人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论

人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周

角定理及推论

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一、圆周角定理

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

①定理有三方面的意义：

a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )

b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧

c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.

②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.

二、圆周角定理的推论

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径

推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个

三角形是直角三角形

三、推论解释说明

圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。

①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.

②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”

③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件

④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.

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通海路中学九年级数学教案课题：圆周角及其推论（1） 教学目标1、掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算； 2、培养观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力； 3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性 教学重点：圆周角定理及其推论的应用. 教学难点：熟练应用圆周角定理及其推论以及辅助线的添加. 个性设计一、自主学习 1、学习内容:教材p49--52页. 2、自学时间:5--10分钟. 3、自学检测:自学中遇到的问题做标记,完成教材p52页练习. 二、合作交流 1、知识点一：圆周角的定义 定义：顶点在______,并且两边都和圆______的角叫圆周角. 2、知识点二：圆周角定理 圆周角定理: 几何语言: 练习： 1.如图，已知A,B,C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，则∠ACB=_______. 2.如图，点A,B,C在⊙O上，∠ACB=30°，则cos∠ABO的值是_______. 3.如图，A,B,C是半径为6的⊙O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC=_______. 3、知识点三：圆周角定理的推论（1） 在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角____,相等的圆周角所对的弧也____练习： 4.如图，A、B、C三点在⊙O上,且△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于（） A、30° B、60° C、90° D、45° 5.如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B=____． 6.如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD,若∠BAC=25°,则∠ADC=______.

圆周角定理及推论知识点与练习

圆周角定理及推论知识点与 练习 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

圆周角定理及推论知识点与练习 1、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 特别提示：证明圆周角定理时，可以分以下三种情况进行分类讨论： ①圆心在圆周角外 ②圆心在圆周角上 ③圆心在圆周角内 特别提示：圆周角定理的证明分三种情况，利用三角形外角和定理证明。 2、推论： ①圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半； ②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 ③半圆（直径）所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个，同一条弦所对的圆周角的度数有两个，一个是所对的劣弧度数，另一个是所对的优弧度数。 3、应用 （1）运用圆周角定理及推论时，注意在同圆或等圆中； （2）运用此定理要善于从弧到角或从角到弧的转化，常用弧相等来证角相等； （3）在圆中常添加直角所对的弦或构造直径所对的圆周角为直角有关的辅助线，利用直角三角形解决有关的计算问题。 例：⊙O 半径OA ⊥OB ，弦AC ⊥BD 于E 。求证：AD ∥BC 证明：∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90o ∵AB ?=AB ?，∴∠C=∠D=2 1∠AOB=45o

图5 ∵AC ⊥BD ，∴∠AED=90o, ∴∠EAD=∠AED －∠D=45o ∴∠C=∠EAD, ∴AD ∥BC 练习 一、选择题 1、在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 2、如图1，BD 是⊙C 的直径，弦AC 与BD 相交于点，则下列结论一定成立的是（） Ａ．ABD ACD ∠=∠ Ｂ．ABD AOD ∠=∠Ｃ．AOD AED ∠=∠ Ｄ．ABD BDC ∠=∠ 3. 如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角70DCE ∠=，则BOD ∠=（） Ａ．35 Ｂ．70 Ｃ． 110 Ｄ．140 o 4. 如图3，A C B 、、是⊙O 上三点，若40AOC ∠=，则ABC ∠的度数是 （ ） Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．40 Ｄ．80 5. 如图4，⊙O 中弧AB 的度数为60，AC 是O 圆的直径，那么BOC ∠等于（ ） A ． 150 B ． 130 C ． 120 D ．60 6. 如图5，圆心角∠AOB=120?，P 是AB ?上任一点（不与A ，B 重合），点C 在AP 的延长线上，则 ∠BPC 等于（ ） A.45? B.60? C.75? D.85? 二、填空题 1、如图1，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 、E 均在⊙O 上，则∠1+∠2= 。 Ｅ

圆周角定理及推论

一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙Ｏ中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。 以下分五种情况证明 【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时： 图1 连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D 解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 和） ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时： 图2 连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D，连接OB、OC。解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 和）

∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： 图3 ∵OA、OC是半径 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠OCA（） ∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。） 【证明】情况4：圆心角等于180°： 圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC= 2 1∠BOC（BC弧） ∠OCB=∠OBC= 2 1 ∠AOC（AC弧） ∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ＡOC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB 【证明】情况5：圆心角大于180°： 图5 圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E， ∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°） ∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB ∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB 二、圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。其他推论? ①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半?。 E

圆周角定理及推论

1 / 6 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及推论 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证

明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键 2 / 6 1．重点： 圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点： 运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键： 探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评： （1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知

问题： 如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设 E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的 3 / 6 A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠ EAF、∠ EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，?并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．” （1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示

圆周角及推论

课题：圆周角及推论 【学习目标】 1．学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理及推论． 2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理． 3．会用圆周角定理及推论进行证明和计算． 【学习重点】 圆周角的定理及应用． 【学习难点】 运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理． 情景导入 生成问题 旧知回顾： (1)圆心角指顶点在圆心的角． (2)如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦： ①如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ； ②如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； ③如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵． 自学互研 生成能力 知识模块一 圆周角的定义 【自主探究】 阅读教材P 85探究上面内容，重点理解圆周角定义，回答下列问题： 1．圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角． 2．如图，下列图形中是圆周角的是( C ) 3．如图，AD ︵所对的圆心角是∠AOD ，所对的圆周角有∠B 和∠C ． 结论：一条弧对着一个圆心角，对着无数个圆周角． 知识模块二 圆周角定理 【自主探究】

认真看P 85“探究”～P 86推论上面内容，根据课本回答下列问题： 1．圆周角定理的证明共分了哪几种情况？ 图1 图2 图3 答：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部． 2．如图1，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ．理由如下： ? ????OA ＝OC ?∠A ＝∠ACO ∠BOC ＝∠A ＋∠ACO ?∠A ＝12∠BOC 3.如图2，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 4．如图3，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 范例：如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10cm ，∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ，求AC 、BC 的长． 解：∵∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ， ∴∠ADC ＝12 ∠ADE ＝30°. ∴∠ABC ＝∠ADC ＝30°. 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴AC ＝12 AB ＝5cm ， BC ＝AB 2－AC 2＝102－52＝53(cm )． 交流展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一 理解圆周角的概念，能够在图形中正确识别圆周角 知识模块二 掌握圆周角定理，并会运用定理进行简单的计算与证明 当堂检测 达成目标 【当堂检测】

圆周角定理及推论

24.1.4 圆周角 第1课时圆周角定理及推论 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知 问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．

沪教版九年级数学下册24.3 第1课时 圆周角定理及推论(优秀教学设计)

24.3 圆周角 第1课时圆周角定理及推论 1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角； 2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明(重点，难点)． 一、情境导入 你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍． 比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？ 二、合作探究 探究点一：圆周角定理 【类型一】利用圆周角定理求角 如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于() A．25° B．30° C．35° D．50° 解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A. 方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】同弦所对圆周角中的分类讨论思想 已知⊙O的弦AB长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数．解析：弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°.而

弦AB 所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论． 解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点C ，连接CA ， CB .∵AB ＝OA ＝OB ，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°.即弦AB 所对的圆周角等于30°. 如图②所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12 ∠BOD ，∠ABD ＝12∠AOD .∴∠BAD ＋∠ABD ＝12(∠BOD ＋∠AOD )＝12 ∠AOB .∵AB 的长等于⊙O 的半径，∴△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD ＋∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°. 综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°. 方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB 所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 探究点二：圆周角定理的推论 【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题 如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于( ) A.55 B.255 C ．2 D.12 解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan ∠ABD ＝ AC AB ＝12.故选D. 方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .

3.4.1圆周角定理及其推论1

4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理及其推论1 关键问答 ①圆周角和圆心角的顶点位置有何区别？同一段弧所对的圆心角和圆周角又有什么关系？ ①一条弧所对的圆周角有多少个？这些圆周角的大小有怎样的关系？ 1．①如图3－4－1，A，B，C是①O上的三点，且①ABC＝70°，则①AOC的度数是() 图3－4－1 A．35° B．140° C．70° D．70°或140° 2．①如图3－4－2，点A，B，C，D都在①O上，AC，BD相交于点E，则①ABD与下列哪个角相等() 图3－4－2 A．①ACD B．①ADB C．①AED D．①ACB 3．2019·哈尔滨如图3－4－3，①O中，弦AB，CD相交于点P，①A＝42°，①APD＝77°，则①B的度数是()

