线性时滞系统稳定性综述

线性时滞系统稳定性分析综述

摘要：时滞在工程领域广泛存在，对此综述了线性时滞系统的稳定性研究方法。从频域和时域两个角度详细介绍了各种方法的特点，着重讨论基于线性矩阵不等式(LMI)的分析方法，指出保守性是分析的重点。对现有结果的保守性进行比较

和评述，并提出了改进的思路。

关键词：时滞系统；稳定性；保守性，线性矩阵不等式；时滞依赖

Survey on the stability analysis

of linear time—delay systems

Abstract：As time-delays are extensively encounted in many fields of engineering,the stability analysis method of linear time-delay systems is outlined.The characters of frequency domain method and time domain method are illustrated in detail.The linear matrix inequality(LMI)-based stability analysis approach is mainly discussed.It is pointed out that the conservatism is important for the stability https://www.sodocs.net/doc/e117408041.html,parison and discussion are given on some existing results.FinalIy,some improvement directions are discussed.

Key words：Time-delay systems；Stability；Conservatism；Linear matrix inequality；Delay-dependent

l引言

从系统理论的观点看，任何实际系统的过去状态不可避免地要对当前的状态产生影响，即系统的演化趋势不仅依赖于系统当前的状态，也依赖于过去某一时刻或若干时刻的状态，这类系统称为时滞系统。时滞产生的原因有很多，如：系统变量的测量(复杂的在线分析仪)、长管道进料或皮带传输、缓慢的化学反应过程等都会产生时滞。时滞常见于电路、光学、神经网络、生物环境及医学、建筑结构、机械等领域，由于应用背景广泛，受到很多学者的关注。从理论分析的角度来看，在连续域中，时滞系统是一个无穷维的系统，特征方程是超越方程，有无穷多个特征根，而在离散域中，时滞系统的维数随时滞的增加按几何规律增长，这给系统的稳定性分析和控制器设计带来了很大的困难。因此，对于时滞系统的控制问题，无论在理论还是在工程实践方面都具有极大的挑战性。

常见的时滞系统包括奇异时滞微分系统、脉冲时滞微分系统、Lurie时滞系统、中立型时滞系统和随机时滞系统等。其基本理论建立于20世纪五、六十年代，迄今为止，研究的成果相当丰富，本文作者限于水平及阅读范围，提到的只是极其有限的一部分结果。

2 时滞系统稳定性分析基本方法

从工程实践的角度来看，时滞的存在往往导致系统的性能指标下降，甚至使系统失去稳定性。例如系统

()0.5()

x t x t

=-

(1)

是稳定的，但加入时滞项后，系统

()0.5() 1.3(1)x

t x t x t =-+- (2) 变得不稳定．同时，时滞也可以用来控制动力系统的行为，例如时滞反馈控制已成为控制混沌的主要方法之一。

通常用泛函微分方程来描述时滞系统，以含单时滞的微分方程为例，即

()(),,,n n

x

t Ax Bx t h A B R ?=+-∈

[]()(),,0x t t h ?=- （3）

其中：h>0为时滞，初始条件由定义在[-h ，0]的连续可微函数()??确定，系统t>0时的行为不仅依赖于0时刻的状态，而且与时间段[-h ，0]内的运动有关，因此解空间是无穷维的。其特征方程是含有指数函数的超越方程，即

det(exp())0I A h B λλ---= (4)

讨论特征根需要用到很多复变函数的知识.早在1942年，Pontryagin 就提出了一种原则性方法—Pontryagin 判据来解决这一问题，之后很多工作致力于对这一判据具体化，使之更加实用。

总之，时滞系统稳定性分析方法可分成3类。

2．1 无限维系统理论方法

这种方法是将时滞系统看成无穷维系统，用无穷维空间的适当算子来描述时滞系统的状态变化，一方面可对时滞系统进行一般建模；另一方面，也可表述系统的可观性和可控性等结构方面的概念。

2．2 代数系统理论方法

代数系统理论对于时滞系统的建模和分析都比较方便，但在控制器的设计方面目前尚处于初期阶段，还缺乏有效方法。

2．3 泛函微分方程理论方法

泛函微分方程理论考虑了系统的过去对系统变化率的影响。利用有限维空间以及泛函空间提供一套适当的

数学结构以描述时滞系统的状态变化。

目前，研究时滞系统主要是应用泛函微分方程理论，研究范围涉及稳定性分析、控制器设计、H 控制、无源与耗散控制、可靠控制、保成本控制、H 滤波、Kalman 滤波以及随机控制等。不管研究哪个分支，稳定性都是基础，对最终形成控制方案具有非常重要的理论和现实意义。时滞系统稳定性分析的目的是希望找到计算简单、切实有效并且保守性尽可能小的稳定性判据，研究方法主要分为两类：一类是以研究系统传递函数为主的频域方法；另一类是以研究系统状态方程为主的时域(状态空间)方法。

2．3．1 频域法

频域法是最早提出的稳定性分析方法，它基于超越特征方程根的分布或复Lyapunov 矩阵函数方程的解来判别稳定性．类似于不包含时滞的线性系统，线性时滞系统稳定的充要条件是闭环特征方程的解均具有负实部．由于时滞系统闭环特征方程是一个具有无穷多解的超越方程，其稳定性分析比无时滞系统要复杂得多．但是利用频域法对系统进行分析具有直观易懂的特点，只要分析系统的特征根分布就可在一定程度上了解系统的稳定性和动态性能，并且计算量小、物理意义强，因此采用频域方法进行线性时滞系统稳定性分析，具有重要的理论意义和实际价值。

