二次函数专题复习题
1.如图,抛物线y=ax2+bx+12与x轴交于A,B两点(B在A的右侧),且经过点C(﹣1,7)和点D(5,7).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)连接AD,经过点B的直线l与线段AD交于点E,与抛物线交于另一点F.连接CA,CE,CD,△CED的面积与△CAD的面积之比为1:7,点P为直线l上方抛物线上的一个动点,设点P的横坐标为t.当t为何值时,△PFB的面积最大?并求出最大值;
(3)在抛物线y=ax2+bx+12上,当m≤x≤n时,y的取值范围是12≤y≤16,求m﹣n 的取值范围.(直接写出结果即可)
2.已知二次函数y=ax2+bx+6的图象开口向下,与x轴交于点A(﹣6,0)和点B(2,0),与y轴交于点C,点P是该函数图象上的一个动点(不与点C重合).
(1)求二次函数的关系式;
(2)如图1,当点P是该函数图象上一个动点且在线段AC的上方,若△PCA的面积为12,求点P的坐标;
(3)如图2,该函数图象的顶点为D,在该函数图象上是否存在点E,使得∠EAB=2∠DAC,若存在请直接写出点E的坐标;若不存在请说明理由.
3.如图1,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C(0,﹣3),点D为该二次函数图象顶点.
(1)求该二次函数解析式,及D点坐标;
(2)点P是抛物线的对称轴上一点,以点P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD 相切,求点P的坐标;
(3)如图2,若M为线段BC上一点,且满足S△AMC=S△AOC,点E为直线AM上一动点,在x轴上是否存在点F,使以点F、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点F的坐标,若不存在,请说明理由.
4.抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣3,0)和点B(2,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点P是该抛物线上的动点,且位于y轴的左侧.
①如图1,过点P作PD⊥x轴于点D,作PE⊥y轴于点E,当PD=2PE时,求PE的
长;
②如图2,该抛物线上是否存在点P,使得∠ACP=∠OCB?若存在,请求出所有点P的
坐标:若不存在,请说明理由.
5.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点,A点坐标为(﹣2,0),与y轴交于点C(0,4),直线y=﹣x+m与抛物线交于B,D两点.(1)求抛物线的函数表达式.
(2)求m的值和D点坐标.
(3)点P是直线BD上方抛物线上的动点,过点P作x轴的垂线,垂足为H,交直线BD 于点F,过点D作x轴的平行线,交PH于点N,当N是线段PF的三等分点时,求P点坐标.
(4)如图2,Q是x轴上一点,其坐标为(﹣,0).动点M从A出发,沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动,设M的运动时间为t(t>0),连接AD,过M作MG⊥AD 于点G,以MG所在直线为对称轴,线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′,点M在运动过程中,线段A′Q′的位置也随之变化,请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围.
6.如图,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B(﹣2,0),点C(8,0),直线y=经过点A,与x轴交于D点.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)点E为线段AC上方抛物线上一动点,若△ADE的面积为10,求点E的坐标;
(3)点P为抛物线上一动点,连接AP,将线段AP绕点A逆时针旋转到AP',并使∠P′AP=∠DAO,是否存在点P使点P′恰好落到坐标轴上?如果存在,请直接写出此时点P的横坐标;如果不存在,请说明理由.
7.在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+kx﹣2k的顶点为N.
(1)若此抛物线过点A(﹣3,1),求抛物线的解析式;
(2)在(1)的条件下,若抛物线与y轴交于点B,连接AB,C为抛物线上一点,且位于线段AB的上方,过C作CD垂直x轴于点D,CD交AB于点E,若CE=ED,求点C 坐标;
(3)已知点M(2﹣,0),且无论k取何值,抛物线都经过定点H,当∠MHN=60°时,求抛物线的解析式.
8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+1的对称轴为直线x=,其图象与x轴交于点A和点B(4,0),与y轴交于点C.
(1)直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数;
(2)动点M,N同时从A点出发,点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动,点N 以每秒个单位的速度在线段AC上运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t(t>0)秒,连接MN,再将线段MN绕点M顺时针旋转90°,设点N落在点D的位置,若点D恰好落在抛物线上,求t的值及此时点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,设P为抛物线上一动点,Q为y轴上一动点,当以点C,P,Q 为顶点的三角形与△MDB相似时,请直接写出点P及其对应的点Q的坐标.(每写出一组正确的结果得1分,至多得4分)
9.如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.已知直线y=kx+n过B,C两点.
