反比例函数大全
反比例函数大全
1.：当x=_________时，分式无意义；当k=_________时，
2.y=3x2﹣k是反比例函数．
3. 若y与x成正比，y与z的倒数成反比，则z是x的（）
A．正比例函数B．反比例函数C．二次函数D．z随x增大而增大
【例三】下列函数是反比例函数的是（）
D．y=
A．y=x B．y=kx﹣1C．
y=
变式练习一：下列函数中，y是x的反比例函数是（）
A．B．C．D．
变式练习二：下列函数中，属于反比例函数的是（）
A．B．C．D．y=﹣2x2+1
变式练习三：函数的图象是双曲线，则m的值是（）
A．﹣1 B．0C．1D．2
【例四】若函数为反比例函数，则a的值为（）
A．1B．±1 C．0D．﹣1
变式练习一：若函数y=（m+1）x|m|﹣2是反比例函数，则m等于（）
A．2B．﹣2 C．1D．±1
变式练习二：函数是反比例函数，则a的值是（）
A．﹣1 B．1C．±1 D．
变式练习三：若函数y=是反比例函数，则m的值为（）
A．±2 B．2C．±D．
【例五】．若y+b与成反比例，则y与x的函数关系式是（）
A．正比例B．反比例C．一次函数D．二次函数
【例六】．已知y=y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x=0时，y=﹣3，当x=1时，y=﹣1．
（1）求y的表达式；（2）求当x=时y的值．
变式练习一：已知y与x成反比例，当x增加20%时，y将（）
A．减少20% B．增加20% C．减少80% D．约减少16.7%
变式练习二：已知三角形的面积为20厘米，一边上的高为h厘米，这边所对应的中位线长为m厘米，则h是m的（）
A．反比例函数B．正比例函数C．一次函数D．不能确定
变式练习三：将代入反比例函数
中，所得函数值记为y 1，又将x=y 1+1代入原反比例函数中，
所得函数值记为y 2，再将x=y 2+1代入原反比例函数中，所得函数值记为y 3，…，如此继续下去，则y 2004= _________ ．
例七 已知近视眼镜的度数y 与镜片焦距x （m ）成反比例，若400度近视眼镜镜片的焦距是0.25m ，则y 与x 的函数关系式为 _________ ．
变式练习一：近视镜度数y （度）与镜片焦距x （米）之间成反比例关系，已知200度近视镜的镜片焦距是0.5米，则y 与x 之间的函数关系式为y= _________ ．
例八写出下列各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别．
(1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12000元，首付4000元，以后每月付y 元，x 个月全部付清，则y 与x 的关系为________，是________函数．
(2)某种灯的使用寿命为1000小时，它的使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的关系式为________，是________函数．
(3)设三角形的底边、对应高、面积分别为a 、h 、s ．
当a ＝10时，s 与h 的关系为________，是________函数； 当s ＝18时，a 与h 的关系为________，是________函数．
(4)某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系为________，是________函数．
变式练习一：已知圆柱的体积公式V ＝S ·h ．
(1)若圆柱体积V 一定，则圆柱的高h (cm)与底面积S (cm 2)之间是________函数关系； (2)如果S ＝3cm 2时，h ＝16cm ，求
①h (cm)与S (cm 2)之间的函数关系式；
②S ＝4cm 2时h 的值以及h ＝4cm 时S 的值．
变式练习二：某工厂现有材料100吨，若平均每天用去x 吨，这批原材料能用y 天，则y 与x 之间的函数关系式为( )． (A)y ＝100x
(B)x
y 100
=
(C)x
y 100
100-
= (D)y ＝100－x
知识点二：反比例函数的图象及性质
一、k 的符号与图象的位置的关系（象限问题）
1 反比例函数y ＝
2
x
的图象位于( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限
2 反比例函数x
k y 1
2+=的图象经过第 象限.
3若一次函数y ＝x +b 与反比例函数y ＝k
x
图象，在第二象限内有两个交点，则k _____0，b _____0， 4 已知函数()5
21-+=m x m y 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m 的值是（ ）A ．2
B ．﹣2
C ．±2
D ．2
1
-
5已知关于x 的函数y ＝k (x +1)和y ＝－
k
x
(k ≠0)它们在同一坐标系中的大致图象是( )
1、若
x
k
y
1
2-
=的图象分别位于第一、第三象限，则k的取值范围是 .
