一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(
0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .
(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.
2. )
时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x
x βα.
(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()
x x αβ与是等价无穷小;
(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.
3. 若
()()()0
2x
F x t x f t dt
=-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且
'>()0f x ,则( ).
(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;
(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.
)
(
)( , )(2)( )(1
=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设
(A )22x (B )2
2
2x +(C )1x - (D )2x +.
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =
+→x
x x sin 2
)
31(lim .
6. ,)(cos 的一个原函数是已知
x f x
x
=?
?x x
x
x f d cos )(则
.
7.
lim
(cos cos cos )→∞
-+++=2
2
221 n n n
n
n n π
π
ππ .
8. =
-+?
2
12
1
2
211
arcsin -
dx x
x x .
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)
9. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17
7
x x x x ?+-求
11. .
求,, 设?--?????≤<-≤=1 32
)(1020
)(dx x f x x x x xe x f x
12. 设函数)(x f 连续,=?1
0()()g x f xt dt
,且→=0
()
lim
x f x A x ,A 为常数. 求
'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.
13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足
=-
1
(1)9y 的解.
四、 解答题(本大题10分)
14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点
M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)
15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围
成平面图形D.
(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
V .
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)
16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,
1
()()≥??q
f x d x q f x dx
.
17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0
)(0
=?
π
x d x f ,0
cos )(0
=?
π
dx x x f .
证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提
示:设
?
=
x
dx
x f x F 0
)()()
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
5. 6e .
6.c
x x +2
)cos (21 .7. 2π. 8.3π.
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导
(1)c o s ()()x y
e y xy xy y +''++
+= cos()
()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==,(0)1y '=-
10. 解:7
67u x x dx du ==
1(1)112
()7(1)71u du du
u u u u -==-++??原式 1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712
ln ||ln |1|77x x C =-++
11. 解:1
330
()x
f x dx xe dx ---=+
?
??
3
()x
xd e --=-+??
0023
2
cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----??=--+-=???
令
321
4e π
=
--
12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
===
??1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
2
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-'=
≠?
2
0()()A
(0)lim
lim
22x x x f u du
f x
g x x →→'===?
02
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A
g x A x
→→-'==-
=
?,'()g x 在=0x 处连续。
13. 解:2
ln dy y x dx x +=
2
2
(ln )
dx
dx
x x y e e
xdx C -
??=+?
2
11
ln 39x x x Cx -=
-+
1
(1),09y C =-=,
11ln 39y x x x
=- 四、 解答题(本大题10分) 14. 解:由已知且0
2d x
y y x y
'=+?,
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程:022
=--r r
解出特征根:.2,121=-=r r
其通解为
x x e C e C y 221+=-
代入初始条件y y ()()001='=,得
31,3221==
C C
故所求曲线方程为:x
x e e y 23132+=-
五、解答题(本大题10分)
15. 解:(1)根据题意,先设切点为)ln ,(00x x ,切线方程:)
(1
ln 00
0x x x x y -=-
由于切线过原点,解出e x =0,从而切线方程为:x e y 1=
则平面图形面积
?-=
-=1
121
)(e dy ey e A y
(2)三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1,则
2131e V π=
曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2
?-=1
22)(dy
e e V y π
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6221+-=
-=e e V V V π
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分)
16. 证明:1
()()q
f x d x q f x dx -??1
()(()())
q
q
q
f x d x q f x d x f x dx =-+???
10
(1)()()q
q
q f x d x q f x dx
=--??
1212[0,][,1]
()()
12(1)()(1)()
0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=
---≥
故有:
1
()()≥??q
f x d x q f x dx
证毕。
17.
证:构造辅助函数:π
≤≤=?x dt t f x F x
0,)()(0。其满足在],0[π上连续,在)
,0(π上可导。)()(x f x F =',且0)()0(==πF F
由题设,有
????+===
π
π
π
π0
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ,
有?=π
00
sin )(xdx x F ,由积分中值定理,存在),0(πξ∈,使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理,知存在
),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈,使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ,即0)()(21==ξξf f .
高等数学I 解答
一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中)
(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. 当0x x →时,()(),x x αβ都是无穷小,则当0x x →时( D )不一定是
无穷小. (A) ()()x x βα+
(B) ()()x x 2
2βα+
(C)
[])()(1ln x x βα?+
(D) )()
(2x x βα
2. 极限a
x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是( C ). (A ) 1
(B ) e
(C ) a
e
cot (D ) a
e
tan
3.
???