(1)求抛物线和直线BC的表达式;
(2)点P是抛物线上的一个动点.
①如图1,若点P在第一象限内,连接P A,交直线BC于点D.设△PDC的面积为S1,
△ADC的面积为S2,求的最大值;
②如图2,抛物线的对称轴l与x轴交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F.点Q是对
称轴l上的一个动点,是否存在以点E,F,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P,Q的坐标;若不存在,请说明理由.
10.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.直线y=x﹣2经过B、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上的一动点,过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M.PN⊥BC,垂足为N.设M(m,0).
①点P在抛物线上运动,若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三
点重合除外).请直接写出符合条件的m的值;
②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时,是否存在一点P,使△PNC与△AOC相
似.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x经过坐标原点,与x轴正半轴交于点A,该抛物线的顶点为M,直线y=﹣x+b经过点A,与y轴交于点B,连接OM.(1)求b的值及点M的坐标;
(2)将直线AB向下平移,得到过点M的直线y=mx+n,且与x轴负半轴交于点C,取点D(2,0),连接DM,求证:∠ADM﹣∠ACM=45°;
(3)点E是线段AB上一动点,点F是线段OA上一动点,连接EF,线段EF的延长线与线段OM交于点G.当∠BEF=2∠BAO时,是否存在点E,使得3GF=4EF?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
12.如图,已知抛物线:y1=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C.
(1)直接写出点A,B,C的坐标;
(2)将抛物线y1经过向右与向下平移,使得到的抛物线y2与x轴交于B,B'两点(B'在B的右侧),顶点D的对应点为点D',若∠BD'B'=90°,求点B'的坐标及抛物线y2的解
析式;
(3)在(2)的条件下,若点Q在x轴上,则在抛物线y1或y2上是否存在点P,使以B′,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
13.如图,在平面直角坐标系中,函数y=﹣ax2+2ax+3a(a>0)的图象交x轴于点A、B,交y轴于点C,它的对称轴交x轴于点E.过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,连接DE 并延长交y轴于点F,交抛物线于点G.直线AF交CD于点H,交抛物线于点K,连接HE、GK.
(1)点E的坐标为:;
(2)当△HEF是直角三角形时,求a的值;
(3)HE与GK有怎样的位置关系?请说明理由.
14.如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点C(6,0),顶点为B,对称轴x=2与x轴相交于点A,D为线段BC的中点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P为线段BC上任意一点,M为x轴上一动点,连接MP,以点M为中心,将△MPC 逆时针旋转90°,记点P的对应点为E,点C的对应点为F.当直线EF与抛物线y=﹣x2+bx+c只有一个交点时,求点M的坐标.
(3)△MPC在(2)的旋转变换下,若PC=(如图2).
①求证:EA=ED.
②当点E在(1)所求的抛物线上时,求线段CM的长.
15.已知抛物线y=ax2﹣2ax+c过点A(﹣1,0)和C(0,3),与x轴交于另一点B,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;
(2)如图1,E为线段BC上方的抛物线上一点,EF⊥BC,垂足为F,EM⊥x轴,垂足为M,交BC于点G.当BG=CF时,求△EFG的面积;
(3)如图2,AC与BD的延长线交于点H,在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使∠OPB=∠AHB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
16.如图①,二次函数y=﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A(﹣1,2)、B(3,n)两点.点P是x轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线交直线1于点M,交该二次函数的图象于点N,设点P的横坐标为m.
(1)b=,n=;
(2)若点N在点M的上方,且MN=3,求m的值;
(3)将直线AB向上平移4个单位长度,分别与x轴、y轴交于点C、D(如图②).
①记△NBC的面积为S1,△NAC的面积为S2,是否存在m,使得点N在直线AC的上
方,且满足S1﹣S2=6?若存在,求出m及相应的S1,S2的值;若不存在,请说明理由.
②当m>﹣1时,将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF,连接FB、FC、
OA.若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC=45°,直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标.