2、函数y=
k
x
(k ≠ 0)的图象过点(2，－2)，则此函数的图象在平面直角坐标系中的( )
A、第一、三象限
B、第三、四象限
C、A、第一、二象限
D、第二、四象限
3、函数y=kx+b(k≠0)与y=
k
x
(k≠0)在同一坐标系中的图像可能是( )
4．已知y＝(a－1)x a是反比例函数，则它的图象在( )．
(A)第一、三象限(B)第二、四象限(C)第一、二象限(D)第三、四象限
1．已知直线y＝kx＋b的经过第一、二、四象限，则函数
x
kb
y=的图象在( )．
(A)第一、三象限(B)第二、四象限(C)第三、四象限(D)第一、二象限
2、在同一直角坐标系中，函数(0)
k
y k
x
=≠与(0)
y kx k k
=+≠的图象大致是()
3、（北京西城）在同一坐标系中，函数x
k
y=和3
+
=kx
y的图像大致是（）
A B C D
A．
x
y
B．
x
y
C．
x
y
D．
x
y
4、在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与(
0)
k
y
k
x
=≠的图像大致是（）
5．已知关于x的函数y=k（x+1）和y=-
k
x
（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（）．
二、k的符号与图象的性质的关系（增减性问题）
1 在反比例函数
1k
y
x
-
=的图象的每一条曲线上，y x
都随的增大而增大，则k的值可以是( ) A．1-B．0 C．1 D．2
2 已知点A(
11
x y
，)、B(
22
x y
，)是反比例函数
x
k
y=(0
>
k)图象上的两点，若
2
1
0x
x<
<，则有( )
A．
2
1
0y
y<
1 2 0y y< 2 1 < y D．0 1 2 < y 3 函数()() 12 4 y x x y x x =≥=> 0，的图象如图所示，则结论： ①两函数图象的交点A的坐标为() 22，； ②当2 x>时， 21 y y >； ③当1 x=时，3 BC=； ④当x逐渐增大时，1y随着x的增大而增大，2y随着x的增大而减小． 其中正确结论的序号是． A．①③④B．③④C．①②③④D．②③④ 1、在反比例函数y= 12m x - 的图像上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1<0 1 2 D．m> 1 2 2、已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函数y 4 - =的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1， O 1 y x = x A B C 1 x= 4 y x = y y 2，y 3的大小关系是 . 4、如图所示是反比例函数x n y 4 2-= 的图象的一支，根据图象回答下列问题： （1）图象的另一支在哪个象限? 常数n 的取值范围是什么? （2）若函数图象经过点（3，1），求n 的值； （3）在这个函数图象的某一支上任取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），如果a 1< a 2，试比较b 1和b 2的大小． 5、已知反比例函数x k y 1 -= ，k 为常数，k ≠1． （1）若点A （1，2）在这个函数的图象上，求k 的值； （2）若在这个函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围； （3）若k =13，试判断点B （3，4），C （2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 1、反比例函数经过点),2(a -，),1(b -，且b a >，则反比例函数的图象所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第三象限 C ．第一、三象限 D ．第二、四象限 2、如图所示，反比例函数1y 与正比例函数2y 的图象的一个交点坐标是(21)A ， ，若210y y >>，则x 的取值范围在数轴上表示为( ) 3、已知反比例函数)0(<= k x k y 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是（ ）A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、不能确定 三、反比例函数图像的对称性的应用 y 1 2 2 1 1- (21)A ， y 2 y 1 O A ．B ．C ．D ． 1 若正比例函数y=－2x 与反比例函数x k y = 图象的一个交点坐标为（－1，2），则另一个交点的坐标为（ ） A ．（2，－1） B ．（1，－2） C ．（－2，－1） D ．（－2，1） 2 如图，过原点的一条直线与反比例函数y = k x (k < 0)的图像分别交于A 、B 两点， 若A 点的坐标为(a ，b )，则B 点的坐标为( ) A ．(a ，b ) B ．(b ，a ) C ．(－b ，－a ) D ．(－a ，－b ) 1、如图，直线y=kx （k ＞0）与双曲线x y 2 = 交于A ，B 两点，若A ，B 两点的坐标 分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1y 2+x 2y 1的值为（ ） A ．-8 B ．4 C ．-4 D ．0 2、已知反比例函数的图像经过点（a ，b ），则它的图像一定也经过（ ） A 、 (－a ,－b ) B 、 (a ,－b ) C 、(－a ，b ) D 、（0，0） 3．若双曲线经过点(－2，－3)，则下列各点不在双曲线上的是 ( )． (A)(2，3) (B)(3，2) (C)(－3，－2) (D))3 1 ,21( 4、下列函数中，图象一定关于原点对称的是（ ） A ．x y 1 = B ．y=2x+1 C ．y= -2x+1 D ．以上三种都不可能 1、如图，设直线y=kx （k ＜0）与双曲线x y 5 -=相交于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点， 则x 1y 2-3x 2y 1的值为（ ） A ．-10 B ．-5 C ．5 D ．10 2．如图中是正比例函数与反比例函数的图象，相交于A 、B 两点，其中点 A 的坐标为（1，2），分别以A 、B 为圆心，以1个单位长度为半径画图， 则图中两个阴影部分面积的和是 四、画反比例函数图像 1、先填表，再画出反比例函数x y 4 = 的函数图象 2、如图，反比例函数x y 8 = 的图象的一个分支为（ ） A 、① B ．② C ．③ D ．④ 3、已知函数11-=x y 和x y 62= 。 （1）在所给的坐标系中画出这两个函数的图象。 （2）求这两个函数图象的交点坐标。 （3）观察图象，当x 在什么范围时，21y y >？ 4、函数x y 2 = 的图象在（ ） A ．第一，三象限 B ．第一，二象限 C ．第二，四象限 D ．第三，四象限 例1：.如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，反比例函数 x k y = 的图象 过点B ，则k 的值为________． 例2：如左下图所示，点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在双曲线 )0x (k >= x y 上,且x2-x1=4,y1-y2=2;分别过点A 、 B 向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 C 、 D 、 E 、 F ，AC 与BF 相交于 G 点，四 边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为 变式练习一：如右上图，点A 、B 是双曲线 3 y x = 上的点，分别经过A 、B x y A B O 1S 2S 两点向x轴、y轴作垂线段，若 1 S= 阴影 ， 则12 S S += ． 变式练习二：如右图，在反比例函数 2 y x =（0 x>）的图象上， 有点 1234 P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过 这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左 到右依次为 123 S S S ，，，则 123 S S S ++=． 例1：如图所示，直线l与双曲线)0 ( k y> =k x 交A、B两点，P是AB上的点，试比较⊿AOC的面积S1，⊿BOD的面积S2，⊿POE的面积S3的大小： 变式练习一：双曲线 x y 4 =与 x y 2 =在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接OA，OB，则△AOB的面积为（） A．1 B．2 C．3 D．4 结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k| 例1：A、B是函数 2 y x = 的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（）A．2 S=B．4 S=C．24 S < S> 变式练习一：如图A在反比例函数 (0) k y k x =≠ 的图象上，AM x ⊥轴于点M，AMO △的面积为3，则k= 2 y x = x y O P1 P2 P3 P4 1 2 3 4 变式练习二：设P是函数 x y 4 =在第一象限的图象上任意一点，点P关于原点的对称点为P′，过P作PA 平行于y轴，过P′作P′A平行于x轴，PA与P′A交于A点，则△PAP′的面积（） 结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k| 例一：已知点A（0,2）和点B（0，-2），点P在函数y= 1 x -的图像上，如果△PAB的面积为6，求P点的坐标。 变式练习一：如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C．