单摆运动方程及其周期近似解
单摆运动周期和相轨迹特性的研究
摘要：本文首先分别用基本形式拉格朗日方程和保守系下的拉格朗日方程求解单摆运动方程，其次通过线性近似法求解在小摆角下的周期近似解，再通过构建“局部常化”的近似处理方法，得到大摆角运动周期的一个新结论。最后，用数值模拟（四阶龙格-库塔法）求解无阻尼无驱动单摆非线性方程，用origin作图软件绘制出
θ时，取不同初值时的相轨迹，并
<
90
分析了其相轨迹特性，验证对小角度单摆几乎只有摆动，对大角度单摆既有摆动又有转动。
关键词：单摆运动周期非线性局部常化椭圆积分数值模拟相轨迹
引言：非线性引起复杂性，复杂性产生的根源即“原来是禁锢在笼子里的非线性老虎被释放了”。对线性模型简单、容易分析，且线性微分方程可求其解析解，而非线性模型复杂、不容易分析，非线性方程不容易求其解析解，我们利用这两种性质可对某一具体问题进行不同方式的分析，得出一部分规律。
单摆模型是简单与复杂的综合体，对该模型可用：线性化法、近似解析法、数值法和向空间法进行求解，分析。本文求出单摆微分方程后，首先通过线性近似法求解在小摆角下的周期近似解，再通过构建“局部常化”的近似处理方法，得到大摆角运动周期的一个新结论，有用数值法和相空间法，验证了单摆运动在取不同初值时的运动形态，即为摆动或摆动加转动特性，对单摆特性研究有一定价值。除了对无阻尼无驱动单摆系统研究，
我们可将该分析方法用与其他几类单摆模型。 正文：
1 单摆运动方程的求解
单摆运动问题是一个古老而又十分有趣的问题。对于摆长为L ，最大摆角为0θ的单摆系统，由于只有重力做功，因此满足机械能守恒。分别用基本形式拉格朗日方程和保守系下的拉格朗日方程来求解如下： （1）基本形式拉格朗日方程为[]1：
=12.d T T
Q d t q q αααα?
??
?? ?-=???????????? ?????
（，，） （1） 自由度为1，取广义坐标为θ，有：
广义力为：αααq r g m q r F Q i i
i
i
??=??=→∑ )
(2
121mglsin θ
F j
lsin θi lcos θθr j
lcos θi lsin θr 2
2
2i A
A ?→→→
→
→→==-=∴-=??∴+=θl m mv T 22
2
0122d T T Q dt q q T
T ml ml d T ml dt αα
αθ
θθθ
θθ
?
???
???
???? ?∴-= ????
??=??=?=??∴=?
代入基本拉格朗日方程，得
2sin 0ml mgl θθ+=
sin 0g
l
θθ+
= （2）保守系下的拉格朗日方程为
0=12.d L L dt q q ααα?
??
?? ?-=???????????? ????
?
（，，） （2） 自由度为1，取广义坐标为θ，有：
2
2
2222
2
22
111222cos 1cos 2sin T mv m l ml V mgl L T V ml mgl L ml d L d ml ml dt dt L
mgl θθ
θ
θθ
θθ
θθθθθ
???
??????
=== ???=-=-=+?=??????== ? ? ???????=-?
代入到（1）式中，有
0sin =+?
?θθl
g
令
l
g
=
20
ω
，则有 0sin 2
0=+?
?θθω （3）
（3）式是一个非线性微分方程，而大多数非线性微分方程都很难找到其解析解，这给动力系统的分析带来了很大的困难。再者，非线性系统能
产生“混沌”现象，其解析解通常也是非常复杂的。
文献[]1和文献[]2分别从机械能守恒定律和相图关系求出了精确的单摆运动周期公式：近似θ为sin θ，则（2）式可简化为2
00w θθ+=，对其两
边乘以2d θ，然后积分：
202(/)
2
2sin 0d dt d w d dt
θθθθ+=?? 得 2
20()2sin d w c dt
θθ-= 即 2
20(
)2sin d w c dt
θθ=+ 其中c 为常数积分。当摆动到最大角度0θ时，0d dt
θ
=。
所以2002sin c w θ=-，因此，
d w dt
θ
= 分离变量并积分
0w dt =?
如果t=0时，0θ=，并设T 是单摆的振动周期，则t=T/4时，0θθ=，所以
4
T w θ=?
（4）
令0
sin
sin
sin 2
2
θθ
?=，-1 < sin ?<1。两边积分，得：
1cos sin cos 222
d d θθ
θ??
= 0
2sin
cos 2
cos
2
d d θ??
θθ
=
则（4）右边被积函数写为：
2sin cos cos cos
2
d d d d θ??
??
θ
??
θ
θ
==
=
=
积分限位0θ=时00;?θθ==时，2
π
?=
上式求解有：
2
00
2.4T T π
π=?
?
?-=
20
20
20
sin 2
sin
12π
?
θ?π
d T T （5）
其中θ0是单摆的最大摆角。式（5）适合于任意摆角下的单摆运动，但这个公式是用完全椭圆公式表示的，过于复杂，应用时需要查椭圆积分表，因而实用性不强。
本文先通过线性近似求出小角度下的单摆等时公式，其次通过构建“局部常化”的近似处理方法，给出在θ0≦ 90时近似度较好的一个单摆运动周期解。
2 小摆角下的周期近似解
在单摆运动系统中，如果摆角很小（一般θ0≦ 5）时，可将单摆运动近似成一种简谐振动。对于运动方程（3），可以做如下近似：由于摆角很小，所以可以将非线性因子θsin 作一级近似，将方程（3）转化成线性方程。即有：θθ≈sin ，所以（3）式可写成：
02
=+?
