1.下列运算正确的是( )
A .1332=-
B .()22
2=-C .12323232222=-=-=-D .()11112±=- 2.如果式子()232---x x 化简的结果为x 25-,则x 的取值范围是( )
A .x ≥3
B .x ≤2
C .x ≥2
D .2≤x ≤3
3.下列二次根式中,属于最简二次根式的是()
A B 0b ≥) C
4.若实数x 满足37x -+
=,化简24x +的结果是() A .42x +
B .42x --
C .-2
D .2 5.化简计算:()=-22 ,132+= . 6.若2
4-+x x 有意义,则x 的取值范围是 .
7.(1)计算:()()01231218-++--
(2)用适当的方法解下列方程:①04122=--x x ;②()()01212
=-+-x x x .
8.按要求解决下列问题:
(1)化简下列各式: = ,= ,= ,= ,…
(2)通过观察,归纳写出能反映这个规律的一般结论,并证明.
9.在如图所示的方格中,点A ,B ,C ,D 都在格点上,且AB=BC=2CD=4,P 是线段BC 上的动点,连结AP ,DP .
(1)设BP=x ,用含字母x 的代数式分别表示线段AP ,DP 的长,并求当x=2的时候,AP+DP 的值;
(2)AP+DP 是否存在最小值?若存在,求出其最小值.
10.如图1是一张等腰直角三角形纸,AC=BC=40cm ,将斜边上的高CD 四等分,然后裁出3张宽度相等的长方形纸条.
(1)分别求出3张长方形纸条的长度;
(2)若用这些纸条为一幅正方形美术品镶边(纸条不重叠),如图2,正方形美术品的面积最大不能超过多少cm 2.
1.若0x 是方程()0022≠=++a c x ax 的一个根,设M=ac -1,N=()2
01+ax ,则M 与N 的大小关系正确的为( ) A .M >N B .M=N C .M <N
D .不确定
2.下面关于x 的方程中:①022=++x ax ;②()()119322=+--x x ;③x x 13=+;④02=-a x (a 为任意实数); ⑤
11-=+x x .一元二次方程的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
3.利用平方根去根号可以构造一个整系数方程.例如:12+=x 时,移项得21=-x ,两边平方得()()2221=
-x ,所以x 2﹣2x+1=2,即x 2﹣2x ﹣1=0.仿照上述构造方法,当x=时,可以构造出一个整系数方程是( )
A .4x 2+4x+5=0
B .4x 2+4x ﹣5=0
C .x 2+x+1=0
D .x 2+x ﹣1=0
4.关于x 的方程32=++c bx ax 的解与(x ﹣1)(x ﹣4)=0的解相同,则c b a ++的值为( )
A .2
B .3
C .1
D .4
5.满足(n 2﹣n ﹣1)n+2=1的整数n 有几个( )
A .4个
B .3个
C .2个
D .1个
6.已知3是关于x 的方程x 2﹣(m+1)x+2m=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长,则△ABC 的周长为( )
A .7
B .10
C .11
D .10或11
7.关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣1=0的根的情况是( )
A .没有实数根
B .只有一个实数根
C .有两个相等的实数根
D .有两个不相等的实数根
8.有两个一元二次方程M :ax 2+bx+c=0;N :cx 2+bx+a=0,其中a?c≠0,a ≠c .下列四个结论中,错误的是( )
A .如果方程M 有两个相等的实数根,那么方程N 也有两个相等的实数根
B .如果方程M 的两根符号相同,那么方程N 的两根符号也相同
C .如果5是方程M 的一个根,那么5
1是方程N 的一个根 D .如果方程M 和方程N 有一个相同的根,那么这个根必是x=1
9.如果x 2﹣x ﹣1=(x+1)0,那么x 的值为( )
A .2或﹣1
B .0或1
C .2
D .﹣1
10.对于实数a 、b ,定义一种运算“?”为:22-+=?ab a b a ,有下列命题:
①231=?;②方程01=?x 的根为:x 1=﹣2,x 2=1;
③不等式组()???<-?<-?-0
31042x x 的解集为:﹣1<x <4; 其中正确的是( )
A .①②③
B .①③
C .①②
D .②③
11.如果关于x 的一元二次方程01122=++-x k kx 有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是()
A .k <12
B . k <12且0k ≠
C .12k -≤<12
D .12k -≤<12
且0k ≠ 1.若关于x 的一元二次方程(m ﹣1)x 2+5x+m 2﹣3m+2=0的一个根是0,则m 的值是 .
