解直角三角形1

第24章解直角三角形检测题

（时间：90分钟满分：120 分）

班级：姓名：得分：一、选择题(每小题3分，共30分)

1. 在△ABC中，∠C=90°，cosA=3

5

，则tanB的值为（）

A.4

3

B.

3

4

C.

3

5

D.

4

5

2. 在△ABC

中，若

2

1

sin tan0

2

A B

?

-+-=

??

??

，则∠C的度数为( )

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

3. 如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）

A.10

B.11

C.12

D.13

第3题图第4题图第5题图

4. 如图，已知OA=6，∠AOB=30°，则经过点A的反比例函数的关系式为（）

A.y=

B.y=

C.y=

9

x

- D.y=

9

x

5. 某资料中曾记载了一种计算地球与月球之间的距离的方法：如图，假设地球的半径约为3950英里，赤道上一点D在AB上，∠ACB为直角，可以测量∠A的度数，则AB的长为( )

A．

3950

cos A

英里B．

cos

3950

A

英里C．

3950

sin A

英里D．

sin

3950

A

英里

6. 如图，一艘船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的北偏东60°，距离为72海里的A 处；上午10时到达C处，看到灯塔在它的正北方向．则这艘船航行的速度为(

1.73，精确到1海里/时)

A.30海里/时

B.31海里/时

C.32海里/时

D.33海里/时

（第4题）

第6题图第7题图第8题图

7. 如图，△ABC中，cosB=

2

2

，sinC=

5

3

，AC=5，则△ABC的面积是（）

A．

2

21

B．12 C．14 D．21

8. 如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）

．则下列

A.tanA ·cotA=1

B.sinA=tanA ·cosA

C.cosA=cotA ·sinA

D.tan 2A+cot 2A=1

第9题图 第10题图

10. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）

米 B.12米 C.(4-2米 D.10米

二、填空题(每小题4分，共32分) 11. 计算：sin60tan30???2

sin 45+?=_______.

12. 在正方形网格中，△ABC 的位置如图9所示，则cos ∠B 的值为______.

图9

13. 如图，已知一商场自动扶梯的长l 为10米，该自动扶梯到达的高度h 为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ的值等于________.

第13题图 第14题图 第15题图

14. 如图11，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为3米，引桥的坡角∠ABC 为15°，则引桥的水平距离BC 的长是 米.

15. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α的值为______.

16. 如图，在一块三角形空地上种草皮绿化环境．已知AB=20米，AC=30米，∠A=150°，草皮的售价为a 元/米2，则购买草皮至少需要______元.

第16题图 第18题图

17. 已知坐标平面上的机器人接受指令“[a ，A]”（a ≥0，0°＜A ＜180°）后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对方向沿直线行走a ．若机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为_________.

18. 要求tan30°的值，可构造如图14所示的直角三角形进行计算，作Rt △ABC ，使∠C =90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC=3，∠ABC=30°，所以tan30°=BC AC =3

1=33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，就可求出tan15°的值，请简要写出你添加的辅助线，并写出的tan15°的值.

答： .

三、解答题(共58分)

19.(10分)已知α是锐角，且sin(α+15°

.1014cos ( 3.14)tan 3απα-??--++ ???

的值. 20.(10分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝ 3 ．点D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠AD C ＝

60°求△ABC 的周长（结果保留根号）

第20题图

21.(12分)在一次数学活动课上，数学老师带领同学们去测量一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点 C ，测得C 在A 北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：3tan 315 ≈，1sin 312

≈）

第21题图

22.(12分)某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB 长22m ，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．

(1)求改造前坡顶与地面的距离BE 的长(精确到0.1m)；

(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A 不动，坡顶B 沿BC 削进到F 点处，则BF 至少是多少m ？(精确到0.1m)(参考数据：sin68°=0.9272，cos68°=0.3746，tan68°=2.4751，sin50°=0.766O ，cos50°=0.6428，tan50°=1.1918)

第22题图

23.(14分)某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图所示，1号救生员在岸边的A 点看到海中的B 点有人求救，便立即向前跑300米到离Ｂ点最近的Ｄ点，再跳入海中游到Ｂ点救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒，∠BAD=45°．

(1)请问1号救生员的做法是否合理？

(2)若2号救生员从A 跑到Ｃ，再跳入海中游到Ｂ点救助，且∠BCD=65°，请问谁先到达点Ｂ？(所有数据精确到0.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈22.4).

第23题图

参考答案

一、1.B 2.D 3.B 4.B 5.A 6.B 7.A 8.D 9.D 10.A 二、11.1 2 13.34 14.11.2 15.34 16.150a 3-1) 18.延长CB 到D ，使BD=AB ，连结AD ，则∠D=15°，得tan15°=DC

AC =2-3.

三、19. 解：由sin(α+15°，得α+15°=60°，所以∠α=45°.

所以原式=4cos451tan 453?-+?+=41133++=

20. 解：因为∠C ＝90°，∠AD C ＝60°，所以CD=ACtan30°=1. 所以AD=

=+22CD AC 2)3(122=+. 所以BD ＝2AD =4.

所以AB==+22BC AC 72. 所以△ABC 的周长= AB+AC+BC=5+72+ 3 .

21. 解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，设CD=x 米．

在Rt △BCD 中，∠CBD=45°，所以BD=CD=x 米．

在Rt △ACD 中，∠DAC=31°，AD=AB+BD=(20+x)米，CD=x 米． 因为tan CD DAC AD =∠，所以3520x x

=+．所以x=30． 答：这条河的宽度为30米．

22. 解：(1)如图，过点B 作BE ⊥AD ，E 为垂足，

则BE=AB ·sin68°=22sin68°=20.40≈20.4（m ）．

(2)过点F 作FG ⊥AD ，G 为垂足，连接FA ，则FG=BE ．

因为AG=tan 50FG ?

=17.12，AE=AB ·cos68°=22cos68°=8.24，所以BF=GE=AG-AE=8.88≈8.9（m ）. 即BF 至少是8.9m ．

23. 解：(1)因为救助应在最短时间内完成，所以从直观性来看，如果救生员直接从点Ａ入水，由于水中速度比岸上跑步慢，此做法显然是不合理的；而跑到点Ｄ入水，虽然充分利用岸上速度快的优点，但要多跑路程，花费时间多，因此1号救生员的做法不合理；

(2)从收到求救信号后，1号救生员和2号救生员到达求救者身边需要的时间分别设为1t 秒和2t 秒. 在Rt △BCD 中，∠D=90°，BD=AD=300米，

则CD=

tan 65BD ?≈150米，BC=sin 65BD ?

≈333.3米. 所以AC=150米，1t =300÷6＋300÷2=200（秒），2t =150÷6＋333.3÷2≈191.7（秒）. 因为200＞191.7，所以2号救生员先到达点B ．