抛物线及其标准方程
2.3 抛物线
2．3.1 抛物线及其标准方程
[教材研读]
预习课本P 56～59，思考以下问题
1．抛物线上任意一点M 到点F 和直线l 的距离都相等吗？
2．直线l 的方程为x ＝－p
2，定点F 的坐标为?
??
??p 2，0，设M (x ，y )，
根据抛物线的定义可知|MF |＝|MH |，则M 点的轨迹方程是什么？
[要点梳理] 1．抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准
线．
2．抛物线的标准方程
[自我诊断]
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的充分不必要条件．()
2．抛物线y －2016x 2＝0的焦点坐标是(504,0)．( ) 3．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为y 2＝x .( ) [答案] 1.× 2.× 3.×
题型一 求抛物线的焦点坐标及准线方程
思考：如何根据抛物线的标准方程，判断其焦点坐标和准线方程？
提示：把抛物线方程写成标准形式．
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y 2＝－14x ； (2)5x 2－2y ＝0； (3)y 2＝ax (a >0)．
[思路导引] 把抛物线方程写成标准形式，判断开口方向，再利用参数p .
[解] (1)因为p ＝7，所以焦点坐标是? ??
??－72，0，准线方程是x ＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝1
5，所以焦点坐标是?
??
??0，110，准线方程是y ＝－1
10.
(3)由a >0知p ＝a 2，所以焦点坐标是? ??
??a 4，0，准线方程是x ＝－a
4.
根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p 的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．
[跟踪训练]
求抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点坐标和准线方程． [解] 把抛物线方程y ＝ax 2
化成标准方程x 2
＝1
a y .
当a >0时，焦点坐标是?
??
??0，14a ，准线方程是y ＝－1
4a ；
当a <0时，焦点坐标是? ??
??0，14a ，准线方程是y ＝－1
4a .
综上知，所求抛物线的焦点坐标为? ????0，14a ，准线方程为y ＝－1
4a .
题型二 求抛物线的标准方程
思考：求抛物线的标准方程，常用什么方法？
提示：待定系数法是求曲线方程的常用方法．
求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[思路导引]确定焦点位置，用待定系数法．
[解](1)∵点M(－6,6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p>0)，将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3.
∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，
∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，
∴抛物线的焦点是F(2,0)，
∴p
2＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y 2＝8x .
②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F (0，－3)，∴p
2＝3，∴p ＝6，
∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .
综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y .
求抛物线方程的方法
(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p 的方程，求出p 的值，进而写出抛物线的标准方程．
(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，利用已知条件求出m ，n 的值．
[跟踪训练]
根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1；
(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.
[解] (1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p
2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .
(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，
则焦点坐标为? ????p 2，0，准线为x ＝－p
2，则焦点到准线的距离是
????
??
－p 2－p 2＝p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x . 题型三 抛物线定义的应用
已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动
点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标．
[思路导引] |PF |与P 到准线的距离相等．
[解] 如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ， 则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PN |≥|AB |，
当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AB |＝3＋12＝7
2. 此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝2， ∴P 点坐标为(2,2)．
(1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．
(2)解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时，首先要注意应用抛物线的定义进行转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短；三角形中三边间的不等关系；点与直线上点的连线中，垂线段最短等．
[跟踪训练]
已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．
[解] 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到
焦点的距离．由图可知，当点P ，A (0,2)，和抛物线的焦点F ?
??
??12，0三
点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝ ?
?
???0－122＋(2－0)2＝
172.
题型四 抛物线方程的实际应用
一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过截面为抛物线型
的隧道，已知拱口宽AB 恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．
[思路导引] 建立坐标系，求出曲线方程，再计算．
[解] 以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x 2
＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为? ??
??a 2，－a 4， 由点B 在抛物线上，
得? ????a 22＝－2p ? ??
??－a 4，所以p ＝a
2，所以抛物线方程为x 2＝－ay . 将点(0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a . 欲使卡车通过隧道，应有a 4－|y |＝a 4－0.64
a >3. 解得a >12.21，或a <－0.21(舍去)． ∵a 取整数， ∴a 的最小值为13.
在建立抛物线的方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得方程不含常数项，形式更为简单，便于计算．
[跟踪训练]
喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5 m ，且与OA 所在的直线相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？
[解] 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，
因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5， 所以抛物线的方程为x 2＝－5y ， 点A (－4，y 0)在抛物线上， 所以16＝－5y 0，即y 0＝－16
5， 所以OA 的长为5－16
5＝1.8(m)． 所以管柱OA 的长为1.8 m.
课堂归纳小结
1．本节课的重点是抛物线标准方程的求法和焦点坐标、准线的求法．难点是抛物线定义的应用和抛物线方程的实际应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)由抛物线方程求焦点坐标和准线方程，如例1. (2)求抛物线的标准方程，如例2.
(3)利用抛物线的定义解决最值问题，如例3.
3．由抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，如果不是标准方程应先转化为标准方程，这是本节课的易错点．
1．抛物线y ＝－1
8x 2的准线方程是( ) A ．x ＝1
32 B ．x ＝1
2 C ．y ＝2
D ．y ＝4
[解析] 将y ＝－1
8x 2化为标准形式x 2＝－8y ，由此可知准线方程为y ＝2.
[答案] C
2．已知定点F 和定直线l ，点F 不在直线l 上，动圆M 过点F 且与直线l 相切，则圆心M 的轨迹是( )
A ．射线
B ．直线
C ．抛物线
D ．椭圆
[解析] 由题意分析得，点M 到定点F 和定直线l 的距离相等，所以点M 满足抛物线的定义．
[答案] C
3．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 2
4－y 2
2＝1上，则抛物线的方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝4x
C ．y 2＝2x
D ．y 2＝±8x
[解析] 由题意知，抛物线的焦点为双曲线x 24－y 2
2＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .
[答案] D
4．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2
＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )
A ．2
B ．3 C.115 D.37
16
[解析] 易知直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线，如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为|PF |的长度，其中F (1,0)为抛物线y 2＝4x 的焦点．由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|
(－3)2＋4
2
＝2.
[答案] A
5．若双曲线x 23－16y 2
p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.
[解析] 由双曲线x 23－16y 2
p 2＝1得标准形式为 x 23－y 2
p 216
＝1，
由此c 2＝3＋p
216，
左焦点为?
?
?
??－
3＋p 2
16，0，
由y 2＝2px 得准线为x ＝－p
2， ∴－
3＋p 216＝－p 2，
∴p ＝4.
[答案]4