若△ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为 变式练习二：如图，直y=mx与双曲线 k y x = 交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM=1，则k的值是 1、如图，P、C是函数 x 4 y=（x>0）图像上的任意两点，过点P作x轴的垂线PA,垂足为A，过点C作x 轴的垂线CD,垂足为D，连接OC交PA于点E，设⊿POA的面积为S1,则S1= ,梯形CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1 S2, ⊿POE的面积S3和梯形CEAD的面积为S2的大小关O B x y C A 图1 2、如图，已知直线 1 2 y x =与双曲线( 0) k y k x =>交于A B ，两点，且点A的横坐标为4． （1）求k的值； （2）若双曲线(0) k y k x =>上一点C的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O的另一条直线l交双曲线(0) k y k x =>于P Q ，两点（P点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标． 1、如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数 1 y x =（0 x>）的图象上，则点E的坐标是（，）. 2、如右图，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2都在函数y= 4 x （x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上．则点A2的坐标为 . 3、如例1图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…P n都在函数y= 4 x （x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…A n-1A n都在x轴上．则点A10的坐标为 综合演练一：已知：如右图，已知反比例函数y= 2 k x 和一次函数y=2x-1，其中一 次函数的图像经过（a，b），（a+1，b+k）. （1）求反比例函数的解析式； （2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的 坐标； （3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？ 若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由． O A B C E F D y O x A y B 综合演练二：已知反比例函数y= 2k x 和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+k ，b+k+2）两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求反比例函数与一次函数两个交点A 、B 的坐标： （3）根据函数图象，求不等式 2k x ＞2x-1的解集； （4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。 知识点：实际问题与反比例函数 1．一个水池装水12立方米，如果从水管中每小时流出x 立方米的水，经过y 小时可以把水放完，那么y 与x 的函数关系式是________，自变量x 的取值范围是________． 2．三角形的面积为6cm 2，如果它的一边为ycm ，这边上的高为xcm ，那么y 与x 之间是________函数关系，以x 为自变量的函数解析式为________． 3．若r 为圆柱底面的半径，h 为圆柱的高，当圆柱的侧面积一定时，h 与r 之间函数关系的图象大致是( )． 4．如图所示的是一蓄水池每小时的排水量V (m 3/h )与排完水池中的水所用的时间t (h )之间的函数图象． (1)根据图象可知此蓄水池的蓄水量为________m 3； (2)此函数的解析式为________； (3)若要在6小时内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是________m 3； (4)如果每小时的排水量是5m 3，那么水池中的水将用________小时排完． 1．甲、乙两地间的公路长为300km ，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为V (km /h )，到达时所用的时间为t (h )，那么t 是V ________的函数，V 关于t 的函数关系式为________． 2．已知圆柱的侧面积是π102 cm ，若圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，则h 与r 的函数关系式 是 。 3．长方体的体积为40cm 3，此长方体的底面积y (cm 2)与其对应高x (cm )之间的函数关系用图象大致可以表示为下面的( )． 5．下列各选项中，两个变量之间是反比例函数关系的有( )． (1)小张用10元去买笔，购买的铅笔数量y (支)与铅笔单价x (元/支)之间的关系 (2)一个长方体的体积为50cm 3，宽为2cm ，它的长y (cm )与高x (cm )之间的关系 (3)某村有耕地1000亩，该村人均占有耕地面积y (亩/人)与该村人口数量n (人)之间的关系 (4)一个圆柱体，体积为100cm 3，它的高h (cm )与底面半径R (cm )之间的关系 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 1．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图像是（ ） 2．有一面积为60的梯形，其上底是下底长的三分之一，若下底长为x ，高为y ，则y 关于x 的函数关系式是( )． (A))0(45 >= x x y (B))0(30>=x x y (C))0(90>=x x y (D))0(15>=x x y 3．农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示)，则需要塑料布 y (m 2)与半径R (m )的函数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分)________． 【典型例题二：物理中的实际问题】 1．一定质量的氧气，密度ρ是体积V 的反比例函数，当V ＝8m 3时，ρ＝1.5kg /m 3，则ρ与V 的函数关系式为________． 2．由电学欧姆定律知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R ＝20Ω时，电流强度I ＝0.25A ．则 (1)电压U ＝________V ； (2)I 与R 的函数关系式为________； (3)当R ＝12.5Ω时的电流强度I ＝________A ； (4)当I ＝0.5A 时电阻R ＝________Ω． 3．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表： 则可以反映y 与x 之间的关系的式子是( )．(A)y ＝3000x (B)y ＝6000x (C)x y 3000= (D)x y 6000 = 1．在物理学中压力F ，压强p 与受力面积S 的关系是：S F P = ，则下列描述中正确的是( )． (A)当压力F 一定时，压强p 是受力面积S 的正比例函数 (B)当压强p 一定时，压力F 是受力面积S 的反比例函数 (C)当受力面积S 一定时，压强p 是压力F 的反比例函数 (D)当压力F 一定时，压强p 是受力面积S 的反比例函数 2．某闭合电路中，电源电压为定值，电流I （A ）与电阻R （Ω）成反比例，如图所表示的是该电路中电流I 与电阻R 之间的函数关系的图象，则用电阻R 表示电流I 的函数解析式为（ ） A ．I = 6R B ．I =-6R C ．I =3R D ．I =2R 3．下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( )． (A)小明完成百米赛跑时，所用时间t (s)与他的平均速度v (m /s)之间的关系 (B)长方形的面积为24，它的长y 与宽x 之间的关系 (C)压力为600N 时，压强p (Pa )与受力面积S (m 2)之间的关系 (D)一个容积为25L 的容器中，所盛水的质量m (kg )与所盛水的体积V (L )之间的关系 1．一个气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p (kPa )是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示．(1)写出这一函数的解析式；(2)当气体体积为1m 3时，气压是多少? (3)当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少? 2．一个封闭电路中，当电压为6V 时，回答下列问题： (1)写出电路中的电流强度I (A)与电阻R (Ω)之间的函数关系式； (2)画出该函数的图象； (3)如果一个用电器的电阻为5Ω，其最大允许通过的电流强度为1A ，那么把这个用电器接在这个封闭电路中，会不会被烧? 试通过计算说明理由． 第4题. 某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P （万平方米）与市场新房均价x （千元／平方米）存在函数关系25P x =；年新房销售面积Q （万平方米）与市场新房均价x （千元／平方米）的函数关系为120 10Q x = -． （1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额； （2）在（1）的基础上，如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少？