??=≠-+=001
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0x =处连续,则a =( D ). (A ) 1
(B ) 0
(C ) e (D ) 1-
4. 设)(x f 在点x a =处可导,那么=
--+→h h a f h a f h )2()(lim 0( A ). (A ) )(3a f ' (B ) )(2a f '
(C) )(a f ' (D ) )
(31
a f '
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. 极限)
0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1.
6. 由
x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x ),则导函数='y
x
xe ye x y
x xy
xy
ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行,则直
线l 的方程为
13
1211--=--=-z y x . 8. 求函数2
)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 (-∞,0)和(1,+∞ ) .
三、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分)
9. 计算极限10(1)lim
x
x x e
x →+-.
解:1
1
ln(1)120
00(1)1ln(1)lim
lim lim 2x x x
x x x x e e x x e
e e x x x +-→→→+--+-===- 10. 已知:||3a = ,||26b = ,30a b ?= ,求||a b ? 。 解:
1312
cos 1sin ,135cos 2=-==?=θθθb a b a ,
72
=?b a
11. 设)(x f 在[a ,b ]上连续,且
]
,[)()()(b a x dt
t f t x x F x
a
∈-=?,试求出)(x F ''。
解:
??-=x
a
x
a
dt
t tf dt t f x x F )()()(
??=-+='x
a
x
a
dt
t f x xf x xf dt t f x F )()()()()(
)()(x f x F =''
12. 求
3cos .sin x x dx x ? 解:23cos 1sin sin 2x x dx xd x x -=-?? 2221111
sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C
---=-+=--+?
四、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分)
13. 求
?
-2
3
2
21
x x dx .
令
1x t =
?
--=212
322)1
(11
11dt t t t 原式
=
-?
dt
t 12
1
2
32
=arcsin t
12
32=
π
6 14. 求函数
212x x y +=
的极值与拐点. 解:函数的定义域(-∞,+∞)
2
2)1()
1)(1(2x x x y ++-='
322)1()3(4x x x y +--='' 令0='y 得 x 1
= 1, x 2
= -1
0)1(<''y x 1 = 1是极大值点,0)1(>-''y x 2
= -1是极小值点
极大值1)1(=y ,极小值1)1(-=-y
0=''y 33故拐点(-3,-23),(0,0)(3,23
)
15. 求由曲线
43
x y =与2
3x x y -=所围成的平面图形的面积. 解 :,,
x x x x x x 3
232431240=--+=
x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123
S x x x dx x x x dx
=-++---??()()3260
2
3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340
21632332316
=+=4521347
1
3 16. 设抛物线2
4x y -=上有两点(1,3)A -,(3,5)B -,在弧 A B 上,求一点(,)P x y 使ABP ?的面积最大.
解:
AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程: 点到的距离 的面积
+-==+-=
-++-≤≤2104521
5
23
5
132()
?
S x x x x x ()()
=??-++=-++124523
522322
当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()40
1
此时 所求点为,y =313()
另解:由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线
的切线与平行时高可达到最大值问题转为求,使 解得所求点为?ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,()
,(),,(,)002
0004253312113-'=-=--+=-=
六、证明题(本大题4分)
17. 设0x >,试证x x e x
+<-1)1(2.
证明:设0),1()1()(2>+--=x x x e x f x
1)21()(2--='x e x f x ,x xe x f 24)(-='', 0)(,
0≤''>x f x ,因此)(x f '在(0,+∞)内递减。
在(0,+∞)内,)(,0)0()(x f f x f ='<'在(0,+∞)内递减, 在(0,+∞)内,),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x
亦即当 x >0时,x x e x
+<-1)1(2 。
高等数学I A
一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数
???
??????<+<≤>-+=0,sin 1
0,2tan 1,1)
1ln()(x x x x x x x x x f π
的全体连续点的集合是 ( )
(A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞)
(C) (-∞,0) (0,
+∞)
(D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞)
19.
设0)11
(lim 2=--++∞→b ax x x x ,则常数a ,b 的值所组成的数组(a ,b )为( )
(A ) (1,0) (B ) (0,1) (C ) (1,1) (D ) (1,-1) 20.
设在[0,1]上)(x f 二阶可导且0)(>''x f ,则( )
(A ))0()1()1()0(f f f f -<'<'
(B) )1()0()1()0(f f f f '<-<'
(C) )0()1()0()1(f f f f -<'<'
(D ))0()1()0()1(f f f f '<'<-
21.
