幂的运算 小结与思考

幂的运算的小结与思考

一、系统梳理知识：

幂的运算：1、同底数幂的乘法

2、幂的乘方

3、积的乘方

4、同底数幂的除法：（1）零指数幂

（2）负整数指数幂

请你用字母表示以上运算法则。你认为本章的学习中应该注意哪些问题？

二、例题精讲：

例1 判断下列等式是否成立：

①(-x)2＝-x2，

②(-x3)＝-(-x)3，

③(x-y)2＝(y-x)2，

④(x-y)3＝(y-x)3，

⑤x-a-b＝x-(a+b)，

⑥x+a-b＝x-(b-a)．

解：③⑤⑥成立．

例2 已知10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值．

解：因为103m=(10m)3=43 =64,102n=(10n)2=52=25.

所以103m+2n=103m×102n=64×25=1680

例3 若x＝2m+1，y＝3+4m，则用x的代数式表示y为______．

解：∵2m＝x-1，

∴y＝3+4m

＝3+22m．

＝3+(2m)2

＝3+(x-1)2

＝x2-2x+4．

例4设＜n＞表示正整数n的个位数，例如＜3＞=3，＜21＞=1，＜13×24＞=2，则＜210＞=______．

解 210=(24)2·22=162·4，

∴ ＜210＞=＜6×4＞=4

例5 1993+9319的个位数字是( )

A．2 B．4

C．6 D．8

解1993+9319的个位数字等于993+319的个位数字．

∵ 993=(92)46·9=8146·9．

319=(34)4·33=814·27．

∴993+319的个位数字等于9+7的个位数字．

则 1993+9319的个位数字是6．

三、随堂练习：

1、已知a=355，b=444，c=533，则有（）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a

C．c＜a＜b D．a＜c＜b

2、已知3x=a，3y =b，则32x-y等于 ( )

3、试比较355，444，533的大小．

4、已知a=-0.32,b=-3-2,c=(-1/3)-2d=(-1/3)0,比较a、b、c、d的大小并用“，〈”号连接起来。

练习P65 6 8

探究性学习：

在一次水灾中，大约有2.5×105个人无家可归，假如你负责这些灾民，而你的首要工作就是要将他们安置好。

（1）假如一顶帐篷占地100m2，可以安置40个床位，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？

（2）请计算一下这些帐篷大约要占多少地方？

（3）估计一下，你学校操场可以安置多少人？（4）要安置这些人，大约需要多少个这样的操场？

四、课堂小结：

总结本节课的主要内容，可以让学生再提出一些问题。

五、布置作业：

P64 复习巩固 2 4 5

勾股定理全章复习与小结

第17章勾股定理小结与复习 一、课件说明 本课是对全章知识的回顾和复习，通过知识整理，进一步理解勾股定理及其逆定理，体会勾股定理在距离（线段长度）计算中的作用，理解勾股定理与它的逆定理之间的关系，并尝试综合运用这两个定理解决简单的实际问题． 二、学习目标： 知识与技能： 1、进一步理解勾股定理入其逆定理，弄清两定理之间的关系。 2、回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构； 过程与方法： 1、} 2、复习直角三角形的有关知识，形成知识体系。 2、思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用. 情感态度恶劣与价值观： 通过运用勾股定理及其逆定理解决问题，体会到数学来源于生活，应用于生活。 三、学习重点： 勾股定理及其逆定理的应用． 四、教学过程： （一）创设情境引出课题 ;

问题1 如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这个雕像给你怎样的数学联想（出示图形） （背景介绍：我们知道，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理．在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．人们为了纪念这位伟大的科学家，在他的家乡建了这个雕像．） （二）层层提问，讲练相融 追问1 在本章我们学习了直角三角形一个重要的定理，你能叙述这个定理吗 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2 知识点一：勾股定理的运用: 1.已知直角三角形两边,直接利用勾股定理求出第三边. 基础练习1 在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c 的长为． ' 变式在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c的长为． 温馨提示:求第三边时应看清题目中所说的边是直角边还是斜边,如果题中没有说明,则应分两种情况求. 2.未已知直角三角形的两边,则一般通过设未知数列方程解决。 基础练习2 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）． A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m

