综上所述：a
【答案】 13. 7 【考点】 简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z =3x +2y 表示直线在y 轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在y 轴上的截距最大值即可． 【解答】
解：如图所示，可行域为图中阴影部分，
z =3x +2y 可化为直线y =?
3
2x +1
2z ，
当直线经过A (1,2)时， z max =3×1+2×2=7. 故答案为：7. 【答案】 14. 240 【考点】
二项式定理的应用 【解析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【解答】
解：因为T r+1=C 6r x 2(6?r)2r x ?r =2r C 6r x 12?3r
， 由12?3r =0得r =4，
所以常数项为24C 64
=240. 故答案为：240. 【答案】 15. √2
3π
【考点】
球的表面积和体积
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
由条件易知该圆锥内半径最大的球为该圆的内接球，数形结合可得出球的半径，最后根据球的体积公式即可求解.
【解答】
解：该圆锥轴截面为底边长为2，腰为3的等腰三角形，其内切圆为该球的大圆.
该三角形的周长为8，面积为2√2，
由于三角形面积S，周长C和内切圆半径R的关系为S=CR
2
，
所以R=2S
C =√2
2
，
故该球的体积为4
3πR3=4
3
π?(√2
2
)3=√2
3
π.
故答案为：√2
3
π.
16.【答案】②③
【考点】
函数的对称性
函数的最值及其几何意义
【解析】
根据函数奇偶性的定义，对称性的判定，对称轴的求法，逐一判断即可得出正确结论. 【解答】
解：对于①，由sin x≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，
故定义域关于原点对称，
由f(?x)=sin(?x)+1
sin(?x)=?sin x?1
sin x
=?f(x)，
所以该函数为奇函数，关于原点对称，①错②对；对于③，
由f(π?x)=sin(π?x)+1
sin(π?x)=sin x+1
sin x
=f(x)，
所以f(x)关于x=π
2
对称，③对；
对于④，令t=sin x，则t∈[?1,0)∪(0,1]，
由双勾函数g(t)=t+1
t
的性质，
可知g(t)∈(?∞,?2]∪[2,+∞)，
所以f(x)无最小值，④错．
故答案为：②③.
三、解答题
17.【答案】
解：(1)由a1=3，a n+1=3a n?4n，
a2=3a1?4=5，a3=3a2?4×2=7，
?，
猜想{a n}的通项公式为a n=2n+1.
证明如下：（数学归纳法）当n=1，2，3时，显然成立；①假设n=k时，即a k=2k+1成立，其中(k∈N?)，
由a k+1=3a k?4k=3(2k+1)?4k=2(k+1)+1，②故假设成立.
综上①②，所以a n=2n+1(n∈N?).
(2)令b n=2n a n=(2n+1)2n，
则前n项和S n=b1+b2+?+b n
=3×21+5×22+?+(2n+1)2n，③
由③两边同乘以2得：
2S n=3×22+5×23+?+(2n?1)2n+(2n+1)2n+1，④
由③?④得?S n=3×2+2×22+?+2×2n?(2n+1)2n+1
=6+23(1?2n?1)
1?2
?(2n+1)2n+1，
化简得S n=(2n?1)2n+1+2.
【考点】
数列的求和
数列递推式
数学归纳法
【解析】
(1)利用数列的递推关系式求出a2，a3，猜想{a n}的通项公式，然后利用数学归纳法证明即可；
(2)化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的前n项和S n.
【解答】
解：(1)由a1=3，a n+1=3a n?4n，
a2=3a1?4=5，a3=3a2?4×2=7，
?，
猜想{a n}的通项公式为a n=2n+1.
证明如下：（数学归纳法）当n=1，2，3时，显然成立；①
假设n=k时，即a k=2k+1成立，其中(k∈N?)，
由a k+1=3a k?4k=3(2k+1)?4k=2(k+1)+1，②
故假设成立.
综上①②，所以a n=2n+1(n∈N?).
(2)令b n=2n a n=(2n+1)2n，
则前n项和S n=b1+b2+?+b n
=3×21+5×22+?+(2n+1)2n，③
由③两边同乘以2得：
2S n=3×22+5×23+?+(2n?1)2n+(2n+1)2n+1，④
由③?④得?S n=3×2+2×22+?+2×2n?(2n+1)2n+1
=6+23(1?2n?1)
1?2
?(2n+1)2n+1，
化简得S n=(2n?1)2n+1+2.
18.【答案】
解：(1)P1=2+16+25
100
=43
100
，
P2=5+10+12
100
=27
100
，
P3=6+7+8
100
=21
100
，
P4=7+2+0
100=9
100
.
(2)xˉ=(2+5+6+7)×100+(16+10+7+2)×300+(25+12+8)×500
100
=350.