从频域角度出发，对系统进行稳定性分析的方法主要包括：图解法、解析法和复Lyapunov方法。

Nikiforuk于1965年提出一种简

单的双轨迹法的图解方Mukherjee在

此基础上探讨了控制环增益与系统前向通道中时滞之间的变化关系；最近，运用双轨迹法进行时滞系统稳定性分析的文献还有很多。

利用解析法进行相关研究的文献包括：文献利用超越特征方程根的分布得到了稳定的充分条件。Thowsen通过引入适当的变换，将特征方程化为非超越的形式。得到了Routh—Hurwitz型稳定性判据。Watanabe等通过有限谱配置分析时滞系统的稳定性。文献基于Pontryagin判据提出了适用于准多项式H(s，s eθ)的Hermite-Biehler推广定理。Rekasius 以时滞项的双线性变换为基础提出了一种伪时滞法，在此基础上olgac证明了这种双线性变换的引入有助于准多项式H(s，s eθ)的稳定性分析，并可用来方便地估计闭环特征式的虚轴零点。walton提出了一种不需要引入双线性变换而能够删除准多项式中指数项的直接法。Zhang给出基于Lyapunov 方程的线性时滞系统稳定条件，并建立了该条件与用于鲁棒性分析的小增益定理之间的等价关系。国内学者胥布工、俞元洪、刘和涛、张作元等也在这一领域进行了相关研究。

复Lyapunov方法是Repin于20世

纪80年代首次提出的，其思想是利用复Lyapunov方程的正定Hermitian矩

阵解进行稳定性分析。该想法被Brierley等用来研究复Lyapunov方程正定Hermitian解的存在性，进而得到一个具有可公度时滞的线性系统稳定性的充要条件。Lee等将这一结果推广到中立型时滞系统。Agathoklis等进一步研究了具有不可公度滞后的线性系统，得到了稳定性的充分条件。

虽然频域法理论上容易得到系统稳定的充要条件，但在考虑控制器的设计时，由于涉及到系统特征方程的处理，计算非常复杂，特别是对于多变量高维系统、非线性微分系统或中立型系统．并且，频域法难于处理含有不确定项以及参数时变的时滞系统。

2．3．2 时域法

时域法是目前时滞系统稳定性分析和综合的主要方法，易于处理含有不确定项、时变参数和时变时滞的系统以及非线性时滞系统．时域法主要包括Lyapunov-Krasovskii泛函法、Lazumikhin函数法、Lyapunov函数结合Razumikhin型定理方法、时滞不等式方法。Lyapunov泛函法和Razumikhin函数法，分别由Krasovskii和Razumikhin于20世纪50年代末提出，是目前应用最广泛的两种方法．时滞不等式方法由Halanay建立于20世纪60年代，是非线性、脉冲、变时滞等复杂时滞系统稳定性分析的强有力工具。另外，通过估计方程的基本解矩阵也可得到稳定性条件，但该方法依赖于不等式技巧，得到的条件往往过于保守。下面重点介绍Lyapunov-Krasovskii泛函法和Razumikhin函数法。

2．3．2．1 Razumikhin函数法

使用Razumikhin函数法，避免了构造Lyapunov泛函的麻烦，被许多学

者广泛应用和推广，该方法的理论基础是著名的Razumikhin稳定性定理。

Razumikhin稳定性定理主要应用于非线性和不确定时滞系统，用于线性时滞系统，得到的稳定性条件相对较为保守．这方面的成果包括：Trinh 等使用Razumikhin稳定性定理研究了带有非线性扰的时变时滞系统的稳定性和镇定；Park基于Razumikhin稳定性定理首次提出了模型变换Jankovic 总结了几类时滞系统的系统化Lyapunov-Razumikhin函数的构造方法等。在国内，刘永清等较早研究了线性定常时滞系统和时变时滞系统的镇定问题。关于这方面更详细的论述可参见文献[2，3]．利用Razumikhin 函数法得到的稳定性结果与利用Lyapuno-Krasovskii泛函法得到的结果有些相似，对后者施加某些约束往往即可得到前者，因而用Razumikhin 函数法得到的结果相对较为保守，但该方法适于快变时滞系统。一般认为Lyapunov-Krasovs泛函法不适于快变时滞系统，但这一看法最近发生了改变，文献利用Lyapunov—Krasvs“方法解决了一类区间时变时滞系统稳定性问题，允许时滞是快变的。

2.3.2.2 Lyapunov—Krasovskii 泛函法

Krasovskii在1963年发表的一篇文章中，用Lyapunov-Krasovskii泛函取代传统意义上的二次正定Lyapunov 函数，在此基础上，针对时滞系统给出了一类新的稳定性分析方法—Lyapunov。Krasovskii泛函法，其思想基础是Lyapunov—Krasovskii稳定性定理。

