数学方法论论文数学思想方法论论文
数学方法论论文数学思想方法论论文
数学方法论思想在职高数学教学中的应用
摘要：数学方法论思想在数学教学中具有重要的意义。通过介绍数学方法论思想中化归的思想方法、分类的思想方法和数学模型的思想方法，指出这三种方法在职高数学中的应用和学生掌握这些方法对提高解题能力和学好数学的指导意义及重要性。
关键词：数学方法论思想；化归的思想方法；分类的思想方法；数学模型数学方法是科学思维作用于数学研究中所体现出的认识世界和改造世界的方法。徐利治教授对这门新学科下了一个比较确切的定义：数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。所谓数学的思想不仅是对数学知识本质的认识，而且是在理性层次上对数学规律的总结和认识。笔者认为，数学思想是在运用数学方法进行解决问题的过程中，凝炼出的数学观点，是在数学活动中对运用数学解决问题具有指导性的意义。数学方法对学生学习数学具有举足轻重的作用，如使用合理得当能够起到事半功倍的效果。学生在解题时，若强调解题思想时则称为数学思想，若强调解题方法时则称为数学方法，因此，数学思想和数学方法是相辅相成，相互统一的。数学思想方法是数学的精髓，它蕴含于数学知识发生、发展和应用的过程中，不仅是对数学事实与数学概念、定理、公式、法则等一些理论的本质认识，而且是形成学生的良好的认知结构的纽带，正确地运用数学思想方法能很好地培养学生分析问题和解决问题的能力，能很好地体现数学学科的特点，有利于学生形成良好的数学素养。数学方法论思想是使学生掌握数学思维方法，在面对新题型和题目稍作改变时运用准确的数学方法，从而能够更好地进行思考解题。因此，数学方法论思想是职高数学教学中重要的
一种数学思想方法，在数学教学过程中渗透数学方法论的思想是职业教育中学数学教师的主要任务之一。
目前笔者所在学校的五年制高职的学生基本上都是因为没有考取高中，退而求其次，选择了职业高中。这些学生中绝大部分学生一直以来数学成绩不理想，在心理上“望数生畏”，在很大程度上是由于在数学的学习过程中没有从本质掌握解题的思想方法。一方面，这部分学生和高中生相比，基础知识相对薄弱，数学的思维能力和接受能力、思辨能力、逻辑推理及归纳能力都要稍逊一筹；另一方面，职高的数学和初中的数学相比，在知识内容、思想方法、学习方法等方面有了比较大的跨度，并且在知识内容的衔接上更为紧密。对于职高的学生来说要学好数学并不是一件容易的事，因此掌握好数学方法论思想对指导学生进行数学学习具有积极的意义。
一、化归的思想方法
化归的方法是一个重要的数学思想方法。“化归”是转化和归结的简称。化归方法是数学中解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种转化手段归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决模式的问题，且通过对问题B的解决而得到原问题A的解答。解决问题的过程是从未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化的过程。笛卡尔认为，任何问题都可以化为数学问题，这里的“化”意为“化归”，善于使用化归是数学家思维方式中的一个特点。数学内部的逻辑联系，讨论问题的条件与结论之间的关系为寻找化归目标及途径提供了可能，所以化归思想在数学方法论思想中具有特别重要的地位，化归思想是解决数学问题的最基本的思想。
在XX省五年制高职的第四册数学第十二章是关于导数的教学。在导数这一部分要解决的问题是初等函数的求导问题。在本章教学开始时，首先可以通过导数定义得到一些基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则。如：，，，，，，，使学生通过练习熟练而又牢固地掌握这些公式，在此基础上进一步进行复合函数求导的教学。这时，可以利用化归原则，将对复合函数的求导转化为已知学生已经掌握的基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则。
例如：求的导数。
解：函数可以分解为y=eu与，化归为会求的，
由复合函数的求导法则可知，将代入上式，得
又例：求的导数。
解：因为函数可以分解为和；化归为会求的，所以由复合函数求导法则可知：
最后在进行隐函数求导的教学时，同样可以利用化归的原则，将其转化为学生已经掌握复合函数的求导。
例如：求由方程确定的函数的导数。
解：方程两边分别对x求导，，将y看成是复合函数化归为解出，得
无论是隐函数的求导还是复合函数的求导都是化归为最基本的求导公式和求导法则。同样，化归的思想在第四册书的积分教学中也有着重要的作用，在利用牛顿—莱布尼兹计算定积分时也是利用化归的思想，将其先转化为不定积分进行计算，然后再带入上下限得出答案。例如：计算不算积分解：
学生要解决定积分的计算问题只要掌握好不定积分的计算，就能利用化归的思想解决所求的问题。
由此可见，化归的数学思想方法在学生的学习中有着重要的作用，教师在教学中应注重培养学生化归的能力，这样不仅能帮助他们理解和掌握新知识，提高他们的解题能力，还有利于提高学生数学思维能力。
二、分类的思想方法
