第03讲:导数中的二次求导问题
【知识要点】
1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求,导数在研究函数中的应用,既是高考考查的重点,也是难点和必考点. 利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式,并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用,难度较大.
2、在解决有关导数应用的试题时,有些题目利用“一次求导”就可以解决,但是有些问题“一次求导”,不能求出原函数的单调性,还不能解决问题,需要利用“二次求导”才能找到导数的正负,找到原函数的单调性,才能解决问题. “再构造,再求导”是破解函数综合问题的有效工具,为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径.
【方法讲评】
方法二次求导
使用情景
对函数一次求导得到之后,解不等式难度较
大甚至根本解不出.
解题步骤
设,再求,求出的解,即得到函数的单调性,得到函数的最值,即可得到的正负情况,即可得到函数的单调性.
【例1】(理·2010全国卷Ⅰ第20题)已知函数.
(Ⅰ)若,求的取值范围;(Ⅱ)证明:
化简得,
所以两边同乘可得,所以有,在对求导有,即当<<时,>0,在区间上为增函数;当时,;当<时,<0,在区间上为减函数.
所以在时有最大值,即.又因为,所以.
当时,同理,当时,>,即在区间上为增函数,则,此时,为增函数,所以,易得
也成立.
综上,得证.
方法二:(Ⅰ),则
题设等价于. 令,则.
当<<时,>;当时,,是的最大值点,所以.
综上,的取值范围是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,即.
当<<时,
因为<0,所以此时.
当时,. 所以
【点评】(1)比较上述两种解法,可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂,思路来得自然流畅,难度降低,否则,另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论,而且运用了一些代数变形的技巧,解法显得偏而怪,同学们不易想出.(2)大家一定要理解二次求导的使用情景,是一次求导得到之后,解答难度较大甚至解不出来. (3)二次求导之后,设,再求,求出的解,即得到函数的单调性,得到函数的最值,即可得到的正负情况,即可得到函数的单调性.
【例2】设函数
(Ⅰ)若在点处的切线为,求的值;(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)若,求证:在时,>.
【解析】(Ⅰ)∵∴,
∵在点处的切线为,即在点的切线的斜率为,
∴,∴,∴切点为,
将切点代入切线方程,得,所以,;
(Ⅲ)∵,,
∴要证:当时,>,即证:,
令,则只需证:,
由于,(由于不等式是超越不等式,所以此处解不等式
解答不出,所以要构造函数二次求导.)
设
所以函数在单调递增,又因为
.
所以在内存在唯一的零点,即在内存在唯一的零点,设这个零点为.
【点评】(1)由于不等式是超越不等式,所以不等式解答不出,所以要构造函数二次求导.这是要二次求导的起因. (2)仅得到函数在单调递增是不够的,因为此时,所以,所以的单调性还是不知道,所以无法求.所以必须找到这个零点和零点所在区间,这个零点和零点的区间找到很关键很重要,直接关系到的单调性和.
【反馈检测1】【2017课标II,理】已知函数,且. (1)求;(2)证明:存在唯一的极大值点,且.
【反馈检测2】已知函数R在点处的切线方程为.
(1)求的值;(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;
(3)证明:当N,且时,.
高考数学热点难点突破技巧第03讲:
导数中二次求导问题参考答案
【反馈检测1答案】(1);(2)证明略.
【反馈检测1详细解析】(1)的定义域为
设,则等价于
因为
若,则.当时,单调递减;当时,>0,单调递增.所以是的极小值点,故,综上,.
又,所以在有唯一零点,在有唯一零点1,且当时,;当时,,当时,. 因为,所以是的唯一极大值点.
由,由得.
因为是在(0,1)的最大值点,由得
,所以.
【反馈检测2答案】(1);(2);(3)见解析.
【反馈检测2详细解析】(1)解:∵,∴.
∵直线的斜率为,且过点,
∴即解得.
令,则.
当时,,函数在上单调递增,故
从而,当时,,即函数在上单调递增,故. 因此,当时,恒成立,则.
∴所求的取值范围是.
解法2:由(1)得.
当时,恒成立,即恒成立.
令,则.
方程(﹡)的判别式.
(ⅰ)当,即时,则时,,得,
故函数在上单调递减.
由于,
则当时,,即,与题设矛盾.
(ⅱ)当,即时,则时,.
故函数在上单调递减,则,符合题意.
而
由(ⅱ)知,当时,,得,从而. 故当时,,符合题意.
综上所述,的取值范围是.
(3)证明:由(2)得,当时,,可化为,
又,从而,.
把分别代入上面不等式,并相加得,
.