变化了多少？结合年新房销售总额和积压面积的变化情况，请你提出一条合理化的建议．（字数不超过50） 第5题. 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据年度 2001 2002 2003 2004 投入技改资金x （万元） 2.5 3 4 4.5 产品成本y （万元／件） 7.2 6 4.5 4 （1） 请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表 示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； （2） 按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元． ① 预计生产成本每件比2004年降低多少万元？ ② 如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到 0.01万元）？ 第6题.你吃过拉面吗？实际上做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定．．体积的面团做成拉面，面条总长度y （m ）是面条的粗细（横截面积）s (mm 2)的反比例函数，其图象如图所示． （1）写出y 与s 的函数关系式； （2）求当面条粗1.6 mm 2时，面条的总长度．．． 是多少米？ 第7题. 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表： 其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； （2）按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元， ①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？ ②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元） 反比例函数与一次函数综合问题 【例1】将直线4=y x 沿y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点904?? ??? ， A ，与双曲线(0)=>k y x x 交于点 B ．⑴求直线AB 的解析式；⑵若点B 的纵标为m ，求k 的值（用含有m 的式子表示）． 2) 2如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2m y x = 的图象相交于A 、B 两点． （1）求出这两个函数的解析式； （2）结合函数的图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，12y y < B A O y x -2 -6 413 一、选择题： 1、如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数 m y x =的图象交于(21)(1) A B n -，，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB △ 2、如图，函数b x k y+ = 1 1 的图象与函数 x k y2 2 =（0 > x）的图象交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）． （1）求函数 1 y的表达式和B点的坐标；（2）观察图象，比较当0 > x时， 1 y与 2 y的大小. 3、如图，已知A（4，a），B（－2，－4）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数 x m y=的图象的交点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△AOB的面积. O y x B A 4 、已知一次函数y=x+m 与反比例函数y= 1 m x +的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．（1）求x 0的值；（2）求一次函数和反比例函数的解析式． 5、已知：如图，直线b kx y +=与反比例函数)0(<= x x k y 的图象相交于点A 和点B ，与x 轴交于点C ，其中A 点的坐标为（－2，4），点B 的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的解析式；（2）求AOC ?的面积。 6、已知一次函数3y x =+的图象与反比例函数k y x = 的图象都经过点(4)A a ，． （1）求a 和k 的值； （2）判断点B (2,3)是否在该反比例函数的图象上？ 1、在函数1y x = 的图象上有三个点的坐标分别为（1，1y ）、（12，2y ）、（3-，3y ），函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是 . 2、反比例函数x k y = 的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为 . A x y O B （4） 3、如图，A ⊙和B ⊙都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1 y x =的图象上，则图中阴影部分的面积等于 ． 4、已知反比例函数 y =x a (a ≠0)的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减少，则一次函数 y =-a x +a 的图象不经过．．． 第 象限。 5、若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数b y x = 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） y x O y x O y x O y x O B ． 6、若A （a ，b ），B （a ，b ）是反比例函数y 2 - =图象上的两个点，且a ＜a ，则b 与b 的大小关 系是（）A．b1＜b 2B．b1 = b2 C．b1＞b 2D．大小不确定 7、已知函数 1 y x =，当1 x≥-时，y的取值范围是 . 8、直线y=ax(a＞0)与双曲线y=3 x 交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则4x1y2－3x2y1=______． 9、在反比例函数 2 y x =（0 x>）的图象上，有点 1234 P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分 别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 123 S S S ，，，则123 S S S ++=． 2 y x = x y O P1 P2 P3 P4 1 2 3 4 y x O P1 P2 P3 P 4 P5 A1 A2 A3 A4 A5 2 y x = （17）（18） 10、如图，在x轴的正半轴上依次截取112233445 OA A A A A A A A A ====，过点 12345 A A A A A 、、、、分别作x轴的垂线与反比例函数() 2 y x x =≠的图象相交于点 12345 P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455 OP A A P A A P A A P A A P A 2 、、、、，并设其面积分别为 12345 S S S S S 、、、、，则 5 S的值为．． 11. 如图32所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数 1 k y x =的图象上一点，AB x ⊥轴的正半轴于B点， C是OB的中点；一次函数 2 y ax b =+的图象经过A、C两点，并将y轴于点() 02 D-，，若4 AOD S= △ ． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当 1 2 y y >时，x的取值范围． y x C B A D O 12、如图，点P的坐标为（2， 2 3 ），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线 x k y=(x>0)于点N； 作PM⊥AN交双曲线 x k y=(x>0)于点M，连结AM.已知PN=4. （1）求k的值.（2）求△APM的面积. 1、 函数性质题 1.1考察概念 一般地，形如 y = ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx-1（k ≠0） 1.2考察图像性质 （1）形状：图象是双曲线。 （2）位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双 曲线分别位于第________象限内。 （3）增减性： 当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________； 当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 （4）变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 （5）对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点 ____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数 （如：y = x 6 和y = x 6 ）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。 （7）y = 图像上有点（X 1，Y 1），必有点（-X 1，-Y 1） 同时在y = 图像上有点（-X 1，Y 1）和点（X 1，-Y 1） 2、性质与计算结合题 2.1已知图像上的点求解析式或一直横坐标（纵坐标）求纵坐标（横坐标）带入一般式，求出k，并带入该点验证。 或带入坐标值 2.2与三角形结合 （1）作图，注意题中不同条件在图中位置或表示方法，注意函数定义域（2）利用所给条件列出等式 （3）求出解析式 （4）注意在不同分支上的不同情况，题目可能有两解。验算 2、反比例函数应用题和方程应用题的一般解法 （1）设x，y……。（在题中出现的易于带入的未知量，一般都不能再分解） （2）将所设未知数带入题目中，按照题目的含义列出所有方程或函数式 （3）用待定系数法求出函数解析式；或者列方程（方程组），求解 （4）用实验数据验证 反比例函数小题 第I卷（选择题） 请点击修改第I港的文字说明 1.在反比例函数y = 1图象上有两点A（xi, yi） > B（X2, y2）, x）<0 AZ + 3 9.己知反比例函数尸一的图象，在第一象限内y随x的增大而减小，则n的取值 x 范围是_______________ . 10.在函数y= 一巳2 _1 a为常数）的图象上三点（?], yi）, （■丄y2）,（丄，y3）, X 4 2 则函数值y】、丫2、y3的大小关系是___ . 11.（2014浙江湖州）如下图，已知在平面直角坐标系xOy中，0是坐标原点，点A（2, 5）在反比例函数y =—的图象上，过点A的直线y = x + b交x轴于点B. x （1）求k和b的值； ⑵求AAOB的面积. 12.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b （kHO）的图像与反比例函数 m m y =- X 5工0）的图像交于A, B两点，与X轴交于点C,点A的坐标X 为（n, 6）,点C 的坐标为（-2, 0）且tanZAC0=2"2 f * HtanzJiCO= 2. （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点B的坐标； （3）在x轴上求点E,使AACE为肓?角三角形（肓?接写出点E的坐标） 772 13.如图,一次函数y二kx+b的图象与反比例函数尸一的图象交于A （-2, 1）, B （1, x n）两点. 反比例函数知识点归纳 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为， 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解 析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面 积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点； 当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意 义列函数解析式． （五）充分利用数形结合的思想解决问 题． 知识点一 反比例函数中面积的常见处理方法 1如图，A 、B 是双曲线 y ＝k x (k ＞0) 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC ＝6．则k 的值为( ▲ ) A.1 B.2 C.4 D.无法确定 第3题 第4题 2如图，双曲线)0(＞k x k y = 经过矩形QABC 的边BC 的中点E ， 交AB 于点D 。若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为( ) （A ）x y 1= （B ）x y 2=（C ） x y 3= （D ）x y 6 = 3如图，平行四边形ABCD 的顶点为A 、C 在双曲线y 1=﹣上，B 、D 在双曲线y 2= 上，k 1=2k 2 （k1＞0），AB∥y 轴，S ?ABCD =24，则k 2= ． 4如图，点A 、B 是双曲线3 y x = 上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ． 5如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的顶点C 在x 轴上，顶点A 落在反比例 函数m y x = （0m ≠）的图象上．一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象与该反比例函数的图象交于A 、D 两点，与x 轴交于点E ．已知5AO =，20OABC S =菱形，点D 的 坐标为（4-，n ）． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接CA 、CD ，求△ ACD 的面积． x y A P B D C O 1 l 2 l 6如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线 k y x = 交OB于D，且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等于3，则k的值（） A．等于2 B．等于 3 4 C．等于 24 5 D．无法确定 第7题第8题 7如图，点A在反比例函数)0 ( 4 > =x x y的图像上，点B在反比例函数)0 ( 9 < - =x x y的图像上，且∠AOB=90°，则tan∠OAB的值为▲ 8如图，两个反比例函数 1 y x =和 2 y x =-的图象分别是 1 l和 2 l．设点P在 1 l上，PC⊥x轴， 垂足为C，交 2 l于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交 2 l于点B，则三角形PAB的面积为（）（A）3 （B）4 （C） 9 2 （D）5 知识点二三角函数的综合应用 9如图，一次函数 1 y ax b =+的图象与反比例函数 2 k y x = 的图象交于,A B两点，已知OA= 1 tan, 3 AOC ∠=点B的坐标为 3 (,). 2 m - (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出使函数值 12 y y <成立的自变量x的取值范围. 反比例函数 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y 轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称 （3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题． 三、例题分析 考点1．反比例函数的概念 （1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．y=3x B． C．3xy=1 D． （2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．B． C．D． 考点2．图象和性质 （1）已知函数是反比例函数， ①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y随x的增大而减小，那么k=___________． （2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上， 则直线不经过的象限是（）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 第20课时《反比例函数在中考中的常见题型》 ◆知识讲解：1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x （k≠0）． 2．反比例函数y=k x （k≠0）的性质（1）当k>0时?函数图像的两个分支分别在第 一，三象限内?在每一象限内，y随x的增大而减小．（2）当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二，四象限内?在每一象限内，y随x的增大而增大． （3）在反比例函数y=k x 中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值，?也就是求其图 像上一点横坐标与纵坐标之积，?通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二 次方程的两根，运用两根之积求k的值．（4）若双曲线y=k x 图像上一点（a，b）满 足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2， 又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y= 2 x - ．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y?轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． ◆经典例题：例1（2006，上海市）如图，在直角坐标 系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标 的3倍，反比例函数y=12 x 的图像经过点A， （1）求点A的坐标；（2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，?求这个一次函数的解析式． 例2 如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m 与反比例函数y=m x 的图像在第一象限内的交点，且 S△AOB=3．（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，?请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x?轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论． ◆强化训练：一、填空题1．