图3－4－3 A．43° B．35° C．34° D．44° 命题点1利用圆周角定理进行计算或证明[热度：96%] 4.①如图3－4－4，在①O中，O为圆心，点A，B，C在圆上，若OA＝AB，则①ACB的度数为() 图3－4－4 A．15° B．30° C．45° D．60° 方法点拨 ①解决圆中与圆周角有关的问题，常找出同弧所对的圆心角，通过圆心角和圆周角的关系找到解题的途径． 5．①如图3－4－5，①AOB＝100°，点C在①O上，且点C不与点A，B重合，则①ACB的度数为() 图3－4－5 A．50° B．80°或50° C．130° D．50°或130° 易错警示 ①点C的位置固定吗？有几种不同的情况？ 6．2019·菏泽如图3－4－6，在①O中，OC①AB，①ADC＝32°，

则①OBA 的度数是( ) 图3－4－6 A ．64° B ．58° C ．32° D ．26° 7.如图3－4－7，①O 的半径为6，点A ，B ，C 在①O 上，且①ACB ＝45°，则弦AB 的长是________． 图3－4－7 命题点 2 利用圆周角定理的推论1进行计算或证明 [热度：96%] 8．2019·北京如图3－4－8，点A ，B ，C ，D 在①O 上，BC ︵＝CD ︵， ∠CAD ＝30°，①ACD ＝50°，则①ADB ＝________． 图3－4－8 9.①已知：如图3－4－9，CA ＝CB ＝CD ，过A ，C ，D 三点的①O 交AB 于点F . 图3－4－9 求证：CF 平分①BCD . 解题突破 ①连接AD ，你能得到哪些角相等？ 10.①如图3－4－10所示，AB 是①O 的一条弦，OD①AB ，垂足

圆周角及其推论

圆周角及推论 【学习目标】 1．学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理及推论． 2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理． 3．会用圆周角定理及推论进行证明和计算． 【学习重点】 圆周角的定理及应用． 【学习难点】 运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理． 情景导入 生成问题 旧知回顾： (1)圆心角指顶点在圆心的角． (2)如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦： ①如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ； ②如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； ③如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵． 自学互研 生成能力 知识模块一 圆周角的定义 【自主探究】 阅读教材P 85探究上面内容，重点理解圆周角定义，回答下列问题： 1．圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角． 2．如图，下列图形中是圆周角的是( C ) 3．如图，AD ︵所对的圆心角是∠AOD ，所对的圆周角有∠B 和∠C ． 结论：一条弧对着一个圆心角，对着无数个圆周角． 知识模块二 圆周角定理 【自主探究】

认真看P 85“探究”～P 86推论上面内容，根据课本回答下列问题： 1．圆周角定理的证明共分了哪几种情况？ 图1 图2 图3 答：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部． 2．如图1，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ．理由如下： ? ????OA ＝OC ?∠A ＝∠ACO ∠BOC ＝∠A ＋∠ACO ?∠A ＝12∠BOC 3.如图2，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 4．如图3，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 范例：如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10cm ，∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ，求AC 、BC 的长． 解：∵∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ， ∴∠ADC ＝12 ∠ADE ＝30°. ∴∠ABC ＝∠ADC ＝30°. 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴AC ＝12 AB ＝5cm ， BC ＝AB 2－AC 2＝102－52＝53(cm )． 交流展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一 理解圆周角的概念，能够在图形中正确识别圆周角 知识模块二 掌握圆周角定理，并会运用定理进行简单的计算与证明 当堂检测 达成目标 【当堂检测】

圆周角定理及其推论随堂练习试卷

圆周角定理及其推论随堂练习试卷 一、选择题（共20小题；共100分） 1. 如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=130°，则∠D等于( ) A. 25° B. 35° C. 50° D. 65° 2. 如图，四边形ABCD是⊙O的接四边形，∠B=135°，则∠AOC的度数为( ) A. 45° B. 90° C. 100° D. 135° 3. 如图，正三角形ABC接于⊙O，动点P在圆周的劣弧上，且不与A，B重合，则∠BPC 等于( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 45° 4. 如图，四边形ABCD接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BAD的度数是( ) A. 30° B. 60° C. 80° D. 120° 5. 如图，四边形ABCD接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50o，则∠BCE的度数为 ( )