?θωθ （6）
该方程的解为：
()δωωωθ+=+=t A t A t A 00201cos cos sin
所以，
l
g
T π
πω2200== 现在，我们将这种近似周期公式0T 与精确的周期公式进行比较，其结果如表1示：（T 由椭圆积分表查[]7得）
表1：0T 与T 的相对误差对比
从表中可以看到，当最大摆角较小时，由0T 计算得到的周期相对误差较小，而当最大摆角较大时，相对误差较大。 3“局部常化”的近似周期解
上面，我们将θsin 作了一级近似，将非线性微分方程转换成了线性微分方程，但通过表1我们看到，这种近似是很粗略的，当大θ0较大时产生的误差比较大。现在，我们需通过构建“局部常化”的近似方法来给出近似度较好的单摆运动周期解公式。
对于方程（3），我们可以采用"局部常化"[]4，将θsin 作如下变换：
0cos 2
cos 2cos 222cos 2sin 2sin μθθθ
θθθθθθ≈=*≈= （7）
在这里，我们将变量2
cos θ
视为常量0cos μθ。其中[]0,0θθ∈。现在，将（7）
式代入（3）式得
02
2
2=+θωθdt
d （8） 其中，000
cos cos μθωμθω==
L
g 。式（8）是对动力学方（3）的有一个修正，将一个分线性问题转换成一个线性问题。由（6）式我们可以很容易的得到单摆的周期公式
00
1cos cos 2μθμθω
π
T g L
T =
=
（9）
式中的μ是一个修正常数，修正的方发事将式（6）与标准式（3）在取不同角度时进行比较。通过取μ的不同值进行尝试比较，我们发现修正值为
μ=0.496时1T 有比较高的精度。下面我们将这种近似公式1T 与精确的周期
公式进行比较，结果如下表2所示.
表2：1T 与T 的相对误差对比
表2的数据表明，当 900≤θ时，公式1T 的近似度很好，相对公式0T 来说近似度明显的提高了。 4 数值模拟分析相轨迹 运动微分方程：
{
v
A ==-=?
?
?)0()0(sin 2
0θθθθω
数值编程：令t=x,y =θ,z =?
θ则微分方程转换为：
{
v
x z A x y y w z z y ==-==?
?
)()(sin 002
用四阶龙格-库塔法[]5程序如下： Function f(y As Double) As Double g = 9.8 l = 0.6
f = -
g * Sin(y) / l End Function
Private Sub Command1_Click()
Dim g As Double, l As Double, n As Integer, h As Double, a As Double,
b As Double
Dim t As Double, t0 As Double, t1 As Double, y0 As Double, y1 As Double, z0 As Double, z1 As Double
Dim l1 As Double, l2 As Double, l3 As Double, l4 As Double
a = 0:
b = 2
n = 800
h = (b - a) / n
Open "时间.txt" For Output As #1
Open "角度.txt" For Output As #2
Open "角速度.txt" For Output As #3
y0 = 20: z0 = 6: t0 = a
For t = a To b Step h
t1 = t0 + h
l1 = f(y0)
l2 = f(y0)
l3 = f(y0 + (h ^ 2 * l1) / 4)
l4 = f(y0 + h ^ 2 * l2 / 2)
y1 = y0 + h * z0 + h ^ 2 * (l1 + l2 + l3) / 6
z1 = z0 + h * (l1 + 2 * l2 + 2 * l3 + l4) / 6
Text1.Text = Text1.Text & t & " " & Format(y1, "##.######") & " " & Format(z1,
"##.######") & vbCrLf Write #1, t Write #2, y1 Write #3, z1 y0 = y1 z0 = z1 Next t Close #1, #2, #3 End Sub 按理论：
（1）取n=800,t=0-2s,g=9.8kg^2/s,l=0.6m 。初值： 200 y ,z0=0、1、 2、 3、 4、 5rad/s 同一横坐标z1，同一纵坐标y1模拟相轨迹如下：
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
16
18
20
22
###
Y 1 A x i s T i t l e
Z1 Axis Title
20 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
16
18
20
22
###
Y 1 A x i s T i t l e
Z1 Axis Title
20 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
16
18
20
22
###
Y 1 A x i s T i t l e
Z1 Axis Title
20 3
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
16
18
20
22
###
Y 1 A x i s T i t l e
Z1 Axis Title
20 2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
16
18
20
22
###
Y 1 A x i s T i t l e
Z1 Axis Title
20 1
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
16
18
20
22
###
Y 1 A x i s T i t l e
Z1 Axis Title
20 0
分析：由图可知初值在角度y 一定的情况下，随着初角速度z 的增大，相轨迹椭圆越来越大，并且在在初值为5时，椭圆出现缺口。由于
y
w z
dz dy sin 20-=，所以E y z =-cos 212，即相轨迹方程。总能量为 0cos 02
12
z y E -=
初值y 不变，初值 z 增大后，摆能量增大，对应椭圆面积较大，图示符合理论，当初始能量越大，单摆由摆动转为振动，如果继续取值。椭圆缺口
会越来越大，最后形状变化无规律可寻。
（2）取n=800,t=0-2s,g=9.8kg^2/s,l=0.6m 。初值：z0=0rad/s ，y0= 1、20、30、50、65、75度，同一横坐标z1，模拟相轨迹如下：
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2.0
-1.5-1.0-0.50.00.51.0
1.5
2.0Y 1 A x i s T i t l e
Z1Axis Title
1 0
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
16
18
20
22
###
Y 1 A x i s T i t l e
Z1 Axis Title
20 0
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
29
30
31
32
33
34
###
Y 1 A x i s T i t l e
Z1Axis Title
30 0
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
50.0
50.1
50.2
50.3
50.4
50.5
50.6
###
Y 1A x i s T i t l e
Z1 Axis Title
50 0
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
60
62
64
66
Y 1 A x i s T i t l e
Z1 Axis Title
65 0
-8-6-4-202468
75.0
75.2
75.4
75.6
75.8
Y 1 A x i s T i t l e
Z1 Axis Title
75 0
分析：由图可知在初角速度z 一定的情况下，随着角度y 的增大，相轨迹椭圆变化较明显。初值为1度时，椭圆近似为圆；当初值小于30度时，椭圆纵横向都增大，符合能量公式；当初值为50度时，椭圆纵向显著增大横向显著减小，当初值为65度时，椭圆又产生缺口，再到后面变化不一。
由于
y
w z
dz dy sin 2
0-=，所以E y z =-cos 212，即相轨迹方程。总能量为： 0cos 02
1
2z y E -=
初值z0不变， y0增大后，能量增大，小角度摆动符合理论规律，，大角度已不仅仅为摆动，除此之外，由于对应椭圆纵向取值范围不一致，可比性较差。 5结论
本文从最基本点着手，首先分别用基本形式拉格朗日方程和保守系下的拉格朗日方程求解单摆运动微分方程，再通过线性近似求出了小摆角下的单摆运动周期，通过表格分析，我们看到这种近似法求出的单摆周期在大摆角下的近似程度是很差的。接着，我们通过构建“局部常化”近似方
法，巧妙的将分线性因子θsin 进行了线性化，从而得到了一个近似程度较好的单摆运动周期解。通过表格分析，我们确实看到这个公式在 900≤θ的情况下的近似程度的确很好。
最后，用数值模拟（四阶龙格-库塔法）求解无阻尼无驱动单摆非线性方程，用origin 作图软件绘制出 900≤θ时取不同初值时的相轨迹，并分析了其相轨迹特性：初值y 不变，初值 z 增大后，摆能量增大，对应椭圆面积较大，图示符合理论：初值z 不变， y 增大后，对应椭圆纵向取值范围不一致,图示可对比性较差，但总体来说，对摆的小角度摆动相轨迹近似为圆，大角度既有摆动又有转动，摆相轨迹规律难找。 参考文献
【1】 周衍柏.理论力学教程.高等教育出版社，1986年3月第二版. 【2】 赵凯华.从单摆到混沌.现代物理知识，1993，5（8）：12-14. 【3】Marion J B.Classical Dynamics.New York:Academic press,1965,181-182.