个人总结与思考

个人总结与思考 由于我是TalentGuide校园俱乐部成员，机缘之下与广东外语外贸大学以及广东财经大学的两位前辈有一定接触，一位是2013年国际会计师公会案例分析比赛冠军、2012年联合利华营销精英挑战赛全国十五强，另一位曾实习于北京光大银行、香港英国保诚。通过与其线上访谈，可谓受益匪浅，感悟颇深。以下是个人的些许总结与思考。 关于金融 中资银行主要业务都是针对大众的，例如储蓄、借贷、缴费等方面，而外资银行因为本身的局限性，所以将业务的重点放在理财投资、人民币跨境等方面，尤其是理财投资，外资银行会有更成熟的投资产品和财富管理团队，故外资银行的客户会更多集中在高净值人士上，对外基本不会招柜员。同时外资银行的特点就是节奏快、压力大，中资银行的国有五大行和大型的股份制银行都会让新人从柜员做起，之后再根据个人情况安排不同的岗位，工作强度相对小很多。外资是一个以成绩论英雄的地方，只要你的工作足够出色，自然就有机会；中资比较讲究论资排辈和人情世故。 至于待遇，外资银行的标准和四大、快消差不多，比中资银行高一个档次。不过待遇不仅是薪酬，更重要的是公司的培训体系和平台，以便将来发展有更可观的选择。因此在中外资银行的选择上要思考是否适合自己的生活方式。 另外，其实中外资银行很多员工的专业都跟金融无关。中资银行会在新人做柜员时进行培训，外资银行则需要新人入职后用最短的时间弄懂金融知识，也就是十分强调学习能力。因此即使不是金融专业的，也可以通过阅读教科书、课外书等自学方式去了解金融，当然最有用的是在实习过程中汲取的知识。 在面试的问题上，一般中资银行才会有笔试，主要是行测题和金融基础知识，可以上应届生找到online test的详细攻略 。外资银行的留用取决于岗位，如果是wealth management等类别的话表现OK就不成问题了，如果是analysis的岗位通常需要研究生学历。 除去德意志银行在境外主要是投资银行业务，其余大多数都是商业银行。外资商业银行很多，但主要在全球表现都十分强的还是花旗、汇丰、渣打等。如果银行的平台比较广阔，个人的发展自然会更好，同时从大平台往下跳也会比较容易，因此要尽量往大平台走。

苏教版七下第八章小结与思考1

8.3小结与思考（1） 班级 姓名 成绩 1：计算： （1）23x x x ?? （2）23)()(x x x -??- （3）)()()(102a b b a b a -?-?- （4）4523122---?-?+?n n n y y y y y y a) 计算： （1）31)(-m a （2）54])[(y x + （3）325)2 1(b a - （4）7233323)5()3()(2x x x x x ?+-? 3、 典型例题： 例1、下面的计算，对不对，如不对，请改正？ (1)22)(a a -=- (2) 44)()(x y y x -=- (3) 22)()(a b b a --=- (4) 332)2(x x =- 例2、已知m 10＝4，n 10＝5，求n m 2310+的值． 解：

例3、若x ＝m 2+1，y ＝3+ m 4，则用x 的代数式表示y ． 解： 例4、比较332、223和114的大小 解： 例5、一个正方体的棱长为mm 2103?．求这个正方体的表面积和体积 解： 4、随堂练习 （1）123-?m m a a (m 是正整数) （2）842a a a ?? （3）4235)2(a a a +? （4）23)()()2(a a a ?--- （5）若107a a a m =?,则=m ______ （6）若n x =3, n y =7,则n xy )(的值是多少? n y x )(32呢? 归纳总结： 在运用幂的运算性质,首先应确定运算顺序和运算步骤；其次正确地运用性质、法则进行计算，在计算时，应注意符号和指数的变化。

勾股定理典型题总结(较难)

勾股定理 一．勾股定理证明与拓展 模型一 . 图中三个正方形面积关系 思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？ 例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 . 变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.