(3)完成2×2列联表如下：
则K2=n(ad?bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=100(33×8?37×22)2 70×30×55×45
=1100 189
≈5.82.
∵ 5.82>3.841，
∴有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【考点】
生活中概率应用
用频率估计概率
众数、中位数、平均数
独立性检验
【解析】
(1)用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
(2)采用频率分布直方图估计样本平均值的方法即可得到答案；
(3)由公式K2=n(ad?bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
计算k的值，从而查表即可.
【解答】
解：(1)P1=2+16+25
100=43
100
，
P2=5+10+12
100=27
100
，
P3=6+7+8
100=21
100
，
P4=7+2+0
100=9
100
.
(2)xˉ=
(2+5+6+7)×100+(16+10+7+2)×300+(25+12+8)×500 =350. (3)完成2×2列联表如下：
则K2=n(ad?bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=
100(33×8?37×22)2
=
1100
189
≈5.82.
∵ 5.82>3.841，
∴有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
19.【答案】
解：(1)设AB=a，AD=b，AA1=c，
如图，以C1为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系C1?xyz.
连结C1F，则C1(0,0,0)．A(a,b,c)，E(a,0,2
3
c)，F(0,b,1
3
c)，
EA
→
=(0,b,1
3
c)，C1F
→
=(0,b,1
3
c)，
得EA
→
=C1F
→
，
因此EA//C1F，
即A，E，F，C1四点共面，
所以点C1在平面AEF内．
(2)由(1)得A(2，1，3)E(2，0，2)，F(0，1，1)，A(2，1，0)，
AE
→
=(0，?1，?1)，AF
→
=(?2，0，?2)，
A 1E →=(0，?1，2)，A 1F →
=(?2，0，1)， 设n 1=(x ，y ，z)为平面AEF 的法向量， 则{n 1
→?AE →
=0，n 1?AF →
=0， 即{?y ?z =0，?2x ?2z =0，
可取n 1=(?1,?1，1).
设n 2=(x ′，y ′，z ′)为平面A 1EF 的法向量， 则{n 2→
?A 1E →
=0，n 2?A 1F →
=0， 同理可取n 2=(1
2,2，1).
因为cos ?n 1→，n 2→
?
=
n 1→?n 2
→
|n 1→||n 1→|
=
?√77
， 所以二面角A ?EF ?A 1的正弦值为√42
7
. 【考点】
用空间向量求平面间的夹角 用向量证明平行 空间点、线、面的位置 空间直角坐标系
【解析】
(1)建立空间直角坐标系，通过直线平行的关系，可以证明四点共面；
(2)通过空间直角坐标系，分别求出平面AEF 的一个法向量与平面A 1EF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A ?EF ?A 1的余弦值，再由同角三角函数基本关系式求得二面角A ?EF ?A 1的正弦值． 【解答】
解：(1)设AB =a ，AD =b ，AA 1=c ，
如图，以C 1为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系C 1?xyz .
连结C 1F ，则C 1(0,0,0)．A (a,b,c ) ，E (a,0,2
3c)，F (0,b,1
3c)，
EA →
=(0,b,1
3
c) ，C 1F →
=(0,b,1
3
c)，
得 EA →=C 1F →
，
因此EA//C 1F ，
即A ，E ，F ，C 1四点共面， 所以点C 1在平面AEF 内．
(2)由(1)得A(2，1，3) E(2，0，2)，F(0，1，1)，A(2，1，0)， AE →
=(0，?1，?1)，AF →
=(?2，0，?2)， A 1E →
=(0，?1，2)，A 1F →
=(?2，0，1)， 设n 1=(x ，y ，z)为平面AEF 的法向量， 则{n 1
→?AE →
=0，n 1?AF →
=0， 即{?y ?z =0，?2x ?2z =0，
可取n 1=(?1,?1，1).
设n 2=(x ′，y ′，z ′)为平面A 1EF 的法向量， 则{n 2
→?A 1E →
=0，n 2?A 1F →
=0， 同理可取n 2=(1
2,2，1).
因为cos ?n 1→，n 2→
?
=
n 1→?n 2
→
|n 1→||n 1→|
=?
√77
， 所以二面角A ?EF ?A 1的正弦值为
√42
7
.
20.【答案】
解：(1)设a =4t 1，c =√15t 1， 则b =m =t 1， 所以m =t 1.
因为a =4t 1=5，解得t 1=5
4，
所以m =5
4， 所以C 的方程为C:
x 225
+
16y 225
=1(0(2)设点Q (6,t )，P (m 1,n 1)，又A (?5,0)，B (5,0)， 则BP →
=(m 1?5,n 1)，BQ →
=(1,t )， 所以BP →
?BQ →
=0，
得m 1?5+n 1t =0.
