tan α等于( )
A .
3
4
B .
38
C .5
D .
15
11.已知函数,0
()ln ,0
x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,()()g x f x x a =++,若()g x 存在2个零点,则a 的取值范围是( )
A .[1,0)-
B .[0,)+∞
C .[1,)-+∞
D .[1,)+∞
12.设函数()f x 的定义域为R ,若存在常数0m >,使|()|||f x m x ≤对一切实数x 均成立,则称()f x 为“倍约束函数”.现给出下列函数:①()0f x =;②2
()f x x =;③2()1
x
f x x x =
++;④()f x 是定义
在实数集R 上的奇函数,且对一切1,x 2x 均有()()12122f x f x x x -≤-.其中是“倍约束函数”的序号是( ) A .①②④ B .③④ C .①④ D .①③④
二、填空题(每小题5分,共4小题,20分)
13.设向量(,1),a x x =+(1,2)b =,且a b ⊥,则x =________. 14.已知向量(,4),a m =(3,2)b =-,且//a b ,则m =________.
15.已知R λ∈,函数24,()43,x x f x x x x λ
λ-≥⎧=⎨-+<⎩
.
(1)当2λ=时,不等式()0f x <的解集是________. (2)若函数()f x 恰有2个零点,则λ的取值范围是________. 16.关于下列命题:
①若,
αβ是第一象限角,且αβ>,则sin sin αβ>;
②函数sin 2y x ππ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
是偶函数; ③函数y sin 2x 3π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的一个对称中心是,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
; ④函数5sin 23y x π⎛⎫
=-+
⎪⎝
⎭
在5,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是增函数, 所有正确命题的序号是________. 三、解答题(共6小题,70分) 17.(本小题10分)
已知(2,4),A -(3,1),B -(3,4)C --.设,AB a =,BC b =CA c =. (1)求32a b +;
(2)求满足a mb nc =+的实数m ,n 的值; 18.(本小题12分)
设平面三点(1,0),A (0,1),B (2,5)C , (1)试求向量2AB AC +的模.
(2)若向量AB 与AC 的夹角为θ,求cos θ. (3)求向量AB 在AC 上的投影.
19.(本小题12分)
已知tan 2α=,计算: (1)
4sin 2cos 5cos 3sin αα
αα
-+;
(2)sin cos αα;
(3)若α是第三象限角,求sin α、cos α. 20.(本小题12分)
已知函数()sin 21,6f x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
x R ∈. (1)求出()f x 的单调递减区间
(2)当0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,求函数()f x 的值域 21.(本小题12分)
如图为函数()sin()f x A x b ωϕ=++(0,A >0,ω>02ϕπ<<)图象的一部分.
(1)求函数()f x 的解析式,并写出()f x 的振幅、周期、初相. (2)求使得5
()2
f x >
的x 的集合. (3)两数()f x 的图象可由两数sin y x =的图象经过怎样的变换而得到? 22.(本小题12分)
对于函数()f x ,若存在0x R ∈,使()00f x x =成立,则称0x 为()f x 的不动点.已知函数
2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠.
(1)当1,a =3b =-时,求函数()f x 的不动点;
(2)若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围;
1,x
2
x,且()12
1
a
f x x
a
-
+=
+
,求实数b的取值范围.
(3)在(2)的条件下,若()
f x的两个不动点为
第一学期期末考试 高一数学参考答案
一、选择题
1.解析:根据公式2||T πω=
可知函数cos 23y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的最小正周期是2|2|T ππ=
=-.故选D . 2
.解析:5r ==,由任意角的三角函数的定义可得4
cos 5
α=-.故选B . 3.解析:对于A ,26430-⨯-⨯≠;
对于B ,1147(2)0⨯-⨯-≠; 对于C ,22330⨯-⨯≠; 对于D ,3(4)620-⨯--⨯=.
所以4a 与4b 共线,其余三组不共线.故选B .
4.解析:由已知1cos()cos 3παα+=-=-,得1
cos 3
α=.故选A . 5.解析:因为α是第二象限角,
所以sin α=
513
==,
所以5
sin 5
13tan 12cos 12
13
ααα⋅===-⋅-.故选D .
6.解析:由题意可得2
2a =,3a b ⋅=-,
所以2
(2)2431a b a a a b +⋅=+⋅=-=.故选C .
7.解析:因为函数()f x 的图象是连续不断的一条曲线,又2
(2)40f e
--=-<,
1(1)30f e --=-<,(0)10f =-<,(1)10f e =->,
所以(0)(1)0f f ⋅<.故函数的一个零点在(0,1)内.故选C .