变式2：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC +∠DCB =90°，且BC =2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1=3，S 3=9，求S 2. （变式2） （变式3） 变式3：如图，Rt △ABC 的面积为10cm 2 ，在AB 的同侧，分别以AB ，BC ，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 ． （难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点 G 落在 HI 上，若 AC ＋BC ＝6，空白部分面积为 10.5，则阴影部分面积 模型二 外弦图 D C B A 内弦图 G F E H 例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为 13，每个直角三角形两直角边的和是5。求中间小正方形的面积为__________;

实数教学反思

2.6 实数教学反思 《2.6实数》是北师大版数学八年级上册第二章第六节内容，这是一节实数的运算、化简课，只有在熟练掌握两个公式（和这两个公式的逆运用）的基础上，反复利用练习来巩固学生对知识理解和融汇，这也是数（或式）的运算（或化简）的最大的特点。 《数学课程标准》强调：要关注学生“是否积极主动地参与学习活动；是否有学好数学的自信心，能够不回避遇到的困难；是否乐于与他人合作，愿意与同伴交流各自的想法；是否能够通过独立思考获得解决问题的思路；能否找到有效的解决问题的方法，尝试从不同的角度去思考问题；是否能够使用数学语言有条理地表达自已的思考过程；是否理解别人的思路，并在与同伴的交流中获益；是否有反思自已思考过程的意识。”所以，我首先通过课本引例问题，旨在使学生通过自己的探究活动，经过老师的引导，感受并体验实数的运算、化简；让学生根据实例进行探索，通过同学们互相交流合作，得出两个化简的公式（实际上是两个运算公式的逆运用），培养他们的合作精神和探索能力，也让他们获得成功的体验（因为这是教材里没有写出来的），充分调动、发挥学生主体性的多样化的学习方式，促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习。 因为课本的知识量比较少，我在新课引入和练习巩固方面所花的时间相对多一些，这也是数（或式）的运算的通用的做法，旨在通过练习、例题来巩固学生对所学知识的理解和掌握。但我也把练习、例题的量掌握在一定的尺度，以避免学生的反感与厌烦，从而导致前功

尽弃。 由于复习练习时学生配合相对不默契，浪费了一些时间，导致在课时小结时，显得比较仓促，这是本节课不足的地方。另外，实数的有关计算和化简，还有待于以后的练习和作业继续加强和巩固。

幂的运算 小结与思考

幂的运算的小结与思考 一、系统梳理知识： 幂的运算：1、同底数幂的乘法 2、幂的乘方 3、积的乘方 4、同底数幂的除法：（1）零指数幂 （2）负整数指数幂 请你用字母表示以上运算法则。你认为本章的学习中应该注意哪些问题？ 二、例题精讲： 例1 判断下列等式是否成立： ①(-x)2＝-x2， ②(-x3)＝-(-x)3， ③(x-y)2＝(y-x)2， ④(x-y)3＝(y-x)3， ⑤x-a-b＝x-(a+b)， ⑥x+a-b＝x-(b-a)． 解：③⑤⑥成立． 例2 已知10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值． 解：因为103m=(10m)3=43 =64,102n=(10n)2=52=25. 所以103m+2n=103m×102n=64×25=1680 例3 若x＝2m+1，y＝3+4m，则用x的代数式表示y为______． 解：∵2m＝x-1， ∴y＝3+4m ＝3+22m． ＝3+(2m)2 ＝3+(x-1)2 ＝x2-2x+4． 例4设＜n＞表示正整数n的个位数，例如＜3＞=3，＜21＞=1，＜13×24＞=2，则＜210＞=______．