分类是以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归为一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方法。在职高的教学中，分类的思想方法应用比较广泛而且比较重要。通过比较分类可以帮助学生理清各个知识点之间的异同和相互联系，使不同的概念和知识要点条理清楚，泾渭分明，从而使知识条理化，并进而系统化，促进认识结构的发展。分类方法虽侧重于理性思维，但是条理化、系统化的信息便于检索和储存，对知识的巩固、理解的深化、后续的学习和问题的解决都起着重要的指导作用。特别是对于数学能力相对较薄弱的职高学生而言，要学好高等数学中不定积分的分部积分法有一定难度，而用分部积分法解不定积分的难点是关键，就是对于被积函数本身的u和v'的选择，如果选对了则问题也就迎刃而解，否则就无法得到结果。部分学生在解不定积分的时候往往看不出来哪些积分是应该使用分部积分法去解题的，或者看出来了但不会选择u和v'，或者是选择错误。这些问题是导致学生不定积分解答正确率不高的原因。要提高正确率，就要让学生明确哪些类型的不定积分是要用分部积分法来解题的。因此这时应理清不定积分的特点和类型，在此基础上可以通过分类的数学方法将需要掌握的分部积分分成三个类型，便于学生掌握u和v'的选择规律，详见表1。
例如：计算下列各不定积分（1）（2）
分析：观察（1）（2）两小题，和表中的不定积分类型相对照，可以明确（1）是属于第Ⅰ种类型，，故，而（2）是属于第Ⅱ种类型，，故，从而可以代入公式
解：1）令，则，利用分部积分公式，得
在这里连续两次使用了分部积分的公式，第一次使x的指数降为一次，第二次对进行积分，这也是属于分部积分当中的第Ⅰ种类型，这时，再利用积分公式，从而得出答案。
2）令，则，利用分部积分公式，得
由此可见，掌握了要使用分部积分法的积分的不定积分的三种类型，解题就显得很容易了。
三、数学模型的思想方法
所谓的数学模型，就是用数学的语言和方法对各种实际对象作出抽象或模仿而形成的一种数学结构。通过建立数学模型，将考察的实际问题化为数学问题，构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究和解答，使原来的实际问题得以解决，这种解决问题的方法叫做数学模型的方法。建立数学模型的思想方法在职高的数学教学当中有着广泛的应用，也是在解题时要求学生掌握的一种数学思想方法。例如，对于“§12.5导数的应用”和“§10.5数列的应用举例”这两节内容，就是要要求学生运用所学的导数的知识和数列的知识来解决实际问题，即解应用题。学生在解应用题时得分率不高的原因是没有掌握数学建模的最基本方法，有的读不懂题意，有的是无法转化为相应数学的问题，对题目是无从入手。因此，针对这些问题，要教会学生数学模型的方法，切实解
决实际问题，提高应用题的正确率。首先是模型准备，这是建立数学模型的第一步。根据题意，必须了解实际问题的背景，明确建模的目的，弄清实际对象的本质特征，为下一步做好准备工作。其次是模型假设，根据实际原型的特征和建模的目的，对问题进行抽象和简化，抓住问题的主要因素，忽略次要因素，做出正确的假设。再次是模型建立，根据模型假设，运用数学语言，把所要研究的实际问题的内在规律表达出来，建立合适的数学模型。接着是模型求解和模型分析，在建立模型的基础进行数学上的求解，并对模型的求解结果进行数学上的分析，得出最优的结果。最后是模型检验，模型分析的结果是否符合实际还必须回到实际中去对模型进行检验其是否符合实际问题的合理性和实用性。
例如：2002年底某城市人口约有100万，人均住房面积为8平方米，计划2006年底要使人均住房面积达到10平方米，如果该市将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市每年平均至少要增加多少面积的住房？（结果以万平方米为单位，保留2位小数）
分析：根据题目的问题“这四年每年平均至少要增加的住房面积”及条件“每年人口平均增长率控制在1%”，可以看出这是一个等差数列和等比数列的问题。根据题意，模型假设和建立相应的模型，一个以2002年年底这个城市有的住房面积为首项，每年平均要增加的住房面积为公差的等差数列；一个是以100万人为首项，1.01为公比的等比数列，两者之间存在着不等式的关系。
解：由题意，设该城市每年至少增加的住房面积为d万平方米，从2002
年起这个城市每年年底的住房面积组成一个以800万平方米为首项，d为公差
的等差数列{an}，每年年底人口数组成一个以100万为首项，1.01为公比的等比数列{bn}。
建立模型：因为a5=800+4d，b5=100×1.014，所以
800+4d≥100×1.014×10，
模型求解：解得d≥60.15（万平方米）
答：该城市每年平均至少新增住房60.15万平方米。
通过对模型的计算结果60.15万平方米进行分析检验可以发现，这个数据在实际情况下是有可能实现的。在数学建模的思想下，问题很容易就得到了解决。
四、结语
综上所述，数学方法在职高数学中应用是非常重要和广泛的。因此，在教学中要使学生掌握和使用数学方法进行学习和解题，从而提高学生的学习能力和学习成绩。
参考文献：
[1]王亚辉.数学方法论——问题解决的理论[M].:大学,2007.
[2]数学编写组.五年制高等职业教育教材《数学》第四册(第二版)[M].XX:XX 科学技术,2007.
[3]数学编写组.五年制高等职业教育教材《数学》第三册(第二版)[M].XX:XX 科学技术,2007.