对于复杂系统或非线性系统，Lyapunov-Krasovskii泛函的构造需要很高的技巧，并且利用LyapunoV—Krasovskii泛函法进行时滞系统稳定性分析，最终得到的条件基本上都可转化为类Riccati方程(或不等式)。20世纪80年代和90年代初期，Riccati方法是研究热点．求解Riccati方程(或不等式)主要采用迭代法，其缺点是：1)收敛性得不到保证；2)需要事先给定一些待定参数，目前还缺乏寻找这些参数最佳值的方法。并且参数的人为设定给系统的分析和综合带来很大的保守性。内点法的提出，并成功用来求解具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，较好地弥补了Riccati方法求解上的不足，不需要预先给定任何参数和正定对称矩阵，可直接用Matlab软件中的LMI工具箱进行求解．内点法主要思想是：利用约束条件定义一个闸函数，该函数在可行域内部是凸的，在可行域外部定义为无穷大．通过在目标函数中添加这样一个闸函数，使得原先的约束优化问题转化成一个无约束的优化问题，从而可以利用求解无约束优化问题的牛顿法来求解。由于利用Lyapunov—Krasovskii方法只能得到稳定的充分条件，减小条件的保守性是努力的方向．在过去的10年里，很多学者致力于这方面的研究。利用Lyapunov—Krasovskii泛函法，结合线性矩阵不等式(LMI)这一工具对时滞系统进行稳定性分析，得到的结果便于进行控制器的设计和综合，因此成为控制理论和控制工程领域研究的热点问题。

不管采用哪种方法进行稳定性分析，按照是否依赖于时滞大小，得到的稳定性条件都可分为两类：时滞依

赖(时滞相关)稳定性条件和时滞独立(时滞无关)稳定性条件．时滞独立的稳定性条件，优点是较为简单，容易验证，且易于控制器设计；缺点是对于小时滞系统具有较强的保守性．而时滞依赖稳定性条件要求当时滞为零时，系统是稳定的，这样由于系统解对时滞的连续依赖，一定存在一个时滞上界h，使得对于h∈[0，h]，系统均是稳定的．相应地，最大允许时滞界无就成为衡量时滞依赖条件保守性的主要指标。近年来，在稳定性分析、鲁棒控制、H控制、可靠控制、保成本控制、饱和输入控制以及混沌系统控制中的时滞依赖问题已引起了很多学者的关注和广泛研究．减少结果的保守性主要采用3种方法：交叉项界定方法、模型变换方法以及Lyapunov—Krasovskii泛函的适当选取。目前得到的时滞依赖稳定性结果都是基于以上一个或多个技术的结合。其中，Fridman提出的描述模型变换方法结

合Moon不等式方法，可以得到具有较小保守性的稳定性准则。最近也出现了一些新的思想和方法，如韩清龙和张先明的积分不等式法(两个积分不

等式形式不同，本质上是等价的)，何勇和徐胜元的自由矩阵法，以及新的Lyapunov—KrasoVskii泛函选取方法等。

（1）有关Lyapunov—KrasoVskii

泛函的选取

结合描述模型变换法，也可以有效地减小结果的保守性。此外，addad，Gahinet以及Feron等人于20世纪90年代中期提出的参数依赖Lyapunov泛函方法，在减少保守性方面又迈进一步。通过引入附加的自由变量来消除Lyapunov矩阵与系统矩阵的乘积项，从而获得保守性较小的鲁棒稳定性条件．Lin将这种方法与自由矩阵法有机结合，进一步减小了结果的保守性．利用参数依赖Lyapunov泛函方法得到的结果，大多局限于具有多胞型不确定性的系统．最近，应用多项式优化领域中的SOS分解理论，构造参数依赖的Lyapunov泛函，在减小保守性方面进一步取得了突破．该方法可以推广到更广一类时滞系统(包括标称时滞系统，非线性时滞系统，结构不确定系统)。鉴于目前多项式优化理论的快速发展，该理论有望在时滞系统稳定性分析以及控制器的设计方面提供更为系统化的方法，并成为理论研究和实际应用方面的新热点。

(2)交叉项界定方法

在现有的许多稳定性分析中，针对Lyapunov函数时间导数项中的交叉项，采用矩阵不等式对其进行不同程度的放大，使得导出的稳定性条件具有不同的保守性，这一方法称为交叉项界定方法。不失一般性，这里不妨将该概念进一步拓展，使用的积分不等式法也属于交叉项界定方法。将其与几个常用不等式合在一起进行保守性的比较。

(3)几种模型变换

在时滞系统稳定性分析中，模型变换是经常采用的方法。模型变换容易引入原系统没有的极点，又称为附加动态特性，使得变换后的模型与最初的系统模型之间不等价，结果导致原系统失稳．另外，由于模型变换异致的不等价，也可能导致得到的稳定性准则相对保守。

在工业控制系统以及通讯网络控制系统中，由于数据采样的需要，必

须把连续时间系统离散化，由此得到离散时滞系统．与连续时滞系统不同的是，离散时滞系统可通过状态增维的方式变换成一个无时滞系统，因此离散时滞系统本质上是一个有限维系统，进而可以得到系统稳定的充要条件．但是如果时滞很大，所导出的无时滞系统阶数就会很高，给研究带来不便．因此，在进行稳定性分析和控制器设计时，很多情况下仍然采用与连续时滞系统平行的做法．另外，由于篇幅有限，本文没有提及含有不确定性的时滞系统分析方法，一方面是因为作者希望在一个朴素、简单的模型背景下讨论稳定性问题，而不确定性包含很多类型(如多胞型不确定性、结构不确定性、区间不确定性等)，反而不容易突出主题；另一方面，针对标称线性时滞系统，利用线性矩阵不等式方法得到的结果往往可以平行地推广到含不确定性的时滞系统．关于含有不确定性的时滞系统的稳定性分析，读者可在Gu一书中发现更多的结论。