解 210=(24)2·22=162·4， ∴ ＜210＞=＜6×4＞=4 例5 1993+9319的个位数字是( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解1993+9319的个位数字等于993+319的个位数字． ∵ 993=(92)46·9=8146·9． 319=(34)4·33=814·27． ∴993+319的个位数字等于9+7的个位数字． 则 1993+9319的个位数字是6． 三、随堂练习： 1、已知a=355，b=444，c=533，则有（） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 2、已知3x=a，3y =b，则32x-y等于 ( ) 3、试比较355，444，533的大小． 4、已知a=-0.32,b=-3-2,c=(-1/3)-2d=(-1/3)0,比较a、b、c、d的大小并用“，〈”号连接起来。 练习P65 6 8 探究性学习： 在一次水灾中，大约有2.5×105个人无家可归，假如你负责这些灾民，而你的首要工作就是要将他们安置好。 （1）假如一顶帐篷占地100m2，可以安置40个床位，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？ （2）请计算一下这些帐篷大约要占多少地方？

小结与思考(2)

第一章小结与思考 学习目标：通过对本章知识的小结与梳理，进一步掌握等腰三角形的性质和判定、直角三角形全等的判定、角平分线的性质定理与判定定理、特殊四边形 （平行四边形、矩形、菱形、正方形）的定义、性质和判定；等腰梯形 的性质和判定；中位线定理，并会灵活运用． 学习难点：性质定理和判定定理的应用 学习过程： 一．知识点： 1．根据“等腰三角形，等腰梯形的性质定理与判定定理，直角三角形全等的判定定理，角平分线的性质定理与判定定理，三角形中位线定理等。”填表： 直角三角形全等的判定方法有：。

二、例题学习 1、我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系。如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。 2、如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ） A 、线段EF 的长逐渐增大 B 、线段EF 的长逐渐减小 C 、线段EF 的长不变 D 、线段EF 的长与点P 的位置有关 3、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的 延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。 （1） 求证：BD =CD ； ⑵如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。 R P D C B A E F

D 图1 A B C E 【课后作业】 1．平行四边形ABCD 中，如果∠A=55°，那么∠C 的度数是 (A)45° (B)55° (C)125° (D)145° 2． 如图1，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=12，则DE 的长是 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 3、已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边 BC 、AB 上的点,且EF=ED,E F ⊥ED. 求证:AE 平分∠BAD. 4、如图11，已知ABC ?中，D 是AB 中点，E 是AC 上的点， 且ABE BAC ∠=∠，EF ∥AB ，DF ∥BE ， ⑴猜想DF 与AE 有怎样的特殊关系？ ⑵证明你的猜想． 5、如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ． （1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

勾股定理教学设计与教学反思

勾股定理教学设计 富裕县逸夫学校任晓娟 【教学目标】 一、知识目标 1.了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程. 2.掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。 二、数学思考 在勾股定理的探索过程中,发现合理推理能力.体会数形结合的思想. 三、解决问题 1．通过探究勾股定理（正方形方格中）的过程，体验数学思维的严谨性。 2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。 四、情感态度目标 1．学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐 步体验数学说理的重要性。 2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识 和探究精神。 【重点难点】 重点：探索和证明勾股定理。 难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 【设计思路】 本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生探究与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。 让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受到“无出不在的数学”与数学的美，以提高学习兴趣，进一步体会数学的地位与作用。 【教学流程安排】 活动一：了解历史，探索勾股定理 活动二：拼图验证并证明勾股定理 活动三：例题讲解，巩固练习

活动四：反思小结，布置作业 活动内容及目的：①通过多勾股定理的发现，(国外、国内)了解历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣。②观察、分析方格图，得到指教三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力。③通过拼图验证勾股定理，体会数学的严谨性，培养学生的数形结合思想，激发探究精神，回顾、反思、交流。布置作业，巩固、发展提高。 【教学过程设计】 【活动一】 (一)问题与情景 1、你听说过“勾股定理”吗？ (1)勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的， 西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理 (2)我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。书中记载有“勾广三， 股修四，径隅五。”这作为勾股定理特例的出现。 2、毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。 （1）现在请你一观察一下，你能发现什么？ （2）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？ （二）师生行为 教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，参与小组活动，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。 学生听故事发表见解，分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位，采用分割、拼接、数格子的个数等等方法。阐述自己发现的结论。 （三）设计意图 ①通过讲故事，让学生了解历史，培育学生爱国主义情操，激发学习的积极性。 ②渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间与空间， 发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相 图 A B C A B C B C A