参考答案
1.如图,抛物线y=ax2+bx+12与x轴交于A,B两点(B在A的右侧),且经过点C(﹣1,7)和点D(5,7).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)连接AD,经过点B的直线l与线段AD交于点E,与抛物线交于另一点F.连接CA,CE,CD,△CED的面积与△CAD的面积之比为1:7,点P为直线l上方抛物线上的一个动点,设点P的横坐标为t.当t为何值时,△PFB的面积最大?并求出最大值;
(3)在抛物线y=ax2+bx+12上,当m≤x≤n时,y的取值范围是12≤y≤16,求m﹣n 的取值范围.(直接写出结果即可)
【解答】解:(1)把C(﹣1,7),D(5,7)代入y=ax2+bx+12,
可得,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+12.
(2)如图1中,过点E作EM⊥AB于M,过点D作DN⊥AB于N.
对于抛物线y=﹣x2+4x+12,令y=0,得到,x2﹣4x﹣12=0,解得x=﹣2或6,∴A(﹣2,0),B(6,0),
∵D(5,7),
∴OA=2,DN=7,ON=5,AN=7
∵△CED的面积与△CAD的面积之比为1:7,
∴DE:AD=1:7,
∴AE:AD=6:7,
∵EM∥DN,
∵===,
∴==,
∴AM=EM=6,
∴E(4,6),
∴直线BE的解析式为y=﹣3x+18,
由,解得或,
∴F(1,15),
过点P作PQ∥y轴交BF于Q,设P(t,﹣t2+4t+12)则Q(t,﹣3t+18),
∴PQ=﹣t2+4t+12﹣(﹣3t+18)=﹣t2+7t﹣6,
∵S△PBF=?(﹣t2+7t﹣6)?5=﹣(t﹣)2+,
∵﹣<0,
∴t=时,△BFP的面积最大,最大值为.
(3)对于抛物线y=﹣x2+4x+12,当y=16时,﹣x2+4x+12=16,
解得x1=x2=2,
当y=12时,﹣x2+4x+12=12,解得x=0或4,
观察图2可知:当0≤x≤2或2≤x≤4时,12≤y≤16,
∴m=0,n=2或m=2,n=4或m=0,n=4,
∴﹣4≤m﹣n≤﹣2
2.已知二次函数y=ax2+bx+6的图象开口向下,与x轴交于点A(﹣6,0)和点B(2,0),与y轴交于点C,点P是该函数图象上的一个动点(不与点C重合).
(1)求二次函数的关系式;
(2)如图1,当点P是该函数图象上一个动点且在线段AC的上方,若△PCA的面积为12,求点P的坐标;
(3)如图2,该函数图象的顶点为D,在该函数图象上是否存在点E,使得∠EAB=2∠DAC,若存在请直接写出点E的坐标;若不存在请说明理由.
【解答】解:(1)因为点A(﹣6,0)和点B(2,0),
设函数的表达式为:y=a(x+6)(x﹣2)=a(x2+4x﹣12),
则﹣12a=6,解得:a=﹣,
函数的表达式为:y=﹣x2﹣2x+6…①,
顶点D坐标为(﹣2,8);
(2)解法一:如图1所示,过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′,过点P作PH∥y轴交AC于点H,作PG⊥AC于点G,
∵OA=OC,
∴∠PHG=∠CAB=45°,则HP=PG,
S△PCA=PG×AC=×PG×6=12,解得:PH=4,
直线AC的表达式为:y=x+6,
则直线m的表达式为:y=x+10…②,
联立①②并解得:x=﹣2或﹣4,
则点P坐标为(﹣2,8)或(﹣4,6);
解法二:如图1,过点P作PH∥y轴交AC于点H,
设P(x,﹣x2﹣2x+6).
∵△PCA的面积为12,
∴OA?PH=12,即×6?PH=12.
∴PH=4,
∴PH?|x A﹣x P|+PH?|x P|=12,即×4?|﹣6﹣x P|+×4?|x P|=12,
∴x P=﹣2或﹣4,
则点P坐标为(﹣2,8)或(﹣4,6);
(3)点A、B、C、D的坐标为(﹣6,0)、(2,0)、(0,6)、(﹣2,8),则AC=,CD=,AD=,
则∠ACD=90°,sin∠DAC==,
延长DC至D′使CD=CD′,连接AD′,过点D作DH⊥AD′,
则DD′=2,AD=AD′=,
S△ADD′=DD′×AC=DH×AD′,
即:2×=DH×,解得:DH=,
sin2∠DAC=sin∠DAD′====sin∠EAB,
则tan∠EAB=,
①当点E在AB上方时,
则直线AE的表达式为:y=x+b,
将点A坐标代入上式并解得:
直线AE的表达式为:y=x+…④,
联立①④并解得:x=(不合题意值已舍去),
即点E(,);
②当点E在AB下方时,
同理可得:点E(,﹣).