（2006，南通）如图1，直线y=kx（k>0）与双曲线y= 4 x 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，?则2x1y2－7x2y1的值等于_______． 图1 图2 图3 2．（2006，重庆）如图2，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－ 20 3 ，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A 点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______． 3．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400?度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为_______． 4．若y= 21 31 a a a x-- + 中，y与x为反比例函数，则a=______．若图像经过第二象限内的某点，则a=______． 5．反比例函数y= k x 的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______． 反比例函数解析式的几种常用求法及详细答案 反比例函数解析式的几种常用求法 确定反比例函数解析式是反比例函数部分考查的一个重要知识点，也是进一步求解反比例函数问题的需要，那么怎样确定反比例函数的解析式呢？下面介绍几种常用的求解方法． 一、 定义型： 例1、已知函数10 2 )3(--=m x m y 是反比函数，求其解析式？ 分析：由反比例函数可知???-=-≠-1 100 32m m ∴? ??±=≠33m m ∴3-=m 即可写出函数解析式 利用定义求反比例x k y =解析式时，要保证k ≠0。如例1中应保证03≠-m 的条件。 二、 过点型： 例2、（浙江金华）已知图象经过点（1，1），的反比例函数解析式是 。 分析：函数图象过某一点，则该点坐标满足函数解析式。即可设函数解析式为x k y = 然后将该点坐标代入解析式求出K 值即可 （变式问法：已知反比例函数x k y =，当x=1时，y ＝1，求这个函数的解析式。） 三、 图象型： 例3、已知某个反比例函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 分析：如图将点P （1,2）代入反比例函数解析式x k y =中求出K 的值的即可。 四、面积型： 例4、（山东枣庄）反比例函数x k y = 的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则反比例函数解析式？ 分析：由反比例函数)0(≠= k x k y 的图象上任一点P 与过这点作X 轴（或Y 轴）的垂线的垂足与坐标 原点三点间的三角形的面积“S=K 21 ”可知 1 2 P ∴ K 2 1 ＝2 故可求出K 值，即写出解析式。 例5、如图所示，设A 为反比例函数x k y =图象上一点，且矩形ABOC 的面积为3，则这个反比例函数解析式为 分析：由上面知识可知S 矩形ABOC =K ∴ K =3 即 K=±3 又∵ 反比例函数图象在第二象限 ∴K=－3 即可写出解析式。 五、应用型： 例6、某空调厂的装配车间原计划用2个月时间（每月以30天计算），组装1500台空 调. （1）从组装空调开始，每天组装的台数m （单位： 台／天）与生产的时间t （单位:天） 之间有怎样的函数关系？ （2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？ 分析：这一道工程问题，即“工作总量＝工作时间×工作效率”要时确 ∴ 1500＝mt 即 t m 1500 = (0＜t ≤60) 之后的问题就可以用第一小问来解决了。 (注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围) 例7、（福建福州）如图，已知直线x y 21=与双曲线)0(>=k x k y 交于两 点，且点 的横坐标为． （1）求k 的值； （2）若双曲线)0(>=k x k y 上一点的纵坐标为8，求△AOC 的面 积； 分析：这是反比例函数与正比例函数的综合应用，只要明确交点A 的坐标既满足 正比例函数也满足反比例函数，即可以把A 点的横坐标4代入x y 2 1 =中求出点A 点坐标。然后代入)0(>=k x k y 中求出K 值即可。 反比例函数知识点总复习 一、选择题 1．如图，若直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()2 0y x x =- <交于点(),1A m ，则AOB V 的面积为（ ） A ．6 B ．5 C ．3 D ．1.5 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据题意求出A 点坐标，再求出一次函数解析式，从而求出B 点坐标，则问题可解. 【详解】 解：由已知直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()2 0y x x =-<交于点(),1A m ∴2 1m =- 则m=-2 把A （-2,1）代入到2y x n =-+，得 ()122n =-?-+ ∴n=-3 ∴23y x =-- 则点B （0，-3） ∴AOB V 的面积为1 32=32 ?? 故应选：C 【点睛】 本题考查的是反比例函数与一次函数的综合问题，解题关键是根据题意应用数形结合思想． 2．如图, 在同一坐标系中（水平方向是x 轴），函数k y x =和3y kx =+的图象大致是（ ） A．B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【详解】 解：A、由函数y=k x 的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确； B、由函数y=k x 的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误； C、由函数y=k x 的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误； D、由函数y=k x 的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误． 故选A． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 3．已知反比例函数 2 y x - =，下列结论不正确的是（） A．图象经过点（﹣2，1）B．图象在第二、四象限C．当x＜0时，y随着x的增大而增大D．当x＞﹣1时，y＞2 反比例函数知识点 1. 定义：一般地，形如x k y = （k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y =还可 以写成kx y =1 -，xy=k , （k 为常数，o k ≠）. 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数 k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y = （k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴， 但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4．反比例函数性质与k 的符号有关： 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一组对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比 例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 反比例函数练习 一. 选择题 1. 函数y m x m m =+--()2229是反比例函数，则m 的值是（ ） A. m =4或m =-2 B. m =4 C. m =-2 D. m =-1 2. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. y x =- 2 B. y x =- 12 C. y x =-1 1 D. y x = 12 3. 函数y kx =-与y k x = （ k ≠0）的图象的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 4. 函数y kx b =+与y k x kb = ≠()0的图象可能是（ ） A B C D 中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练 反比例函数在中考中的常见题型 ◆知识讲解 1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x （k≠0）． 2．反比例函数y=k x （k≠0）的性质 （1）当k>0时?函数图像的两个分支分别在第一，三象限?在每一象限，y随x的增大而减小． （2）当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二，四象限?在每一象限，y随x的增大而增大． （3）在反比例函数y=k x 中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值，?也就是求其图像 上一点横坐标与纵坐标之积，?通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根，运用两根之积求k的值． （4）若双曲线y=k x 图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双 曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y= 2 x - ． （5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y?轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． ◆例题解析 例1如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3 倍，反比例函数y=12 x 的图像经过点A， （1）求点A的坐标； （2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，?求这个一次函数的解析式． 【分析】（1）用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标，纵坐标，把点A的坐标代 入y=12 x 可求得a的值，从而得出点A的坐标． （2）设点B的坐标为（0，m），根据OB=AB，可列出关于m的一个不等式，?从而求出点B的坐标，进而求出经过点A，B的直线的解析式． 【解答】（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a>0． ∵点A在反比例函数y=12 x 的图像上，得3a= 12 a ，解得a1=2，a2=－2，经检验a1=2， a2=－2?是原方程的根，但a2=－2不符合题意，舍去．∴点A的坐标为（2，6）． （2）由题意，设点B的坐标为（0，m）． ∵m>0，∴． 解得m=10 3 ，经检验m= 10 3 是原方程的根， ∴点B的坐标为（0，10 13 ）． 设一次函数的解析式为y=kx+10 13 ． 由于这个一次函数图像过点A（2，6）， ∴6=2k+10 3 ，得k= 4 3 ． ∴所求一次函数的解析式为y=4 3 x+ 10 3 ． 例2 如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=m x 的图像在 第一象限的交点，且S△AOB=3． （1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，?请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由． （2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x?轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？ （3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论． 反比例函数知识点归纳 九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题 一、基础知识 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： 则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析 1．反比例函数的概念 （1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．y=3x B． C．3xy=1 D． （2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．B．C．D． 专训1求反比例函数解析式的六种方法名师点金： 求反比例函数的解析式，关键是确定比例系数k的值．求比例系数k的值，可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解，可以根据图象中点的坐标求解，可以直接根据数量关系列解析式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法． 利用反比例函数的定义求解析式 1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数解析式． 利用反比例函数的性质求解析式 2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的解析式． 利用反比例函数的图象求解析式 3．【2017·广安】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝m x的图象在第一象 限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6. (1)求函数y＝m x和y＝kx＋b的解析式． (2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝m x 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9. (第3题) 利用待定系数法求解析式 4．已知y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，若函数y ＝y 1＋y 2的图象经过点(1，2)，??? ?2，12，求y 与x 的函数解析式． 利用图形的面积求解析式 5．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝k x 上，且AB ∥x 轴，C ，D 两点在x 轴上，若矩形ABCD 的面积为6，求点B 所在双曲线对应的函数解析式． (第5题) 利用实际问题中的数量关系求解析式 6．某运输队要运300 t物资到江边防洪． (1)求运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间的函数关系式． (2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？ 反比例函数常见模型邑? E- 、知识点回顾 k 1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=—(k≠0.其解析式有三种表示方法： X ① y =k ( k≠0);② y=kx' ( k≠0);③ xy = k X k 2.反比例函数y=—( k≠0的性质 X (1)当k>0时=函数图像的两个分支分别在第一，三象限内U 在每一象限内，y随X 的增大而减小. (2)当k<0时二函数图像的两个分支分别在第二，四象限内= 在每一象限内，y随X 的增大而增大. k (3)在反比例函数y=k中，其解析式变形为Xy=k ,故要求k的值(也就是求其图像上 X 一点横坐标与纵坐标之积). (4)若双曲线y=-图像上一点(a，b)满足a，b是方程Z2- 4Z —2=0的两根，求双 X 曲线的解析式.由根与系数关系得ab= 2 ,又ab=k，?? k= 2,故双曲线的解析式是y= . X (5)由于反比例函数中自变量X和函数y的值都不能为零，所以图像和X轴，y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势. 】、新知讲解与例题训练 模型一: 如图，点A为反比例函数V 则有SOAB -Ikl 学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人 m S AOB = 3 , (1)求m 的值 多付出一点点，将来比别人收获多许多 -一L - *例1 ：如图RtLABC的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线^y=— Jta-「—,j 变式题 1、如图所示，点A1, A2, A3在X轴上，且O A = AA2= A2 A3,分别过A∣, A2, A3作y轴平行 8 线，与反比例函数y= — (χ>0)的图像交于点B1, B2,B3 ,分别过点B1,B2, B3作X轴的平行 X 线，分别与y轴交于点C1,C2, C3,连结OB i ,OB2,OB3 ,那么图中阴影部分的面积之和为 1 y 上，点B在双曲线X 若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 2 、 如图，点A在双曲线 模型二: , k 如图：点A、B是双曲线y = —(k=0)任意不重合的两点, X 点，交y轴于N点，再过A、B两点分别作AD — y轴于D点，BF — X轴于F 求反比例函数解析式的六种方法 名师点金： 求反比例函数的解析式，关键是确定比例系数k的值．求比例系数k的值，可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解，可以根据图象中点的坐标求解，可以直接根据数量关系列解析式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法． 利用反比例函数的定义求解析式 1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数解析式． 利用反比例函数的性质求解析式 2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的解析式． 利用反比例函数的图象求解析式 3．【2017·广安】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝m x的图象在第一 象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6. (1)求函数y＝m x和y＝kx＋b的解析式． (2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝m x 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9. (第3题) 利用待定系数法求解析式 4．已知y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，若函数y ＝y 1＋y 2的图象经过点(1，2)，??? ?2，12，求y 与x 的函数解析式． 利用图形的面积求解析式 5．