【4】 谭志中.求大摆角周期近似解的“局部常化”方法，大学物理，2005，24（12）：14-17.
【5】王能超.数值分析简明教程.高等教育出版社.2003年8月第2版 【6】冯登泰.应用非线性振动力学.中国铁道出版社.1982年7月 【7】椭圆积分表编写小组. 椭圆积分表.北京机械工业出版社.1979年 9月
基于MATLAB的单摆运动概要
Matlab仿真技术作品报告 题目:MATLAB在单摆实验中的应用 系（院）： 专业： 班级： 学号： 姓名： 指导教师： 学年学期:2012~2013 学年第 1 学期 2012年11月18日
设计任务书 摘要 借助MATLAB 计算软件, 研究无阻尼状态下单摆的大摆角运动, 给出了任意摆角下单摆运动周期的精确解。同时利用MATLAB 函数库中的ode45 函数, 求解出大摆角下的单摆的运动方程。并利用其仿真动画形象的展现出单摆的运动规律, 为单摆实验中大摆角问题的讲解提供了较好的教学辅助手段。 关键词单摆模型；周期；MATLAB；
目录 一、问题的提出 (2) 二、方法概述 (2) 2.1问题描述 (2) 2.2算法基础 (3) 2.2.1单摆运动周期 (3) 2.2.2单摆做简谐运动的条件 (4) 三、基于MAT LAB的问题求解 (5) 3.1单摆大摆角的周期精确解 (5) 3.2、单摆仿真（动画） (7) 3.3单摆仿真整个界面如下： (10) 四、结论 (12) 五、课程体会 (12) 参考文献 (13)
一、问题的提出 在工科物理教学中,物理实验极其重要,它担负着训练学生基本实验技能、验证学生所学知识、提高学生综合实力的重要职责。通过一系列的物理实验,学生可在一定程度上了解并掌握前人对一些典型物理量的经典测量方法和实验技术,并为以后的实验工作提供有价值的借鉴,进而培养学生的动手实践能力和综合创新能力。然而，物理实验的优劣很大程度受限于物理实验条件的制约。当前，受限于以下条件（很多情况下物理实验环境都是难以有效构造的），物理实验的效果并不理想： 1）一些实验设备比较复杂并且昂贵,难以普及应用； 2）有效实验环要求非常苛刻，是现实环境中难以模拟，甚至根本无法模拟； 3）除此以外，有些实验的实验环境即使可以有效构造，它的实验结果却仍然是难以直接、完整观察获取的,如力场、电场、磁场中的分布问题等。 鉴于以上原因,物理仿真实验已引起了大家的关注,出现了一些软件。但很多是基于Flash、Photoshop 、3D Studio MAX之类的图形图像软件制作。这些软件可以制作逼真的实验环境和生动的实验过程动画,还可以制作出实际实验所无法达到的效果。但这类软件本身是制作卡通动画的，对物理实验规律和过程很少涉及,很难做到真正的交互使用,及精确的计算分析同时开发也很困难。因此，基于这些软件的仿真在工科物理实验教学中应用很少。本文利用MATLAB 计算软件及其仿真功能对单摆实验过程进行模拟、仿真及后期分析，对物理实验教学改革提供一种新思路。 具体地，本文将描述一种新颖的单摆实验方法, 其主要的意义在于给学生以综合性实验技能训练。一个综合性实验, 它必须涉及多方面的知识和实验技能。本文描述的单摆实验方法即具备这样的特征。它的实验原理虽然简单, 但所涉及到的知识点极为丰富: 力学振动, 计算机编程等。学生通过这样的实验不仅可以得到综合性的实验技能训练, 而且可以在如何将现代技术改造传统实验、理论联系实际等方面得到很多启示。另外，本文引入计算机技术分析法, 对单摆实验进行了改造, 既实现了基础物理实验的现代化, 又为MATLAB课程实验提供了很好的应用落足点, 可以使学生得到多方面的实验技能训练。 二、方法概述 2.1问题描述 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。单摆在摆角
对于欧拉方程的理解
关于欧拉方程的理解 1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。 形如：)(1)1(11)(x f y x p y x p y x n n n n n ='+++--- (1) 的方程称为欧拉方程, 其中n p p p ,,,21 为常数。 欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。 现阶段欧拉方程的应用领域很广，现只结合流体力学来探讨我对于欧拉方程的理解。 欧拉方程提出采用了连续介质的概念，把静力学中压力的概念推广到了运动流体中。 流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。 流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。 流体静压强的特性 1静压强的方向—沿作用面的内法线方向 2任一点的流体静压强的大小与作用面的方向无关，只与该点的位置有关
由上图可以推到出流体平衡微分方程式，即欧拉平衡方程 x y z p f x p f y p f z ρρρ??=?????=?????=??? 当流体处于平衡状态时，单位体积质量力在某一轴向上的分力，与压强沿该轴的递增率相平衡。 这里的fx 、fy 、fz 是流体质量力在x 、y 、z 轴上的投影，且质量力中包含以下两项：重力和惯性力。在这里如果假定fx 、fy 、fz 仅仅是重力在三个坐标轴上的投影，那么惯性力在x 、y 、z 轴上的投影分别为:-du/dt ，-dv/dt 和-dw/dt 。于是，上式便可写成 d d d d d d x y z u p f t x v p f t y w p f t z ρρρ????-= ???? ??????-=? ??? ??????-=? ??? ?? 上式整理后可得：
高中物理-单摆教案 (3)
高中物理-单摆教案 【教学目标】 一、知识与技能 1．知道单摆是一种理想化模型和做简谐运动的条件 2. 知道单摆做简谐运动时回复力的特点和表达式 3．知道单摆(偏角θ较小时)的周期与振幅、摆球质量、摆长和当地重力加速度g的关系。 二、过程与方法 1．知道测量单摆周期的方法,会用单摆测定重力加速度 2．通过探究过程体会猜想、设计实验、分析论证、评估等科学探究要素; 3．通过制定探究方案体会“控制变量”的研究方法。 三、情感、态度和价值观 1．通过实验,领悟实事求是的理念,并在探究活动中培养合作精神。 2．通过动手合作调动学生的学习主动性,培养他们的探究意识,激发他们的学习热情,体会研究的乐趣。 【重点、难点、疑点】 1.重点:单摆的振动规律和周期公式。 2.难点:单摆回复力的分析。 3.疑点:怎样确定单摆的振动周期与哪些因素有关,以及具体关系。 【教具准备】 摆球、铁架台、细线、支架、盛砂漏斗、硬纸板、砂、计算机、投影仪等 【教学过程】 一、复习引入新课 在前面我们学习了弹簧振子,知道弹簧振子做简谐运动。 那么：怎么判断物体的运动是否是简谐运动 答：有两种方法：方法一：位移时间图像为正弦 函数 方法二：物体在跟位移大小成正比、并且总是指 向平衡位置的回复力作用下的振动F =-kx 在生活中有很多种机械振动。比如建筑物挂钟的 振动、房顶吊灯的摆动、秋千的运动、座钟的钟 摆的摆动。这些运动都是摆动。我们对实际生活 中的摆进行理想化处理,忽略次要因素、突出主 要因素,这样所构建的模型称之为单摆。