3 问题与展望

1)目前有关时滞系统稳定性的分析结果很多，但是进行控制器设计时，只在个别情况下才会得到线性矩阵不等式(LMI)，多数情况下得到的是多项式矩阵不等式(PMI)或双线性矩阵不

等式(BMI)。如何将多项式矩阵不等式转化为LMI，或者在无法转化成LMI时，如何对其利用优化方法进行求解，是今后继续努力的方向．目前发展起来的多项式优化理论有望为这一问题提供系统化方法。

2)如何得到计算复杂性低，同时保守性较小的稳定性准则是未来的努力方向。其中Lyapunov—Krasovskii 泛函的适当选取，尤其是参数依赖的Lyapunov泛函的选取，将对结果的保守性产生积极影响，而利用二次分离原理口53进行稳定性分析，也为减小结果的保守性提供了思路。这方面还有大量的工作有待进行。

3)基于线性矩阵不等式的稳定性准则在保守性方面难于比较，至少看起来不直观．原因是线性矩阵不等式在矩阵维数、变量及变量个数方面有所不同。以往的比较是基于数值例子，理论分析较少，文献在这方面做了很好的探索。如何进一步寻求系统化方法进行相关分析，这方面的工作很有意义。

4)近年有关时滞的讨论多数集中在线性系统，有关非线性时滞系统的讨论则较少(当然也有例外)，而实际系统往往是非线性的，这也是进一步努力的方向之一。

5)近年来对网络控制系统、无线通讯网络、无线传感器网络的研究蓬勃兴起，因网络中的信息必须通过通信网络分时传送，不可避免地在控制环路中引入了通讯延迟(时滞)，消除时滞对网络系统的稳定性影响是备受关注的问题，是推动时滞系统进一步研究发展的动力。

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毕设论文几种典型非线性系统的稳定性研究与仿真

****大学 毕业设计（论文） 题目：几种典型非线性系统的稳定性 研究与仿真 专业：电气工程及其自动化 学生姓名： ********* 班级学号： ************* 指导教师： *********** 指导单位：自动化学院电气信息工程系 日期：*************************

摘要 论文对MATLAB软件进行了简单的介绍，详细介绍了非线性系统的特点，并且对它的稳定性进行了简要的分析。另外，论文对非线性系统的非线性环节的特性进行了介绍。接下来，论文详细讲解了描述函数的定义和求法，而且给出了两种非线性环节的描述函数。在第四章里面，论文对继电器型非线性系统和滞环非线性系统进行了仿真分析，并且运用nyquist定理对系统的稳定性进行了判定。关键词：非线性系统；稳定性；描述函数；非线性环节；

ABSTRACT The article simple introduced MATLAB software and the characteristics of non-linear system, also the article analysis its stability in detail. In addition, the article introduced the characteristics of the nonlinear system links. the article explained in detail the definition and solution of the Description function and also the article gave the Description function of two nonlinear links. In the fourth chapter there, the article simulated the relay nonlinear system and hysteresis nonlinear systemand use nyquist theorem finding the stability of the system. Key words: nonlinear systems, stability, Description function, nonlinear system link;

非线性动力学之一瞥_Lorenz系统

非线性动力学 非线性系统之一瞥——Lorenz系统 2013-01-30

0 前言 0.1非线性系统动力学 线性系统是状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统；非线性系统就是这些量不满足叠加原理的系统。非线性系统在日常生活和自然界中不胜枚举，也远远多于线性系统。 非线性动力学是研究非线性系统的各种运动状态的定性和定量变化规律，尤其是系统的长时期行为。研究的对象主要有分叉、混沌和孤立子等。 0.2洛伦兹方程 洛伦兹方程是美国气象学家洛伦兹在模拟天气这一非周期性现象时确定，这个方程的三个变量分别模拟温度、湿度和压力。可以得出结论，初期微小的差别随着时间推移差别会越来越大，洛伦兹基于此提出长期的天气预报是不可能的。这也被视为研究非线性混沌理论的开始，所以洛伦兹系统在研究非线性系统中具有举足轻重的地位。本文借助洛伦兹系统对非线性进行简单的介绍。洛伦兹方程如下。 方程中，、和都为实参数。实参不同，系统的奇点及数目也是不同的。

1 奇点和稳定性 1.1 奇点 洛伦兹系统含有三个实参数，当参数变化，奇点的数目可能不同。首先，一定是系统的奇点。时，当时，系统仅有一个奇点；当时，系统还有另外两个奇点。 下面仅解时的两个非原点奇点。令 方程第一式得，第三式可得，将两式代入第二式得 即，。 1.2 奇点稳定性判别 下面根据Liapunov稳定性判别方法，找出系统在原点处大围渐进稳定的条件，取Liapunov函数。考虑，的情况。则有 将洛伦兹方程 代入上式，可得 变换为二次型，系数矩阵为