2.关于x 的方程a (x+m )2+b=0的解是x 1=2,x 2=﹣1,(a ,b ,m 均为常数,a ≠0),则方程a (x+m+2)2+b=0的解是 .
3.若a 是方程x 2﹣2x ﹣2015=0的根,则a 3﹣3a 2﹣2013a+1= .
4.已知关于x 的一元二次方程(a ﹣1)x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是 .
5.通过学习,爱好思考的小明发现,一元二次方程的根完全由它的系数确定,即一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0),当b 2﹣4ac ≥0时有两个实数根:x 1=,x 2=,于是:x 1+x 2=,x 1?x 2=、这就是著
名的韦达定理.请你运用上述结论解决下列问题:关于x 的一元二次方程x 2+kx+k+1=0的两实数根分别为x 1,x 2,且x 12+x 22=1,则k 的值为 .
6.已知方程x 2﹣7x+12=0的两根恰好是Rt △ABC 的两条边的长,则Rt △ABC 的第三边长为 .
7.若102-=x ,则842+-x x =.
8.如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法,正确的是.(写出正确说法的序号即可)
①方程220x x --=是倍根方程;
②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程,则22450m mn n ++=;
③若p 、q 满足2pq =,则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程;
④若方程20ax bx c ++=是倍根方程,则必有229b ac =.
1.用适当的方法解下列一元二次方程:
(1)2(5)9x -=(2)213102
x x --=(3)3x (x ﹣1)=2x ﹣2 (4)x 2+4x+3=0.
2.2x 2﹣5x+2=0(配方法)2x (x+4)=1(用公式法)
3.已知关于x 的方程(m+2)x |m|+2x ﹣1=0.
(1)当m 为何值时是一元一次方程.(2)当m 为何值时是一元二次方程.
4.完成下列问题:
(1)若n (n ≠0)是关于x 的方程x 2+mx+2n=0的根,求m+n 的值;
(2)已知x ,y 为实数,且y=
﹣3,求2xy 的值.
5.已知m 是方程x 2﹣x ﹣2=0的一个实数根,求代数式(m 2﹣m )(m ﹣
+3)的值.
6.(1)已知p =q p ,q
(2)已知x 为实数,且210x --=,求1x x
-
和22x x -+的值.
7.已知,下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程:
①x2﹣1=0,②x2+x﹣2=0,③x2+2x﹣3=0,④x2+3x﹣4=0,…,?,…
(1)上述一元二次方程的解为①,②,③,④.
(2)猜想:第n个方程为,其解为.
(3)请你指出这n个方程的根有什么共同的特点(写出一条即可).
8.观察下列一元二次方程,并回答问题:
第1个方程:x2+x=0;第2个方程:x2﹣1=0;第3个方程:x2﹣x﹣2=0;第4个方程:x2﹣2x﹣3=0;…
(1)第2015个方程是;
(2)直接写出第n个方程,并求出第n个方程的解;
(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点.
9.若x a﹣3x a﹣b+1=0是关于x的一元二次方程,求a,b的值.
下面是两位同学的解法:
甲生:根据题意得解方程组得
乙生:依题意,得或,解方程组得或
你认为上述两位同学的解答是否正确?为什么?如果不对,请给出正确的答案.
10.阅读理解题:小聪是个非常热爱学习的学生,老师在黑板上写了一题:若方程x2﹣6x﹣k﹣1=0与x2﹣kx﹣7=0有相同根,试求k的值及相同根.思考片刻后,小聪解答如下:
解:设相同根为m,根据题意,得
①﹣②,得(k﹣6)m=k﹣6 ③
显然,当k=6时,两个方程相同,即两个方程有两个相同根﹣1和7;当k≠6时,由③得m=1,代入②式,得k=﹣6,此时两个方程有一相同根x=1.
∴当k=﹣6时,有一相同根x=1;当k=6时,有两个相同根是﹣1和7
聪明的同学,请你仔细阅读上面的解题过程,解答问题:已知k为非负实数,当k取什么值时,关于x的方程x2+kx ﹣1=0与x2+x+k﹣2=0有相同的实根.
11.定义:如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们称这两个方程为“友好方程”.如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m=mx+5与x2+x+m﹣1=0互为“友好方程”,求m的值.