201x版八年级数学上册第四章实数小结与思考学案新版苏科版

2019版八年级数学上册第四章实数小结与思考学案新版苏科版 【学习目标】 回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解,感受数形结合的思想。在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学的兴趣。 【教学重难点】 建立本章知识结构和各知识简单应用 【预习导航】 1．化简：16= ；9-= ；38-= ； 327--= 。 2．64的平方根是 ，立方根是 ；25的算术平方根是 。 3．一个数的平方根等于它本身，那么这个数是________；某数的立方根等于它本身，则这个数是 。 4．若12+x 的算术平方根是2，x ＝________． 5．将实数 23 1 ，38-，3.14159，-2π，2-，39,25,0.121121112…,填入下列集合 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …} 正实数集合: { …}; 负实数集合: { …}。 6． 21-的相反数是 ；绝对值是 。 7．比较下列各组数的大小： ⑴ 2- -1.4 ⑵3 1 3 12- 8．5.47×105 精确到 位， 28035≈_______ (精确到千位)，0.03196≈______ (精确到0.001) 9．比较下列各组数的大小： （1） 2- -1.4 ；（2） π- -3.14159 ； （3） 23________32 （设计意图：尊重学生已有的知识和经验，通过小题唤醒，复习旧知，为本课知识点归纳做准备） 【知识梳理】 本章的知识网络结构：

（设计意图：因为学生的学习要经历短时记忆到长时记忆过程，而网络化的总结方式有利于长时记忆的形成，有利于完善学生的认知结构，有利于加强知识之间的联系，构建知识体系） 例题分析 例1．（1）若实数x y ，满足2 6(5)0x y ++-=，则xy 的值是 ． （2）已知2x-1的是9的平方根，2y-4的立方为216，求3x+y 的平方根。 例2．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，8，5； （3）在图3中，画一个三边都是无理数的直角三角形三角形。 例3．已知：如图，AC 是?ABD 的高，BC=2cm ， ∠BAC=30°, ∠DAC=45°，求AD 。 图2 图3 图1 45? 30? A

幂的运算知识要点归纳及答案解析

幂的运算知识要点归纳及答案解析 【要点概论】 要点一、同底数幂的乘法特点 +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、 多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数 与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则 ()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘 方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则 ()=?n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：()=??n n n n abc a b c (n 为正整数). （2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其 是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如：1010 101122 1.22???? ?=?= ? ????? 重点四、注意事项

小结与思考

小结与思考 一、基础训练 1．一个长方形的宽为a cm ，长比宽的2倍少1cm ，这个长方形的长是______cm . 2．单项式z y x n 123-是关于x 、y 、z 的五次单项式，则n= . 3．关于x 的多项式b x x x a b -+--3)4(是二次三项式，则a = ，b = . 4．当k = 时，单项式－3 1a 2b 2k +1与4132+k b a 是同类项. 5．已知x +y =3，则7-2x -2y 的值为 . 二、典型例题 例1 求代数式 42222[(5)(32)]xy x xy y x xy y -+--+-的值，其中1 1,42 x y =-=-. 例2 2263b ab a A +-=，2 275b ab a B ---=，其中1-=a ，1=b ，求B A 23+- 的值. 三、拓展提升 例 某市出租车收费标准是：起步价10元，3千米后每千米2元，某乘客乘坐了x 千米 （x ＞5） （1）请用含x 的代数式表示出他应该支付的车费； （2）若该乘客乘坐了20千米，那他应该支付多少钱？ （3）如果他支付了34元，你能算出他乘坐的里程吗？

四、课后作业 1．当x =2时，多项式53 5-++cx bx ax 的值为7，则当x =-2时，这个多项式的值为 . 2．当25y x -=时，()()6023252-+---y x y x = . 3．（a +b +c +d ）（a -b +c -d ）=[（a +c ）+（ ）][（a +c ）-（ ）]. 4．已知A 是十位数字为x 、个位数字为y 的两位数，B 是十位数字为y 、个位数字为x 的两位数，那么A -B = .（用含x 、y 的代数式表示） 5．根据规律填代数式：13+23=(1+2)2；13+23+33=(1+2+3)2；13+23+33+43=(1+2+3+4)2 …，13+23+33+…+n 3=_____. 6．化简： （1） ()()233233543x x x x +---+ （2） ()133211+---+-++n n n n x x x x 7．已知a =1,b =1-，求多项式()()33222312222a b ab a b ab b ??-+--- ???的值. 8．探索规律：如下图，图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2， 再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3. 图１ 图2 图3 （1）填写下表： （（3）能否分出246个三角形？简述你的理由.

