数学三角函数公式大全(新)

三角函数

1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

8

tan sin 9

x x k x x k x

x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(2sin(=+=+=+πππ

公式组三

x x x x x

x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-

sin x cos x tan x

公式组四 x x x x x

x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ

公式组五

x

x x x x

x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ

公式组六

cot(tan(cos(sin(----ππππ

αcos(+αcos(-αsin(+αsin(-αtan(+αtan(-2tan 12tan 2sin 2αα+= 2tan 12tan 1cos 22

ααα+-= ()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=cos cos 21sin sin cos cos 21

cos cos sin sin 21

sin cos 22

cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+ααπsin )21cos(-=+ααπsin )2cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-

2tan 12tan

2tan 2

α

αα-=

4

2675cos 15sin -=

=

, ,3275cot 15tan -== ,. 3215cot 75tan +== 4

2615cos 75sin +=

=

2

sin

2

cos

2sin sin βαβαβα-+=-2

cos 2cos

2cos cos β

αβ

αβα-+=+2sin

2sin 2cos cos β

αβαβα-+-=-α

απcos )2

1

sin(=+α

απcot )21

tan(-=+

反.②y sin =③=y y =④=y )的

0）. y cos =⑤当⑥y =(x y ω=y =具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)3

1

tan(π+=x y 是非奇非偶.（定

义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ?0的定义域，则无此性质）

⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）

x y cos =是周期函数（如图）

；x y cos =为周期函数（π=T ）； 2

12cos +

=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

R k k x f x f y ∈+===),(5)(.

⑩a

b

b a b a y =

+++=+=??αβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22.

?

（即当由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ）

由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω

倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx

替换x)

由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)

由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）

由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。

高中数学三角函数常见习题类型及解法

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：

sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=

2

β

α+－2

βα-等。

（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所

在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?=a

b

确定。

2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

四、例题分析

θ2的值

y t=

当t=

所以，函数的值域为

3

[3

4

y∈，。

例3．已知函数2

()4sin2sin22

f x x x x R

=+-∈

，。

（1）求()

f x的最小正周期、()

f x的最大值及此时x的集合；

（2）证明：函数()

f x的图像关于直线

8

π

x=-对称。

解：22

()4sin2sin222sin2(12sin)

f x x x x x

=+-=--

2sin 22cos 2)4π

x x x =-=-

(1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，

所以，当2242ππx k π-

=+，即38

π

x k π=+时，()f x 最大值为 (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8

π

x =-对称，只要证明对任意x R ∈，

有()()88ππ

f x f x --=-+成立，

因为f f 所以f

到？

）

+1

45

Z ）。

（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x+6

π

)的图像；

（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的2

1

倍（纵坐标不变），得到

函数y=sin(2x+6

π

)的图像；

（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的2

1

倍（横坐标不变），得到

函数y=21sin(2x+6π

)的图像；

（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6

π)+45的图像。

综上得到y=

2

1

cos 2x+23sinxcosx+1的图像。

说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx 的齐次式，降

幂后最终化成y=22b a +sin (ωx+?)+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx ≠0时，

x x x 2cos sin 3cos 1+x

tan 31+x ，，，2

31)332sin(31)332sin(3sin |295||23|+≤+<∴≤+<∴->-πππππππx x 即)(x f 的值域为]2

31,3(+. 综上所述，]3

,0(π

∈x ， )(x f 值域为]231,3(+ . 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

例6．在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos 3cos C a c

B b

-=

， (1)求sin B 的值；

(2)若42b =，且a=c ，求ABC 的面积。 解：(1)由正弦定理及

cos 3cos C a c B b -=，有cos 3sin sin cos sin C A C

B B

-=

， 即sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-，所以sin()3sin cos B C A B +=，

又因为A B C π++=，sin()sin B C A +=，所以sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，

所以1

cos 3

B =，又0B π<<，所以222sin 1cos 3B B =-=。

(2)在ABC 中，由余弦定理可得222

323

a c ac +-=，又a c =，

所以有224

32243a a ==，即，所以ABC 的面积为

211

sin sin 8222

S ac B a B ===。

三角函数

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在 （ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 2．集合M ＝{x |x ＝kπ2 ±π4 ，k ∈Z }与N ＝{x |x ＝kπ

4

，k ∈Z }之间的关系是 （ ）

A.M N

B.N M

C.M ＝N

D.M ∩N ＝?

3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 （ ）

A.60°

B.－60°

C.30°

D.－30° 4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的

角是 ( )

A.（1）（2）

B.（2）（3）

C.（1）（3）

D.（2）（4） 5．设a ＜0，角α的终边经过点P （－3a ，4a ），那么sin α＋2cos α的值等于 （ ）

A. 2

5

B.－25

C. 15

D.－1

5

6．若cos(π＋α)＝－12 ，3

2

π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于 （ ）

A.－

32

B.