12.请阅读下面解方程(x2+1)2﹣2(x2+1)﹣3=0的过程.
解:设x2+1=y,则原方程可变形为y2﹣2y﹣3=0.
解得y1=3,y2=﹣1.
当y=3时,x2+1=3,∴x=±.
当y=﹣1时,x2+1=﹣1,x2=﹣2此方程无实数解.
∴原方程的解为x1=,x2=﹣.
我们将上述解方程的方法叫做换元法.
请用换元法解方程:()2﹣2()﹣15=0.
13.观察下面方程的解法:x4﹣13x2+36=0
解:原方程可化为(x2﹣4)(x2﹣9)=0
∴(x+2)(x﹣2)(x+3)(x﹣3)=0
∴x+2=0或x﹣2=0或x+3=0或x﹣3=0
∴x1=2,x2=﹣2,x3=3,x4=﹣3
你能否求出方程x2﹣7|x|+10=0的解吗?
14.已知关于x的方程x2﹣(2m+1)x+m(m+1)=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m﹣1)2+(3+m)(3﹣m)+7m﹣5的值(要求先化简再求值).
15.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣)=0
(1)求证:无论k取何值,这个方程总有实数根;
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边b、c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
16.已知关于x的一元二次方程kx2+2(k+4)x+(k﹣4)=0
(1)若方程有实数根,求k的取值范围
(2)若等腰三角形ABC的边长a=3,另两边b和c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
17.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+2)x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m为负整数,且该方程的两个根都是整数,求m的值.
18.已知关于x 的一元二次方程(a+c )x 2+2bx+(a ﹣c )=0,其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长.
(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC 的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由.
(3)如果△ABC 是等边三角形,求一元二次方程的根.
19.如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=﹣p ,x 1?x 2=q ,请根据以上结论,解决下列问题:
(1)若p=﹣4,q=3,求方程x 2+px+q=0的两根.
(2)已知实数a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5=0,b 2﹣15b ﹣5=0,求+的值;
(3)已知关于x 的方程x 2+mx+n=0,(n ≠0),求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数.
20.已知:关于x 的方程22
210x nx n --+=,其中n 为任意实数.
(1)不解方程,判别方程根的情况并说明理由;
(2)若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根,第三边BC 的长为5.当△ABC 是等腰三角形时,求n 的值;
(3)n >0时,若1x ,2x (1x >2x )恰是方程的两根,且22124x x +=,求2123x x -的值.
21.已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣4mx+4m 2﹣9=0的两实数根.
(1)若这个方程有一个根为﹣1,求m 的值;
(2)若这个方程的一个根大于﹣1,另一个根小于﹣1,求m 的取值范围;
(3)已知直角△ABC 的一边长为7,x 1,x 2恰好是此三角形的另外两边的边长,求m 的值.
22.先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:
例题:求代数式y 2+4y+8的最小值.
解:y 2+4y+8=y 2+4y+4+4=(y+2)2+4
∵(y+2)2≥0
∴(y+2)2+4≥4
∴y 2+4y+8的最小值是4.
(1)求代数式m 2+m+4的最小值;
(2)求代数式4﹣x 2+2x 的最大值;
(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m )的空地上建一个长方形花园ABCD ,花园一边靠墙,另三边用总长为20m 的栅栏围成.如图,设AB=x (m ),请问:当x 取何值时,花园的面积最大?最大面积是多少?