,1cos sin 2
22
4dx x x
x M ?-
+=
ππ
?-
+=
2
24
3
)cos (sin
π
πdx x x N ?-
-=
2
2
432
)cos sin (π
πdx
x x x
P 则( )
(A ) M < N < P (B ) P < N < M (C ) P < M < N (D ) N < M < P
二 填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
1. 设=->)1arctan (12
x x d x ( )
2. 设?+=,sin )(c x dx x f 则
?=
dx x f n )()
(( )
3. 直线方程
p z n y m x +-==--65
24,与xoy 平面,yoz 平面都平行,
那么m n p ,,的值各为( )
4.
=
??
? ??=+∞
→∑2
1
2
lim
n i n
i x e
n
i
( )
三 解答题(本大题有3小题,每小题8分,共24分)
1. 计算
??? ??-→2201s i n 1
lim x x x 2. 设
???
??≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f 试讨论)(x f 的可导性,并在可导处求出)(x f ' 3. 设函数),()(+∞-∞=在x f y 连续,在x ≠0时二阶可导,且其导函数)(x f '的图形如图
所示,给出
)(x f
)(x f y =的拐点。
四 解答题(本大题有4小题,每小题9分,共36分) 1. 求不定积分
?-+x dx
x x 2)
12(
2. 计算定积分
?e
e
dx
x 1ln
3. 已知直线
43
5221:
3
121:
21-=-=--==z y x l z y x l ,求
l 1且平行于直线
l 2的平面方程。
4. 过原点的抛物线2
ax y =及y =0,x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为π581
,确定
抛物线方程中的a ,并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积。
五、综合题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)
1. 设)()1()(2
x f x x F -=,其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f ,试证明存在
ξ(21<<ξ)使得0)(=''ξF 。
2.
?≥-=x
n x tdt t t x f 0
22)
0(sin )()(
(1) 求)(x f 的最大值点;
(2) 证明:
)32)(22(1
)(++≤
n n x f
一、单项选择题 B D B C .
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
5. dy =dx x x x )1arctan 411(2-+-.
6. ?=dx x f n )()
(?++=+c
n x dx n x )2sin()2cos(π
π. 7.
0,6,2≠-==n p m .
8. )1(21
-e .
三、解答题(本大题有3小题,每小题8分,共24分)
9. (8分)计算极限 22011lim()
sin x x x →-.
解:222222
0011sin lim()lim sin sin →→--=x x x x x x x x
30sin sin lim →-+=x x x x x x x
201cos 12lim 33x x x →-==
10. (8分)设
?????≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f ,试讨论)(x f 的可导性,并在可导处求出)(x f '.
解: 当
x x x x f x 1
sin
1cos 2)(,0+='>;当1)(,0=' cos 0 00'(0)lim 0'(0)lim 1 x x x x x x f f x x +-?→+?→-?-?-?=====?? 故f (x )在x =0处不可导。 ()????? <>+='0101sin 1cos 2x x x x x x f 11. (8分)设函数()y f x =在(,)-∞+∞连续,在0x ≠时二阶可导,且其导函数 ()f x '的图形如图.给出()f x 的极大值点、极小值点以及曲线()y f x =的拐 解:极大值点:x a =x d = 极小值点:x b = 拐点(0,(0)),(,())f c f c 四 解答题(本大题有4小题,每小题9分,共36分) 12. (9分)求不定积分 2 2(2)(1)x dx x x --?. 解:原式=2413()(1)1dx x x x -++--? = 1 4ln 3ln 11x x c x - --+- 13. (9分)计算定积分 1ln e e x dx ? . 解:原式=()1 11 ln ln e e x dx xdx -+?? ()[]111ln ln e e x x x x x x =--+-???? 2 2e =- 14. (9分)已知直线 11: 123x y z l -==,2123:254x y z l ---==,求过直线l 1且平行于直线l 2的平面方程. 解:12(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1)n s s =?=?=- 取直线l 1上一点M 1(0,0,1) 于是所求平面方程为 72(1)0 x y z -++-= 15. (9分)过原点的抛物线2 ax y = (0)a > 及y =0, x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为π 581 . 求a ,并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积. 解: 1 1 5 22200 ()5x V a x dx a ππ==?2 5a π= 由已知得 5815 2 π π= a 故 a = 9 抛物线为:2 9x y = 绕y 轴一周所成的旋转体体积: 1 20 29V x x dx π=??1 40 9184 2x π π== 五 综合题(每小题4分,共8分) 16. (4分)设)()1()(2 x f x x F -=,其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f . 证明:存在ξ(12ξ<<)使得()0F ξ''=。 证明:由)(x f 在[1,2]上二阶可导,故F (x )在[1,2]二阶可导,因 f (2)=0,故F (1)=F (2) = 0 在[1,2]上用罗尔定理,至少有一点)21(,00< ) ()1()()1(2)(2x f x x f x x F '-+-='得0)1(='F 在[1,x 0]上对)(x F '用罗尔定理,至少有点)21(0<< 17. (4分). 解:(1)1x =为()f x 的最大值点。 22()()sin n f x x x x '=-,当01x <<,22()()sin 0n f x x x x '=->;当1x >,22()()sin 0n f x x x x '=-≤。(1)f 为极大值,也为最大值。 (2) 220 ()()sin (1) x n f x t t tdt f =-≤? 1 1 22220 1 (1)()sin ()(22)(23)n n f t t tdt t t t dt n n =-≤-= ++?? 高等数学上B (07)解答 一、 填空题:(共24分,每小题4分) 1.2sin[sin()]y x =,则dy dx =22 2cos[sin()]cos x x x 。 2. 已知2 1a dx x π+∞-∞=+?,a =__1______。 3. 1ln e e x dx =?22e -。 4. x y e =过原点的切线方程为y ex =。 5.已知()x f x e =,则'(ln ) f x dx x ? =x c +。 6.a =32- ,b =92 时,点(1,3)是曲线32 y ax bx =+的拐点。 二、计算下列各题:(共36分,每小题6分) 1.求cos (sin )x y x =的导数。 