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝k x 上，且AB ∥x 轴，C ，D 两点在x 轴上，若矩形ABCD 的面积为6，求点B 所在双曲线对应的函数解析式． (第5题) 6．某运输队要运300 t物资到江边防洪． (1)求运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间的函数关系式． (2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速 度至少为多少？ 反比例函数知识点总结 知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y = (k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式: ①x k y = （0k ≠), ②1 kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠)； ⑸函数x k y = （0k ≠)与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。 (k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =,就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y = （0k ≠)中，只有一个待定系数，因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 知识点２用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = (0k ≠)中，只有一个待定系数，因此,只要一组对应值，就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值 0y ≠,所以它的图像与ｘ轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永 远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取; ②列表时选取的数值越多,画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线； ④画图像时,它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数常见模型 一、知识点回顾 1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x （k≠0）．其解析式有三种表示方法：①x k y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=k x （k≠0）的性质 （1）当k>0时?函数图像的两个分支分别在第一，三象限内?在每一象限内，y 随 x 的增大而减小． （2）当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二，四象限内?在每一象限内，y 随x 的增大而增大． （3）在反比例函数y= k x 中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积). （4）若双曲线y= k x 图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2 －4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2 x -． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． 二、新知讲解与例题训练 模型一： 如图，点A 为反比例函数x k y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴， 则有2||k S OAB = ? 例1：如图ABC Rt ?的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y= x m 在第一象限的交点，且3=?AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ?的面积 变式题 1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y= x 8 (x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________ 2、 如图，点A 在双曲线1y x = 上，点B 在双曲线3 y x =上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 模型二： 如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k x k y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN D F A B D F M N x y O 反比例函数关系式的几种求法 一、复习 1、反比例函数的基本形式 （1）_____________（2）_____________（3）_____________（4）_____________ 2、反比例函数x y 3-=的图象是_________，图象经过第_________象限，在同一个象限中，y 随着x 的增加而_______。若图象经过点),6(),,3(),,1(321y y y -，则321,,y y y 的大小关系是______________. 二、求函数关系式 例1若函数 22(1)m y m x -=+是反比例函数，求其函数关系式。 例2已知y 与1x -成反比例，当2x =时，1y =，求y 关于x 的函数关系式。 例3已知反比例函数的图像经过点(2,3)-，求这个函数关系式。 例4已知函数210n y nx -=是反比例函数，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小，求出函数关系式。 例5写出图像在第二、四象限内的一个反比例函数关系式 三、面积问题 如下图在反比例函数的图象上有两点),(),,(2211y x Q y x P ，过P 、Q 点分别作x 轴，y 轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积21S 、S 有怎样的数量关系， 练习：如图，过反比例函数y =x 2 (x ＞0)图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） A.S 1＞S 2 B.S 1＜S 2 C.S 1=S 2 D.S 1、S 2的大小关系不能确定 例6 如图 反比例函数图像上一点A 与坐标轴围成的矩形ABOC 的面积为8，则该反比例函数的关系式是 反比例函数 知识点及考点： （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ；其中是y 关于 x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 练习：（1）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （2）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5， n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24，）是否在这个函数图象上，并说明理由 （6）已知y 与2x －3成反比例，且4 1 =x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式． 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 1、解析式：() 0≠= k x k y 其他形式：①k xy = ②1 -=kx y 例1．下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y = （2）x y 2-=（3）xy ＝21（4）25+=x y （5）x y 23-=（6）31 +=x y 例2.当m 取什么值时，函数2 3)2(m x m y --=是反比例函数？ 例3．函数2 2 )12(--=m x m y 是反比例函数，且它的图像在第二、四象限， m 的值是_____ 例4．已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5 （1） 求y 与x 的函数关系式 （2）当x ＝－2时，求函数y 的值 2.反比例函数图像上的点的坐标满足：k xy = 例1．已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为 例2．下列函数中，图像过点M （-2，1）的反比例函数解析式是( ) x y A 2.= 2 .B y x =- x y C 21.= x y D 21.-= 例3.如果点（3，－4）在反比例函数k y x =的图象上，那么下列各点中，在此图象上的 是（ ）A .（3,4） B . （－2，－6） C .（－2，6） D .（－3，－4） 例4.如果反比例函数x k y =的图象经过点（3，－1），那么函数的图象应在（ ） A ． 第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、二象限 D ．第三、四象限 二、反比例函数的图像与性质 1、基础知识 0>k 时，图像在一、三象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而减小； 0反比例函数解题一般方法总结
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