过P 作PK ⊥x 轴，如图所示，
所以∠1+∠2=π2 ，又∠1+∠3=π
2， 所以
∠2=∠3，∠4=∠1，又|BP|=|BQ|， 所以△PKB ?△BGQ ，
得KB =QG ，PK =BG =1，即y P =1， 所以P (m 1,1), 得m 1?5+t =0.
将P 的坐标代入椭圆方程得m 1
2
25+16
25=1，
解得m 1=±3，则t =2或t =8，
所以P (3,1)，Q (6,2)或P (?3,1)，Q (6,8). 当P (3,1)，Q (6,2)时， |AQ|=5√5， 直线AQ 的方程为： 2x ?11y +10=0， P (3,1)到直线AQ 的距离为d =5√5，
所以S △APQ =12|AQ|d =12×5√5×5
√
5
=5
2； 当P (?3,1)，Q (6,8)时， |AQ|=√185， 直线AQ 的方程为： 8x ?11y +40=0， P (?3,1)到直线AQ 的距离为d =
5√185
，
所以S △APQ =12|AQ|d =1
2×√185√
185
=5
2. 综上，△APQ 的面积为5
2． 【考点】 椭圆的离心率 三角形的面积公式 椭圆的应用 椭圆的标准方程 平面向量数量积 点到直线的距离公式 【解析】
(1)根据e =c
a ，a 2=25，
b 2=m 2，代入计算m 2的值，求出C 的方程即可； (2)画出椭圆的图象，求出P 点坐标，结合图象得出△APQ 的面积即可． 【解答】
解：(1)设a =4t 1，c =√15t 1， 则b =m =t 1， 所以m =t 1.
因为a =4t 1=5，解得t 1=5
4，
所以m =5
4，
所以C 的方程为C:x 225+
16y 225
=1(0(2)设点Q (6,t )，P (m 1,n 1)，又A (?5,0)，B (5,0)， 则BP →
=(m 1?5,n 1)，BQ →
=(1,t )， 所以BP →
?BQ →
=0，
得m 1?5+n 1t =0.
过P 作PK ⊥x 轴，如图所示，
所以∠1+∠2=π
2 ，又∠1+∠3=π
2， 所以∠2=∠3，∠4=∠1，又|BP|=|BQ|， 所以△PKB ?△BGQ ，
得KB =QG ，PK =BG =1，即y P =1， 所以P (m 1,1), 得m 1?5+t =0. 将P 的坐标代入椭圆方程得
m 1
225
+
1625
=1，
解得m 1=±3，则t =2或t =8，
所以P (3,1)，Q (6,2)或P (?3,1)，Q (6,8). 当P (3,1)，Q (6,2)时， |AQ|=5√5， 直线AQ 的方程为： 2x ?11y +10=0， P (3,1)到直线AQ 的距离为d =5√5，
所以S △APQ =12
|AQ|d =12
×5√55√5
=5
2
；
当P (?3,1)，Q (6,8)时， |AQ|=√185， 直线AQ 的方程为： 8x ?11y +40=0， P (?3,1)到直线AQ 的距离为d =
√185
， 所以S △APQ =1
2|AQ|d =1
2×√185185
=5
2. 综上，△APQ 的面积为5
2． 21.【答案】
(1)解：f ′(x)=3x 2+b ，
∵ 曲线f(x)在点(12,f(1
2))处的切线与y 轴垂直， ∴ 曲线f(x)在点(1
2,f(1
2))处的切线斜率为0， ∴ f ′(1
2)=3×(12)2+b =0， 解得b =?34.
(2)证明：设x 0为f(x)的一个零点，
根据题意，f(x 0)=x 03
?3
4x 0+c =0，且|x 0|≤1， 则c =?x 03+3
4x 0.
由|x 0|≤1，c ′=?3x 02+3
4
，显然c(x 0)在(?1,?1
2
)上单调递减，
在(?12,12
)上单调递增，在(1
2
,1)上单调递减，
易得c(?1)=14，c(1)=?1
4， c(?1
2)=?1
4，c(1
2)=1
4， ∴ ?1
4≤c ≤1
4.
