微积分初步(09秋)期末复习指导

第一部分 课程的考核说明

考核对象：中央广播电视大学数控技术等专业的学生. 考核形式：平时作业考核和期末考试相结合.

考核成绩：满分为100分，60分为及格，其中平时作业成绩占考核成绩的30%，期末

考试成绩占考核成绩的70%.

考试范围：期末考试命题限定在《微积分初步》课程教学要求所指定的范围. 考试目的：旨在测试学生对微积分初步课程所包含的数学基本知识的理解，以及运用

所学习的数学方法解决实际问题的能力.

命题原则：在课程教学要求所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，并在此基

础上突出重点.

考试形式：期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟.

考试要求：考生不得携带除书写用具以外的其它任何用具.

参考教材：本课程的文字教材《微积分初步》（赵坚 顾静相主编，中央电大出版社出

版） 参考资料：课程作业（四次），课程教学辅导文章、IP 课件及课程期末复习指导.

试题类型：单项选择题、填空题、计算题和应用题.

单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；计算题和应用题要求写出演算步骤。

四种题型分数的百分比为：单项选择题20%，填空题20%，计算题44%，应用题16%.

第二部分 课程的考核要求及典型例题

一、函数、极限与连续

（一）考核要求

1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法.

2.了解极限概念，会求简单极限.

3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点. （二）典型例题

1．填空题

（1）函数)

2ln(1

)(-=x x f 的定义域是 ．

答案：2>x 且3≠x .

（2）函数24)

2ln(1

)(x x x f -++=的定义域是 ．

答案：]2,1()1,2(-?--

（3）函数74)2(2

-+=+x x x f ，则=)(x f ．

答案：11)(2

-=x x f

（4）若函数??

???

≥<+=0,0

,13sin )(x k x x

x x f 在0=x 处连续，则=k ． 答案：1=k

（5）函数x x x f 2)1(2

-=-，则=)(x f ．

答案：1)(2-=x x f

（6）函数3

21

2

--+=x x x y 的间断点是 ． 答案：3,1=-=x x

（7）=∞→x

x x 1

sin lim ．

答案：1 （8）若2sin 4sin lim

0=→kx

x

x ，则=k ．

答案：2=k 2．单项选择题

（1）设函数2

e e x

x y -=-，则该函数是（ ）．

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．既奇又偶函数

答案：A

（2）下列函数中为奇函数是（

）．

A ．x x sin

B ．2

e e x

x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +

答案：C

（3）函数)5ln(4

+++=x x x

y 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x

答案：D

（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2

x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C

（5）当=k （ ）时，函数?

??=≠+=0,0

,2e )(x k x x f x 在0=x 处连续.

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 答案：D

（6）当=k （ ）时，函数???=≠+=0,

,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.

A ．0

B ．1

C ．2

D ．1- 答案：B

（7）函数2

33

)(2+--=

x x x x f 的间断点是（ ）

A ．2,1==x x

B ．3=x

C ．3,2,1===x x x

D ．无间断点 答案：A 3．计算题

（1）4

2

3lim 222-+-→x x x x ． 解：41

21lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）3

29lim 223---→x x x x

解：23

4613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x

（3）458

6lim 224+-+-→x x x x x

解：3

2

12lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x

二、 导数与微分

（一）考核要求

1.了解导数概念，会求曲线的切线方程.

2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则)，会求简单的隐函数的导数.

3.了解微分的概念，掌握求微分的方法.

4.了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法. （二）典型例题

1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．

答案：

2

1 （2）曲线x

x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y

（3）已知x

x x f 3)(3+=，则)3(f '= ．

答案：3ln 33)(2

x

x x f +='

)3(f '=27（)3ln 1+

（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．

答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x - （5）若x

x x f -=e )(，则='')0(f

．

答案：x x

x x f --+-=''e e

2)(

='')0(f 2-

2.单项选择题

（1）若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ ）．

A. 2

B. 1

C. -1

D. -2 答案：C

（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．

12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d x

x 答案：B

（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D 3．计算题

（1）设x

x y 12

e =，求y '．

解： )1

(e e 2212

1x

x x y x

x -+=')12(e 1

-=x x

（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.

解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='

x x x 2c o s s i n 34c o s 4-=

（3）设x y x 2

e

1

+

=+，求y '. 解：212

121e x

x y x -+='+

（4）设x x x y cos ln +=，求y '.

解：)sin (cos 12321x x x y -+

=' x x tan 2

3

21

-= (5) 设x y x 4sin e 2+=-，求y '.

解：x y x

4cos 4e 22+-='-

(6) 设x x y x

13++=，求y d .

解：x

x y x

13++=

23

2

121

)3ln 3(3sin -

-+-='x x y x

x

y d =x x x

x

x d )213sin )3ln 3(21

(

23

---

三、导数应用

（一）考核要求

1.掌握函数单调性的判别方法.

2.了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法.

3.掌握求函数最大值和最小值的方法.

（二）典型例题 1．填空题

（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞

（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a 2．单项选择题

（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D

（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C

（3）下列结论中（ ）不正确．

A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.

B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.

C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.

D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案：Ａ

（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．x

e C ．2

x D ．x -3 答案：B

3．应用题（以几何应用为主）

（1）某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？

解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为

r

V r rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4r V r S -

=' 由0='S ，得唯一驻点3

π2V r =，由实际问题可知，当3π

2V r =时可使用料最省，此时3

π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π

4V

时，用料最省． （2）用钢板焊接一个容积为43

m 的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费

40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？

解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24x

h =

所以,16

4)(22x

x xh x x S +

=+= 2162)(x

x x S -

=' 令0)(='x S ，得2=x ，

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+?S （元） （3）欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知2232,32x

h h x =

= x x x

x x xh x y 12832442

2

22+=?