解:cos lnsin cos lnsin ()(sin ln sin cot cos )x x x x y e e x x x x ''==-+ 2.求sin ln xdx ?。 解:sin ln sin ln cos ln xdx x x xdx =-? ? sin ln cos ln sin ln x x x x xdx =--? 1 (sin ln cos ln )2x x x x C = -+ 3 .求。 解: 212=+ 5ln |x C =+ 4.设 , 0()1,0x k e x f x x x ?≥?=?+?在点0x =处可导,则k 为何值? 解:1 00(0)lim lim k k x x x f x x --→-→- '== 01 (0)l i m 1 x x e f x +→+-'== 1k = 5 .求极限 n →∞ + 。 解: 1lim n n n k →∞ →∞ =+= lim n n k →∞ == 1 x =? = 1 0ln(|ln(1x =+= 6.求过点(2,2,0)且与两直线21010x y z x y z +-+=??-+-=?和200x y z x y z -+=??-+=?平行的平面 方程。 解:两直线的方向向量分别为1(1,2,1)(1,1,1)(1,2,3),s =-?-=--2(2,1,1)(1,1,1)(0,1,1)s =-?-=--,平面的法向量 (1,2,3)(0,1,1)(1,1,1)n =--?--=--。 平面方程为0x y z -+=。 三、解答下列各题:(共28分,每小题7分) 1.设cos sin x R t y R t =??=?,求22 d y dx 。 解:cot dy t dx =- 22 311 (cot )sin sin t d y t dx R t R t '=-=-- 2.求0()(1)x F x t t dt =-?在[1,2]-上的最大值和最小值。 解:()(1)0,0,1F x x x x x '=-=== 1012001 (0)0,(1)(1), 652 (1)(1),(2)(1)63F F t t dt F t t dt F t t dt -==-=--=-=-=-= ??? 最大值为23,最小值为5 6- 。 3.设()y y x =由方程22 (1)ln(2)0x y x y +-+=确定,求'(0)y 。 解:方程22 (1)ln(2)0x y x y +-+=两边同时对x 求导 2222(1)20 2x y y xyy x y ' +'++- =+ 将 1 0,2x y == 代入上式 5'(0) 8y = 4.求由2y x =与2 y x =围成的图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积。 解: 1 40 ()V y y dy π=-? 310π= 四、证明题:(共12分,每小题6分) 1.证明过双曲线1xy =任何一点之切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。 证明:双曲线1xy =上任何一点(,)x y 的切线方程为 21 ()Y y X x x -=- - 切线与x 轴、y 轴的交点为1 (0,),(2,0) y x x + 故切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为 1 ()2 s x y x =+= 2.设函数()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上连续,证明:至少存在一点ξ使得 ()()()()b a f g x dx g f x dx ξ ξ ξξ=?? 证明:令 ()()()b x x a F x g x dx f x dx =?? ()()0F a F b ==,由Rolle 定理,存在一点[,]a b ξ∈,使()0F ξ'=,即 ()()()()b a f g x dx g f x dx ξ ξ ξξ=?? 高等数学上解答(07) 一、单项选择题(每小题4分,共16分) 1.|sin | ()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞是 A 。 (A )奇函数; (B )周期函数;(C )有界函数; (D )单调函数 2.当0x →时,2 ()(1cos )ln(12)f x x x =-+与 B 是同阶无穷小量。 (A )3 x ; (B )4 x ; (C )5 x ; (D )2 x 3.直线2020x y z x y z -+=?? +-=?与平面1x y z ++=的位置关系是 C 。 (A )直线在平面内;(B )平行; (C )垂直; (D )相交但不垂直。 4.设有三非零向量,,a b c 。若0, 0a b a c ?=?= ,则b c ?= A 。 (A )0; ( B )-1; ( C )1; ( D )3 二、 填空题(每小题4分,共16分) 1.曲线ln y x =上一点P 的切线经过原点(0,0),点P 的坐标为(,1)e 。 2. 20tan lim (1)x x x x x e →-=-13。 3.方程 2 610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =,则(0)y '= 0 。 4.曲线 2 y x =、1x =与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为5π 。 三、解下列各题(每小题6分,共30分) 1.已知t t →+∞,求()f x '。 解:22sin sin ()lim ()t x t t x f x e t -→+∞-== 2 sin ()sin 2x f x e x -'=- 2.求不定积分1 [ln(ln )]ln x dx x +?。 解: 11 [ln(ln )]ln(ln )ln ln x dx x dx dx x x +=+??? 11 ln(ln )ln ln x x dx dx x x =-+?? ln(ln )x x C =+ 3.计算定积分1 241sin (1x x dx x -++?。 解:111 2244111sin sin ((11x x x dx x dx x dx x x ---=+++??? 1 1(0 x dx -=+? sin 2220 2sin cos x t t tdt π ==? 8π = 4.求不定积分1sin 1cos x dx x ++?。 解:1sin 1sin 1cos 1cos 1cos x x dx dx dx x x x +=++++??? 21cos sec 221cos x d x dx x =-+?? tan ln |1cos |2x x C =-++ 5.已知(ln )f x x '=,且(1)1f e =+,求()f x 。 解:令ln x t =,()t f t e '= ()x f x e C =+ (1)1f e =+,()1x f x e =+ 四、 (8分)设()f x 对任意x 有(1)2()f x f x +=,且 1 (0)2f '=- 。求(1)f '。 解:由(1)2()f x f x +=,(1)2(0)f f = 1()(1) (1)lim 1x f x f f x →-'=- 10(1)(1)lim x t t f t f t =+→+-= 0t t → 2(0)1f '==- 五、(8分)证明:当1x >时,22(1)ln (1)x x x ->-。 证明:只需证明(1)ln 1x x x +>-。 令()(1)ln 1f x x x x =+-+ 1()ln 0f x x x '=+ >,()f x 在[1,)+∞单调递增。 (1)0f =,当1x >时,()0f x >。即22 (1)ln (1)x x x ->-。 六、 (8分) 已知 220 ()()()x F x x t f t dt ''=-?,()f x ''连续,且当0x →时,()F x '与2 x 为等价无穷小量。求(0)f ''。 解: 20()lim 1x F x x →'= 22220 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt t f t dt ''''''=-=-??? 220 ()2()()()2()x x F x x f t dt x f x x f x x f t dt '''''''''=+-=?? 