A. 40o B. 50o C. 60o D. 130o 6. 小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是( ) A. B. C. D. 7. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，如果∠DAB=65°，那么 ∠AOC等于( ) A. 25° B. 30° C. 50° D. 65° 8. 如图．四边形ABCD接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B 等于( ) A. 130° B. 120° C. 80° D. 60° 9. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，cosD=2 3 ，则AB的长为( ) A. 8√13 3B. 16 3 C. 24√5 5 D. 12

圆周角定理和推论

《圆周角》教案 教学目标 1、理解圆周角概念，理解圆周用与圆心角的异同； 2、掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征； 3、能灵活运用圆周角的性质解决问题； 4、发现和证明圆周角定理； 5、会用圆周角定理及推论解决问题. 教学重点 圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征. 教学难点 发现并证明圆周角定理. 教学过程 一.复习提问 1、圆心角的定义 2、上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦、弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ 二、认识圆周角. 1．观察∠ACB、∠ADB、∠AEB，这样的角有什么特点？ 2．给出定义，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(注意两点：1.角的顶点在圆上；2.角的两边都与圆相交，二者缺一不可.) 3.辩一辩，图中的∠CDE是圆周角吗？引导学生识别，加深对圆周角的了解. 4.圆周角与圆心角的联系和区别是什么？ 三、探究圆周角的性质. 1.在下图中，同弧AB所对的圆周角有哪几个？观察并测量这几个角，你有什么发现？大胆说出你的猜想. 同弧AB所对的圆心角是哪个角？观察并测量这个角，比较同弧所对的圆周角你有什么发现呢？大胆说出你的猜出想.

2.由学生总结发现规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半，教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现. 四、证明圆周角定理及推论. 1.问题：在圆上任取一个圆周角，观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况？ 2.学生自己画出同一条弧的圆心角和圆周角，将他们画的图归纳起来，共有三种情况： ①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部.如下图 3.问题：在第一种情况中，如何证明上面探究中所发现的结论呢？另外两种情况如何证明呢？ 4.怎样利用有上结论证明我们的第一个猜想：圆弧所对的圆周角相等？(利用圆弧所对的圆心角相等) 5.以上结论同圆改成等圆，同弧改成等弧结论还成立吗？为什么？ 6.总结出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 7.将上面定理中的“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，结论还成立吗？ 8．在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？ 总结推论1：同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等.(也是圆周角定理的逆定理，要通过圆心角来转换) 9．如图所示图中，∠AOB=180°则∠C等于多少度呢？从中你发现了什么？(推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.可用圆周角定理说明.) 五．应用迁移，巩固提高. 1.求图中x的度数. 2.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，

圆周角定理及推论

圆周角定理及推论 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。 圆周角的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 ②900的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角。 ③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 ④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角 例1：如图，点A、B 、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=840，那么∠ACB的大小是 例2：如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连 接AE，∠E=360，则∠ADC的度数是（） A．44°B．54°C．72°D．53° 例3：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD，（1）证 明：C B∥P D； （2）若B C＝3，，求⊙O的直径． 1、（北京四中模拟）如图，弧BC与弧AD的度数相等，弦AB与弦CD 交于点E，? = ∠80 CEB,则CAB ∠等于（） A．? 30B．? 40C．? 45D．? 60 2.（2011年北京四中中考全真模拟16）已知一弧长为L的弧所对的圆心角为 120°那么它所对的弦长为( ) A、 3 3 4Π L B、 3 2 4Π L C、 3 3 2Π L D、 3 2 2Π L （第3题图）

3.（2011浙江杭州模拟7）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=75o ，∠C=45o ，那么∠AEB 度数为（ ） A. 30o B . 45o C. 60o D. 75o 4.(2011浙江省杭州市10模) 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为( ) A ．1 B ．22 C ．2 D ．2 5.(浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=?，则ACB ∠的度数为 ( ) A ．35? B ．40? C ．50? D ．80? C A B D （第5题） O （第4题图）