8.解析:法1如图所示,
E
D
C
B
A
1122
EB ED DB AD CB =+=
+ 111
()()222AB AC AB AC =⨯++- 31
44
AB AC =-.故选A . 法2:1
2
EB AB AE AB AD =-=-
11
()22AB AB AC =-⨯+
31
44
AB AC =-.故选A . 9.解析:由||||a b a b +=-两边平方得,2222
22a a b b a a b b +⋅+=-⋅+,
即0a b ⋅=,则a b ⊥,故选A .
10.解析:由题意得,大正方形的边长为10,小正方形的边长为2,
210cos 10sin αα∴=-,1
cos sin 5
αα∴-=,
又α为锐角,易求得3
tan 4
α=.故选A .
11.解析:令()h x x a =--,则()()()g x f x h x =-.
在同一坐标系中画出()y f x =,()y h x =的示意图,如图所示.
若()g x 存在2个零点,则()y f x =的图象与()y h x =的图象有2个交点, 平移()y h x =的图象,可知当直线y x a =--过点(0,1)时,有2个交点,
此时10a =--,1a =-. 当y x a =--在1y x =-+上方,
即1a <-时,仅有1个交点,不符合题意. 当y x a =--在1y x =-+下方, 即1a >-时,有2个交点,符合题意. 综上,a 的取值范围为[1,)-+∞.故选C .
12.解析:对于①,m 是任意正数时都有0||m x ≤,()0f x =是倍约束函数,故①正确;
对于②,2
()f x x =,2
|()|||f x x m x =≤,
即||x m ≤,不存在这样的m 对一切实数x 均成立,故②错误;
对于③,要使|()|||f x m x ≤成立,即2||1
x
m x x x ≤++,
当0x =时,m 可取任意正数; 当0x ≠时,只须2
max
11m x x ⎛⎫
≥ ⎪++⎝⎭, 因为2
314x x ++≥
,所以4
3
m ≥,故③正确. 对于④,()f x 是定义在实数集R 上的奇函数,故|()|f x 是偶函数, 因而由()()12122f x f x x x -≤-得到,|()|2||f x x ≤成立,
存在20m ≥>,使|()|||f x m x ≤对一切实数x 均成立,符合题意,故x 正确.故选D .
二、填空题
13.因为(,1),a x x =+(1,2),b =a b ⊥,
所以2(1)0x x ++=,解得23x =-
.故填2
3
-. 14.解析:由题意2120m --=,所以6m =-.故填-6. 15.解析:
(1)若2λ=,当2x ≥时,
令40x -<,得24x ≤<;
当2x <时,令2
430x x -+<,解得12x <<. 综上可知,14x <<,
所以不等式()0f x <的解集为(1,4). (2)令()0f x =,当2x >时,4x =,
当x λ<时,2
430x x -+=,解得1x =或3x =.
因为函数()f x 恰有2个零点,
结合如图函数的图象知,13λ<≤或4λ>. 故(1)填(1,4);(2)填(1,3](4,)⋃+∞.
16.解析:对于①,若,
αβ是第一象限角,且αβ>,
可令390,
α=︒30β=︒,则sin sin αβ=,所以①错误;
对于②,函数sin cos 2y x x πππ⎛
⎫
=-=- ⎪⎝
⎭
,()cos()()f x x f x π-=--=, 则为偶函数,所以②正确; 对于③,令23
x k π
π-
=,解得()26
k x k Z ππ
=
+∈, 所以函数sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的对称中心为,026k ππ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
, 当0k =时,可得对称中心为,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
,所以③正确; 对于④,函数5sin 25sin 233y x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=-+
=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭,
当5,1212x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时,2,322x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,
所以函数5sin 23y x π⎛
⎫
=-+
⎪⎝
⎭
在区间5,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递减,所以④不正确. 综上,命题②③正确.故填②③.
三、解答题
17.解:(1)由已知得(3,1)(2,4)(5,5)a AB ==---=-,
(3,4)(3,1)(6,3)b BC ==----=--, 323(5,5)2(6,3)(3,21)a b ∴+=-+--=-.
(2)
(2,4)(3,4)(1,8)c CA ==----=,
且(5,5),a =-(6,3)b =--,
且(6,38)(5,5)mb nc m n m n a +=-+-+==-,
所以65385m n m n -+=⎧⎨
-+=-⎩,解得1
1
m n =-⎧⎨=-⎩.