22002()()lim lim 2(0)x x x x f t dt F x f x x →→'''''==? 1 (0)2f ''= 七、 (8分) 设有曲线2 4 (01)y x x =≤≤和直线 (04)y c c =<<。记它们与y 轴所围图形的面积为1A ,它们与直线1x =所围图形的面积为2A 。问c 为何值 时,可使12A A A =+最小?并求出A 的最小值。 解: 4120 (1c A A A dy =+=+? ? ()1A c '= 令()10A c '==,得1c =。 1(1)02A ''= >,1c =为最小值点。 401min (11A dy =+=? ? 八、设()f x 在(,)a b 内的点0x 处取得最大值,且|()| ()f x K a x b ''≤≤≤。 证明:|()||()|()f a f b K b a ''+≤- 证明:0()0f x '= 在0[,]a x 对()f x '应用拉格朗日定理 01010()()()() ()f x f a f x a a x ξξ''''-=-<< 100()()(), |()|() f a f a x f a K x a ξ''''=-≤- 在0[,]x b 对()f x '应用拉格朗日定理 02002()()()() ()f b f x f b x x b ξξ''''-=-<< 200()()(), |()|() f b f b x f b K b x ξ''''=-≤- 一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分) 1、 . )1ln(2)(;)1ln(2)(;)1ln()()1ln()(,d 1 1 c e x D c x e C c e B c e A I x e e I x x x x x x ++-+-++++-= +-=? 则设 答( ) 2、 lim ()()()()n n n n n e e e e A B e C e D e →∞ -??= 1212 1 答( ) 3、 ) ()1()1()()1(1)()1)(1()1()()1)(1(1)()10)(()(11 )(1 2 1 21 111 答 式中 格朗日型余项阶麦克劳林展开式的拉的++++++++θ--θ-θ-+-θ-+<θ<=-= n n n n n n n n n n n x x D x x C x x n B x x n A x R n x x f 4、 )()()()()()()()()(0 , 2cos 1) (lim ,0)0(,0)(0 答 的驻点但不是极值点 是的驻点 不是的极小值点 是的极大值点 是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x x x f f x x f x ==-==→ 5、 12 13)(49)(94)(421)()1(2)4,0(422002 图形的面积所围成的平面与曲线处的切线上点曲线D C B A A x y T M M x x y = -=+-= 答( ) 二、填空题(将正确答案填在横线上) (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) 1、设 ,则____ y x x y =++'=ln tan()11 2 、 并相应求得下 选内的近似根时,在用切线法求方程023,)01(0152x x x x -=--- __________________ 101 分别为,则一个近似值x x x 3、设空间两直线λ1 2111-= +=-z y x 与x y z +=-=11相交于一点,则λ=????? 。 4、. ___________0 , 001 sin )(2==??? ??=≠-+=a x x a x x e x x f ax 处连续,则在 ,当,当 5、是实数. ,其中b dx x b _________________ 0 =? 三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) 设平面π与两个向量 a i j =+3和 b i j k =+-4平行,证明:向量 c i j k =--26与平面π垂直。 四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 ) 的敛散性.讨论积分? 1 p x dx 五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 ) 为自然数。 其中的递推公式导出计算积分n x x x I n n ,1 d 2 ? += 六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) 求过P 0423(,,)-与平面π:x y z ++-=100平行且与直线?? ?=-=--+010052:1z z y x l 垂 直的直线方程。 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) x x x x x x tan 2cos sin 1lim -+→计算极限 八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 ) . ,并计算积分为自然数的递推公式试求??=e e n n dx x n dx x I 1 31 )(ln )()(ln 九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 ) 设在内可微但无界,试证明在内无界。f x a b f x a b ()(,),()(,)' 十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) []) ()(lim , )()(lim )(lim 0000 u f x f u f u f u x x x u u x x =?==?→→→证明:,设。 十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) 体的高求体积最大的内接圆柱的球内在半径为,R 十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) 重量为p 的重物用绳索挂在A B ,两个钉子上,如图。设cos ,cos αβ= =121345,求A B ,所受的拉力f f 12,。 B 十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 一质点沿抛物线运动其横坐标随着时间的变化规律为的单位是秒的单位是米求该质点的纵坐标在点,处的变化速率. ,(),(,),()y x x t x t t t x M =-=1086 十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 ) ; )1.(,02,2求这个平面图形的面积围成一平面图形及设曲线=-== y y x y x .)2(积轴旋转而成的立体的体求此平面图形绕x 、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分) 1、C 2、答:B 3、C 10分 4、(B) 5、C 二、填空题(将正确答案填在横线上) (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) 1、()sec ()(tan()) 111211 2 2- +++x x x x x 10分 2、x 00= 5分 x 11 5=- 10分 ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无 穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x , 则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. . 求,, 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续, =?1 ()()g x f xt dt ,且 →=0 () lim x f x A x ,A 为常数. 