勾股定理思维导图题型总结归纳

（一）勾股定理 2 2 2 1：勾股定理如果直角三角形的两条直角边长 分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2＝c2 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾” 要点诠释： 2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关 系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应 用： 1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中， C 90 ，则 c a2 b2，b c2 a2，a c2 b2） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关 系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的 问题 3：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方 法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股 定理 常见方法如下：b 方法 1 4S S S 4 ab (b a) 4S S正方形EFGH S正方形ABCD，2 22 c ，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面 积． a 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 1 ab c 2 2 2 2ab c 2 2 2 2 2 2 大正方形面积为S (a b) a 2ab b 所以 a2 b2 c2 S梯形 2(a b) (a b)，S梯形2S ADE S ABE 1 2 ab 12 c 较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”

4：勾股数

B C ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 时，称 a ，b ， c 为一组勾股数 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ； 8,15,17 ； 9,40,41 等 22 2n 1,2n 2n,2n 2n 1（ n 为正整数） 5、注意： （1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 （2）勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的 题目。 3）勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主 要错误 （4）推理格式：∵△ ABC 为直角三角形 ∴AC 2+BC 2=AB 2. （或 a 2+b 2=c 2） 二）勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为： a 、 b 、 c ，且满足 a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通过“数转化为形” 来 确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为： c ； （2）验证 c2 与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2＝a2+b2，则△ ABC 是以∠ C 为直角的直角三角形 （若 c2>a2+b2，则△ ABC 是以∠ C 为钝角的钝角三角形；若 c2

第二章 实数回顾与思考(教学设计)

第二章实数 回顾与思考 一、学生起点分析 本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础． 二、教学任务分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可．作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法． 因此，本节课的教学目标是： ①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算； ②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想； ③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流； 本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念． 本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握

小结与思考(2)

3219,423. x y x y ???+=+=26,4327.x y x y ???+=+=211,43 x y x y ???+=+=211,4327. x y x y ???+=+=图2 图1 第十章 二元一次方程组 小结与思考2 教学目标 1.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型. 2.学会解决实际问题,分析问题能力有所提高. 教学难点 找出实际应用问题中的等量关系. 教学过程 一． 复习引入： 利用方程组解决实际问题的方法和步骤： 1．理解题意，明确数量关系 2．找相等关系 3．设未知数 4．列出二元一次方程组 5．解这个二元一次方程组 6．检验并作答 二．基础练习： 1.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219,423.x y x y ?? ?+=+=类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ） A ． B ． C ． D ． 2.有甲、乙两种铜银合金，甲种含银25%，乙种含银37.5%，现在要熔成含银30%的合金100千克，这两种合金各取多少千克？

3.甲、乙两地之间路程为20km,A,B 两人同时相对而行，2小时后相遇，相遇后A 就返回甲地，B 仍向甲地前进，A 回到甲地时，B 离甲地还有2km,求A,B 两人速度. 三．例题讲解： 例1.小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是两位数；1h 后看到里程 碑上的数与第一次看到的两位数恰好颠倒了数字顺序；再过1h 后，第三次看到的里程碑上的数字又恰好是第一次见到的数字的两位数的数字之间添加一个0的三位数，这3块里程碑上的数各是多少？ 例2．七年级（2）班的一个综合实践活动小组去A 、B 两个超市调查去年和今年“五 一”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景，根据他们的对话，请你分别求出A 、B 两个超市今年“五一”期间的销售额. 四．巩固提高： 1.某船在静水中的速度为4 千米/时，该船于下午1点从A 地出发，逆流而上，下午2点 20分到达B 地，停泊1小时后返回，下午4点回到A 地.求A 、B 两地的距离及水流的速度. 2.某乐园的价格规定如下表所列,某校七年级(1)、(2)两个共104人去游乐园,其中 (1)班人数较少,不足50人,(2)班人数较多,超过50人,经估算,如果两班都以班为 单位分别购票,则一共应付1240元;问两班各有多少名学生? 如果两班联合起来, 五．归纳总结： 利用方程组解决实际问题的基本步骤？ 比去年增加

