相似三角形的性质与应用讲义(比较完整)

A

E

相似三角形的性质和应用

教学目标

1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相 似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.

2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.

3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.

重点、难点

1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.

2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.

考点及考试要求

1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.

2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

教学内容：

知识框架

1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.

2、2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.

3、3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.

题型分类

考点一：计算线段的长或线段之间的比

例1：已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AC =6，DB =5，求AD 的长．

针对练习： 如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，底边上的高AD=10cm ，腰AC 上的高BE=12cm ．

A B

C D

求证：3

5

=BD AB ；

例2：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2

＝2CD ·AC ． 思考：欲证 BC 2

＝2CD ·AC ，只需证BC

AC

CD BC =2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，该怎么办

知识概括、方法总结与易错点分析

B

C

1、 相似三角形对应边成比例；

2、从结论出发找到边所在的三角形，再利用已知条件证明三角形相似。

考点二：证明线段平行

典型例题．如图，AD 为ABC ?的角平分线，BE 垂直于AD 的延长线于E ，AD CF ⊥于F ，BF ，EC 的延长线交于点P ，

求证：AP CF //

针对练习：如图，梯形ABCD 中，CD AB //，M 为AB 的中点，分别连结AC ，BD ，MD ，MC ，且AC 与MD 交于E ，DB 与MC 交于F ，求证：CD EF //

知识概括、方法总结与易错点分析

相似三角形的判断、性质和平行线的判定

考点三：求相似三角形的周长

典型例题

例：两相似三角形的对应边的比为4：5，周长和为360cm ，这两个三角形的周长分别是多少

针对练习：

如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB ＝5，求：（1）AG

AF

；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；

知识概括、方法总结与易错点分析 相似三角形的周长比等于相似比

A

B

C

D

E F

考点四：计算多边形的面积

典型例题1．如图，已知：在ABC ?与CAD ?中，BC DA //，CD 交AB 于E ，且

2:1:=EB AE ，BC EF //交AC 于F ，1=?ADE S 。求BCE S ?和AEF S ?

针对练习．如图，已知，在梯形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若COD ?的面积为2

a ，AOB ?的面积为2

b ，其中0>a ，0>b . 求：梯形ABCD 的面积S

典型例题2．已知等腰直角三角形的面积为2

cm 36，它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比为5：2，求矩形的面积

针对练习1：如图所示直角ABC 中，两直角边长分别为3和4，它的内接正方形有两种情况：①一边在斜边上；②一边在直角边上。试比较这两种情况中正方形的大小。

针对练习2：AD 是ABC ?的高，E 是BC 的中点，BC EF ⊥交AC 于F ，若15=BD ，27=DC ，45=AC ，求AF

知识概括、方法总结与易错点分析

⑴在相似形中，面积比等于相似比的平方；

⑵同底（或等底）三角形面积之比等于对应高的比； ⑶同高（或等高）三角形面积之比等于对应底的比

考点五：相似三角形的实际应用

例1：某市经济开发区建有B C D ，，三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A 处的自来水

厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且900AB CD ==米，1700AD BC ==米，米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN BC ，两厂之间的公路与自来水管道交于E 处，1500AE =500EC =米．若修建自来水主管道到各工厂的自来水管道的费用由各厂负担，每米造价800元．

（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计并在图形中画出；

（2）求出各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元

例2：如图2，在水平的桌面上两个“E ”，当点12P P O ，，在一直线上时，在点O 处用①号“E ”测得的视力与用②号“E ”测得的视力相同． （1）图中1212b b l l ，，，满足怎样的关系式

（2）若1 3.2cm b =，22cm b =，①号“E ”的测试距离18m l =，要使测得的视力相同，则②号“E ”的测试距离2l 应为多少

课后作业

1.若△ABC ∽△DEF,△ABC 的面积为81cm 2

,△DEF 的面积为36cm 2

,且AB=12cm,则

DE= cm

2.等腰三角形ABC 和DEF 相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（ ） A 、3：4 B 、4：3 C 、1：2 D 、2：1

3.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为 （ -） A.、π米2

B 、π米2

C 、2π米2

D 、π米

2

4.如图，分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF .若△ABC 的边长为a . （1）△DEF 与△ABC 相似吗如果相似，相似比是多少 （2）分别求出这两个三角形的面积.

（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗

5.如图，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4c m 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x.（1）当x 为何值时，P Q ∥BC （2）当3

1=

??ABC

BCQ S S ，求ABC BPQ S S ??的值；

6.在△ABC 中，A E ∶EB=1 ∶2，EF ∥BC ，AD ∥BC 交CE 的延长线于D ，求S △AEF ∶S △BCE 的值.

A

B

C

Q

M D N

P

E

7.如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上，

（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少 （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少