已知，，则系数矩阵负定的条件是。所以该系统是大围渐进稳定的条件是，前提是，。 Liapunov函数V总是存在的，只要构造出合适的Liapunov函数，就可以通过Liapunov稳定性定理直接判断奇点的稳定性，而不需要求解非线性方程组。有的Liapunov函数不易构造，则可以通过奇点处导算子的特征值来判断：若所有的特征值实部都小于0，则方程组在该奇点是局部渐进稳定的；若特征值实部至少有一个为正，该奇点是不稳定的。仍以洛伦兹系统为例，求出导算子的特征值。 特征矩阵的行列式（特征方程）为 特征值 显然，当，时，，，要使方程在原点处渐进稳定，必须小于0，因此 两边同时平方可得 因此

实验五 线性系统的稳定性和稳态误差分析

实验五 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响； 3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。 （1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 0.2( 2.5) ()(0.5)(0.7)(3) s G s s s s s += +++，用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性， 并绘制闭环系统的零极点图。 在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) dc=Gctf.den dens=poly2str(dc{1},'s') 运行结果如下： dens= s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5 dens 是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB 程序代码： den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5]

p=roots(den) 运行结果如下： p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i -0.0971 - 0.3961i p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。 下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) [z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v') pzmap(Gctf) grid 运行结果如下： z = -2.5000 p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i -0.0971 - 0.3961i k = 0.2000

分析非线性系统的方法

非线性系统稳定性问题的判定方法和发展趋势 任何一个实际系统总是在各种偶然和持续的干扰下运动或工作的。所以，当系统承受干扰之后，能否稳妥地保持预订的运动轨迹或者工作状态，即系统的稳定性是首要考虑的。一个系统的稳定性，包括平衡态的稳定性问题和任一运动的稳定性问题。而对于给定运动的稳定性可以变换成关于平衡点的稳定性问题。 对平衡点的稳定性进行分析可将平衡点的稳定性定义为李雅普诺夫稳定、一致稳定、渐进稳定、一致渐近稳定、按指数渐进稳定和全局渐进稳定，除了全局渐进稳定，其他都是局部的概念。 非线性系统的数学模型不满足叠加原理或其中包含非线性环节。包括非本质非线性（能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性）和本质非线性（用小偏差线性化方法不能解决的非线性）。它与线性系统有以下主要区别： 1．线性控制系统只能有一个平衡点或无穷多的平衡点。但非线性系统可以有一个、二个、多个、以至无穷多个平衡点。非线性系统与线性定常系统明显不同，其稳定性是针对各个平衡点而言的。通常不能说系统的稳定性如何，而应说那个平衡点是稳定的或不稳定的。2．在线性系统中，系统的稳定性只与系统的结构和参数有关，而与外作用及初始条件无关。非线性系统的稳定性除了与系统的结构和参数有关外，还与外作用及初始条件有关。 由于非线性控制系统与线性控制系统有很大的差异，因此，不能直接用线性理论去分析它，否则会导致错误的结论。对非线性控制系统的分析，还没有一种象线性控制系统那么普遍的分析、设计方法。 现代广泛应用于非线性系统上的分析方法有基于频率域分析的描述函数法和波波夫超稳定性，还有基于时间域分析的相平面法和李雅普诺夫稳定性理论等。这些方法分别在一定的假设条件下，能提供关于系统稳定性或过渡过程的信息。而计算机技术的迅速发展为分析和设计复杂的非线性系统提供了有利的条件。另外，在工程上还经常遇到一类弱非线性系统，即特性和运动模式与线性系统相差很小的系统。对于这类系统通常以线性系统模型作为一阶近似，得出结果后再根据系统的弱非线性加以修正，以便得到较精确的结果。摄动方法是处理这类系统的常用工具。而对于本质非线性系统，则需要用分段线性化法等非线性理论和方法来处理。目前分析非线性控制系统的常用方法如下： 1、线性化方法 采用线性化模型来近似分析非线性系统。 这种近似一般只限于在工作点附近的小信号情况下才是正确的。这种线性化近似，只是对具有弱非线性（或称非本质非线性）的系统。 常用线性化方法，有正切近似法和最小二乘法。 此外，对一些物理系统的非线性特性比较显著，甚至在工作点附件的小范围内也是非线性的，并且不能用一条简单的直线来代表整个非线性系统特性的系统，可采用分段线性化方法。2、相平面法 相平面法是一种基于时域的分析方法，一种用图解法求解一、二阶非线性常微分方程的方法。 该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹，从而比较直观、准确地反映系统的稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响。相轨迹的绘制方法步骤简单、计算量小，特别适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的非线性系统 对于分段线性的非线性系统来说，相平面分析法的步骤为： （1）用n条分界线（开关线，转换线）将相平面分成n个线性区域；（2）分别写出各个线性区域的微分方程；（3）求出各线性区的奇点位置并画出相平面图；

