动能定理及其应用专题

《动能定理及其应用》专题复习一．基础知识归纳：

(一)动能：

1.定义：物体由于______而具有的能.

2.表达式：E k=_________.

3.物理意义：动能是状态量，是_____.(填“矢量”或“标量”)

4.单位：动能的单位是_____.

(二)动能定理：

1.内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中的___________.

2.表达式：W=_____________.

3.物理意义：_____________的功是物体动能变化的量度.

4.适用条件：

(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于______________.

(2)既适用于恒力做功，也适用于_________.

(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以_______________.

二．分类例析：

(一)动能定理及其应用：

1.若过程有多个分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．但求功时，必须据不同的情况分别对待求出总功，把各力的功连同正负号一同代入公式．

2.应用动能定理解题的基本思路：

(1)选取研究对象，明确它的运动过程； (2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：

(3)明确研究对象在过程的初末状态的动能E k1和E k2；

(4)列动能定理的方程W合＝E k2－E k1及其他必要的解题方程，进行求解．

例1.小孩玩冰壶游戏，如图所示，将静止于O点的冰壶(视为质点)沿直线OB用水平恒力推到A点放手，此后冰壶沿直线滑行，最后停在B点．已知冰面与冰壶的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，OA＝x，AB＝L.重力加速度为g.求：

(1)冰壶在A点的速率v A；(2)冰壶从O点运动到A点的过程中受到小孩施加的水平推力F.

吴涂兵

例2.如图所示，一块长木板B 放在光滑的水平面上，在B 上放一物体A ，现以恒定的外力F

拉B ，由于A 、B 间摩擦力的作用，A 将在B 上滑动，以地面为参考系，A 、B 都向前移动一段距离．在此过程中( ) A ．外力F 做的功等于A 和B 动能的增量 B ．B 对A 的摩擦力所做的功等于A 的动能增量

C ．A 对B 的摩擦力所做的功等于B 对A 的摩擦力所做的功

D ．外力F 对B 做的功等于B 的动能的增量与B 克服摩擦力所做的功之和

(二)利用动能定理求变力的功：

1.所求的变力的功不一定为总功，故所求的变力的功不一定等于ΔE k .

2.若有多个力做功时，必须明确各力做功的正负，待求的变力的功若为负功，可以设克服该力做功为W ，则表达式中应用－W ；也可以设变力的功为W ，则字母W 本身含有负号． 例

3.如图所示，质量为m 的小球用长为L 的轻质细线悬于O 点，与O 点处于同一水平线上的P 点处有一个光滑的细钉，已知OP ＝L

2，在A 点给小球一个水平向左的初速度v 0，发现小

球恰能到达跟P 点在同一竖直线上的最高点B .求： (1)小球到达B 点时的速率；

(2)若不计空气阻力，则初速度v 0为多少；

(3)若初速度v 0＝3gL ，则小球在从A 到B 的过程中克服空气阻力做了多少功．

例4.如图所示，在竖直平面内有一半径为R 的圆弧轨道，半径OA 水平、OB 竖直，一个质量为m 的小球自A 的正上方P 点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B 时恰好对轨道没有压力．已知AP ＝2R ，重力加速度为g ，则小球从P 到B 的运动过程中( ) A ．重力做功2mgR B ．机械能减少mgR C ．合外力做功mgR D ．克服摩擦力做功1

2mgR

(三)动能定理与图象结合的问题：

例5.小军看到打桩机，对打桩机的工作原理产生了兴趣．他构建了一个打桩机的简易模型，如图甲所示．他设想，用恒定大小的拉力F 拉动绳端B ，使物体从A 点(与钉子接触处)由静止开始运动，上升一段高度后撤去F ，物体运动到最高点后自由下落并撞击钉子，将钉子打入一定深度．按此模型分析，若物体质量m ＝1kg ，上升了1m 高度时撤去拉力，撤去拉力前物体的动能E k 与上升高度h 的关系图象如图乙所示．(g 取10 m/s 2

，不计空气阻力)

(1)求物体上升到0.4 m 高度处F 的瞬时功率．

(2)若物体撞击钉子后瞬间弹起，且使其不再落下，钉子获得20 J 的动能向下运动．钉子总长为10 cm.撞击前插入部分可以忽略，不计钉子重力．已知钉子在插入过程中所受阻力F f 与深度x 的关系图象如图丙所示，求钉子能够插入的最大深度．

