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二次函数中各项系数abc与图像的关系

二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系

一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：

1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；

决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．

2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．

b 与a 同号，说明02<-

a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明?b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；

特别的，b = 0，对称轴为y 轴．

3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）

c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；

c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；

特别的，c = 0，抛物线过原点．

4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2?4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点

b 2?4a

c >0 与x 轴两个交点

b 2?4a

c =0 与x 轴一个交点

b 2?4a

c <0 与x 轴没有交点

5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；

x= -1时，y=a - b + c ．

当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0

当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．

扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。

一．选择题（共8小题）

1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（）

A ．a ＞0

B ．b ＜0

C ．c ＜0

D ．b +2a ＞0

2．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）

A ．a ＞0

B ．b ＜0

C ．ac ＜0

D ．bc ＜0．

3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①

abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有

（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；

②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

第3题图第4题图第5题图第6题图

5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；

②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；

③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个

①c＞0；

②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；

③2a﹣b=0；

④＜0；

⑤4a﹣2b+c＞0．

A．2 B．3 C．4 D．5

8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜

时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

二．填空题（共4小题）

9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b2；

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；

③3a+c＞0；

④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；

⑤当x＜0时，y随x增大而增大；

其中结论正确有．

10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．

11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=．

12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．

三．解答题（共7小题）

13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的

方向和距离．

14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：

（1）满足条件的m值；

（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随

x的增大而增大？

（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的

增大而减小．

15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．

（1）求这个函数的解析式；

（2）求这个函数图象的顶点坐标．

16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与

该抛物线相应的二次函数表达式．

17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．

（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；

（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；

（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？

18．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个

锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；

（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．

19．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？

二次函数和abc的关系

1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列 4个结论中：①abc>0；②b0；④b 2-4ac>0； ⑤b=2a.正确的是（填序号） 2、根据图象填空，：（1）a 0 ，b 0 ，c 0， abc 0. （2）b 2-4ac 0 （3）c b a ++ 0；c b a +- 0；（4）当0>x 时，y 的取值围是；当0>y 时，x 的取值围是 . 3.若一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第二象限，交于y 则下列结论正确的是（）. A.a ﹥0,bc ﹥0; B.a ﹤0,bc ﹤0; C. a ﹤0, bc ﹥0; D.a ﹥0, bc ﹤0 4.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（） A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0 C 、b=-4a D 、关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=5 5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①b 2-4ac ＞0； ②abc ＞0 ③8a+c ＞0； ④9a+3b+c ＜0 其中，正确结论的个数是（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6．已知二次函数y= ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1； ③当x=1时，y=2a ；④am 2+bm+a ＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜0；②a ﹣b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0．其中所有正确结论的序号是（） A ．③④ B ．②③ C ．①④ D ．①②③ 8．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论： ①a ＜0；②c ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④＜0中，正确的结论有（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9．函数y=x 2 +bx+c 与y=x 的图象如图，有以下结论： ①b 2﹣4c ＜0；②c ﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（）第7题图第8题图第9题图第10题图

二次函数y=abc知识点及练习

二次函数 y =a x 2 +b x +c (a ≠0)知识点及练习一、y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的性质：二、解读：①抛物线开口向上时，a ＞0；开口向下时，a ＜0；抛物线与y 轴交点在x 轴上方（即交于y 轴正半轴）时，c ＞0；反之，c ＜0. ②配方法确定顶点坐标：将y=ax 2+bx+c (a ≠0)转化为顶点式，y=ax 2+bx+c =a(x 2 +a b x+a c )=a[x 2 +2·a 2b +(a 2b )2 -(a 2b )2+a c ]=a(x+a 2b )2+a b 4ac 42- ③抛物线顶点横坐标- a b 2，若顶点在y 轴左侧时，-a b 2＜0即a b ＞0，所以a 、b 同号；反之a 、b 异号。 ④抛物线顶点纵坐标a b 4a c 42 -，根据a 的符号，判定其最值； ⑤抛物线与x 轴有两个交点，则b 2-4ac ＞0；一个交点b 2-4ac=0；没有交点b 2-4ac ＜0.