非线性系统稳定性问题的判定方法和发展趋势

非线性系统的概念及稳定性问题的判定方法和发展趋势 姓名：查晓锐 学号：121306060006 线性系统理论自20世纪50年代以来不仅已在理论上逐步完善，也已成功的应用于各种国防和工业控制问题。随着现代工业对控制系统性能的要求不断提高，传统的线性反馈控制已很难满足各种实际需要。这是因为大多数实际控制系统往往是非线性的，采用近似的线性模型虽然可以使我们更全面和容易的分析系统的各种特性，但是却很难刻画出系统的非线性本质，线性系统的动态特性已不足以解释许多常见的实际非线性现象。另一方面，计算机及传感器技术的飞速发展，也为我们实现各种复杂非线性控制算法奠定了硬件基础。因此自20世纪80年代以来，非线性系统的控制问题受到了国内外控制界的普遍关注。 非线性科学是当今世界科学的前沿与热点，涉及自然科学和人文社会科学的众多领域，具有重大的科学价值和深刻的哲学方法论意义。但迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，并没有清晰的、完整的认识，对其哲学意义也没有充分地开掘。 一、 非线性的概念 非线性是相对于线性而言的，对线性的否定，线性是非线性的特例。所以要弄清非线性的概念，明确什么是非线性，首先必须明确什么是线性；其次对非线性的界定必须从数学表述和物理意义两个方面阐述，才能较完整地理解非线性的概念。 对线性的界定，一般是从相互关联的两个角度来进行的。其一：叠加原理成立“ 如果1Φ，2Φ 是两个那么21Φ+Φβα也是它的一个解，换言之，两个态的叠加仍然是一个态。”原理成立意味着所考查系统的子系统间没有非线性相互作用。其二，物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量，这意味着函数的斜率在其定义域内处处存在且相等，量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。 在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定。其一 ：“定义非线性算符()ΦN 为对一些 a ，b 或Φ，ψ不满足)()()(ψ+Φ=ψ+ΦbL aL b a L 的算符 即叠加原理不成立。”这意味着Φ与ψ之间存在藕合，对ψ+Φb a 的操作，等于分别对Φ，ψ操作外，再加上对Φ与ψ的交叉项（耦合项）操作，或者Φ、ψ是不连续有突变或断裂、不可微有折点的。其二：作为等价的另一种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性在用于描述一个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的一个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的。换言之：变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方。概括地说：物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不

(完整word版)线性系统的稳定性分析

第三章 线性系统的稳定性分析 3.1 概述 如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够 的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。 应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系 统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。 本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫 稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。 虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地 位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。 3.2 外部稳定性与内部稳定性 3.2.1 外部稳定： 考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件： 1()u t k ≤<∞ 的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立： 2()y t k ≤<∞ 则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。 注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。 系统外部稳定的判定准则 系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。

自动控制原理-第8章 非线性控制系统教案

8 非线性控制系统 前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。 8.1非线性控制系统概述 在物理世界中，理想的线性系统并不存在。严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。 图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。 图8-1 伺服电动机特性 8.1.1控制系统中的典型非线性特性 组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。 实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。 8.1.1.1饱和非线性 控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性。如图8-2所示，其中a x a <<-的区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。许多元件的运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。有时，工程上还人为引入饱和非线性特

系统稳定性意义以及稳定性的几种定义

系统稳定性意义以及稳定性的几种定义 一、引言： 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。 在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。 二、稳定性定义： 1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。 稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。 绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。 （1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。 （2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。） （3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不稳定的。 实际上，物理系统的输出量只能增大到一定范围，此后或者受到机械制动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可以当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，从而使线性微分方程不再适用。因此，绝对稳定性是系统能够正常工作的前提。

线性系统的稳定性分析

关于线性系统稳定性的进一步探究 任何一个实际系统总是在各种偶然和持续的干扰下运动或工作的。显然，我们首先要考虑的问题是，当系统承受这种干扰之后，能否稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这就是稳定性。 此外，我们知道，描述系统的数学模型，绝大部分都是近似的，这或者是由于量测误差，或者是为使问题简化，而不得不忽略某些次要因素。近似的数学模型能否如实反映实际的运动，在某种意义上说，也是稳定性问题。 系统的稳定性在控制中是一个很重要的问题。在学习完稳定性理论之后，对此有了更为深刻的理解，不单单停留在输出跟踪输入的浅显印象之上，获益匪浅。因此，本文根据黄琳院士较为精炼的数学讲解，描述了一些自己对该问题的直观思考，并且结合线性系统和具体实例对稳定性作进一步分析，使内容不再过于抽象，更为深入地理解其应用价值。 1 预备理论 1.1 微分方程解的表示 考虑微分方程 00 (,)()x f x t x t x =?? =? 其解()x t 是自变量t 的函数，而0t ，0x 变动时对应的解也随着变动，故它应该是自变量t 与初值0t 、0x 的函数, 可记为00(;,)x t t x 。 例如： 000000(;,)()t t t t x x x x t t x e x t e x --=?=== 问题：当初值变动时，对应的解如何变动？在应用上的意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得的数据不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解的巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很小。 1.2 Lipschitz 条件