例6.随着中国首艘航母“辽宁号”的下水，同学们对舰载机的起降产生了浓厚的兴趣．下面是小聪编制的一道舰载机降落的题目，请你阅读后求解．

(1)假设质量为m 的舰载机关闭发动机后在水平地面跑道上降落，触地瞬间的速度为v 0(水平)，在跑道上滑行的v －t 图象如图所示．求舰载机滑行的最大距离和滑行时受到的平均阻力大小；

(2)航母可以通过设置阻拦索来增大对舰载机的阻力．现让该舰载机关闭发动机后在静止于海面上的航母水平甲板上降落，若它接触甲板瞬间的速度仍为v 0(水平)，在甲板上的运动可以看做匀变速直线运动，在甲板上滑行的最大距离是在水平地面跑道上滑行的最大距离的1

4.求该舰载机在航母上滑行时受到的平均阻力大小(结果用m 、v 0、t 0表示)．

(四)利用动能定理分析多过程问题：

1．选择合适的研究过程使问题得以简化．当物体的运动过程包含几个运动性质不同的子过

程时，可以选择一个、几个或全部子过程作为研究过程．

2．当选择全部子过程作为研究过程，涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意

运用它们的功能特点：(1)重力的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；(2)大小恒定的阻力或摩擦力的功等于力的大小与路程的乘积．

例7.如图所示，倾角为37°的粗糙斜面AB 底端与半径R ＝0.4 m 的光滑半圆轨道BC 平滑相连，O 点为轨道圆心，BC 为圆轨道直径且处于竖直方向，A 、C 两点等高．质量m ＝1 kg 的滑块从A 点由静止开始下滑，恰能滑到与O 点等高的D 点，g 取10 m/s 2

，sin 37°＝，cos 37°＝. (1)求滑块与斜面间的动摩擦因数μ；

(2)若使滑块能到达C 点，求滑块从A 点沿斜面滑下时的初速度v 0的最小值；

(3)若滑块离开C 点的速度大小为4 m/s ，求滑块从C 点飞出至落到斜面上所经历的时间t .

例8.如图所示，让小球从半径R ＝1 m 的光滑1

4圆弧PA 的最高点P 由静止开始滑下(圆心O

在A 点的正上方)自A 点进入粗糙的水平面做匀减速运动，到达小孔B 进入半径r ＝0.3 m 的竖直放置的光滑竖直圆轨道，当小球进入圆轨道立即关闭B 孔，小球恰好能做圆周运动．已知小球质量m ＝0.5 kg ，A 点与小孔B 的水平距离x ＝2 m ，取g ＝10 m/s 2(最后结果可用根式表示)．求：

(1)小球到达最低点A 时的速度以及小球在最低点A 时对轨道的压力大小； (2)小球运动到光滑竖直圆轨道最低点B 时的速度大小； (3)求粗糙水平面的动摩擦因数μ.

例9.如图甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑斜面AB的A处连接一粗糙水平面OA，OA 长为4 m．有一质量为m的滑块，从O处由静止开始受一水平向右的力F作用．F只在水平面上按图乙所示的规律变化．滑块与OA间的动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2，试求：

(1)滑块运动到A处的速度大小；

(2)不计滑块在A处的速率变化，滑块冲上斜面AB的长度是多少

例10.飞机在水平跑道上滑行一段时间后起飞。飞机总质量m=1 x 10'kg，发动机在水平滑行过程中保持额定功率P=8000KW，滑行距离x=50m，滑行时间t=5s，然后以水平速度v0=80m/s 飞离跑道后逐渐上升，飞机在上升过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)，飞机在水平方向通过距离L=1600 m的过程中，上升高度为h=400m。取g=10m/s2。求：

(1)假设飞机在水平跑道滑行过程中受到的阻力大小恒定，求阻力f的大小

(2)飞机在上升高度为h=400m过程中，受到的恒定升力F是多大机械能的改变量是多少

例1(1)冰壶从A 点运动至B 点的过程中，只有滑动摩擦力对其做负功，由动能定理得

－μmgL ＝0－12

mv 2

A 解得v A ＝2μgL

(2)冰壶从O 点运动至A 点的过程中，水平推力F 和滑动摩擦力同时对其做功，由动能定理得 (F －μmg )x ＝12mv 2A 解得F ＝μmg x ＋L

x

例 例3.(1)小球恰能到达最高点B ，有mg ＝m v 2B

L

2

，得v B ＝

gL

2

.