求'() g x 大学数学期末高等数学试卷(计算题) 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) .求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) .求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求.x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) . 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) .求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) .,求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求.y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答 案) 一、解答题 1.建立以点(1,3,-2)为中心,且通过坐标原点的球面方程. 解:球的半径为R == 设(x ,y ,z )为球面上任一点,则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14 即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程. 2.求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解: πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x =+== ; 解: 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -??????==+=-+?????? ?? 以π,1x y ==代入上式得π1c =-, 故所求特解为 1(π1cos )y x x =--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x ='+-== . 解:2 2323d 3ln x x x x c x --=--+? 2 2 223323d 23 +3ln d 3ln e e e d e d x x x x x x x x x x y x c x c -------??????∴==++???????? 2223311e .e e 22x x x x x c c ----????=?=++ ? ????? 以x =1,y =0代入上式,得12e c =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -??=- ??? . 3.设质点受力作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b ),求力所做的功. 解:依题意知 F =kxi +kyj ,且L :cos sin x a t y a t =??=?,t :0→π2 北京理工大学珠海学院 2010 ~ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A (答案) 适用年级专业:2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一.选择填空题(每小题3分,共18分) 1.设向量 a =(2,0,-2),b = (3,-4,0),则a ?b = 分析:a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = (-8,-6,-8) 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析:u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点(1,-1,,2)处的切平面方程为 分析:由方程可得,2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ,则可知法向量n =( Fx, Fy, Fz ); 则有 Fx = 2x , Fy = 4y , Fz = 6z ,则过点(1,-1,,2)处的法向量为 n =(2,-4,,12) 因此,其切平面方程为:2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ,即 26150x y z -+-= 4.设D :y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析:画出平面区域D (图自画),观图可得, 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L :点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析:依题意可知:L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧,则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示:级数 1 n n u ∞ =∑发散,则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题(每小题6分,共36分) 往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一.解答下列各题(6*10分): 1.求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ,求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数,并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做(1),其余的做(2)) (1)证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. (2)求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2 高等数学(下册)考试试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++?? ∑ ds y x )12 2( 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续; (B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C ) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时,是无穷小; (D )0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于( ) (A )4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ;(B )???20 1 2 sin π π??θdr r d d ; 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无 穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x , 则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. . 求,, 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续, =?1 ()()g x f xt dt ,且→=0() lim x f x A x ,A 为常数. 求'() g x 大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题(每题3分,共30分) 1、设函数3()1f x x =-,则()f x -=() 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A .3x < B .3x ≤ C .4x < D .4x ≤ 3、()中的两个函数相同. A .