00 1212(,)()(,)(,)(,):x f x t x t x t t t t t I x W R ==∈?-∞+∞=∈? (,)f x t 的定义域记为?W I 。若存在常数L ，使得对任何I,,W t x y ∈∈都有 (,)(,)f x t f y t L x y -≤- 则称f 在W I ?上满足Lipschitz 条件。这个定义可以推广到W 为任意有限n 维空间的情形。 注：满足Lipschitz 条件可保证微分方程解的存在性和唯一性 1.3 解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性 定理1-1 (存在性及唯一性定理)对于微分方程 (,)x f x t = 若(,)f x t 在W I ?域内连续且满足Lipschitz 条件，则对任意的初始条件 00(,)x x t W I ∈?总存在常数0a >，使得有唯一解00(;,)x x t t x =，在00[,]t a t a -+上 存在、对t 连续 ，且满足初始条件00()x t x =。 稳定性所要研究的是解的渐近性质，即当解()x t 在t →∞时的性状。故总假定在[)0,t ∞上解是存在的。 定理1-2 (解对初值的连续依赖性)在定理1的条件下，若(,)f x t 在域内连续且满足Lipschitz 条件，则微分方程的解00(;,)x t t x 作为t ，0t ，0x 的函数在它的存在范围内是连续的，即 ε?>，0δ?>，00()()x t t δ-ψ< ? 0000(;,())(;,())x t t x t t t t ε-ψψ<，0,a t b a t b ≤≤≤< 以上定理说明：若在初始时刻0()x t 和0()t ψ十分接近，则在定义域[],a b 内的解()x t 和()t ψ也会十分接近。因此，1.1中所提的问题也就迎刃而解了。 2 平衡状态的稳定性 李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的解在无穷区间 []0,t ∞满足存在和唯一性条件。

非线性时变系统的稳定性和鲁棒性

外文资料翻译 非线性时变系统的:稳定性和鲁棒性 概要:我们这里所叙述的是采样数据模型预测控制的框架,使用连续时间模型, 但采样的实际状况以及为计算控制的状态,进行了在离散instants的时间。在此框架内可以解决一个非常大的一类系统,非线性,时变的,非完整。 如同在许多其他采样数据模型预测控制计划,barbalat的引理一个重要的角色,在证明的名义稳定的结果。这是争辩这泛barbalat的引理,形容这里,可以有也类似的的作用,在证明的鲁棒稳定性的结果,也允许以解决一个很一般类非线性,时 变的,非完整系统,受到的干扰。那个的可能性的框架内,以容纳间断的意见是必要 的实现名义的稳定性和鲁棒稳定性,例如一般类别的系统。 1 引言 许多模型预测控制(MPC)计划描述,在文献上使用连续时间的模型和样本状态 的在离散的instants 时间。见例如[3,7,9,13] ,也是[6] 。有许多好处,在考虑 连续时间模型。不过,任何可执行的模型预测控制计划只能措施,状态和解决的优化问题在离散instants的时间。 在所有的提述,引用上述情况, barbalat的引理,或修改它,是用来作为一个 重要步骤,以证明稳定的MPC的计划。( barbalat的引理是众所周知的和有力的工具,以推断的渐近稳定性的非线性系统,尤其是时间变系统,利用Lyapunov样的办法; 见例如[17]为讨论和应用)。显示模型预测控制的一项战略是稳定(在名义如此),这表明,如果某些设计参数(目标函数,码头设置等),方便的选定,然后价值函数是单调递减。然后,运用barbalat的引理,吸引力该轨迹的名义模型可以建立(i.e. x(t) →0 as t →∞).这种稳定的状态可以推断,一个很笼统的类非线性系统:包括时变 系统的,非完整系统,系统允许间断意见,等此外,如果值函数具有一定的连续性属性,然后Lyapunov稳定性(即轨迹停留任意接近的起源提供了足够的密切开始向原产地)

自动控制试题九非线性

第九章 非线性控制系统 一、填空选择题（每题2分） 1．非线性系统的稳定性与下列（ D ）因素有关。 A ． 系统结构和参数 B ．初始条件 C ．输入信号大小 D ．A 、B 、C 、 2．非线性系统自持振荡是与-------有关。 A ．系统结构和参数 B ．初始条件 C ．输入信号大小 D ．A 、B 、C 、 3．非线性系统自持振荡中的振幅和频率是由-- 系统本身的特性-----决定的， 4．相平面法适用于---一、二----阶非线性系统，描述函数法适用于—任意-----阶非线性系统。 5．系统中有二个非线性元件串联，其描述函数分别为N 1、N 2，则合成的描述函数必是（ D ） A ．N 1/N 2 B ．N 1*N 2 C ．N 1+N 2 D ．需重新分析计算 6．系统的-1/N 和G （jw ）如图，在A 和B 处产生了自持振荡，分析其稳定性，A 点是---不稳定--的，B 点是---稳定---的 7．非线性系统的相轨迹在相平面的上半部，其走向是从—左--向—右--方向运动，而在相平面的下半部则从—右-向-左---运动。 8．相轨迹的对称性是指其曲线可能对称于----，-----，或-坐标原点----；正交性是指与-x----轴正交。 9．已知非线性系统的微分方程是：023. .. =++x x x ，则奇点位置是-------。 10．已知非线性系统的微分方程是：023. .. =++x x x ，则奇点性质是-------。 11．极限环把相平面分为内外二部分，相轨迹---不能-（填能或不能）从环内穿越极限环进入环外，---不能-----（填能或不能）从环外穿越极限环进入环内。 12．已知非线性系统的微分方程是：023. ..=++x x x ， 则奇点性质是（ A ）。 A 、稳定节点 B 、稳定焦点 C 、鞍点 D 、中心点 1． D 2． A 3． 系统本身的特性 4． 一、二，任意 5． D 6． 不稳定，稳定 7． 左，右，右，左 8． X ，. x ， 坐标原点，x 9． 坐标原点 10．稳定节点 11．不能 12．A

