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STAAD在钢结构稳定设计中的应用

稳定问题在钢结构设计中居于中心地位。甚至有研究人员认为是工程力学的核心。我们不是研究人员，我们对稳定理论的研究是为了应用于具体的设计实践。这里试图结合STAAD对三个常规钢结构的稳定问题进行讨论，整理出来进行稳定计算的大致思路和注意事项。这里的例题本身不具有任何实际工程的参考价值，仅仅是为了演示的方便为任意创建的“玩具”模型，希望读者不要被误导。本文主要讨论所谓考虑初始缺陷的二阶弹性分析在STAAD中的应用。相对于一阶分析的计算长度法，二阶分析现在喊的比较响，计算长度系数法遭到很多的诟病。作者认为，计算长度系数法，和其他很多近似算法一样，因为结果的近似遭到的指责是不公平的，这完全是使用者本身的问题，使用者应该明确该方法的计算假定，适用范围以及结果的近似程度，并对结果负责。对真正的结构工程师，使用近似算法仍然可以设计出合理的结构形式，并具有足够的安全储备；而缺乏理解的对所谓的更精确的二阶分析的滥用，却大大增加了结构出问题的风险。

1）相关概念与背景知识：

简单来说，所谓的稳定(Stability)就是结构在承受外界作用后仍能够保持静力平衡，但此时的平衡方程应以变形后的结构位形为基础建立。按建立平衡方程是否考虑结构的变形，分析有所谓的一阶分析(first order analysis)和二阶分析(second order analysis)之分。理想的结构在承受逐步增加的外载时，在某一荷载临界点，其原来的平衡位形有可能发生突然的改变，此所谓屈曲（Buckling）,此时对应的荷载是所谓的临界荷载（critical load）。真实的结构因为存在各种各样几何和物理缺陷（geometrical imperfection ,physical imperfection），会导致其实际的稳定承载力远低于理想情况的临界荷载。

现在大多数国家的钢结构设计标准都推荐进行二阶分析以考虑所谓的P-D效应和P-δ效应（包括DIN18800，AISC360，EC3，GB50017）。这样做的一个潜在好处是避免了烦琐的构件计算长度系数的输入，并且能更准确的估计结构的真实承载力。后面我们将会看到，对象STAAD这样的软件来说，进行二阶分析本身并不困难。真正困难的地方在于如何能在分析中比较准确的考虑到结构的各种缺陷产生的影响。主要的缺陷包括几何缺陷（初始弯曲，初始倾斜），残余应力，材料的非均匀性以及塑性开展。在对此进行详细的讨论前，我们先明确结构P-D效应和P-δ效应究竟是什么？考虑如下的一个有侧移简单刚架（图1，文献1）：

图1有侧移刚架的P-D效应

上图为一简单刚架成受线载时的弯矩图。左边的弯矩对应为一阶分析的结果，右边的对应为二阶分析的结果(未考虑任何缺陷)。可以看出，在右边柱的二阶分析的结果多出来了弯矩，该弯矩是由柱的轴力（所谓的P）乘以框架的侧移（所谓的D）产生的，所以称之为P-D效

应。

类似的，考虑如下的无侧移框架（图2，文献1）:

图2无侧移框架的P-δ效应

在图2的两个无侧移框架的模型中，左边为一阶分析的结果，右边为二阶分析的结果。相对前面的有侧移框架，本例中两个柱子之间的弯矩差别很微小（柱端弯矩由388kN.m增加到393kN.m，且弯矩图的形状由直线变为具有微小曲率的曲线）。柱弯矩的增大部分主要是由柱本身的局部侧移δ产生的，因为框架几乎不产生任何水平位移D，所以称为P-δ效应。