二、新课教学 （一）单摆 问题：以上这些运动有什么共同点？ 物理中常抽象出一种模型 1、单摆概念：细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果 细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也 可以忽略,这样的装置就叫做单摆。 ①摆线质量m 远小于摆球质量 M,即m << M ②摆球的直径 d 远小于单摆的摆长Ｌ,即 d <<Ｌ。③摆球所受空气阻力远小 于摆球重力及绳的拉力,可忽略不计。④摆线的伸长量很小, 可以忽略。 2、摆长：悬点到摆球重心的距离。摆长 L=L0+R （二）单摆的运动 问题1：运动的平衡位置在哪里 细线竖直下垂,摆球所受重力G和悬线的拉力F平衡,O点就是摆球的平衡位置。问题２：摆球的受力情况小球收到的力有重力、拉力 问题3:小球的运动情况分析以点Ｏ为平衡位置的振动 以悬点Ｏ’为圆心的圆周运动 问题4：力与运动的关系 回复力大小：向心力大小： O` O θ sin mg F= 回 θ cos mg N F- = 向
单摆周期公式的推导与应用
单摆周期公式的推导与特殊应用 新课程考试大纲与2003年理科综合考试说明（物理部分）相比，有了很大的调整。知识点由原来的92个增加到了131个，并删去了许多限制性的内容。如在振动和波这一章，删去了“不要求推导单摆的周期公式”这一限制性的内容。这就说明，新课程考试大纲要求学生会推导单摆的周期公式。而查看《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）物理第一册（必修）》，在关于单摆周期公式的推导中也仅仅讲到单摆受到的回复力F 与其位移x 大小成正比，方向与位移x 的方向相反为止。最后还是通过物理学家的研究才得出了单摆的周期公式。这样一来，前面的推导似乎只是为了想证明单摆的运动是简谐运动。 一．简谐运动物体的运动学特征 作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F -=，其中k 是比例系数。对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有： kx ma F -==，即x m k a - = 因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。因为x （或F ）是变 量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k 写成2 ω得到 x dt x d 2 2 2ω-=。对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(?ω+=t A x 。这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为T m k π ω2= = ，从而得到作简谐运动物体的周期为k m T π 2=。 二．单摆周期公式的推导 单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。 当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。当摆球运动到任一点P 时，重力G 沿着圆弧 切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很 小﹝如θ＜0 10﹞时，l x ≈ ≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x l mg F - =，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数， 所以l mg 可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F -=。因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回 复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。把l mg k =代入到简谐运动物体 B G G 图 1
微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法
四川师范大学本科毕业论文 微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙 格—库塔法 学生姓名XXX 院系名称数学与软件科学学院 专业名称信息与计算科学 班级2006级 4 班 学号20060640XX 指导教师Xxx 四川师范大学教务处 二○一○年五月
微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法 学生姓名：xxx 指导教师：xx 【内容摘要】微分方程是最有生命力的数学分支，在自然科学的许多领域中，都 会遇到常微分方程的求解问题。当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具，利用计算机解微分方程主要使用数值方法，欧拉方法和龙格——库塔方法是求解微分方程最典型常用的数值方法。本文详细研究了这两类数值计算方法的构造过程，分析了它们的优缺点，以及它们的收敛性，相容性，及稳定性。讨论了步长的变化对数值方法的影响和系数不同的同阶龙格—库塔方法的差别。通过编制C程序在计算机上实现这两类方法及对一些典型算例的结果分析比较，能更深切体会它们的功能，优缺点及适用场合，从而在实际应用中能对不同类型和不同要求的常微分方程会选取适当的求解方法。 关键词：显式单步法欧拉（Euler）方法龙格—库塔（Runge—Kutta）方法截断误差收敛性 Two commonly used numerical solution of differential equations：Euler method and Runge - Kutta method Student Name: Xiong Shiying Tutor：Zhang Li 【Abstract】The differential equation is the most vitality branch in mathematics. In many domains of natural science, we can meet the ordinary differential equation solution question. Currently, the development of computer has provided the extremely powerful tool for the ordinary differential equation application and the fundamental research, the computer solving differential equation mainly uses value method. The Euler method and the Runge—Kutta method are the most typical commonly value method to solve the differential equation. This article dissects the structure process of these two kinds of values commonly value method to solve the analyses their good and bad points, to their astringency, the compatibility, and the stability has made the proof. At the same time, the article discuss the length of stride to the numerical method changing influence and the difference of the coefficient different same step Runge—kutta method. Through establishing C program on the computer can realize these two kind of methods, Anglicizing some models of calculate example result can sincerely realize their function, the advantage and disadvantage points and the suitable situation, thus the suitable solution method can be selected to solve the different type and the