《一 圆周角定理》教案2

《一 圆周角定理》教案2 教学目标 一.知识技能 1.理解圆周角概念,理解圆周用与圆心角的异同; 2.掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征; 3.能灵活运用圆周角的性质解决问题; 二.解决问题 1.发现和证明圆周角定理; 2.会用圆周角定理及推论解决问题. 教学重点 圆周角与圆心角的关系,圆周角的性质和直径所对圆周角的特征. 教学难点 发现并证明圆周角定理. 教学过程 一.创设情景 如图是一个圆柱形的海洋馆, 在这个海洋馆里,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗⌒AB 观看窗内的海洋动物.大家请看海洋馆的横截面的示意图,想想看:同学甲站在圆心O 的位置,同学乙站在正对着下班窗的靠墙的位置C,他们的视角(∠AOB 和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D 和E,他们的视角(∠ADB 和∠AEB)和同学乙的视角相同吗 ? 二、认识圆周角. 1．观察∠ACB 、∠ADB 、∠AEB ，这样的角有什么特点？ 2．给出定义，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(注意两点:1.角的顶

点在圆上;2.角的两边都与圆相交,二者缺一不可.) 3.辩一辩,图中的∠CDE是圆周角吗?引导学生识别,加深对圆周角的了解. 4.圆周角与圆心角的联系和区别是什么? 三、探究圆周角的性质. 1.在下图中,同弧⌒ AB所对的圆周角有哪几个?观察并测量这几个角,你有 什么发现?大胆说出你的猜想. 同弧⌒ AB所对的圆心角是哪个角?观察并测量这个角,比较同弧所对的圆周角你有什么发现呢?大胆说出你的猜出想. 2.由学生总结发现规律:同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半,教师再利用几何画板从动态的角度进行演示, 验证学生的发现. 四、证明圆周角定理及推论. 1.问题:在圆上任取一个圆周角,观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况? 2.学生自己画出同一条弧的圆心角和圆周角, 将他们画的图归纳起来, 共有三种情况:①圆心在圆周角的一边上; ②圆心在圆周角的内部; ③圆心在圆周角的外部.如下图 3.问题:在第一种情况中,如何证明上面探究中所发现的结论呢?另外两种情况如何证明呢? 4.怎样利用有上结论证明我们的第一个猜想:圆弧所对的圆周角相等?(利用圆弧所对的圆心角相等) 5.以上结论同圆改成等圆,同弧改成等弧结论还成立吗?为什么? 6.总结出圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 7.将上面定理中的“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，结论还成立吗？ 8．在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？

圆周角定理及其推论

圆周角定理及其推论 知识技能 1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用； 2、准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。 数学思考 1．通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力。 2．通过观察图形，提高学生的识图的能力 3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。 解决问题 1．在探索圆周角定理的过程中，学会运用分类讨论的数学思想转化的数学思想解决问题。 2．渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法． 情感态度 引导学生对图形的观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。 教学重点 圆周角的概念和圆周角定理及其推论的应用． 教学难点 1．认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。 2．推论的灵活应用以及辅助线的添加 一教学过程 活动1 问题 如图，同学甲站在圆心O 位置，同学乙站在靠墙的位置C, 同学丙丁站在其他靠墙的位置D、E。得到的视角分别是∠AOB,∠ACB ，∠ADB，∠AEB 这些视角中哪些是圆心角？其他各角具备什么共同特征？从而引出圆周角定义，并会判断。 （教师演示课件或图片，展示一个圆柱形的海洋馆，接着出示海洋馆横截面示意图。 教师结合示意图和圆心角的定义，引导学生得出圆周角的定义，由学生口述，教师板书) 圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角。 强调：定义中的两个条件缺一不可。利用几何画板演示，让学生辨析圆周角。接下来给学生一组辨析题： 练习1：判别图7-29中各圆形中的角是不是圆周角，并说明理由． 活动2：探究圆周角定理，并证明圆周角定理。