综上,点E(,)或(,﹣).
3.如图1,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C(0,﹣3),点D为该二次函数图象顶点.
(1)求该二次函数解析式,及D点坐标;
(2)点P是抛物线的对称轴上一点,以点P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD 相切,求点P的坐标;
(3)如图2,若M为线段BC上一点,且满足S△AMC=S△AOC,点E为直线AM上一动
点,在x轴上是否存在点F,使以点F、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点F的坐标,若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)设该二次函数解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
把点C(0,﹣3)代入得:﹣3=a×1×(﹣3),
解得:a=1,二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3,
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴二次函数图象顶点D坐标为(1,﹣4);
(2)由(1)得:抛物线对称轴为直线x=1,
∵点P是抛物线的对称轴上一点,
∴设点P的坐标为(1,m),
设直线CD的解析式为y=kx+b,
把点C(0,﹣3),点D(1,﹣4)代入得:,
解得:,
∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣3,
当y=0时,x=﹣3,
∴直线CD与x轴的交点为G(﹣3,0),
∴OG=3,
∴GN=ON+OG=1+3=4,
∵抛物线顶点D坐标为(1,﹣4),
∴DN=4=GN,
∴△DNG是等腰直角三角形,
∴∠NDG=45°,
设直线CD与圆P相切于点Q,连接PQ、P A,如图3所示:
∵以点P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD相切,∴PQ⊥CD,PQ=P A,
∴△PQD是等腰直角三角形,
∴PD=PQ=P A,
∵PD=|m+4|,P A==,
∴|m+4|=,
整理得:m2﹣8m﹣8=0,
解得:m=4±2,
∴点P的坐标为(1,4+2)或(1,4﹣2);
(3)存在,理由如下:
∵S△AMC=S△AOC,A(﹣1,0)、B(3,0),
∴S△ABC﹣S△ABM=S△AOC,AB=OA+OB=4,
∴×4×3﹣×4×|y M|=×1×3,
∴|y M|=,
∵y M<0,
∴y M=﹣,
设直线BC的解析式为y=k'x+b',则,
解得:,
∴直线BC的解析式为y=x﹣3,
当y=﹣时,﹣=x﹣3,
∴x=,
∴M(,﹣),
同理得:AM的解析式为y=﹣x﹣,
分三种情况:
①如图4所示:四边形BCEF是平行四边形,
则CE∥BF,CE=BF,
由题意得:
∵点E为直线AM上一动点,点F在x轴上,∴点E的纵坐标为﹣3,
∴﹣3═﹣x﹣,
∴x=,
∴点E(,﹣3),
∴BF=CE=,
∴OF=OB+BF=3+=,
∴点F的坐标为(,0);
②如图5所示:四边形BF'CE是平行四边形,
同①得:点F'的坐标为(,0);
③四边形BCF''E是平行四边形,如图6所示:
点F(,0)关于点A的对称点为F''(﹣,0);
综上所述,在x轴上存在点F,使以点F、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形,点F 的坐标为(,0)或(,0)或(﹣,0)
4.抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣3,0)和点B(2,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点P是该抛物线上的动点,且位于y轴的左侧.
①如图1,过点P作PD⊥x轴于点D,作PE⊥y轴于点E,当PD=2PE时,求PE的
长;
②如图2,该抛物线上是否存在点P,使得∠ACP=∠OCB?若存在,请求出所有点P的
坐标:若不存在,请说明理由.