32 C. 12

D.±

3

2

7．若α是第四象限角，则π－α是 （ ）

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角 8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）

A.2

B.

2

sin1

C.2sin1

D.sin2

9．如果sin x ＋cos x ＝1

5

，且0＜x ＜π，那么cot x 的值是 （ ）

A.－43

B.－43 或－34

C.－34

D. 43 或－3

4

10．若实数x 满足log 2x ＝2＋sin θ，则|x ＋1|＋|x －10|的值等于 （ ）

A.2x －9

B.9－2x

C.11

D.9 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 11．tan300°＋cot765°的值是_____________. 12．若sin α＋cos αsin α－cos α ＝2，则sin αcos α的值是_____________.

13．不等式（lg20)2cos x ＞1，(x ∈(0，π))的解集为_____________. 14．若θ满足cos θ＞－1

2 ，则角θ的取值集合是_____________.

15．若cos130°＝a ，则tan50°＝_____________. － 16．已知f (x )＝

1－x 1＋x

，若α∈(π

2 ，π)，则f (cos α)＋f (－cos α)可化简为___________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）设一扇形的周长为C (C ＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？

18．(本小题满分14分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P （x ， 5 )，且cos α＝

2

4x ，求sin α与tan α的值.

19．(本小题满分14分)已知π

2 ≤θ≤π，sin θ＝m －3m ＋5 ，cos θ＝4－2m m ＋5 ，求m 的值.

20．(本小题满分15分)已知0°＜α＜45°，且lg(tan α)－lg(sin α)＝lg(cos α)－lg(cot α)＋2lg3 －3

2 lg2，求cos 3α－sin 3α的值.

21．(β)，

且

1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）

A.y ＝sin2x

B.y ＝cos x

2

C.y ＝sin2x ＋cos2x

D.y ＝1－tan 2x 1＋tan 2x

2．设函数y ＝cos(sin x )，则 （ ）

A.它的定义域是［－1，1］

B.它是偶函数

C.它的值域是［－cos1，cos1］

D.它不是周期函数

3．把函数y ＝cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两

倍，然后把图象向左平移π

4 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为

（ ）

A.y ＝2sin2x

B.y ＝－2sin2x

C.y ＝2cos(2x ＋π

4

)

D.y ＝2cos(x 2 ＋π

4

)

4．函数y ＝2sin(3x －π

4

)图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （ ）

A. π3

B.

2π

3

C.π

D.

4π

3

5．若sin α＋cos α＝m ，且－ 2 ≤m ＜－1，则α角所在象限是 （ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 6．函数y ＝|cot x |·sin x （0＜x ≤3π2

且x ≠π）的图象是 （ ）

7．设y ＝cos 2x

1＋sin x

，则下列结论中正确的是 （ ）

A.y 有最大值也有最小值

B.y 有最大值但无最小值

C.y 有最小值但无最大值

D.y 既无最大值又无最小值 8．函数y ＝sin （π

4

－2x )的单调增区间是 （ ）

A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z )

B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π

8 ］(k ∈Z )

C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z )

D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π

8 ］(k ∈Z )

9．已知0≤x ≤π，且－1

2

＜a ＜0，那么函数f (x )＝cos 2x －2a sin x －1的最小值是 （ ）

A.2a ＋1

B.2a －1

C.－2a －1

D.2a

10．求使函数y ＝sin(2x ＋θ)＋ 3 cos(2x ＋θ)为奇函数，且在［0，π

4 ］上是增函数的θ的一

个

值

为

（ ） A. 5π

3

B.

4π3 C. 2π

3

D. π

3

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．函数y ＝cos x

1＋2cos x

的值域是_____________.

12．函数y ＝cos x

lg （1＋tan x ）

的定义域是_____________.

13．如果x ，y ∈［0，π］，且满足|sin x |＝2cos y －2，则x ＝___________，y ＝___________. 14．已知函数y ＝2cos x ，x ∈［0，2π］和y ＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_____________

15．函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin2x 的值域是_____________. 16．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π

3

)(x ∈R )有下列命题：

①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改为y ＝4cos(2x －π

6 )；

③y ＝f (x )的图象关于点（－π

6 ，0)对称；

④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π

6

对称.

其中正确的命题的序号是_____________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式. 18．（本小题满分14分）已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x .(x ∈R )

(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合.

(2)该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

19．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝2

1log (sin x －cos x )

（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；

（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期. 20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m ，渠深3米，则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？

21． (本小题满分15分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4 ，0)对称，且在区间［0，π

2 ］上是单调函数，求φ和ω的值.