探究单摆的物理原理教案
探究单摆的物理原理教案 【教学目标】 （一）知识与技能 1、知道什么是单摆，了解单摆的构成。 2、掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的成因，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。 3、知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。 4、知道用单摆可测定重力加速度。 （二）过程与方法 1、知道单摆是一种理想化的系统，学会用理想化的方法建立物理模型。 2、通过单摆做简谐运动条件的教学，体会用近似处理方法来解决物理问题。 3、通过研究单摆的周期，掌握用控制变量的方法来研究物理问题。 （三）情感、态度与价值观 1、单摆在小角度情况下做简谐运动，它既有简谐运动的共性，又有其特殊性，理解共性和个性的关系； 2、当单摆的摆角大小变化时，单摆的振动也将不同，理解量变和质变的变化规律。 3、培养抓住主要因素，忽略次要因素的辨证唯物主义思想。 【教学重点】 1、知道单摆回复力的来源及单摆满足简谐运动的条件； 2、通过定性分析、实验、数据分析得出单摆周期公式。 【教学难点】 1、单摆振动回复力的分析； 2、与单摆振动周期有关的因素。 【教学方法】 分析推理与归纳总结、数学公式推导法、实验验证、讲授法与多媒体教学相结合。
【教学用具】 单摆、秒表、米尺、条形磁铁、装有墨水的注射器（演示振动图象用）、CAI 课件。 【教学过程】 (第一课时)单摆的回复力 （一）引入新课 教师：1862年，18岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器。 在第一节中我们以弹簧振子为模型研究了简谐运动，日常生活中常见到摆钟、摆锤等的振动，这种振动有什么特点呢本节课我们来学习简谐运动的另一典型实例——单摆。 （二）进行新课 1．单摆 （1）什么是单摆 秋千和钟摆等摆动的物体最终都会停下来，是因为有空气阻力存在，我们能不能由秋千和钟摆摆动的共性，忽略空气阻力，抽象出一个简单的物理模型呢 （出示各种摆的模型，帮助学生正确认识什么是单摆） ①第一种摆的悬绳是橡皮筋，伸缩不可忽略，不是单摆； ②第二种摆的悬绳质量不可忽略，不是单摆； ③第三种摆的悬绳长度不是远大于球的直径，不是单摆； ④第四种摆的上端没有固定，也不是单摆； ⑤第五种摆是单摆。 定义：如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆。 绳绕在杆上
单摆运动的分析
单摆的运动规律分析 摘要：单摆的理想模型是，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况。 关键词：单摆 线性微分方程 非线性微分方程 正文： 单摆的理想模型是，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况。 单摆在摆动过程中要受到空气阻力的影响，且其在摆动的过程中可能会出现不在同一平面内的情况，若考虑这一系列问题，求解就会变得比较复杂了，首先把问题理想化，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。 Ⅰ.由刚体绕定轴转动的微分方程可知： θθsin 2 22 mgl dt d ml -=……⑴ 当θ很小时： 02 2=+θθl g dt d ……⑵ 令l g w =2 则原式化为02 22=+θθw dt d ……⑶ 做任意角度摆动时的情况： 0sin 2 2 2=+θθw dt d ……⑷ Ⅱ.受大小与速度成正比的阻力作用时： 0sin 2 22=+-θθθw dt d k dt d ……⑸ 做小角度摆动时可近似为： 0222=++θθ θw dt d k dt d ……⑹ 其中⑵、⑶、⑹式为线性微分方程，⑴、⑷、⑸式为非线性微分方程。 1）小角度震荡时将sin θ近似看作θ i.函数文件: function fc=f0(t,y) global g l fc=[y(2) -g/l*y(1)]' ii.绘图程序：
clear clc global g l g=9.8; l=1; w0=input('wm0?\n') [t,y]=ode45('f0',[0,100],[0,w0*pi]'); plot(t,y(:,1),'r') title('θ-t 图'); xlabel('时间/s'); ylabel('θ/rad'); grid iii.图像： 取wm0=0.5. 2)振幅增大后，θ将不满足近似条件。 i.函数文件： function fc=f1(t,y) global g l fc=[y(2) -g/l*sin(y(1))]' ii.绘图程序： clear clc global g l k
单摆模型
单摆模型 模型特点：单摆模型指符合单摆规律的模型，需满足以下三个条件： (1)圆弧运动； (2)小角度往复运动； (3)回复力满足F ＝－kx . 典例 如图1所示，ACB 为光滑弧形槽，弧形槽半径为R ，C 为弧形槽最低点，R ?AB .甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A 点由静止释放，问： 图1 (1)两球第1次到达C 点的时间之比； (2)若在圆弧的最低点C 的正上方h 处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时将乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C 处相遇，则甲球下落的高度h 是多少？ 答案 (1)22π (2)(2n ＋1)2π2R 8 (n ＝0,1,2…) 解析 (1)甲球做自由落体运动 R ＝12gt 21，所以t 1＝ 2R g 乙球沿圆弧做简谐运动(由于AC ?R ，可认为摆角θ＜5°)．此运动与一个摆长为R 的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R ，因此乙球第1次到达C 处的时间为 t 2＝14T ＝14×2πR g ＝π2R g ， 所以t 1∶t 2＝22π . (2)甲球从离弧形槽最低点h 高处自由下落，到达C 点的时间为t 甲＝ 2h g 由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C 点的时间为 t 乙＝T 4＋n T 2＝π2R g (2n ＋1) (n ＝0,1,2，…) 由于甲、乙在C 点相遇，故t 甲＝t 乙