一、选择题 1.如果0,0a b <<,且6a b -=,则22a b -的值是( ) A .6 B .6- C .6或6- D .无法确定 2.下列计算正确的是( ) A .()2 22a b a b -=- B .()3 22x x 8x ÷=+ C .1a a a a ÷? = D . () 2 44-=- 3.下列二次根式中是最简二次根式的为( ) A .12 B .30 C .8 D . 12 4.如图,在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为( ) A .(8﹣43)cm 2 B .(4﹣23)cm 2 C .(16﹣83)cm 2 D .(﹣12+83)cm 2 5.计算() 21 273632 ÷+?--的结果正确的是( ) A .3 B .3 C .6 D .33- 6.已知,那么满足上述条件的整数的个数是( ). A .4 B .5 C .6 D .7 7.下列计算正确的是( ) A 366=± B .422222=C .83266= D a b ab =(a≥0,b≥0) 8.下列各式计算正确的是( ) A 235+=B .2 36=() C 824= D 236= 9.已知m =12n =12223m n mn +- ( ) A .±3 B .3 C .5 D .9 10.下列各组二次根式中,能合并的一组是( ) A 1a +1a -B 3和 1 3 C 2a b 2ab D 318
二、填空题 11.比较实数的大小:(1)5?-______3- ;(2)51 4 -_______12 12.计算(π-3)02-2 11(223)-4 --22 --() 的结果为_____. 13.对于任何实数a ,可用[a]表示不超过a 的最大整数,如[4]=4,[3]=1.现对72进行如下操作:72 [72]=8 [8]=2 [2]=1,类似地,只需进行3次操作 后变为1的所有正整数中,最大的是________. 14.已知a =﹣ 73 +,则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____. 15.已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |=_______. 16.把1 m m - _____________. 17.若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为0432 52a c b =___________ 18.已知|a ﹣20072008a -=a ,则a ﹣20072的值是_____. 19.已知4a 2(3)|2|a a +--=_____. 20.3a ,小数部分是b 3a b -=______. 三、解答题 21.计算: (18322(2))((2 52253 82 +-+. 【答案】(1)52 【分析】 (1)先化简二次根式,再合并同类二次根式即可; (2)根据平方差公式化简,再化简、合并同类二次根式即可. 【详解】 (18322=22422 =52 (2) )((2 52253 82 +--+
《二次根式》分类练习题 欧阳歌谷(2021.02.01) 二次根式的定义: 【例1】下列各 式 其中是二次根式的是_________(填序号). 举一反三: 1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A 、 2、在、、、中是二次根式的个数有 ______个 【例2 有意义,则x 的取值范围是.[来源:学*科* 网Z*X*X*K] 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 3、如果代数式 mn m 1+ -有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、
第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y= 举一反三: 1 2()x y =+,则 x -y 的值为( ) A .-1 B .1 C .2 D .3 2、若x 、y 都是实数,且y= 4x 233x 2+-+-,求 xy 的值 3、当a 取什么值时,代数式1取值最小,并求出这个最小值。 已知a b 是1 2a b + +的值。 若3的整数部分是a ,小数部分是b ,则=-b a 3。 若 17 的整数部分为x ,小数部分为y ,求 y x 1 2+ 的值. 知识点二:二次根式的性质 【例4】若 ()2 240a c -+-=,则= +-c b a . 举一反三: 1、若 0)1(32=++-n m ,则m n +的值为。 2、已知y x ,为实数,且()0 2312 =-+-y x ,则y x -的值为 ( ) A .3 B .– 3 C .1 D .– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x 2 -4|+6 52+-y y =0,则第三边长为______. 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。 (公式 )0()(2 ≥=a a a 的运用)
21.1二次根式(第1课时) 教学任务分析 教学目标知识技能 1.了解二次根式的概念. 2.了解二次根式的基本性质. 数学思考 经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程,发展学生的 归纳概括能力. 解决问题 通过对二次根式的概念和性质的探究,提高数学探究能力和归纳 表达能力. 情感态度 学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动,感受数学活动充 满了探索性与创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识. 重点二次根式的概念和基本性质. 难点二次根式的基本性质的灵活运用. 教学流程安排 活动流程图活动内容和目的活动1 二次根式的概念 活动 2 探究0) a≥是一个非 负数 活动3 探究2(0) a a =≥ 活动4 (0) a a =≥ 活动5 小结,课后作业 由一组式子观察、归纳二次根式的概念. 通过计算、抽象、概括得出二次根式的基本性质. 回顾梳理,进一步认识理解二次根式的概念和基本性质.学生巩固、提高、发展.