(完整版)实数全章总结

课题：第六章 实数（全章小结） 耿城中心学校 张 莺 教学目标：1、理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的 平方根或立方根； 2、了解无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义 3、进一步体会数系扩充的必要性与合理性，了解实数与数轴上的点一一对应以 及有理数的运算律适用于实数范围 教学重点：．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义； 教学难点：．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义以及相关概念及运算。． 教学过程： 一、 知识点回顾 1、 特别是平方根、立方根、算术平方根的概念，进行对比复习，注重它们的区别与联系，可让学生找一找区别与联系。 2、当求一个非负数的平方根时，可能会出现无理数，使得数的范围从有理数扩大到实数。 ①实数分类： 正有理数 正实数 正无理数 实数 0 负有理数 负实数 负无理数 ②每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点又都可以表示成一个实数，它们之间是一一对应的。 ③你会在数轴上寻找2、、5 ???????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????→←.00;;___00;.;00:,的立方根是方根负数有一个负的立方根正数有一个正的立性质定义立方根开立方的算术平方根是的正的平方根正数性质定义算术平方根负数没有平方根的平方根是们互为相反数根一个正数有两个平方性质定义平方根开平方开方乘方互为逆运算a ???? ?????????????负无理数正无理数无理数负有理数正有理数有理数实数0

勾股定理及教学反思

19.9勾股定理（1） 吴淞实验学校徐琳教学设计说明 本节课是义务教育课程标准上教版教科书八年级(上)第十九章《几何证明》第九节第1课时. 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值． 教学目标 1.理解用面积割补方法证明勾股定理的思路； 2.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习． 3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 教学重点及难点 面积割补法证明勾股定理 教学过程设计 一．创设情境，引入新课 内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大

会的会标： 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题） 意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育. 效果：激发起学生的求知欲和爱国热情. 二．探索发现勾股定理 1．探究活动一： 内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察： （2）引导学生从面积角度观察图形： 问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 学生通过观察，归纳发现： 结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积． 意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫. 效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力； 2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 2．探究活动二：

(完整版)幂的运算总结及方法归纳

幂的运算 一、知识网络归纳 二、学习重难点 学习本章需关注的几个问题： ●在运用n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数），n m n m a a a -=÷（0≠a ，m 、n 为正整数且m ＞n ），mn n m a a =)(（m 、n 为正整数），n n n b a ab =)(（n 为正整数），)0(10≠=a a ，n n a a 1 = -（0≠a ，n 为正整数）时，要特别注意各式子成立的条件。 ◆上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。 ◆注意上述各式的逆向应用。如计算20052004425.0?，可先逆用同底数幂的乘法法则将20054写成442004?，再逆用积的乘方法则计算 11)425.0(425.02004200420042004==?=?，由此不难得到结果为1。 ◆通过对式子的变形，进一步领会转化的数学思想方法。如同底数幂的乘法

就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。 ◆在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律”这一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。 一、同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 公式表示为：()m n m n a a a m n +?=、为正整数 2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 () m n p m m p a a a a m n p ++??=、、为正整数 注意点： （1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数. （2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算. 例题： 例1：计算列下列各题 （1） 34a a ?； （2） 23b b b ?? ； （3） ()()()2 4 c c c -?-?- 简单练习： 一、选择题 1. 下列计算正确的是( ) A.ａ2+ａ3=ａ5 B.ａ2·ａ3=ａ5 C.3m +2m =5m D.ａ2+ａ2=2ａ4 2. 下列计算错误的是( ) A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2 B.ａm +ａm =2ａm C.3m +2m =5m D.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m 3. 下列四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ 5 ④ p 2+p 2+p 2=3p 2 正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( ) A.100×102=103 B.1000×1010=103 C.100×103=105 D.100×1000=104 二、填空题 1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。 2、 b 2·b ·b 7 =________。 3、103·_______=1010 4、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5 =__________。 5、ａ5·ａ( )=ａ2·( ) 4=ａ18 6、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5 =__________。 中等练习： 1、 (-10)3·10+100·(-102 )的运算结果是( ) A.108 B.-2×104 C.0 D.-104