18.解析:(1)因为(1,0),A (0,1),B (2,5)C ,
所以(0,1)(1,0)(1,1)AB =-=-,
(2,5)(1,0)(1,5)AC =-=,
所以22(1,1)(1,5)(1,7)AB AC +=-+=-,
所以|2|(AB AC +=-=. (2)由(1)知(1,1)AB =-,(1,5)AC =,
所以
cos 13
θ=
=
(3)由(2)知向量AB 与AC 的夹角的余弦为cos θ=
而||2AB =
,所以向量AB 在AC 上的投影为
||cos
1313
ABθ==.
19.解:由已知条件可知tan2
α=,
(1)
4sin2cos
4sin2cos5cos3sin
5cos3sin cos
αα
αααα
αα
-
-+
∴=
+
4tan2
53tan
α
α
-
=
+
4226
53211
⨯-
==
+⨯
.(2)sin cos
αα=
22
22
2
sin cos
sin cos
sin cos
sin cos
sin
αα
α
ααα
αα
αα
α
=
+
+
22
tan22
tan1215
α
α
===
++
.
(3)tan2
α=,sin2cos
αα
∴=①,
代入22
sin cos1
αα
+=中可得22
4cos cos1
αα
+=.
2
1
cos cos
5
αα
∴==.
又α
是第三象限角,cosα
∴=
代入①式得sin2
55
α
⎛
=⨯-=-
⎝⎭
.
20.解析:(1)设2
6
X x
π
=+,则2
6
X x
π
=+在R内是单调递增函数.
sin
y X
=的单调递减区间为
3
2k,2k
22
ππ
ππ
⎡⎤
++
⎢⎥
⎣⎦
,
由
3
22
22
k X k
ππ
ππ
+≤≤+,
即
3
222
262
k x k
πππ
ππ
+≤+≤+,
得
2
,
63
k x k
ππ
ππ
+≤≤+k Z
∈,
所以()sin21
6
p
f x x
⎛⎫
=++
⎪
⎝⎭
的单调递减区间为
2
,
63
k k
ππ
ππ
⎡⎤
++
⎢⎥
⎣⎦
,k Z
∈.
(2)当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 所以当262x π
π
+=,即6x π
=时,sin 26p x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
取得最大值为1, 所以,函数()f x 的最大值为2.
当266x π
π
+=,即6x π
=时,sin 26p x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值为12. 所以函数()f x 的最小值为32
. 综上可知函数()f x 的值域为3,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21.解析:(1)由函数图象可知函数的最大值为4A b +=,最小值为2A b -+=-.
所以1b =,3A =,
因为3
12484T =-=,所以函数的周期323
T =. 由2323π
ω=得,316πω=,所以33sin 116y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
, 因为(12,4)在函数图象上,所以343sin 12116πϕ⎛⎫=⨯++
⎪⎝⎭, 即9sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
,所以9242k ππϕπ+=+,k Z ∈, 得724k πϕπ=-
+,k Z ∈, 因为02ϕπ<<,所以4π
ϕ=,
所以函数解析式为33sin 116
4p p y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.
(2)因为5()2f x >,所以353sin 116
42p p X ⎛⎫++> ⎪⎝⎭. 解得4322832,()9393x k k k Z ⎛⎫∈-++∈ ⎪⎝
⎭. 所以5()2f x >的x 的集合为4322832,()93
93k k k Z ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭. (3)先将函数sin y x =的图象向左平移4
π个单位, 然后将所得图象横坐标伸长到原来的163π
倍, 然后,再将所得图象纵坐标伸长到原来的3倍,
然后,再将所得函数图象上所有各点图象向上平移1个单位,即得所求函数的图象.
22.解:(1)当1a =,3b =-时,2()24f x x x =--,
设0x 为不动点,因此2
00024x x x --=,
解得:01x =-或04x =,
所以-1、4为()f x 的不动点.
(2)因为()f x 恒有两个不动点
即2()(1)(1)f x ax b x b x =+++-=恒有两个不等实根,
整理为:2(1)0ax bx b ++-=, 24(1)0b a b ∴∆=-->恒成立.
即对于任意,b R ∈2440b ab a -+>恒成立.
令2()44g b b ab a =-+,
则2min ()(2)(2)4240g b g a a a a a ==-⨯+>.
解之得01a <<.
(3)()12121
b a f x x x x a a -+=+=-=+, 21a b a ∴=+2(1)2(1)11a a a +-++=+1(1)21
a a =++-+.
01a <<,152(1)12
a a <++
<+∴, 110(1)212a a ∴<++-<+,102b ∴<<.