+=+= 令0128

22

=-

='x x y ，解得4=x 是惟一驻点，易知4=x 是函数的极小值点，此时有24

32

2==

h ，所以当4=x ，2=h 时用料最省． 请结合作业中的题目进行复习。

四、 一元函数积分 （一）考核要求

1.理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法.

2.了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分.

3. 了解广义积分的概念，会计算简单的无穷限积分。 （二）典型例题

1．填空题

（1）若)(x f 的一个原函数为2

ln x ，则=)(x f .

答案：

x

2 （2）若?+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f ．

答案：x 2cos 2

（3）若______________d os ?

=x x c 答案：c x +sin （4）=?

-2

de x

．

答案：c x +-2

e

（5）='?x x d )(sin

．

答案：c x +sin （6）若?+=c x F x x f )(d )(，则?=-x x f d )32(

．

答案：

c x F +-)32(2

1

（7）若?+=c x F x x f )(d )(，则?=-x x xf d )1(2

．

答案：c x F +--)1(2

1

2 （8）

.______d )2cos (sin 11

2=+-?

-x x x x x

答案：3

2- （9）

=+?e

1

2d )1ln(d d x x x . 答案：0 （10）x x d e 0

2?

∞

-= ．

答案：

2

1 2．单项选择题

（1）下列等式成立的是（ ）． A ．)(d )(d x f x x f =? B ．)(d )(x f x x f =

'?

C ．

)(d )(d d

x f x x f x

=? D ．)()(d x f x f =? 答案：C

（2）以下等式成立的是（ ）

A ． )1

d(d ln x

x x = B ．)(cos d d sin x x x =

C ．x x

x

d d = D ．3ln 3d d 3x

x

x =

答案：D

（3）=''?

x x f x d )(（ ）

A. c x f x f x +-')()(

B. c x f x +')(

C.

c x f x +')(2

12

D. c x f x +'+)()1( 答案：A

（4）下列定积分中积分值为0的是（ ）．

A ．x x

x d 2

e e 1

1?--- B ．x x x d 2e e 11?--+ C ．

x x x d )cos (3

?-

+π

π

D ．

x x x

d )sin (2

?-

+π

π

答案：A

（5）设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=?

a

a

x x f -d )(（ ）

A ．0

B ．?

-d )(a

x x f C ．?a

x x f 0

d )( D ．?0

-d )(2a

x x f

答案：A

（6）下列无穷积分收敛的是（ ）．

A ．

?∞+0d in x x s B ．

?

∞

+1

d 1x x

C ．

?

∞

+1

d 1

x x

D ．?∞+-02d e x x 答案：D 3．计算题 （1）x x d )12(10?

-

解：c x x x x x +-=--=

-??

11

1010)12(22

1)1d(2)12(21d )12( （2）

x x x d 1

sin

2?

解：c x x x x x

x +=-=??1

cos 1d 1sin d 1

sin

2

（3）c x x x

x x x

+==??e 2d e 2d e

(4)

x x x d )e 4(e 22

ln 0

+?

解：

)e d(4)e 4(d )e 4(e 22ln 0

2

2

ln 0

x x x x

x ++=+?

?

=

3

130)125216(31)e 4(31

2ln 0

3=-=+x (5)

x x x

d ln 51e

1?+

解：27

)136(101)ln 51(101)ln 51()ln 51(51d ln 511

21e

1=-=+=++=+??e

e x x d x x x x (6)

x x x d e 10

?

解：1e e d e e d e 10

10

10

10

=-=-=??x

x x x x x x x

(7)?2

d sin 2π

x x x

解：

2sin 2d cos 2cos 2d sin 22020

2020==+-=??

π

π

π

π

x x x x x x x x

（8）41

e 4141e 21d 21ln 21d ln 2e

122e 1e

1

2e

1+=-=-=??x

x x x x x x x 五、积分应用

（一）考核要求

1. 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积.

2.了解微分方程的几个概念，掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法. （二）典型例题

1．填空题

(1)已知曲线)(x f y =在任意点x 处切线的斜率为x

1，且曲线过)5,4(，则该曲线的

方程是 .

答案：12+=x y (2)由定积分的几何意义知，

x x a a

d 0

22?

-= .

答案：4

2

a π

(3)微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 . 答案：x y e =

(4)微分方程03=+'y y 的通解为 . 答案：x c y 3e -=

(5)微分方程x y xy y sin 4)(7)4(3=+''的阶数为 ． 答案：4

2.单项选择题

(1)在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）． A ．y = x 2

+ 3 B ．y = x 2

+ 4 C ．22+=x y D ．12+=x y 答案：A

(2)下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．

A ．y y yx '=+ln 2

B ．x xy y y e 2=+'

C ．y y x y e ='+''

D ．x y y x y x ln e sin ='-'' 答案：D

(3)微分方程0='y 的通解为（ ）．

A ．Cx y =

B ．

C x y += C ．C y =

D ．0=y 答案：C

(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）

A. y x x y +=d d ；

B. y xy x y +=d d ；

C. x xy x y sin d d +=；

D. )(d d x y x x

y += 答案：B