乘法公式小结与思考

小结与思考 新沂市第四中学张世涛 一、教学目标： 1、梳理全章知识结构，使学生系统地把握全章知识。 2、复习整式乘法、乘法公式和因式分解的内容，能熟练地进行基本运算或变形。 3、通过对主要知识点回顾，对易错、易混点分析，进一步提高学生的知识技能。 4、通过探索、合作、交流活动，培养学生团结、协作精神。 5、通过做一做，使学生感受到整式乘法与因式分解具有相同的几何背景，提高对两者关系的认识高度，从而培养学生“两分法”看世界的观点，使学生初步感受矛盾对立统一的辩证思想。 6、在教学过程中和阅读材料里，渗透类比、转化等数学思想以提高学生数学素养。 二、重难点： 1、能准确理解整式乘法和因式分解的关系，能准确规范地进行基本的整式乘法运算，能准确规范地用提公因式法、公式法分解因式。 2、通过操作理解整式乘法与因式分解的几何背景，感受数、形结合思想，进而抽象到用“两分法”看世界。 3、理解整式变形中蕴含的数学思想、方法，培养初步推理能力。 说明 本课时是本章的小结与复习，重在对全章内容重新梳理，对学生易错、易混点要多做提醒，教学中要抓住本章的灵魂，整式乘法与因式分解的关系——互为逆过程这一中心来设计。在对比中让学生理解它们的区别，在动手操作时理解它们的关系，还要注意渗透类比、转化等数学思想。要关注考一考中的学生掌握情况，以利于采取补救措施，本课时内容较多，在时间安排上要根据学生情况作出灵活调整。 三、教具、学具 矩形、正方形纸板若干块，有条件的用实物投影仪或多媒体演示。 四、教学过程 (一)设置情境 情境1你能说出(－2)2005+(－2)2006的结果吗？

说明：学生讨论、交流后回答，注意学生可能采取的不同的策略。对学生思维中出现的创造性火花予以鼓励，本设计旨在让学生体会因式分解合理性、实用性。 思考 1、在解题过程中你用了什么方法？ 2、这种方法的要点是什么？在使用这种方法时，要注意哪些问题？建议教学时，及时复习公因式如何确定等要点，可以自己配套选取相应内容的练习。 情境2 小明、小丽、小亮三人做游戏，小明、小亮一人手里拿一块正方形纸片。小明说：我这块纸片边长比小亮的大2cm，小亮说：我这块面积比小明的小20cm2，现在，让小丽猜他们两人手中的正方形纸片边长各是多少？ 你能帮助你小丽解决这个问题吗？ 说明：让学生讨论、交流，确定解决策略，建立数学模型后得出方程(x+2)2－x2=20，可能不困难，要重点关注下面的变形，有的用完全平方公式展开后合并、化简的解；有的是用因式分解变形，教学时要鼓励学生用不同的方法以达到复习目的。 思考： 1、刚才的解题过程中，用了哪些方法？引出乘法公式和因式分解。 2、你能说说整式乘法和因式分解的关系吗？ 3、本章的主要内容有哪些？从而引出本章的知识结构。 情境3 提问：本章学了哪些主要内容？ 小组交流、讨论、口答，老师补充、规范。 思考： 1、你能举一个单项式乘多项式的例子吗？ 2、你能举一个多项式乘多项式的例子吗？ 3、你能举一个乘法公式的例子吗？ 然后让学生把上面几个例子倒过来看，是什么？用什么方法？引出因式分解与整式乘法的关系。 (二)知识回顾