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222中,二次函数的个数为(x),y=(x﹣1)6.,下列函数y=3x﹣x,,y=x(﹣2)5个4个D..A.2个B.3个 C )7.下列结论正确的是( 二次函数中两个变量的值是非零实数A. xB.二次函数中变量的值是所有实数 2. C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D .c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中,b, )8.下列说法中一定正确的是( 2.A c为常数)一定是二次函数,函数y=ax(其中+bx+ca,b B.圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时,速度是关于时间的二次函数. C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数.D 2)是二次函数的条件是(m﹣n)x+mx+n.函数9y=(n ≠n是常数,且m≠0 B.m、A.m、n是常数,且m 可以为任何常数m、nn≠0 D.C.m、n是常数,且 ).下列两个量之间的关系不属于二次函数的是(10 .速度一定时,汽车行使的路程与时间的关系 A .质量一定时,物体具有的动能和速度的关系 B .质量一定时,运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C .从高空自由降落的物体,下降的高度与下降的时间的关系D )11.下列函数中,y是x二次函数的是(22 DC..A.y=x﹣1 B.1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数:12.下面给出了6 222 y=y=;﹣②y=xy=x﹣3x;③;y=④(x⑥+x+1);⑤①y=3x.﹣1;)其中是二次函数的有(个D.4 C2A.1个B.个.3个 2)之间的关系是(t(g为常量),h13.自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D.一次函数C.二次函数A.正比例函数 B. 的值一定是_________+kx+1是二次函数,那么k.﹣14.如果函数y=(k3 )
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案) 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点 ),(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若 c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0 x 时,求使y ≥2的x 的取值围. 1.如图,抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上,点B 坐标为(﹣4,﹣5),点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点,过点P 作PC ⊥x 轴于点C ,交AB 于点D .(1)求抛物线的解析式;(2)以O ,A ,P ,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.(3)当点P 运动到直线AB 下方某一处时,过点P 作PM ⊥AB ,垂足为M ,连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形,请直接写出此时点P 的坐标. 2. 在直角坐标系xoy 中,(0,2)A 、(1,0)B -,将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(2)连结AC ,点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点,若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分,求此时点P 的坐标;(3)现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移,求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =-1,且经过A (1,0),C (0,3)两点,与x 图15.1 C D O B A x y 轴的另一个交点为B .⑴若直线y =mx +n 经过B ,C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴x =-1上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求点M 的坐标;⑶设点P 为抛物线的对称轴x =-1上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标. 4. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,直线l 经 第25题图 初中二次函数计算题专项训练及答案 :___________班级:________考号:_______ 1、如下图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点 的坐标为(3,4),B点在轴上. (1)求的值及这个二次函数的关系式; (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点,设线段PE的长为,点P的横坐标为,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值围; (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由. 2、如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(-1,0),以AB的中点P为圆 心,AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。 (1)求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。 (2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数表达式。 (3)试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论。 3、已知;函数是关于的二次函数,求: (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时,抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标,这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时,y随的增大而减小. 4、如图所示,在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为轴,过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系. (1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标; (2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L. 二次函数的定义专项练习 30 题(有答案) 1.下列函数中,是二次函数的有( ) ① y=1﹣ x 2② y= ③ y=x (1﹣x )④ y= ( 1﹣ 2x )( 1+2x ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5.若 y=(m 2+m ) 是二次函数,则 m 的值是( ) A m=1 ±2 B m=2 C m= ﹣ 1 或 D m=3 . . . m=3 . 6.下列函数 ,y=3x 2, ,y=x (x ﹣2),y=(x ﹣ 1)2﹣ x 2 中,二次函数的个数 为 ( 7.下列结论正确的是( ) 二次函数中两个变量的值是非零实数 二次函数中变量 x 的值是所有实数 2 形如 y=ax +bx+c 的函数叫二次函数 2 二次函数 y=ax +bx+c 中 a ,b ,c 的值均不能为零 8.下列说法中一定正确的是( ) A . y=ax 2 是二次函数 B . 二次函数自变量的取值范围是所有实数 C . 二次方程是二次函数的特例 D . 二次函数自变量的取值范围是非零实数 3.下列具有二次函数关系的是( ) A . 正方形的周长 y 与边长 x B . 速度一定时,路程 s 与时间 t C . 三角形的高一定时,面积 y 与底边长 x D . 正方形的面积 y 与边长 x 4.若 y= ( 2﹣ m ) 是二次函数,则 m 等于( ) 2.下列结论正确的是 ( ) D 不能确定 A C ﹣ 2 ±2 B 2 A . B . C . D . 2 A . 函数 y=ax 2+bx+c (其中 a ,b , c 为常数)一定是二次函数 B . 圆的面积是关于圆的半径的二次函数 C . 