(2)若不计空气阻力，从A →B 由动能定理得

－mg (L ＋L 2)＝12mv 2B －12mv 2

0解得v 0＝

7gL

2

. (3)由动能定理得： －mg (L ＋L 2)－W f ＝12mv 2B －12mv 20 解得W f ＝11

4

mgL . 例

例5.(1)撤去F 前，根据动能定理，有

(F －mg )h ＝E k －0 由题图乙得，斜率为k ＝F －mg ＝20 N 得F ＝30 N 又由题图乙得，h ＝0.4 m 时，E k ＝8 J ，则v ＝4 m/s

P ＝Fv ＝120 W

(2)碰撞后，对钉子，有－F f x ′＝0－E k ′ 已知E k ′＝20 J

F f ＝

k ′x ′

2

又由题图丙得k ′＝105

N/m 解得：x ′＝0.02 m

例6.(1)由题图，根据匀变速运动规律可得

最大距离为x ＝12v 0t 0 由动能定理有－F f x ＝0－12mv 20 解得阻力F f ＝mv 0

t 0

(2)最大距离x ′＝14x ＝18v 0t 0 由动能定理有－F f ′x ′＝0－12mv 20联立解得F f ′＝4mv 0

t 0

例7.(1)滑块从A 点到D 点的过程中，根据动能定理有mg (2R －R )－μmg cos 37°·2R sin 37°

＝0－0 解得：μ＝1

2

tan 37°＝

(2)若使滑块能到达C 点，根据牛顿第二定律有mg ＋F N ＝mv 2C

R

由F N ≥0得v C ≥Rg ＝2 m/s 滑块从A 点到C 点的过程中，根据动能定理有 －μmg cos 37°·2R sin 37°＝12mv 2C －12

mv 2

则v 0＝v 2

C ＋4μgR cot 37°≥2 3 m/s ，故v 0的最小值为2 3 m/s

(3)滑块离开C 点后做平抛运动，有x ＝v C ′t ，y ＝12

gt 2

tan 37°＝2R －y x

，整理得：5t 2

＋3t －＝0，解得t ＝ s(t ＝－ s 舍去)

例8.(1)对PA 段应用动能定理，得mgR ＝12

mv 2

A 代入数据解得：v A ＝20 m/s 在最低点A 时

有：F N －mg ＝m v 2A

R 解得：F N ＝15 N 由牛顿第三定律可知：小球在最低点A 时对轨道的压力大

小为15 N.(2)小球恰好能在圆轨道做圆周运动，最高点C 时mg ＝m v 2C

r

得v C ＝ 3 m/s 由动能定理得： mg ·2r ＝12mv 2B －12mv 2

C 代入数据解得：

小球在B 点时的速度为v B ＝15 m/s.

(3)对AB 段应用动能定理，有－μmgx ＝12mv 2B －12

mv 2

A 解得：μ＝

例9.火车的初速度和末速度分别用V 0和V t 表示，时间用t 表示，位移用S 表示，根据动能

定理有：Pt-fs=2

22121mV mV t -

火车速度达到最大时，牵引力等于阻力f ，根据瞬时功率的计算公式有：P=fV e 。

N

S V V V M f t t 42252

02105.2)285030017(2)

817(100.5)(2)(?=-??-??=--= N fV P t 541025.417105.2?=??==

例10.(1)由题图乙知，在前2 m 内，F 1＝2mg ，做正功，在第3 m 内，F 2＝－，做负功，在第4 m 内，F 3＝0，滑动摩擦力F f ＝－μmg ＝－，始终做负功，对于滑块在OA 上运动的全过程，由动能定理得：F 1x 1＋F 2x 2＋F f x ＝12mv 2A －0即2mg ×2－×1－×4＝12mv 2

A 解得v A ＝5 2

m/s(2)对于滑块冲上斜面的过程，由动能定理得－mgL sin 30°＝0－12mv 2

A 解得：L ＝5 m

例10.（1）飞机在水平滑行过程中，根据动能定理2

2

1υm fx Pt =

-解得5f 1.610N =? （2）该飞机升空后水平方向做匀速运动，竖直方向做初速度为零的匀加速运动，设运动时间为t ，竖直方向加速度为a ，升力为F ，则水平方向：o L v t =，竖直方向：21h=at 2

解得2t 20s a 2m /s ==，

由牛顿第二定律得F mg ma

=－

解得5

F 1.210N =? 设飞机机械能的改变量为Fh E =?解得7

4.810J E ?=?