二次函数与一元二次方程讲义

二次函数与一元二次方程

1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．

2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．

一、情境导入

如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数与一元二次方程

【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断

下列函数的图象与x只有一个交点的是( )

A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3

C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1

解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D.

【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴

如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．

解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝

2.

方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程． 【类型三】利用函数图象与x 轴交点情况确定字母取值范围

若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋1

2

m ＋1的

图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )

A ．0

B ．0或2

C ．2或－2

D ．0，2或－2

解析：若m ≠0，二次函数与x 轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x

轴也有一个交点．由(m ＋2)2－4m (

12

m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2，当m ＝0时原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点，

所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．

方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当

b 2－4a

c ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．

【类型四】利用抛物线与x 轴交点坐标确定一元二次方程的解

小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )

A．无解

B．x＝1

C．x＝－4

D．x＝－1或x＝4

解析：∵二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴交于(－1，0)和(4，0)，即当x＝－1或4时，x2＋ax＋b＝0，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x2＝4，故选D.

方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导

致无法求解．

探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的不等关系

【类型一】利用抛物线解一元二次不等式

抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( )

A．x＜2

B．x＞－3

C．－3＜x＜1

D．x＜－3或x＞1

解析：观察图象，可知当－3＜x＜1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx ＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是－3＜x＜1.故选C.

方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．

【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是( )

A．x＜－1

B．x＞3

C．－1＜x＜3

D．x＜－1或x＞3

解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x＞3.故选D.

方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．

三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系.