由这个小例子，文献1归纳并指出了二阶分析和一阶分析的一些基本的区别：

a)二阶效应不仅仅影响弯矩，还会影响整个的剪力与轴力；

b)二阶效应中的内力分布形态完全不同于一阶分析，并不是一阶分析结果的简单放大，因

此简化的弯矩放大法显得很粗糙。

c)在实际的结构中，总是同时存在有P-D效应和P-δ效应，只不过其影响的程度和结构的

具体形式有关。一般来说，在抗侧刚度大的结构中，是局部的P-δ效应占主导；在抗侧刚度小的结构中，是整体P-D效应占主导。

d)因为前述原因，通常的荷载线性组合不适用于二阶分析。因此必须在每个组合好的工况

进行二阶分析。

在实际的结构中，通常P-D效应是针对结构的整体而言，是一个宏观的概念；而P-δ效应是针对具体的单个构件而言，是相对微观的概念。对FEA软件而言，两者都可通过在分析中考虑附加的所谓的几何刚度（geometric stiffness）反应出来（考虑P-D效应的方法很多，包括很多迭代法等等，但考虑几何刚度的方法是这些方法中最有效率的方法之一）。几何刚度这个名词并不非常确切，它还有其他的名字，例如应力刚度（stress stiffness），“应力”实际上特指由膜力（membrane force）产生的应力。相对于通常的仅又材料分布决定的物理刚度而言（例如EI代表抗弯刚度，GA代表剪切刚度，都仅由材料的分布决定），几何刚度由膜力和结构形态决定，其所形成的“横向力”的大小可以通过为膜力和曲率(curvature)的积来确定。

弹性稳定的中心问题表现为几何刚度和物理刚度的搏翌过程：物理刚度在概念上可定义为永远是正值，但几何刚度可正可负（对一维的梁元而言，压力产生负的几何刚度，拉力产生正的几何刚度），当负的几何刚度抵消了物理刚度时，结构就发生弹性屈曲变形。对典型的同时受轴力和横向均布线载的简支梁而言，轴压力减少了抗弯刚度，而轴拉力增大了抗弯刚度。

可参见附录中童根树教授的一篇文章。

对通常的一阶弹性分析，典型的平衡方程如下所示

KU=R (1)，

其中K为刚度矩阵，U为位移向量，R为荷载向量，

考虑几何刚度后，公式变为：（K-K g）U=R(2)，

其中K g为几何刚度矩阵。显然，当K g>=K时，解发散。

只要（2）有解，就意味着K g

公式（2）表达了二阶分析本质。

在STAAD中，用户如果选择执行所谓的PDEL TA分析时，可以让程序考虑几何刚度，分析命令的关键词为PDEL TA KG ANAL YSIS，KG关键词指示程序考虑几何刚度。可同时考虑杆件和板壳的几何刚度，这可应用在对二维板壳模型的分析中，如前面所说的容器类的结构物。

结构不可避免的会存在各种几何和物理的缺陷，而这些缺陷会直接影响结构的稳定承载力，因此用于工程设计的分析必须能反映缺陷的影响。使用二阶弹性分析计算稳定时，最重要的一步是对结构的缺陷的估计和模拟，这往往也是最困难的一步。到目前为止的所有FEA软件对此都不能自动化的完成，而需要设计者的人工干预。我们下面将重点讨论此问题。

第一种考虑缺陷的方法，是将所有的几何和物理缺陷，都通过等效的几何缺陷考虑。德国标准DIN18800 part2中，有这样的论述“As well as geometrical imperfections ,equivalent geometrical imperfections also cover the effect on the mean ultimate load of residual stresses as a result of rolling ,welding and straightening procedures，material inhomogeneities and the spread of plastic zones”，即等效几何缺陷包括了几何缺陷，材料非均匀性以及塑性区域的开展。对通常的框架结构而沿，可考虑如下（图3，图4）所示的两种缺陷。图3所示的为结构初始侧移缺陷（SW AY IMPERFECTION）；图4所示为构件的初始弯曲缺陷（BOW IMPERFECTION）。通常侧移缺陷针对框架整体，会加强P-D效应；而初弯曲缺陷针对单个的杆件，会加强P-δ效应。从这里我们也能发现，因为单个杆件既可能发生弯曲屈曲，也可能发生弯扭屈曲，显然，仅仅只定义初弯曲不能体现弯扭屈曲对缺陷的要求。这个问题在后面再继续讨论。