()f x x =,()g t =.2()lg f x x =,()2lg g x x = C .21()1x f x x -=+,()1g x x =- D .sin 2()cos x f x x =,()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A .3sin()4x x - B .1010x x -+ C .2cos x x - D . sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=() A .1 B .2e C .1e - D .∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是() 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?,则在0=x 处,)(x f () A .连续 B .左、右极限不存在 C .极限存在但不连续 D .左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=,则0()f x '=() A .2 B .3 C . 23D .23 - 9、设()x f x e =,则[(sin )]f x '=()。 A .x e B .sin x e C .sin cos x x e D .sin sin x x e 高等数学上(1) 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. . 求,, 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 学年第二学期期末考试试卷 课程名称:《高等数学》 试卷类别:A 卷 考试形式:闭卷 考试时间:120 分钟 适用层次: 适用专业; 阅卷须知:阅卷用红色墨水笔书写,小题得分写在每小题题号前,用正分表示,不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内;考试课程应集体阅卷,流水作业。 课程名称:高等数学A (考试性质:期末统考(A 卷) 一、单选题 (共15分,每小题3分) 1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( ) A .(,)f x y 在P 连续 B .(,)f x y 在P 可微 C . 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D . 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2.若x y z ln =,则dz 等于( ). ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3.设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ). 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4. 4.若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ). A . 条件收敛 B . 绝对收敛 C . 发散 D . 敛散性不能确定 5.曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1) 二、填空题(共15分,每小题3分) 系(院):——————专业:——————年级及班级:—————姓名:——————学号:————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线-------------------------------- 2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(A ) 注意: 1、本试卷共 3 页; 2、考试时间110分钟; 3、姓名、学号必须写在指定地方 一、单项选择题(8个小题,每小题2分,共16分)将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中. 1.已知a 与b 都是非零向量,且满足-=+a b a b ,则必有( ). (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3.下列函数中,d f f =?的是( ). (A )(,)f x y xy = (B )00(,),f x y x y c c =++为实数 (C )(,)f x y = (D )(,)e x y f x y += 4.函数(,)(3)f x y xy x y =--,原点(0,0)是(,)f x y 的( ). (A )驻点与极值点 (B )驻点,非极值点 (C )极值点,非驻点 (D )非驻点,非极值点 5.设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤,若1d 4D x y I σ+= ??,2D I σ=,3D I σ=,则有( ). (A )123I I I << (B )123I I I >> (C )213I I I << (D )312I I I << 6.设椭圆L : 13 42 2=+y x 的周长为l ,则22(34)d L x y s +=?( ). (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7.设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数,0()n a n →→+∞,则( ). (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( ). (A )若级数1n n a ∞ =∑发散,则级数21n n a ∞ =∑也发散 (B )若级数21n n a ∞ =∑发散,则级数1n n a ∞=∑也发散 (C )若级数 21 n n a ∞ =∑收敛,则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛 (D )若级数 1 ||n n a ∞ =∑收敛,则级数2 1 n n a ∞ =∑也收敛 二、填空题(7个小题,每小题2分,共14分). 1.直线34260 30 x y z x y z a -+-=?? +-+=?与z 轴相交,则常数a 为 . 2.设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3.函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 4.设2 2 :2D x y x +≤,二重积分 ()d D x y σ-??= . 5.设()f x 是连续函数,22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--,22()d f x y v Ω +???在柱面坐标系下 的三次积分为 . 6.幂级数11 (1)!n n n x n ∞-=-∑ 的收敛域是 . 7.将函数2 1,0 ()1,0x f x x x ππ--<≤??=?+<≤?? 以2π为周期延拓后,其傅里叶级数在点x π=处收敛 于 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 …………………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….……………………………… 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. (A)(B)(C)(D)不可导. 2.. (A)是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B)是等价无穷小; (C)是比高阶的无穷小;(D)是比高阶的无穷小. 3.若,其中在区间上二阶可导且,则(). (A)函数必在处取得极大值; (B)函数必在处取得极小值; (C)函数在处没有极值,但点为曲线的拐点; (D)函数在处没有极值,点也不是曲线的拐点。 