联立解得h ＝(2n ＋1)2π2R 8 (n ＝0,1,2…)． 1．解决该类问题的思路：首先确认符合单摆模型的条件，即小球沿光滑圆弧运动，小球受重力、轨道支持力(此支持力类似单摆中的摆线拉力)；然后寻找等效摆长l 及等效加速度g ；最后利用公式T ＝2πl g 或简谐运动规律分析求解问题． 2．易错提醒：单摆模型做简谐运动时具有往复性，解题时要审清题意，防止漏解或多解．
单摆运动的描述
单摆运动的描述 （1）无阻尼单摆（小角度） 20 +*sin()0θωθ= 上式中令 sin()θθ=，201ω=得到如下方程： +0θθ= 上述方程即为相图的方程，可由此方程画出无阻尼单摆在小角度下的相图： 代码如下： %w0=2 %E=2时 syms x y ;%x 表示角度,y 表示角速度 ezplot('x.^2+4*y.^2-4'),hold on %E=3时 syms x y ; ezplot('x.^2+4*y.^2-6'),hold on %E=4时 syms x y ; ezplot('x.^2+4*y.^2-8'),hold on %E=0.5时 syms x y ezplot('x.^2+4*y.^2-1'),hold on
xlabel('角度') ylabel('角速度') title('无阻尼小角度单摆运动相图') 上图中不同的同心椭圆表示在不同的能量下单摆的运动相图，在画上图时，令02ω=，改变能量E 得到一簇同心椭圆。改变0ω会改变椭圆的形状，当01ω=时，椭圆变成圆。 下面时无阻尼小角度单摆的运动轨迹分析： 此时只要求解上述的微分方程，然后改变其中的初始条件00(,)θω即可，其中求解微分方程的代码如下： %w0=1时 %初始角度为pi/4时 dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=0','t')%用y 表示角度，Dy 表示角速度 %初始角度为pi/3时 dsolve('D2y1+y1=0','y1(0)=pi/3,Dy1(0)=0','t')%此时令y1为角度 %初始角度为pi/2时 dsolve('D2y2+y2=0','y2(0)=pi/2,Dy2(0)=0','t')%此时用y3表示角度 画图的代码如下： %初始角度为pi/4时 t=0:pi/50:4*pi; y=(pi*cos(t))/4; plot(t,y),hold on %初始角度为pi/3时 y=(pi*cos(t))/3; plot(t,y,'r'),hold on %初始角度为pi/2时 y=(pi*cos(t))/2; plot(t,y,'g'),hold on xlabel('时间') ylabel('角度') title('无阻尼小角度单摆在不同初始角度下的运动轨迹') legend('初始角度为pi/4的图','初始角度为pi/3的图','初始角度为pi/2的图') 出的图如下：
MATLAB在物理中的应用(单摆).doc
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MATLAB在单摆实验中的应用 【摘要】借助MATLAB 计算软件, 研究无阻尼状态下单摆的大摆角运动, 给出了任意摆角下单摆运动周期的精确解。同时利用MATLAB 函数库中的ode45 函数, 求解出大摆角下的单摆的运动方程。并利用其仿真动画形象的展现出单摆的运动规律, 为单摆实验中大摆角问题的讲解提供了较好的教学辅助手段。 【关键字】单摆模型；周期；MATLAB 一、问题的提出 在工科物理教学中,物理实验极其重要,它担负着训练学生基本实验技能、验证学生所学知识、提高学生综合实力的重要职责。通过一系列的物理实验,学生可在一定程度上了解并掌握前人对一些典型物理量的经典测量方法和实验技术,并为以后的实验工作提供有价值的借鉴,进而培养学生的动手实践能力和综合创新能力。然而，物理实验的优劣很大程度受限于物理实验条件的制约。当前，受限于以下条件（很多情况下物理实验环境都是难以有效构造的），物理实验的效果并不理想：1）一些实验设备比较复杂并且昂贵,难以普及应用；2）有效实验环要求非常苛刻，是现实环境中难以模拟，甚至根本无法模拟；3）除此以外，有些实验的实验环境即使可以有效构造，它的实验结果却仍然是难以直接、完整观察获取的,如力场、电场、磁场中的分布问题等。鉴于以上原因,物理仿真实验已引起了大家的关注,出现了一些软件。但很多是基于Flash、Photoshop 、3D Studio MAX之类的图形图像软件制作。这些软件可以制作逼真的实验环境和生动的实验过程动画,还可以制作出实际实验所无法达到的效果。但这类软件本身是制作卡通动画的，对物理实验规律和过程很少涉及,很难做到真正的交互使用,及精确的计算分析同时开发也很困难。因此，基于这些软件的仿真在工科物理实验教学中应用很少。本文利用MATLAB 计算软件及其仿真功能对单摆实验过程进行模拟、仿真及后期分析，对物理实验教学改革提供一种新思路。 具体地，本文将描述一种新颖的单摆实验方法, 其主要的意义在于给学生以综合性实验技能训练。一个综合性实验, 它必须涉及多方面的知识和实验技能。本文描述的单摆实验方法即具备这样的特征。它的实验原理虽然简单, 但所涉及到的知识点极为丰富: 力学振动, 计算机编程等。学生通过这样的实验不仅可以得到综合性的实验技能训练, 而且可以在如何将现代技术改造传统实验、理论联系实际等方面得到很多启示。另外，本文引入计算机技术分析法, 对单摆实验进行了改造, 既实现了基础物理实验的现代化, 又为MATLAB课程实验提供了很好的应用落足点, 可以使学生得到多方面的实验技能训练。 二、方法概述 2.1问题描述 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。单摆在摆角比较小时,其运动规律近似为准简谐振动。但是当摆角比较大时, 即单摆在大摆角情况下运动时,这种近似已不再成立,其运动方程满足非线性微分方程。因此,对摆角大小的限制成为该实验中必须满足的条件。不同的实验条件下,最大摆角的取值不同,其中包括, ,,,甚至等。这就为在实验过程中对摆角的统一取值造成困难,给实验带来较大的误差。同时,学生对单摆在大摆角情况下运动时其运动周期及运动规律的理解也存在困难。利用先进的计算机仿真
单摆运动规律的研究
单摆运动规律的研究 摘要单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。受各种因素的影响，其运动规律较为复杂。本文建立了理想模式下单摆的数学模型，现实情况下单摆的数学模型.等对单摆的运动进行了探究。 首先，本文从理想情况出发，由牛顿第二定律进行推理，建立了无阻尼小角度单摆运动模型，对单摆的运动进行了初步探究。 然后，本文又建立了无阻尼大角度单摆运动模型，进一步完善了理想模式下单摆的数学模型。 最后，本文从实际出发，考虑单摆运动中受到的阻力因素，以理想模式下单摆的数学模型为基础，建立了现实情况下单摆的运动模型，深度的对单摆运动进行了探索。 关键词简谐运动角度阻尼运动单摆运动 目录 一、问题的描述 二、模型假设 三、模型建立及求解 1 理想模式下单摆的数学模型 1.1 小角度单摆运动模型 1.1.1 模型建立 1.1.2 模型求解
1.1.3 结果分析 1.2 大角度单摆运动模型 1.2.1 模型建立 1.2.2 模型求解 1.2.3 结果分析 2 现实模式下单摆的数学模型 2.1 小、大阻尼单摆运动模型 2.1.1 模型建立 2.1.2 模型求解 2.1.3 结果分析 四模型分析 一问题的描述 根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，我们可以抽象出单摆的模型。细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直接与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆.我们从理想情况出发进行分析，并逐渐完善从而推导出单摆实际运动规律。 二模型假设 1悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多；