对更一般的结构，大多数标准通过考虑结构的最低阶屈曲模态来考虑结构的整体缺陷。通常的做法是先对结构进行线性屈曲分析（Buckling analysis），得到结构的最低阶屈曲模态后，通过数据处理再将其指定回结构。这样做的后果实际是改变了结构的原始几何坐标数据。如果结构可能需要验算不止一组缺陷的话，这种做法在实际设计时可能会比较麻烦的，因为有可能会使用多个具有不同几何的模型进行检验。

但有些时候，最底阶模态不一定是整体屈曲模态，而可能只是个局部屈曲模态，这就象自由振动特征值分析的第一阶模态可能不是整体的一样。在动力分析中（特指用反应谱和时程的地震作用计算），我们可以通过质量参与系数来判断振型的贡献，但在屈曲分析时却没有类似的概念可用，只能通过观察模态的大致变形范围和形式来判断，显得粗糙了些。在缺少定量判断指标的情况下，需要设计者来判断什么是“整体”的屈曲模态，什么是“局部”的屈曲模态。这个和建模的关系很大，如果模型建的不合理，很有可能会在前几阶出现的是局部

屈曲模态。我们建立动力计算简图时的一部分经验可以照搬在这里：尽量能反映结构主要受力特点的抽象的计算简图，同时注意对关键部位和杆件的网格划分。如果模型的屈曲模态按一种定义良好的顺序出现，并且具有层次分明的特点（不出现大规模的整体屈曲体和局部屈曲的耦合，），则我们可以从概念上认为这个模型本身和这个模型所代表的结构是合理的。

在AISC360的DERECT ANAL YSIS METHOD中，采用了有别于前面的思路。其要求在二阶分析过程中同时考虑下列三中因素：

1）结构的初始几何缺陷；

2）材料的塑性；

3）主要抗侧结构刚度的折减；

相对于前述只考虑一个大的涵盖所有因素的等效几何缺陷的方法麻烦很多，我们这里对此详细讨论。

图3结构的初始侧移几何缺陷

图4构件的初始弯曲几何缺陷

很多时候，将几何缺陷以等效的荷载施加到结构上去，往往比改变结构的几何形态要方便灵活的多。我们可以这样理解：在该等效缺陷荷载的作用下，结构产生了相当于初始几何缺陷的变形。在GB50017中采用了此种做法，称呼该等效缺陷荷载为所谓的“概念荷载”（图5），并且给出了具体计算公式（见GB50017第 3.2.8条）。在AISC360中的附录7中，给出了所谓的直接分析法（direct analysis method）,其中是使用的所谓notional load来模拟初始缺陷（图6）。在取值水平上，GB50017大概取为楼层重量的1/250，而AISC360取为1/500。

图 5 GB50017中概念荷载

等效概念荷载的计算与我们前面所提的几何刚度的概念有很大关系。简单来说，杆件初弯曲等效荷载在数值上等于构件轴力乘以曲率（为了方便，通常假设变形为抛物线，则其沿杆长曲率为常数，可偏保守的取轴力的大值），而楼层等效荷载是楼层重力乘以楼层变形角φ。具体的计算如下图6所示。在大多数规范中这个计算方法都是一致的。

图6等效概念荷载的计算（引自EC3）

2)空间桁架模型：

对于前面所述的有关考虑初始缺陷的两种方法,我们通过下面的一个小例子来进行展示。在该STAAD模型中，进行了屈曲分析得到结构的屈曲模态，然后将该模态作为缺陷施加给结构。并同时考虑了作为等效缺陷荷载指定给结构的操作。

。

考虑如下所示的一空间桁架（图7），其断面形式类似于一槽钢。桁架的上弦是通过腹杆和梁形成的刚架提供约束的，整个上弦杆类似于一弹性地基梁，但弹簧是离散分布的（图8）。

