最新高考数学圆锥曲线的经典性质50条

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）

椭 圆

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.

若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是002

21x x y y

a b +=. 6.

若000

(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y

a b

+=. 7.

椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为12

2

tan 2F PF S b γ?=.

8.

椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：

10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).

9.

设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.

AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2

2

OM AB b k k a ?=-，

即0

20

2y a x b K AB -=。

12.

若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.

13.

若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b

+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y

x y a b a b +=

+. 双曲线

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）

5.

若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0

P 的双曲线的切线方程是00221x x y y

a b -=. 6.

若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是002

21x x y y

a b

-=. 7.

双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为

122t

2

F PF S b co γ

?=.

8.

双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c

当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.

当00(,)M x y 在左支上时，10

||MF ex a =-+,20||MF ex a =--

9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，

则MF ⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.

AB 是双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0

202y a x b K K AB OM =

?，即0

2

2y a x b K AB

=。

12.

若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是

2200002222x x y y x y a b a b -=-.

13.

若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是2200222

2x x y y

x y a b a b -=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

椭 圆

1.

椭圆22

221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、

P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是

22

221x y a b

-=. 2.

过椭圆22221x y a b += (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且20

20

BC b x k a y =（常

数）. 3.

若P 为椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则

tan t 22

a c co a c αβ

-=+.

4.

设椭圆

2222

1x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记

12F PF α

∠=,

12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有

sin sin sin c

e a

αβγ==+.

5.

若椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应

准线距离d 与PF 2的比例中项.

6.

P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P

三点共线时，等号成立.

7.

椭圆22

0022

()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8.

已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）222

21111

||||OP OQ a b

+=+;（2）|OP|2+|OQ|2

的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是22

22

a b a b +. 9.

过椭圆22221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则

||||2PF e

MN =. 10.

已知椭圆22221x y a b

+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2222

0a b a b x a a ---<<.

11. 设P 点是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ

∠=，则(1)2

122||||1cos b PF PF θ

=

+.(2)

122tan

2

PF F S b γ

?=.

12.

设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ

∠=，c 、e 分别是椭圆的

半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 222

2

2cot PAB a b S b a γ?=-. 13.

已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x

⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

双曲线

1.

双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、

P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方

程是22

221x y a b

+=.

2.

过双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且

20

20

BC b x k a y =-（常数）.

3. 若P

为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2

是焦点,

12PF F α

∠=,

21PF F β

∠=，则

tan t 22

c a co c a αβ

-=+（或

tan t 22

c a co c a βα

-=+）.

4.

设双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为

F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12

F PF α

∠=,

12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有

sin (sin sin )c

e a

αγβ==±-.

5.

若双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1

是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

6.

P 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P

三点共线且P 和

2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.

7. 双曲线22221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222

A a

B b

C -≤.

8. 已知双曲线22

221x y a b

-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.

（1）22

221111||||OP OQ a b

+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ?的最小值是2222a b b a -. 9.

过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则

||||2PF e

MN =. 10.

已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22

0a b x a +≥或

22

0a b x a

+≤-.

11.

设P 点是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2

122||||1cos b PF PF θ

=-.(2)

122cot

2

PF F S b γ

?=.

12.

设A 、B 是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ

∠=，c 、e 分别