2.装置严格水平； 3.无驱动力。 三模型建立及求解 1 理想模式下单摆的数学模型 图1 简单单摆模型 在 t 时刻，摆锤所受切向力ft(t)是重力mg在其运动圆弧切线方向上的分力，即f(t) =mg sin(t) 完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为： a(t) =g sin(t) 因此得到单摆的运动微分方程组：
简谐运动的动力学条件和周期公式的推导
简谐运动的动力学条件和周期公式的推导 [摘要]：本文从简谐运动的概念出发， 用数学知识，推理出了简谐运动的动力学条件及弹簧振子的周期公式、单摆做小角度摆动的周期。从逻辑上对机械振动一章的知识有了一 个整体的认识。 [关键词]：简谐运动，动力学条件，周期公式，弹簧振子，单摆 [正文] 课程标准实验教科书《物理》3—4第十一章从运动学的角度对简谐运动进行了定义，恰好从数学课上学生也学到了关于导数的知识。这就为构造简谐运动的逻辑提供了条件，通过这样的一个逻辑构造，可以让学生体会数学在物理学中的应用。同时，也可以让学生充分体会物理学逻辑上的统一美。激发学生学习物理，从理论上探究物理问题的兴趣和决心。 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦的规律，即它的振动图象（ x —t 图象）是一条正弦，这样的运动叫做简谐运动。 由定义可知，质点的位移时间关系为t A x sin ………………（1）对时间求导数可得速度随时间变化的规律：t A dt dx v cos ………………（2）再次对埋单求导数可得加速度随时间变化的规律：t A dt dv a sin 2 (3) 由牛顿第二定律可知，质点受到的合力为： ma F ………………（4）由（3）（4）可知： t mA F sin 2 (5) 将（1）式代入（5）式可得： x m F 2..................（6）上式中，m 和都是常数，从而可以写成下面的形式kx F (7) 其中2m k ，至此得到了质点做简谐运动的动力学条件：质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置。 对于的弹簧振子来说，（7）式中的k 表示弹簧的劲度系数，对比（6）式可知k m 2，
物理常见公式的推导
（x 为伸长量或压缩量；k 为劲度系数，只与弹簧的原长、粗 细和材料有关 ） （g 随离地面高度、纬度、地质结构而变化；重力约等于地 面上物体受到的地球引力 ） 3、 求F 1 > F 2两个共点力的合力：利用平行四边形定则。 注意：（1）力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 （2）两个力的合力范围： F i — F 2 F F I + F 2 （3） 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、 两个平衡条件： （1）共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物体, 所受合外力为 零。 F 合 =0 或 ：F x 合=0 F y 合=0 推论：［1］非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 ［2］三个共点力作用于物体而平衡，其中任意两个力的合力与第三个力一定等值反向 （2 ）有固定转动轴物体的平衡条件：力矩代数和为零. （只要求了解） 力矩：M=FL （L 为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力： 滑动摩擦力：f= F N 说明：①F N 为接触面间的弹力，可以大于 G;也可以等于G;也可以小于G ② 为滑动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢 以及正压力 N 无关. 静摩擦力：其大小与其他力有关， 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解， 不与正压力成正比 大小范围：O f 静f m （f m 为最大静摩擦力，与正压力有关 ） 说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反。 b 、摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 c 、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d 、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、 浮力： F= gV （注意单位） 7、 万有引力： F=G 口呼 2 r （1） 适用条件：两质点间的引力（或可以看作质点，如两个均匀球体） 。 （2） G 为万有引力恒量，由卡文迪许用扭秤装置首先测量出。 （3） 在天体上的应用：（M--天体质量，n —卫星质量，R--天体半径，g--天体表面重力加 速度，h —卫星到天体表 面的高度） 高中物理公式 、力胡克定律： F = kx 1、 重力： G = mg
大角度单摆运动的计算机模拟
2006年6月 重庆文理学院学报(自然科学版)J un 1,2006 第5卷 第2期J ournal of Chongqing Universi ty of Arts and Sciences (Nature Sciences Edi ti on)Vol 15 No 12 大角度单摆运动的计算机模拟 龙晓霞 (重庆文理学院 物理与信息工程系,重庆 永川 402160) [摘 要]大角度单摆问题属于非线性问题,很难用解析的方法求其运动.本文利用MATLAB 软件对大角度单摆在无阻力无驱动、有阻力无驱动、有阻力有驱动3种情况下的运动进行了计算机模拟,并对运动情况进行了分析. [关键词]单摆;计算机模拟;MATLAB [中图分类号]O4-39 [文献标识码]A [文章编号]1671-7538(2006)02-0028-04 1 引言 MATLAB 数学软件是欧美十分流行的通用性很强的数学软件,占据了数学软件市场的主导地位.它可以对非线性微分方程进行数值求解. 当单摆的摆角小于5b 的时候,单摆的运动微分方程为线性方程,可以解析求解.但当单摆做大摆角运动时,其运动微分方程为非线性方程,很难用解析的方法讨论其运动.利用MATLAB 软件可以对单摆运动进行数值求解,模拟不同情况下大角度单摆的运动,其结果非常直观、形象. 2 大角度单摆运动的模拟 2.1 大角度单摆的运动微分方程 单摆在做大摆角运动的情况下,考虑到空气阻力和驱动力的影响,其运动微分方程为 [1]: d 2H d t 2+X 2sin H +2b d H d t =f cos pt 1其中,b 为阻尼因数,由阻力大小决定,f 和p 由驱动力决定,X 2=g l 由系统本身决定.2.2 无阻力、无驱动下大角度单摆的运动 2.2.1 微分方程 图1根据大角度单摆的运动微分方程,在无阻力无驱动时, 也就是b =0和f =0时,其运动微分方程为: d 2 H d t 2+X 2sin H =012.2.2 相图及其分析 由图1可以看出: (1)E <2mgl 时,摆锤在-P -P 的势阱中作周期运 动,其相轨迹为一闭合曲线. (2)E >2mgl 时,摆锤在势场中作定向运动,且H 可以 趋向?],其相轨迹为两条不相交的曲线,对应两个不同的X [收稿日期]2005-09-27 [作者简介]龙晓霞(1965-),女,重庆荣昌人,副教授,主要从事力学教学及研究1 [基金项目]重庆文理学院2005-2006年教育教学研究项目(05015)1