数学人教版九年级上册圆周角定理及其推论

通过数学实验认识圆周角定理及其推论 柳州市第十四中学 郑容 2016年1月 内容摘要：教师使用《几何画板》中的动态功能和度量功能，通过演示，让学生在动态环境中观察和发现圆周角和圆心角的关系，即在某些数量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，在演示中，教师进行了如下操作①圆周角的顶点在圆周上运动②改变弧的大小③改变圆的大小，不仅让学生获得最直接的观察思考，还从更广泛的角度去验证学生的猜想，帮助学生更好地理解圆周角定理及相关推论，针对该班学生基础较薄弱的实际，借助《几何画板》让孩子更直观的理解图形的生成，不仅方便而且科学严谨，具有充分的说服力。 关键词：几何画板，圆周角定理，探索 在初三数学中，不少学生对《圆》一章的学习感到畏惧，面对抽象变化的图形和定理感到含糊不解，因此课堂上我们老师想到了用《几何画板》模拟图形的变化，通过数学实验让学生更好地认识圆周角定理及其推论 一、学习目标描述 1、了解圆周角的概念，通过画图、观察、度量、归纳等方式探索发现“一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系”及其相关推论 2、能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性，以及证明该定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况（圆心在角的边上） 3、结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论，化归的思想方法 二、学习内容分析 1、学生要动手画圆周角，在动手操作中体会圆心与圆周角的三种位置关系 2、学生以学习小组为单位，合作交流，先度量角的度数，再猜想，然后教师利用软件在动态环境中验证 3、从特殊位置关系入手，再将其他一般情形转化为特殊情形 4、在学习中，要让学生充分动手，能够以画图、观察、度量、归纳等方式发现相关的结论 5、在学习中，注重领悟数学中分类讨论，化归，由特殊到一般的思想 三、学生学情分析 学习本节课时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏。部分学生符合语言的运用能力不足，学生有小组合作学习的经验，课堂学习交流意识强 四、教学环节 环节1：学生阅读课本，并观察图形，教师引导学生结合图形理解圆周角的概念1、顶点在圆上2、角的两边都和圆相交，接着学生思考并回答练习中的问题，巩固对圆周角的理解 环节2： 1、学生画图，并观察图中∠BAC 和∠BOC 的位置关系，找到它们的关联：都对着弧BC ，从而诱发对两角度数关系的思考，对两角进行度量，发现数量关系∠BAC=2 1∠BOC 2、教师利用《几何画板》进一步拖拽点A 在圆周上运动，和学生共同记下∠BCA 和∠BOC 变化的数据，用实验验证猜想

九年级数学圆周角定理 (2)

1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF。 (1) 求证：∠1＝∠F； (2) 若CD＝3，EF＝5 2，求⊙O的半径长。 知识点一圆周角定理及其推论 【知识梳理】 1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 （1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧；C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。 （2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。（3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。因为一条弦所对的弧有两段。

2、圆周角定理的推论： 推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。 推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【例题精讲】 例.1、如图，已知A (32 ，0)、B (0，2)，点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标为 __________。 （第1题图） （第2题图） 2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46° B ．72° C ．64° D ．36° 3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为_______。 （第3 题图） （第4 题图） 4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝___________。 O E D A B C O A B C C B A O

圆周角的定理及其推论

《圆周角》第一课时教学设计 一、教材分析 圆周角定理及其推论是推导弦切角定理，圆幂定理，圆内接四边形的性质定理的重要理论依据，而且在推证角相等、弦相等、弧相等、相似三角形的判定等方面都着广泛的应用。它的产生、论证还蕴含着深刻的数学思想方法(分类讨论、转化化归)。本节教学共分三课时，这是第一课时。 二、教学目标 （1）知识技能目标 理解圆周角的概念，掌握圆周角的定理；准确地运用圆周角定理进行简单的证明计算。 （2）教学思考目标 通过定理的发现，体验观察、分析、归纳、猜想的思维方法；通过定理的证明，了解分情况证明数学命题的思想和方法。 （3）情感态度目标 通过对定理的发现和证明，经历探索过程，体验发现乐趣。 三、重、难、疑点及解决办法 （1）重点：圆周角的概念和圆周角定理。 （2）难点：认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性。 （3）疑点：学生对圆周角概念理解的偏差。 （4）解决办法：通过电脑演示和学生动手画图体会理解。 四、教具学具准备 计算机、实物投影仪、课件、圆规、三角板 五、教学过程 (一)类比引入 1、请同学们观察，图1中的角叫做什么角? 这个角的度数与它所对弧的度数有何关系? O B C 1 B C C 2