路程一定时,速度是关于时间的二次函数 D . 圆的周长是关于圆的半径的二次函数 2 9.函数 y=( m ﹣ n )x 2+mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m 、n 是常数,且 m ≠0 B . m 、 n 是常数,且 m ≠n C . m 、n 是常数,且 n ≠0 D . m 、 n 可以为任何常数 10.下列两个量之间的关系不属于二次函数的是( ) A . 速度一定时,汽车行使的路程与时间的关系 B . 质量一定时,物体具有的动能和速度的关系 C . 质量一定时,运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 D . 从高空自由降落的物体,下降的高度与下降的时间的关系 11.下列函数中, y 是 x 二次函数的是( ) A y=x ﹣1 B y=x 2+ ﹣ 10 C 2 y=x +2x D 2 y =x ﹣ 1 . . . . 12.下面给出了 6 个函数: 其中是二次函数的有( ) A 1 个 B 2个 C 3 个 2 13.自由落体公式 h= gt 2(g 为常量),h 与 t 之间的关系是( ) A 正比例函数 B 一次函数 C 二次函数 D 以上答案都不对 14.如果函数 y= ( k ﹣ 3) +kx+1 是二次函数,那么 k 的值一定是 ___________ . 15.二次函数 y= ( x ﹣2) 2﹣ 3 中,二次项系数为 __________ ,一次项系数为 ___________ 为 _________ . 16.已知函数 y=(k+2) 是关于 x 的二次函数,则 k= __________ . 17.已知二次函数 的图象是开口向下的抛物线, m= ___________ . 22 18.当 m __________ 时,关于 x 的函数 y= (m 2﹣1)x 2+(m ﹣1) x+3 是二次函数. 2 2 2 19. y=(m 2﹣ 2m ﹣3)x 2+(m ﹣1)x+m 2是关于 x 的二次函数要满足的条件是 ___________ . ① y=3x 2﹣1;② y=﹣ x 2 ﹣3x ; ③ y= ; 2 ④ y=x (x +x+1 );⑤ y= ⑥ y= ,常数项 1.如图,抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=x﹣3 交于 A、B 两点,其中点 A 在 y 轴上,点 B 坐标为(﹣4,﹣5),点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点,过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C,交 AB 于点 D.(1)求抛物线的解析式;(2)以 O, A,P,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点 P 的坐标;若不存在,说明理由.(3)当点 P 运动到 直线 AB 下方某一处时,过点 P 作 PM⊥AB,垂足为 M,连接 PA 使△PAM 为等腰直角三角形,请直接写出此 时点 P 的坐标. 若直线 PC 将 ABC 的面积分成1: 3 两部分,求此时点 P 的坐标;(3)现将 ABO 、BCD 分别向下、向左 以1: 2 的速度同时平移,求出在此运动过程中 ABO 与 BCD 重叠部分面积的最大值. 学习必备 欢迎下载 1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 2.二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同,这个函数解析式为________。 3.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ 4.已知点11()x y ,,22()x y ,均在抛物线2 1y x =-上,下列说法中正确的是( ) A .若12y y =,则12x x = B .若12x x =-,则12y y =- C .若120x x <<,则12y y > D .若120x x <<,则12y y > 5. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为 322--=x x y ,则b 、c 的值为 A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2 ★6.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M = 7.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值,则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时,Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上,则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ,当X 取1x 和2x 时函数值相等,当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ,当X 取X1和X2(21x x ≠) 时函数值相等,则当X 取X1+X2时,函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过(2.9)点,则当X =4 时函数值Y = ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则, h 0 ,k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是1.且过(3.0)点求解析式? 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式,则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为6.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于( ) (A )8 (B )14 (C )8或14 (D )-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时,y 随着x 的增大而增大,当x<1时,y 随着x 的增大而减小,则k 的值应取( ) (A )12 (B )11 (C )10 (D )9 20.若0 B.1a < C.1a ≥ D.1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上,求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点(2,0)(-1,0)与y 轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ,OA=2,OB=1 ,OC=1,求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ,B ,(A 在B 左侧)顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ,使△ABM 的面积是△ABC 的面积的2倍。求M 点坐标(得分点的把握) (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得 △QAC 的周长最小?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ,使四边形PBAC 是等腰 梯形,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由2017中考二次函数专题(含答案)
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2. 在直角坐标系 xoy 中, A(0, 2) 、 B(1, 0) ,将 ABO 经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的 BCD . (1)求经过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(2)连结 AC ,点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动点,
y A
C
BO D
x
图15.1
3. 如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=-1,且经过 A(1,0),C(0,3)两点,与 x 轴 的另一个交点为 B.⑴若直线 y=mx+n 经过 B,C 两点,求直线 BC 和抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴 x=-1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小,求点 M 的坐标;⑶设点 P 为抛物线的二次函数培优专项练习
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