图7空间桁架模型

图8桁架上弦的计算简图

如果对上弦杆取隔离体，整个结构的稳定可转化为上弦的稳定来考察。此时关键的一步是确定上弦在平面外的计算长度。由弹性稳定理论我们知道，上弦的面外计算长度与约束上弦面外变形的弹簧支座的刚度的大小及分布有关，同时也与上弦杆本身在平面外的线刚度有关。利用STAAD的屈曲分析功能，我们可以直接进行计算出上弦杆面外屈曲的欧拉临界力和对应的波形，并且可据此足够精确的估计上弦平面外的计算长度，而不用经过烦琐的手算。在STAAD中使用的屈曲分析分析命令为PERFORM BUCKLING ANAL YSIS。用户需要为此建立一专门的荷载工况（通常包括主要的能产生不利几何刚度的工况，在本例中是恒加活载），然后在STAAD中对此工况进行求解。注意，为了能够足够准确的表达上弦的模态信息，上弦杆做了必要的划分，这可通过插入节点命令方便的做到。

图9给出了该桁架线性屈曲的分析结果。在STAAD中点击后处理界面的BUCKLING标签，可以查询到计算出的结构前四阶屈曲模态以及对应的屈曲荷载系数（图9右侧的表格所示）。此处的屈曲荷载一般为实际极限稳定承载力的上限，似乎没有实际的作用。但我们一方面可以通过屈曲荷载来估计二阶效应的大小（有文献认为如果P<0.15P cr,则二阶效应不明显，这相当与屈曲系数大于7）；另一方面，我们可以通过屈曲模态和临界荷载得到计算长度。

图9线性屈曲分析的结果

计算长度（effective length）按其最自然的定义为结构发生屈曲的半波长度。通常的波形一般考虑为正弦波，则半波长就是两个曲率为零的点之间的距离（注意是曲率为零，而不是模态为零，也就是通常所说的反弯点）。通过在STAAD简单的测量，我们可以得出这个距离（见图10）。当然测出来的不是非常的精确，但对我们设计的应用已经足够了。还有另一种更严格的方法，即根据临界荷载和名义刚度反算计算长度（具体见文献2）。通过观察我们可以发现，在桁架跨中最不利位置的波幅最明显，这里也是轴力最大位置，与概念相符。如果用此计算长度验算整个上弦杆，得的结果应该是偏保守的。有了计算长度后，我们可以在SSDD中对上弦进行构件检验，这里不再赘述。

对实际的结构而言，理论上来说，在每一个荷载工况，每一根杆件都会根据BUCKLING分析得到不一样的计算长度（屈曲模态和荷载的相对分布有关，而和荷载的绝对大小无关）。假如我们处理的是具有200个构件20个工况的模型，则我们需要先进行20次BUCKLINGF

分析，然后再根据20次BUCKLING分析的结构对每个构件得到一个计算长度，然后再使用该计算长度和对应的工况的内力进行20次构件检验，则计算量变为20x20x20=800次，比通常的计算量大三个数量级。在模型变的庞大后，此方法的效率急剧降低。因此，在实践中，通常是只在几个工况（例如恒加活）中算出计算长度后，将其用于所有工况的相关构件的设计。这种简化带来的潜在的风险，需要工程师根据具体的工程决定取舍。

图 10上弦平面外计算长度-屈曲的半波长

前面所述是通常的一阶分析加计算长度算稳定方法。土国对该桁架使用二阶分析，则可以避免计算长度的确定问题。此时首先需要给结构施加初始缺陷。这可直接利用前面屈曲分析中得到的模态数据，先将模态数据拷贝到EXCEL中电子表格中，然后将该数据乘以指定的辐值后（例如l/200）,在从EXCEL拷贝回结构的节点坐标表格中（STAAD支持直接从EXCEL 拷贝数据，图 10。），从而修改结构的原始几何形态，使其具有初始等效几何缺陷。如前所述，这个缺陷本身要取的足够包括残余应力和材料非弹性等因素的影响。

通常这些缺陷造成的几何偏差很小，我们通过肉眼的观察也很难辨认出来。用户需要注意应将STAAD中节点误差的设置改为比较小的值（例如0.0001m），否则会出现问题。