2、（如图2）请同学们操作计算机，拖动圆心c 1，观察点c 1 与圆的位置关系，概括角的 类型。 （点拨）当角的顶点在圆内时，如∠AC 1 B叫圆内角， 当角的顶点在圆外时，如∠AC 2 B叫做圆外角， 当角的顶点在圆周上时，如∠ACB，我们叫它圆周角。 评：1、复习提问为用类比法学习圆周角概念做好铺垫。 2、学生在计算机上利用几何画板操作、观察，培养了学生动手、动脑习惯，渗透了分类讨论思想。 （引出课题) (二)圆周角的定义 3、对于圆周角的定义，教师不要急于给出，先请同学们给它下定义。 (部分同学可能回答：顶点在圆周上的角叫做圆周角。) “只要顶点在圆周上，这个角就是圆周角吗?”教师一边引导，一边请学生在机器上操作、观察圆周角两边的运动情况，辨认这些角是否是圆周角。 （学生通过实践、观察、交流，最终得出圆周角必须具备的两个条件：①顶点在圆周上； ②两边都与圆相交。并能形成正确定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。） 评：1、对定义的引入，先关注学生的元认知，再引导学生操作计算机，动手实践，使新旧认知产生冲突，激发了学生求知欲。 2、以上引入圆周角概念的过程，起到了活化知识目的，突出知识的形成过程，让学生在动态中整体把握圆周角的概念，并为后续“弦切角”的“生成”埋下伏笔。 4、教师再进一步提问：圆心角定义中为什么没有特别指出“两边都与圆相交”呢？ 评：提问的目的是消除类比中负迁移的影响。类比是一种重要的数学方法，它有助于启

第1课时 圆周角定理及推论

24.3 圆周角 第1课时 圆周角定理及推论 1.理解圆周角的概念； 2.经历探索圆周角和圆心角关系的过程,理解圆周角定理及其推论,并会灵活运用. 理解圆周角及圆心角的关系,会用推论1、2解决问题. 圆周角定理及推论的理解与应用. 一、情景导入 你喜欢看足球比赛吗？比赛中如图所示,甲队员在圆心O 处,乙队员在圆上C 处,丙队员带球突破防守到圆上D 处,依然把球传给了甲,你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？ 引导学生思考,引出课题,学生观察、分析图形,初步感知角的特征. 二、新知探究 探究一 圆周角及其定理 阅读教材P 27～28,完成下面的问题. 1.如图,哪些角是圆心角？哪些角是圆周角？AD ︵所对的圆心角,圆周角分别是什么？它们有什么关系？ 答：圆心角：∠AOD.圆周角：∠ABD 、∠ACD 、∠AED 、∠BAE 、∠CAE 、∠BDE 、∠BDC 、∠CDE 、∠ BAC 等.AD ︵所对的圆心角：∠AOD,圆周角为：∠ABD 、∠ACD,∠ABD ＝∠ACD ＝12∠AOD. 归纳：①圆周角的定义：顶点在__圆上__,并且两边都与圆__相交__的角；②一条弧对着__一__个圆心角,对着__无数__个圆周角. 2.思考：圆心角必须具备两个条件：(1)顶点是圆心；(2)角的两边与圆相交.二者缺一不可.一条弧所对的圆周角满足：角的两边经过这段弧的两个端点,而角的顶点在与这条弧共圆的另一条弧上. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.教材中圆周角定理的证明共分了哪几种情况？∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：分三种情况：①点O 在∠BAC 边AB 上；②点O 在∠BAC 的内部；③点O 在∠BAC 外部. ①②由同学们分组讨论,自己完成；③由同学们讨论,代表回答. 4.应用：【例1】如图,已知点A,B,C 在⊙O 上,ACB ︵为优弧.下列选项中与∠AOB 相等的是(A ) A .2∠C B .4∠B C .4∠A D .∠B ＋∠C 例1图 练习(1)图 练习(2)图 5.练习：(1)如图,⊙O 为△ABC 的外接圆,∠A ＝72°,则∠BCO 的度数为__18°__. (2)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠B ＝60°,⊙O 的半径为4,则AC 的长等于__43__. 探究二 圆周角定理的推论 1.圆周角定理的推论有哪些？ 答：推论1：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.