教学过程设计 问题与情境师生行为设计意图活动1 问题 用带根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:(题目见教科书4页“思考”栏目)(1)所填的结果有什么特点? (2)平方根的性质是什么? (3)如果把上面所填式子叫做二次根式,那么你能用数学符号表示二次根式吗? 例1当x是怎样的实数 时, 义? 例 2 当x是怎样的实数 教师演示课件,给出题 目. 学生根据所学知识回 答问题. 教师提出问题(1),注 意学生是否能深入地观察, 并发现和总结这组式子的 特点; 教师提出问题(2),检 查学生对所学知识的掌握 情况,并引导学生将所学知 识与新知识相联系; 教师提出问题(3),不 同层次的学生会有不同的 回答,学生可能遇到的困 难:是否能够想到用字母表 示数;是否能总结出0 a≥ 这一条件.教师帮助学生解 决这些困难. 学生总结出二次根式的 概念. 在本次活动中,教师应 重点关注: (1)学生是否掌握了二 次根式有意义的条件; 由实际问题入 手,设置情境问题, 激发学生的兴趣,让 学生从不同的式子中 探寻规律,为二次根 式的引入作好铺垫. 注重新旧知识的 连贯性,使学生有一 个由浅入深的学习过 程,并体会到学习的 内容是融会贯通的. 为学生提供练习 的时间和空间,调动 学生的主观能动性, 激发好奇心和求知 欲. 通过题目的练
16.2 二次根式的乘除 二次根式的乘法 基础训练 知识点1 二次根式的乘法法则 1.(河池)计算:×= . 2.(安徽)计算×的结果是( ) A. B.4 C. D.2 3.(中考·海南)下列各数中,与的积为有理数的是( ) A. B.3 C.2 D.2- 4.等式·=成立的条件是( ) A.x≥1 B.-1≤x≤1 C.x≤-1 D.x≤-1或x≥1 5.下列等式成立的是( ) A.4×2=8 B.5×4=20 C.4×3=7 D.5×4=20 6.(2016·长沙)下列计算正确的是( ) A.×= B.x8÷x2=x4
C.(2a)3=6a3 D.3a3·2a2=6a6 7.×的计算结果估计在( ) A.1至1.5之间 B.1.5至2之间 C.2至2.5之间 D.2.5至3之间 8.在△ABC中,BC=4 cm,BC边上的高为2 cm,则△ABC的面积为( ) A.6 cm2 B.4 cm2 C.8 cm2 D.16 cm2 知识点2 积的算术平方根的性质 9.若=·成立,则( ) A.a≥0,b≥0 B.a≥0,b≤0 C.ab≥0 D.ab≤1 10.若=·,则x的取值范围是( ) A.x≥-3 B.x≥2 C.x>-3 D.x>2 11.(重庆)化简的结果是( ) A.4 B.2 C.3 D.2
12.下列计算正确的是( ) A.=× B.=5a2b C.=8+5 D.=7 13.对于任意实数a,下列各式中一定成立的是( ) A.=· B.=a+6 C.=-4 D.=5a2 14.设=a,=b,用含有a,b的式子表示,则下列表示正确的是( ) A.0.3ab B.3ab C.0.1ab2 D.0.1a2b 15.将a根号外的因式移到根号内. 提升训练 16.计算:
二次根式专题 题型一:二次根式的概念 【例题1】 当为实数时,下列各式,,, 属于二次根式的有 ________个. 【练一练】 1. 下列式子中二次根式的个数有 ( ) (1) ;( 2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) (x >1) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 2. 下列各式① ;② ;③ ;④ ;⑤ ,其中二次根式的个数有 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 题型二:二次根式的意义(取值范围) 【例题2】 x 取何值时,下列函数在实数范围内有意义? (1) (2)y=-; 【练一练】 1. 若使二次根式 有意义,则x 的取值范围是 ; 2. 使式子 x 211 -有意义的x 的取值范围为______________________; 3. 代数式x -9有意义时,实数x 的取值范围是__________________; 4. 函数x x y 2 += 的自变量x 的取值范围是_____________________; 5. 函数2 1 -+= x x y 中,自变量x 的取值范围是___________________; 6. 若式子12112+-+-x x 在实数范围内有意义,则x 满足的条件是______________________. x () 2 223,1,,, , x x x x x --y =2+x x 23-
题型三:二次根式的性质()0 ( ) (2 2≥ = =a a a a a,) 【例题2】 1.计算下列各式: (1)(3)(4) 2.已知a,b,c在数轴上如图所示,化简:. 3.已知a、b 都是实数,且b,化简?+1的结果是多少? 【练一练】 1.=________. 若,则______.若=0,则=__________. 2.若,则____________;若,则______________. 3.已知,求的值为____________. 4.若,则化简的结果是__________. 5.已知c b a, ,为三角形的三边,则2 2 2) ( ) ( ) (a c b a c b c b a- + + - - + - += . 2 3 2() 4 --2 (3.14)π -2) 2 5 2 (-2) 2 ( 2a a- - - 22 x x -+- 2 (1) 1 x x - -