图 11利用EXCEL修改好结构模态数据后，再拷贝回结构中去。

使用该模型进行二阶弹性分析，则可计算出和屈曲波形的分布形状接近的桁架上弦的平面外弯矩（图 12），这从一个侧面印证了缺陷的效果。对上弦杆的稳定，设计者可直接通过强度结果判断。

图 12桁架上弦的平面外弯矩

如前面所说，也可通过等效缺陷荷载来模拟初始缺陷，这在实际工程中更为方便。等效线荷载的大小按图6中所示公式计算，其在曲率反向的地方，荷载也一同反向，单个连续荷载的作用区间为屈曲的半波长，（如图13所示）。可以理解为在所加的等效缺陷荷载的作用下，桁架在平面外将会产生类似于屈曲波形的变形。注意，这里并没有照搬图6的公式加对称的节点平衡荷载，因为其都抵消了，加了也不起作用。

图 13桁架上弦初始缺陷的等效荷载

一般来讲，加等效荷载的方法比用使用屈曲模态数据修改结构几何的方法更灵活些，在STAAD中实现的时候也更方便些。比如，现在STAAD中有所谓参考荷载工况（Reference load case）的概念。参考荷载工况本身在计算时不进行分析，其主要作用是作为搭建其他工况的“积木”来使用。因此，用户可以将多种缺陷用多个参考工况定义出来，在后面需要的时候再对其进行引用，构建出实际的分析工况。使用参考工况的优点是可以将缺陷荷载与常规的恒，活，风等进行方便灵活的组装，这类似于STAAD的REPEA T LOAD命令。但参考