高一第一学期期末考试试卷 数学 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的.) 1.下列函数中,周期为π的函数是( ) A .2sin y x = B .cos y x = C .1 sin 2 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D .cos 23y x π⎛⎫ =- ⎪⎝⎭ 2.已知α的终边经过点(4,3)-,则cos α=( ) A . 1 5 B .45 - C . 35 D .35 - 3.下列各组中的两个向量,共线的是( ) A .1(2,3),a =-1(4,6)b = B .4(3,2),a =-4(6,4)b =- C .3(2,3),a =3(3,2)b = D .2(1,2),a =-2(7,14)b = 4.若1cos()3 πα+=-,则cos α的值为( ) A . 13 B .13 - C D . 5.已知α是第二象限角,且12 cos 13 α=- ,则tan α的值是( ) A . 1213 B .12 13 - C .512 D .5 12 - 6.向量(1,1),a =-(1,2)b =-,则(2)a b a +⋅( ) A .-1 B .0 C .1 D .2 7.函数()2x f x e x =+-的零点所在的一个区间是( ) A .(2,1)-- B .(1,0)- C .(0,1) D .(1,2) 8.如图所示,在ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB ( )
A . 31 44 AB AC - B . 13 44 AB AC - C . 31 44 AB AC + D . 13 44 AB AC + 9.设非零向量a ,b 满足||||a b a b +=-则( ) A .a b ⊥ B .||||a b = C .//a b D .||||a b > 10.如图是我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方 形,如果小正方形的面积为4,大正方形的面积为100,直角三角形中较小的锐角为α,则tan α等于( ) A . 3 4 B . 38 C .5 D . 15 11.已知函数,0 ()ln ,0 x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,()()g x f x x a =++,若()g x 存在2个零点,则a 的取值范围是( ) A .[1,0)- B .[0,)+∞ C .[1,)-+∞ D .[1,)+∞ 12.设函数()f x 的定义域为R ,若存在常数0m >,使|()|||f x m x ≤对一切实数x 均成立,则称()f x 为“倍约束函数”.现给出下列函数:①()0f x =;②2 ()f x x =;③2()1 x f x x x = ++;④()f x 是定义 在实数集R 上的奇函数,且对一切1,x 2x 均有()()12122f x f x x x -≤-.其中是“倍约束函数”的序号是( ) A .①②④ B .③④ C .①④ D .①③④
高一上学期期末考试数学试题(含答案) 高一上学期期末考试数学试题(含答案)第I卷 选择题(共60分) 1.sin480的值为() A。-1133 B。-2222 C。2222 D。1133 2.若集合M={y|y=2,x∈R},P={x|y=x-1},则M∩P=() A。(1,+∞) B。[1,+∞) C。(-∞,+∞) D。(-∞。+∞) 3.已知幂函数通过点(2,22),则幂函数的解析式为() A。y=2x
B。y=x C。y=x2 D。y=x1/2 4.已知sinα=-1/2,且α是第二象限角,那么tanα的值等于() A。-5/3 B。-4/3 C。4/3 D。5/3 5.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为() A。(3/5,-4/5) B。(-3/5,4/5) C。(-4/5,-3/5) D。(4/5,3/5) 6.设tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为()
A。-3 B。-1 C。1 D。3 7.已知锐角三角形ABC中,|AB|=4,|AC|=1,△ABC的面积为3,则AB·AC的值为() A。2 B。-2 C。4 D。-4 8.已知函数f(x)=asin(πx+β)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2015)的值为() A。-1 B。1 C。3 D。-3 9.下列函数中,图象的一部分如图所示的是()
无法确定图像,无法判断正确选项) 10.在斜△ABC中,sinA=-2cosB·cosC,且tanB·tanC=1-2,则角A的值为() A。π/4 B。π/3 C。π/2 D。2π/3 11.已知f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则 实数a的取值范围是() A。(-∞,4] B。(-∞,4) C。(-4,4] D。[-4,4] 12.已知函数f(x)=1+cos2x-2sin(x-π/6),其中x∈R,则下 列结论中正确的是() A。f(x)是最小正周期为π的偶函数 B。f(x)的一条对称轴是x=π/6
高一上学期期末数学考试卷及答案2020-2021学年度上学期高一年级期末数学考试卷 注意事项: 1.本试卷分为第Ⅰ卷(阅读题)和第Ⅱ卷(表达题)两部分。考生答题前,务必在答题卡上填写姓名和准考证号。 2.考生在作答时,请仔细阅读答题卡上的注意事项,并将 答案填写在答题卡上。在试卷上作答无效。 一、单选题 本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题中,仅 有一个选项符合题目要求。 1.已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(C ∪ A) ∩ B = ()。 A。{0} B。{1} C。{-1}