物理常见公式的推导
高中物理公式 一、力胡克定律： F = kx (x为伸长量或压缩量；k为劲度系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关) 1、重力： G = mg (g随离地面高度、纬度、地质结构而变化；重力约等于地面上物体受到的地球引力) 3 、求F 1、F2两个共点力的合力：利用平行四边形定则。 注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 (2) 两个力的合力范围：? F1－F2 ?≤ F≤ F1 + F2 (3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、两个平衡条件： （1）共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物体， 所受合外力为零。 F合=0 或： F x合=0 F y合=0 推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 [2]三个共点力作用于物体而平衡，其中任意两个力的合力与第三个力一定等值反向 (2* )有固定转动轴物体的平衡条件：力矩代数和为零．（只要求了解） 力矩：M=FL (L为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力： 滑动摩擦力： f= μ F N 说明：① F N为接触面间的弹力，可以大于G；也可以等于G;也可以小于G ②μ为滑动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关. 静摩擦力：其大小与其他力有关，由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,不与正压力成正比. 大小范围： O≤ f静≤ f m (f m为最大静摩擦力，与正压力有关) 说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反。 b、摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 c、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、浮力： F= ρgV (注意单位) 7、万有引力： F=G m m r 12 2 (1)适用条件：两质点间的引力（或可以看作质点，如两个均匀球体）。 (2) G为万有引力恒量，由卡文迪许用扭秤装置首先测量出。 (3)在天体上的应用：（M--天体质量，m—卫星质量， R--天体半径，g--天体表面重力加速度，h—卫星到天体表 面的高度） a 、万有引力=向心力 G V R h m R h m T R h 2 2 2 2 2 4 () ()() + =+=+ ω π
探究单摆的运动规律
武汉大学物理科学与技术学院 物理实验报告 物理科学与技术学院物基专业2020年4月24 日 实验名称：探究单摆的运动规律 姓名：龙敏年级： 2018级学号： 2018302020201 成绩： 实验报告内容： 一、实验目的五、数据表格 二、主要实验仪器六、数据处理及结果表达 三、实验原理七、实验结果分析 四、实验内容与步骤八、习题 一．实验目的 1:设计并搭建一个理想的单摆，测量重力加速度 2:考虑有可能影响单摆运动的非理想因素 二．主要实验仪器 细绳，小重物 三．实验原理 由牛顿力学，单摆的运动可作如下描述。 首先我们可以得到，重力对单摆的力矩为 其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，θ是单摆与竖直方向的夹角，注意，θ是矢量，这里取它在正方向上的投影。 我们希望得到摆角θ的关于时间的函数，来描述单摆运动。由角动量定理我们知道， 其中I是单摆的转动惯量，β是角加速度。 于是化简得到 小角度近似 不过，在θ比较小时，近似地有sin θ ≈ θ，得到这个方程的解析解为
四．实验内容与步骤 1. 将重物系上细绳得到一个单摆 2 将重物拉到一个固定的小角度，使单摆做小角度摆动 3．用手机计时器测量单摆50个周期所经过的时间，重复三次， 4．改变绳长，重复上述过程 5．利用周期公式计算当地的重力加速度 六．数据处理及结果表达 五、实验数据与处理 摆球直径：d1=2.19cm 1． 用计算法g 及其标准偏差： 给定摆长L=72.39cm 的周期 002.0707.1±=?±T T (s) 05.039.72±=?±l l (cm) (单次测量) ∴ )(78.980707 .139.7214.34422 2 22 s cm T l g =??==π 计算g 的标准偏差： )(1013.9) 14(40001.00003.0) 1(42 2222 s n n T i T -?=-?+++= -?= ∑δ 3242221028.1)707 .11013.9(4)39.7205.0()(2)(--?=??+=+?=T l l g T g δδ )(26.178.9801028.123s cm g =??=-δ 结果 )(02.081.92 s m g g ±=±δ 2． 根据不同摆长测得相应摆动周期数据 不同摆长对应的周期
单摆的复杂运动
单摆的复杂运动 摘要：采用相图方法和庞加莱截面法描述单摆的复杂运动，研究单摆运动中的分岔，混沌等非线性特征。 关键词：单摆；混沌；相图；庞加莱映射 正文： 物理学家伽利略观察比萨大教堂吊灯的摆动，发现了单摆定律：摆动的周期与摆幅无关。 惠更斯利用摆的“等时性”发现了钟表，直至电子表出现前，摆始终是计时装置的心脏，均匀韵律的象征。在高中，大学的物理教材中没有不讲单摆定律的，在物理实验中，没有不做单摆实验的。 单摆是物理学中最简单的模型之一，传统力学教材一般只讨论单摆在摆幅很小的条件下作简谐振动，阻尼振动和受迫振动的特征。事实上，如果不限制其摆幅，单摆在周期性策动力的作用下，其运动将有意想不到的复杂性，本文将从单摆的动力学方程出发，采用相图，牌庞加莱截面等描述方法研究单摆的复杂运动。 1.单摆模型的动力学方程 我们把传统的单摆模型一般化：单摆的摆线换成质量可忽略不计的刚性杆，摆角θ的取值范围不受限制，设摆长为L ，摆球的质量为m ，沿切向受阻力yl θ? -(y 为阻尼系数)，重力的分力sin mg θ-以及周期策动力cos F t ω作用，由牛顿第二定律得此单摆所满足的动力学方程为 sin cos ml rl mg F t θθθω????=--+ （1） 为使（1）式各物理量无量纲化，作如下标度变换： 令20/g l ω=，wt τ=，0/ωωΩ=，02Y m βω=，20F F f ml mg ω==，则（1）式变为： 222sin cos d d f d d θθβθπττ=--+Ω （2） 引入新变量ω，?，将（2）式化成自治方程形式 ： 2sin cos f θω θβωθ?? ?==--+ （3） 这是一个反映单摆运动所遵循的动力学规律的不显含时间的微分方程组。（3）式中有3个可调参量；β，f 和Ω，每个变量的改变都会引起解的变化。可以通过控制Ω，β，f 参量的变化，从而得出反映系统运动特征的信息。 2 单摆运动的相图及庞加莱截面描述方法 由于（3）式含有非线性项。一般而言，不能用解析法求解，对于这类微分方程，法国数学家庞加莱在十九世纪末创建了一种微分方程的定性理论，发明了相图和拓扑学方法，在不求出解的情况下，通过直接考察微分方程的系数及其本身的结构去研究它的解的性质。相