工况有本身不参与计算的好处。前面已强调指出，线性荷载效应组合（LOAD COMBINA TION）不适用于二阶分析，此处用参考工况最为合适。

有关该模型中定义参考工况以及进行分析的命令如下，其中第二个参考工况表达的为等效缺陷荷载。

DEFINE REFERENCE LOADS

LOAD R1 LOADTYPE Dead TITLE DEAD

SELFWEIGHT Y -1 LIST 1 TO 111

FLOOR LOAD

_FLOOR1 FLOAD -5 GY

LOAD R2 LOADTYPE Imperfection TITLE INPERFECT 1

MEMBER LOAD

3 16 19 32 35 48 57 60 73 76 89 92 UNI GZ 1

8 11 24 27 40 43 52 65 68 81 84 97 UNI GZ -1

LOAD R5 LOADTYPE Wind TITLE WIND LOAD

JOINT LOAD

1 TO 26 FZ 1

LOAD R6 LOADTYPE Live REDUCIBLE TITLE LIVE LOAD

FLOOR LOAD

_FLOOR1 FLOAD -3.5 GY

END DEFINE REFERENCE LOADS

LOAD 1 LOADTYPE None TITLE 1.2DL+1.4LL+1.0IMP

REFERENCE LOAD

R1 1.2 R6 1.4 R2 1.0

PERFORM BUCKLING ANAL YSIS PRINT STATICS LOAD

CHANGE

LOAD 2 LOADTYPE None TITLE 1.2DL+1.0LL+1.4WL+1.0IMPERFECTION REFERENCE LOAD

R1 1.2 R6 1.0 R5 1.4 R2 1.0

PDELTA KG ANAL YSIS SMALLDEL TA PRINT STATICS LOAD

CHANGE

LOAD 3 LOADTYPE None TITLE 1.2DL+1.0LL-1.4WL+1.0IMPERFECTION REFERENCE LOAD

R1 1.2 R6 1.0 R5 -1.4 R2 1.0

PDELTA KG ANAL YSIS SMALLDEL TA PRINT STATICS LOAD

CHANGE

LOAD 4 LOADTYPE None TITLE 1.2DL+1.4LL+1.0WL+1.0IMPERFECTION REFERENCE LOAD

R1 1.2 R6 1.4 R5 1.0 R2 1.0

PDELTA KG ANAL YSIS SMALLDEL TA PRINT STATICS LOAD

CHANGE

LOAD 5 LOADTYPE None TITLE 1.2DL+1.4LL-1.0WL+1.0IMPERFECTION REFERENCE LOAD

R1 1.2 R6 1.4 R5 -1.0 R2 1.0

PDELTA KG ANAL YSIS SMALLDEL TA PRINT STATICS LOAD

FINISH

2）空间框架模型：

对结构工程师而言，大量的设计是针对各式各样的框架进行的。我们通过下面的一个例子展示如何使用STAAD对框架进行二阶弹性分析。（图14）

图 14进行二阶分析的框架模型

在本例中，也使用了参考工况命令，但用法与前一个例子有所不同。这里将5个楼层的重量分别定义为5个参考荷载工况，主要的目的是为了可以对不同的楼层考虑不同的等效缺陷荷载，虽然在本例中，我们取的是一样的系数。在GB50017中规定了概念荷载的取值，但没有明确其方向。对于平面计算简图，这不成问题。但对空间模型，沿结构不同水平方向施加的概念荷载会产生不同的影响，我们应施加给哪个方向呢？严格来说，应该加在与最低阶屈曲模态对应的方向上去，但这样实际上假设一阶屈曲模态是单纯的平动形状。作者认为可参考地震作用计算的简化方法，按正交的两个方向分别施加概念荷载。这样做的理由主要是为了和风荷载同向。事实上，某些文献曾指出，既然结构层与层之间可能有初始的扭转缺陷，则我们据此等效的概念荷载也应包括扭矩产生的扭转效应。但目前似乎所有的结构规范中都没有具体的扭转缺陷的定义，实际上很难操作。在另一方面，因为概念荷载本身将不可避免的与结构的层的刚度中心有偏差，则其会产生扭转的效应，只不过对规则结构小些，对不规则结构大些而已。对整体抗扭刚度相对较弱的结构形式（这种形式通常很少在实际结构中出现，如下面图14.a所示），设计人员在模拟初始缺陷时应当适当考虑初始扭转的影响。

对一般性的复杂空间框架而沿，等效缺陷荷载应该根据屈曲分析的模态和内力结果反算出来，规范规定的概念荷载法仅适用于常规的规则框架。如果根据GB50017中按平面框架模型推导的概念荷载计算，在处理空间简图时，将会有许多未定义情况的出现。

图 14.a各种对扭转不利的抗侧力结构平面布置情形

在STAAD2007中新增加一种称NOTIONAL LOAD的荷载组装方式。该命令的使用类似于常规的REPEA T LOAD和前面所提的REFERENCE LOAD。但NOTIONAL LOAD不仅可以更改引用荷载的大小，而且还可以改变其方向方向。例如，在本例中，我们通过该命令将各个楼层的重力荷载（已经考虑分项系数）乘以0.004的系数后，再把方向改为水平，通过该种方式施加给结构。具体的STAAD命令如下所示（红字部分是有关NOTIONAL LOAD 命令的使用）：

DEFINE REFERENCE LOADS

LOAD R1 LOADTYPE Mass TITLE FLOOR_1

SELFWEIGHT Y -1 LIST 14 TO 36

FLOOR LOAD

YRANGE 0 5 FLOAD -5 GY

LOAD R2 LOADTYPE Mass TITLE FLOOR_2

FLOOR LOAD

YRANGE 6 10 FLOAD -5 GY

SELFWEIGHT Y -1 LIST 37 TO 59

LOAD R3 LOADTYPE Mass TITLE FLOOR_3

FLOOR LOAD

YRANGE 10 14 FLOAD -5 GY

SELFWEIGHT Y -1 LIST 60 TO 82

LOAD R4 LOADTYPE Mass TITLE FLOOR_4

FLOOR LOAD

YRANGE 14 18 FLOAD -5 GY

SELFWEIGHT Y -1 LIST 83 TO 105

LOAD R5 LOADTYPE Mass TITLE FLOOR_5

FLOOR LOAD

YRANGE 18 22 FLOAD -5 GY

SELFWEIGHT Y -1 LIST 116 TO 128

END DEFINE REFERENCE LOADS

LOAD 1 LOADTYPE Dead TITLE DEAD

REFERENCE LOAD

R1 1.0 R2 1.0 R3 1.0 R4 1.0 R5 1.0