设x 1为f(x)的零点，
则必有f(x 1)=x 13
?3
4
x 1+c =0，
即?1
4≤c =?x 13+3
4x 1≤1
4，
∴ {4x 13
?3x 1?1=(x 1?1)(2x 1+1)2≤0,4x 13?3x 1+1=(x 1+1)(2x 1?1)2≥0,
∴ ?1≤x 1≤1，即|x 1|≤1，
∴ f(x)的所有零点的绝对值都不大于1. 【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性 【解析】
(1)求出原函数的导函数，由题意可得f′(1
2)=3×(1
2)2+b =0，由此求得b 值；
(2)设x 0为f(x)的一个零点，根据题意，f(x 0)=x 03?34
x 0+c =0，且|x 0|≤1，得到c =?x 03+3
4
x 0，由
|x 0|≤1，对c(x)求导数，可得c(x)在[?1,?1]上的单调性，得到?14
≤c ≤1
4
．设x 1 为f(x)的零点，则必有
f(x 1)=x 13?34x 1+c =0，可得?14≤c =?x 13+34x 1≤1
4，由此求得x 1的范围得答案． 【解答】
(1)解：f ′(x)=3x 2+b ，
∵ 曲线f(x)在点(1
2,f(1
2))处的切线与y 轴垂直， ∴ 曲线f(x)在点(1
2,f(12))处的切线斜率为0， ∴ f ′(1
2)=3×(12)2+b =0，
解得b =?3
4.
(2)证明：设x 0为f(x)的一个零点，
根据题意，f(x 0)=x 03
?3
4
x 0+c =0，且|x 0|≤1，
则c =?x 03+3
4x 0.
由|x 0|≤1，c ′=?3x 02+3
4，显然c(x 0)在[?1,?1
2]上单调递减，
在[?12,12]上单调递增，在[1
2,1]上单调递减， 易得c(?1)=1
4，c(1)=?1
4， c(?1
2)=?1
4，c(1
2)=1
4，
∴ ?14
≤c ≤1
4
.
设x 1为f(x)的零点，
则必有f(x 1)=x 13
?3
4x 1+c =0， 即?1
4
≤c =?x 13+3
4
x 1≤1
4
，
∴ {4x 13
?3x 1?1=(x 1?1)(2x 1+1)2≤0,4x 13?3x 1+1=(x 1+1)(2x 1?1)2≥0,
∴ ?1≤x 1≤1，即|x 1|≤1，
∴ f(x)的所有零点的绝对值都不大于1. 22.【答案】
解：(1)当x =0时，即0=2?t ?t 2， 解得t =?2或t =1（舍），
将t =?2代入y =2?3t +t 2中， 解得y =12；
当y =0时，即0=2?3t +t 2， 解得t =2或t =1（舍），
将t =2代入x =2?t ?t 2中， 解得x =?4，
所以曲线与坐标轴交于(0,12)和(?4,0)，
故|AB|=√(?4)2+122=4√10.
(2)设直线AB 的解析式为y =kx +b ， 由(1)得直线AB 过点(0,12)和(?4,0)， 所以直线AB 的解析式为3x ?y +12=0.
故直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ?ρsin θ+12=0. 【考点】
直线的极坐标方程 两点间的距离公式
【解析】
(1)可令x =0，求得t ，对应的y ；再令y =0，求得t ，对应的x ；再由两点的距离公式可得所求值； (2)运用直线的截距式方程可得直线AB 的方程，再由x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得所求极坐标方程． 【解答】
解：(1)当x =0时，即0=2?t ?t 2， 解得t =?2或t =1（舍），
将t =?2代入y =2?3t +t 2中， 解得y =12；
当y =0时，即0=2?3t +t 2， 解得t =2或t =1（舍），
将t =2代入x =2?t ?t 2中， 解得x =?4，
所以曲线与坐标轴交于(0,12)和(?4,0)， 故|AB|=√(?4)2+122=4√10.
(2)设直线AB 的解析式为y =kx +b ， 由(1)得直线AB 过点(0,12)和(?4,0)，
所以直线AB 的解析式为3x ?y +12=0.
故直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ?ρsin θ+12=0.
23.【答案】
证明：(1)∵ a +b +c =0， ∴ (a +b +c )2=0，
∴ a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =0， 即2ab +2bc +2ca =?(a 2+b 2+c 2)， ∴ 2ab +2bc +2ca <0， ∴ ab +bc +ca <0.
(2)不妨设a ≤b <0， 则ab =1c
>
√
4
3
，?a ?b =c <√43
， 而√43
>?a ?b ≥2√ab >√4
6
=2
1?
13
=√43
，矛盾，
所以命题得证． 【考点】 不等式的证明 反证法
【解析】
(1)将a +b +c =0平方之后，化简得到2ab +2ac +2bc =?(a 2+b 2+c 2)<0，即可得证； (2)利用反证法，假设a ≤b <0，结合条件推出矛盾． 【解答】
证明：(1)∵ a +b +c =0， ∴ (a +b +c )2=0，
∴ a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =0， 即2ab +2bc +2ca =?(a 2+b 2+c 2)， ∴ 2ab +2bc +2ca <0， ∴ ab +bc +ca <0.
(2)不妨设a ≤b <0， 则ab =1c >
√
4
3
，?a ?b =c <√43
， 而√43
>?a ?b ≥2√ab >√4
6
=2
1?
13
=√43
，矛盾，
所以命题得证．