D。{0,1} 2.“a < 1”是“a < ”的() A。充分不必要条件 B。必要不充分条件 C。充要条件 D。既不充分也不必要条件 3.已知函数f(x)={x+1.x≥2.f(x+3)。x<2},则f(1) - f(9) =() A。-1 B。-2 C。6 D。7 4.已知f(x) = (x-a)(x-b) + 2(a
5.f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0)上是增函数,且f(3) = 0,则使f(x) < 0的x的范围是() A。(-3,3) B。(-∞,-3) ∪ (3,+∞) C。(3,+∞) D。(-∞,-3) 6.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则() A。ab ≤ 1/2 B。ab ≥ 1/2 C。a^2 + b^2 ≥ 2 D。a^2 + b^2 ≤ 3 7.函数f(x) = log2(1/(2x-1))的定义域是() A。(1/2,∞) B。(1,+∞) C。(-∞,1/2]+∞ D。(-∞,1/2)
2020-2021学年高一上学期期末考试数学 卷及答案 1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上 所有的点,求A和B的交集。 答案:A={(-∞,1]}。B={2}。A∩B=A={(-∞,1]} 2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2),求函数的定义域。 答案:分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2),所以函数的定义域为 x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。 3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行,求m的值。 答案:两条直线平行,说明它们的斜率相等,即m=2. 4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二,第四象限,求a、 b、c应满足的条件。 答案:第一象限中x>0.y>0,所以ax+by+c>0;第二象限 中x0,所以ax+by+c0.y<0,所以ax+by+c<0.综上所述,应满 足ab<0.bc<0.
5.已知两条不同的直线m和n,两个不同的平面α和β,判断下列命题中正确的是哪个。 答案:选项A是正确的。因为如果m与α垂直,n与β 平行,那么m和n的夹角就是α和β的夹角,所以m和n垂直。 6.已知圆锥的表面积为6π,且它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面半径。 答案:设底面半径为r,侧面的母线长为l,则圆锥的侧面积为πrl。根据题意,πrl=6π,所以l=6/r。而侧面展开图是一个半圆,所以底面周长为2πr,即底面直径为2r,所以侧面母线长l=πr。将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中,得到 r=2. 7.已知两条平行线 答案:两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。我们可以先求出l2上的一点,比如(0,7/8),然后带入l1的方程,得到距离为3/5.
高一上数学期末考试试卷及答案解析第一部分:选择题 1. 已知三角形ABC,其中∠ABC = 90°,斜边AB = 5,BC = 12。 求∠BAC的正弦值。 解析:根据正弦定理,sin(∠BAC) = AB/AC,由勾股定理可得AC = 13,代入计算得sin(∠BAC) = 5/13。 2. 函数y = x^2 + 4x + 3的图像为抛物线,其顶点坐标为(-2,-1),则函数的对称轴方程为_______。 解析:对称轴与抛物线的顶点横坐标一致,所以对称轴方程为x = -2。 3. 若函数y = ax + b在点(4,7)处的切线斜率为3,则a的值为 _______。 解析:切线的斜率等于函数在该点的导数值,所以a = 3。 4. 设集合A = {1, 2, 3, 4},集合B = {2, 4, 6},则A与B的交集为 _______。 解析:A与B的交集为{2, 4}。 5. 已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2,g(x) = 2x + 1,求f(g(3))的值。 解析:首先算出g(3) = 2(3) + 1 = 7,然后带入f(x)计算得f(g(3)) = 7^2 + 3(7) + 2 = 72。
第二部分:解答题 1. 计算方程2x + 5 = 15的解。 解析:将等式两边减去5,得到2x = 10,再除以2,得到x = 5,所以方程的解为x = 5。 2. 从一副扑克牌中随机抽取一张,求抽到红心或者黑桃的概率。 解析:一副扑克牌共有52张,其中红心和黑桃的数量各为13张,所以红心或者黑桃的概率为(13+13)/52 = 26/52 = 1/2。 3. 已知直线L1的斜率为1/2,过点A(2,3)。求直线L1的方程。 解析:直线L1的斜率为1/2,过点A(2,3),所以直线L1的方程为y - 3 = 1/2 * (x - 2)。 4. 某商场A店和B店销售同一种电视机,A店售价为原价的80%,B店以原价的1200元售出,若在B店购买该电视可享受一定的折扣,选择购买哪个商场的电视可以获得更大的实惠? 解析:设电视的原价为x元。 在A店购买价格是80%的x,即0.8x元; 在B店购买价格是1200元。 要使得购买价格更低,0.8x < 1200,解得x < 1500。 所以当电视的原价小于1500元时,在A店购买可以获得更大的实惠。