三、牢记：（1）二次函数各项系数与图像的关系 ①a ＞0<=>开口向上；a ＜0<=>开口向下 ②b=o<=>对称轴为y 轴；ab ＞0<=>对称轴在y 轴左侧；ab ＜0<=>对称轴在y 轴右侧 ③c=0<=>经过原点；c ＞0<=>与y 轴正半轴相交；c ＜0<=>与y 轴负半轴相交（2）常用的二次函数的表达式有以下三种： ①一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0) ②顶点式：()2y a x h k =-+ （a ≠0） ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1与x2为二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图像与x 轴交点的横坐标。练习一、填空题： 1. 函数y=2x 2-8x+1，当x= 时，函数有最值，是 . 2. 函数2133 y x =---，当x= 时，函数有最值，是 . 3. 函数y=x 2-3x-4的图象开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，当x 时，函数y 有最值，是 . 4、二次函数y=x 2+2x-5取最小值时，自变量x 的值是 . 5、二次函数y=ax 2+4x+a 的最大值是3，则a= .

二次函数中各项系数abc与图像的关系

二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下： 1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小． 2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关． b 与a 同号，说明02<- a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明?b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴． 3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点． 4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2?4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点 b 2?4a c >0 与x 轴两个交点 b 2?4a c =0 与x 轴一个交点 b 2?4a c <0 与x 轴没有交点 5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ； x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0 当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。一．选择题（共8小题） 1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（） A ．a ＞0 B ．b ＜0 C ．c ＜0 D ．b +2a ＞0 2．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（） A ．a ＞0 B ．b ＜0 C ．ac ＜0 D ．bc ＜0． 3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：① abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0； ②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个第3题图第4题图第5题图第6题图 5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0； ②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；

二次函数系数abc与图像的关系

二次函数系数a、b、c与图象的关系知识归纳： 1.a的作用：决定开口方向和开口大小 2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置） 3.c的作用：与y轴交点的位置。 4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。 5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c), (-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。针对训练： 1.判断下列各图中的a、b、c及△的符号。 (1)a___0； b___0； c___0；△__0. (2)a___0； b___0； c___0；△__0. (3)a___0； b___0； c___0；△__0. (4)a___0； b___0； c___0；△__0. (5)a___0； b___0； c___0；△__0. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，用（＞，＜，=）填空： a___0； b___0； c___0； a+b+c__0； a-b+c__0.

3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（） A.ab<0 B.bc<0 C.a+b+c>0 D.a－b+c<0 4.二次函数y=ax2+bx+c图象如图，则点 A（b2-4ac，-b a）在第象限． 5．已知 a＜0，b＞0，c＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，判断下列各式的符号：(1)a； (2)b； (3)c； (4)a+b+c； (5)a-b+c；(6)b2-4ac； (7)4ac-b2； (8)2a+b； (9)2a-b 7.练习：填空（1）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值恒为正的条件：，恒为负的条件： . （2）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象在x轴的下方，则方程ax2+bx+c=0的解得情况为： . 3题图4题图6题图

二次函数系数abc与图像的关系

二次函数系数a、b、c与图像的关系 1．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的（） A B．C．D． 2.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结中，正确的是（） A.a＞0 B.b＜0 C.c＜0 D.a+b+c＞0 3.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（） A .1 B.2 C.3 D.4 4.如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）. 下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（） A．①②B．②③C．②③④D．①②④ 5.如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤4a-2b+c＜0，则正确的结论是（） A.①②③④ B.②④⑤ C.②③④ D.①④⑤ 7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论： ①abc＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；④b2- 4ac＞0； ⑤a+b+c＞m（am+b）+c（m＞1的实数），其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个

二次函数系数abc的应用和解析式

二次函数系数与解析式 1、二次函数定义：一般地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数表达式的二次项次数、一次项系数和常数项. 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 2、二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，已知抛物线上三点或三对x ，y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：)0)(()(21≠--=a a x x x x a y 常数，。已知抛物线与x 轴交点的横坐标x 1、x 2，通常选用交点式。 3、二次函数c bx ax y ++=2中a ，b ，c 的作用：（1） a 决定_________。 ①当________时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x <-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x <-a b 2时，y 随x 的增大而________.②当_________时，图象开口向下，当x =_________时，函数有最___值________； x >-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x <-a b 2时，y 随x 的增大而________. ③当|a |越大，图象开口越_____. （2）a 和b 共同决定________. ①b=0时，对称轴为______； ②a 和b 同号时对称轴在y 轴___侧； ③a 和b 异号时对称轴在y 轴___侧.简记为。（3）c 的大小决定抛物线与_____的交点的位置. ①当_______时，图象与y 轴正半轴相交； ②当______时，图象与y 轴负半轴相交； ③当______时，图象过原点.

二次函数一般是中a-b-c与图像都关系

二次函数图像与系数a，b，c的关系一．选择题（共35小题） 1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（） A．1个B．2个 C．3个 D．4个 2．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法： ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0 其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（）

A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤ 4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3； ③3a+c＞0 ④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3 ⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（） A．4个B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（）