线性系统稳定性分析

线性系统稳定性分析 1.系统的稳定性： （1） 外部稳定：又称输出稳定，就是系统在干扰取消后，在一定时间内其输出会恢复到 原来的稳定输出。输出稳定有时描述为系统的BIBO 稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。 （2） 内部稳定：主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响情况。 当干扰信号取消后，若系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。 经典控制论中，研究对象都是高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO ）系统，反映的仅仅是输入与输出的关系，不涉及系统的内部状态，因此经典控制论只讨论系统的输出稳定问题。对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好发挥作用了，需要用到Lyapunov 稳定性理论。 2.平衡状态：设控制系统齐次状态方程为：0.0(,)()|t t X f X t X t X ===，其中，()X t 为系统的n 维状态向量，f 是有关状态向量X 以及时间t 的n 维矢量函数，f 不一定是线性定常的。如果对所有的t ，状态e X 总满足：(,)0e f X t =，则称e X 为系统的平衡状态。对于一般控制系统，可能没有，也可能有一个或多个平衡状态。系统的状态稳定性是针对系统的平衡状态的，当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。 3. Lyapunov 稳定性分析 （1）Lyapunov 稳定性定义 设一般控制系统的解为：00()(;,)X t t X t =Φ，它是与初始时间0t 及初始状态0X 有关的，体现系统状态从00(,)t X 出发的一条状态轨迹。设e X 为系统的一个平衡点，如果给定一个以e X 为球心，0(,)t δε为半径的n 维球域()S δ，使得从()S δ球域出发的任意一条系统状态轨迹00(;,)t X t Φ在0t t ≥的所有时间内都不会跑出()S ε球域，则称系统的平衡状态e X 是Lyapunov 稳定的。 一般来说，δ的大小不但与ε有关，而且与系统的初始时间0t 有关，当δ仅与ε有关时，称e X 是一致稳定的平衡状态。 进一步地，如果e X 不仅是Lyapunov 稳定的平衡状态，而且当时间t 无限增加时，从()S δ出发的任一条状态轨迹00(;,)t X t Φ都最终收敛于球心平衡点e X ，那么称e X 是渐进稳定的。 更近一步地，如果从()S ∞即整个系统状态空间的任意一点出发的任意一条状态轨迹00(;,)t X t Φ，当t →∞时都收敛于平衡点e X ，那么称e X 是大范围渐进稳定的。显然此时的e X 是系统唯一的平衡点。 反之，对于给定的()S ε，不论0δ>取得多么小，若从()S δ出发的状态轨迹 00(;,)t X t Φ至少有一条跑出()S ε球域，那么平衡点e X 是不稳定的。

最新实验五线性系统的稳定性和稳态误差分析

实验五线性系统的稳定性和稳态误差分析

实验五 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响； 3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。 （1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3) s G s s s s s +=+++，用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。 在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) dc=Gctf.den dens=poly2str(dc{1},'s') 运行结果如下：

dens= s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5 dens是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码：den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5] p=roots(den) 运行结果如下： p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i -0.0971 - 0.3961i p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。 下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) [z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v') pzmap(Gctf) grid 运行结果如下： z = -2.5000 p = -3.0058

非线性系统稳定性控制方法心得

非线性系统稳定性控制方法心得 一、非线性系统分析的概念 1、非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。 2、非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统，其特性不能用线性微分方程来描述。 二、非线性控制系统的特性 （1）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型量线性微分方程，它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型为非线性微分方程，不能使用叠加原理。由于两种系统特性上的这种差别，所以它的运动规律是很不相同的。目前，还没有像求解线性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对非线性系统，一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算机自持振荡的振幅和频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。 （2）在线性系统中，系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与初始条件无关。对于线性定常系统，稳定性仅取决于特征根在s平面的分布。但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关外，还和初始条件有关。在不同的初始条件下，运动的最终状态可能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的，而当初始值处于较大区域内时则变为不稳定。反之，也可能初始值大时系统稳定，而初始值小时，系统不稳定。甚至还会出现更为复杂的情况。

（3）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅震荡。 （4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。 三、非线性系统的研究方法 非线性系统采用非线性微分方程描述，至今尚没有统一的求解方法，其理论也还不完善。由于非线性系统的特点，线性系统的分析方法均不能采用。分析非线性系统工程上常采用的方法有： 1．线性化近似法 对于某些非线性特性不严重的系统，或系统仅仅只研究平衡点附近特性时，可以用小偏差线性化方法，将非线性系统近似线性化。2．分段线性近似法 将非线性系统近似为几个线性区域，每个区域有对应的线性化微分方程描述。 3．相平面法 相平面法是非线性系统的图解分析法，采用在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性系统在不同初始条件下系统的运动形式。该方法只适用最高为二阶的系统。 4．描述函数法 描述函数法是线性系统频率特性法的推广，采用谐波线性化将非线性特性近似表示为复变增益环节，应用频率法分析非线性系统的稳定性和自持振荡。该方法适用于非线性系统中线性部分具有良好的低通滤波特性的系统。 5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所以非线性系统，但对大多数非线性系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。6．计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件工具中的