4. (A)(B)(C)(D). 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9.设函数由方程确定,求以及. 10. 11. 12.设函数连续,,且,为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题(本大题10分) 14.已知上半平面内一曲线,过点,且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分) 15.过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A;(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分) 16.设函数在上连续且单调递减,证明对任意的,. 17.设函数在上连续,且,.证明:在内至少存在两个不同的点,使(提示: 设) 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9.解:方程两边求导 , 10.解: 11.解: 12.解:由,知。 ,在处连续。 13.解: , 四、解答题(本大题10分) 14.解:由已知且, 将此方程关于求导得 特征方程:解出特征根: 其通解为 代入初始条件,得 故所求曲线方程为: 五、解答题(本大题10分) 15.解:(1)根据题意,先设切点为,切线方程: 由于切线过原点,解出,从而切线方程为: 则平面图形面积 (2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分) 16.证明: 故有: 证毕。 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.211 f dx x x ??' ????的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ??+ ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 《高等数学(二)》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行,且满足18-=?b a ,则=b ( ) (A ) )4,2,4(-- (B )(24,4)--, (C ) (4,2,4)- (D )(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中,方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) (A )直线 (B) 抛物线 (C ) 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ,其中区域D 由222x y a +=所围成,则I =( ) (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、 设的弧段为:2 3 0,1≤ ≤=y x L ,则=? L ds 6 ( ) (A )9 (B) 6 (C )3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为 ( ) (A ) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是( ) (A )小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数,则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) (A )??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) (A )抛物面 (B )柱面 (C )圆锥面 (D ) 椭球面 第一学期高等数学期末考试试卷答案 一.计算题(本题满分35分,共有5道小题,每道小题7分), 1.求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→. 解: ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x . 2.设0→x 时,()x f 与2 2 x 是等价无穷小, ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小,求常数k 与A . 解: 由于当0→x 时, ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小,所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f .而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以,161lim 10=-→k x Akx .因此,6 1 ,1==A k . 3.如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数,求常数a 与b 应满足的条件. 解: 05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条:“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5.()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二.计算题 (每题7分,共63分) 1.讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点( 0 , 0 )处的连续性,可导性及可微性。 P 。330 2.求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数,其中O 为坐 标原点。 3.2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P .544 4.设u=),(z y xy f +,),(t s f 可微,求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()() x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 221 n n n n n n ππ ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 高等数学(下册)期末考试试题 考试日期:2012年 院(系)别 班级 学号姓名 成绩 一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上) 1、已知向量a 、b 满足0a b +=,2a =,2b =,则a b ?=-4. 2、设ln()z x xy =,则32 z x y ?=??-(1/y2). 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0. 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于,在x π=处收敛于. 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段,则 ()L x y ds +=?√2. ※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级. 二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分) 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程. 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积. 故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z z x x y ?????.大一(第一学期)高数期末考试题及答案
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