2013第十届中国东南地区数学奥林匹克试题解答
第十届东南数学奥林匹克解答
第一天
(2013年7月27日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭
1. 实数,a b 使得方程3
2
0x ax bx a -+-=有三个正实根．求32331
a a
b a
b -++的
最小值．
（杨晓鸣提供）
解 设方程320x ax bx a -+-=的三个正实根分别为123,,x x x ，则由根与系数的关系可得
123122313123,,x x x a x x x x x x b x x x a ++=++==，
故0,0a b >>．
由2123122313()3()x x x x x x x x x ++≥++知：23a b ≥．
又由123a x x x =++≥=
a ≥
32331a ab a b -++23(3)31
a a
b a a b -++=
+332333113
a a a a
a a
b ++≥≥=≥++
当9a b ==
综上所述，所求的最小值为．
2. 如图，在ABC ?中，AB AC >，内切圆I 与BC 边切于点D ，AD 交内切圆I 于另一点E ，圆I 的切线EP 交BC 的延长线于点P ，CF 平行PE 交AD 于点
F ，直线BF 交圆I 于点,M N ，点M 在线段BF 上，线段PM 与圆I 交于另一
点Q ．证明：ENP ENQ ∠=∠． （张鹏程提供）
证法1 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T 联结,,ST AI IT ，设ST 与AI 交
于点G ，则,I
T A T T G A I
⊥⊥，从而有2AG AI AT AD AE ?==?，所以,,,I G E D
四点共圆．
又,IE PE ID PD ⊥⊥，所以,,,I E P D 四点共圆，从而,,,,I G E P D 五点共圆．
所以90IGP IEP ∠=∠= ，即IG PG ⊥
，
从而,,P S T 三点共线．
直线PST 截ABC ?，由梅涅劳斯定理知，
1AS CP BT SC PB TA
??=， 又,,AS AT CS CD BT BD ===，所以有
1PC BD
PB CD
?=． ① 设BN 的延长线交PE 于点H ，直线BFH 截PDE ?，由梅涅劳斯定理知，
1PH EF DB
HE FD BP
??=． 因为CF 平行于BE ，所以
EF PC
FD CD
=，从而有 1PH PC DB
HE CD BP
??=． ② 由①、②知，PH HE =，故22PH HE HM HN ==?，所以
PH HN
HM PH
=，PHN ?∽MHP ?，HPN HMP NEQ ∠=∠=∠， 又PEN EQN ∠=∠，所以ENP ENQ ∠=∠．
证法2 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T ，则由PI AD ⊥知
2222222PA PD IA ID IA IT AT -=-=-=，
所以2222222PA AT PD IP ID IP IT -==-=-，从而AI PT ⊥．又AI ST ⊥，所以
,,P S T 三点共线．
以下同证法1．
3. 数列{}n a 满足：21211
(1)1,2,(2,3,)n
n n n a a a a n a +-+-==== ．证明：该数
列任意两个相邻项的平方和仍是该数列中的一个项．
（陶平生提供）
证 由211
(1)n n n n a a a +-+-=得2
11(1)(2,3,,)n n n n a a a n +-=+-= ，于是
2222112n n n n n n n n a a a a a a a a --------=212
12
12(1)n n n n n a a a a -----+--=
2
11312
n n n n n a a a
a a ------=132n n n a a a ----== 3122a a a -==，
故122(3)n n n a a a n --=+≥．从而
12345671,2,5,12,29,70,169,a a a a a a a ======= ，
可见2222221232353475,29,169a a a a a a a a a +==+==+==，故猜想22
121n n n a a a +++=．
令22
121()n n n f n a a a ++=+-，于是
(1)()f n f n +-2222
1223121n n n n n n a a a a a a +++++=+---+
222321()()()n n n n n n a a a a a a ++++=-+--
12222()2n n n n a a a a +++=+-2()g n =，
① 其中1222()()n n n n g n a a a a +++=+-．进一步有
(1)()g n g n +-231241222()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=+--++
231232n n n n n a a a a a ++++=--22112123(2)(2)2n n n n n n n a a a a a a a +++++++=+---
22
21232222(1)n n n a a a f n +++=+-=+．
② 由①、②知
4(1)2(1)2()f n g n g n +=+-(2)(1)(1)()f n f n f n f n =+-+-++，
即(2)6(1)()f n f n f n +=+-．由于(1)(2)0f f ==，根据递推式可知()0f n =，
即22
121n n n a a a +++=．证毕．
4. 十二个杂技演员编号分别为1,2,,12 ，将他们按适当方式分别围成
,A B 两个圈，每圈6人，其中B 圈的每个演员分别站在A 圈相邻两个演员的肩
膀上．如果B 圈中每个演员的编号分别等于他脚下两个演员的编号之和，就称这样搭配成的结构为一个“塔”，问总共能搭配成多少个结构不相同的“塔”？ （注：旋转或对称后的塔属于同一种结构．以8个人的情况为例，画一个圆，将底层演员编号填在圈内，上层演员编号填在圈外，那么以下三个图均是“塔”，但后两个图分别可由第一个图经旋转或对称而得，故它们属于同一种结构．） （陶平生提供）
解 将组,A B 中的元素和分别记为,x y ，则有2y x =，所以
3121278x x y =+=+++= ，26x =．
显然有1,2A ∈，11,12B ∈，设{}1,2,,,,A a b c d =，其中a b c d <<<，则
1
23
45678
1234
5
6
781
2345
678
23a b c d +++=，且3,810a d ≥≤≤（若7d ≤，则456722a b c d +++≤+++=，
矛盾）．
(1) 如果8d =，则{}1,2,,,,8,7,15A a b c c a b c =≤
++=，于是(,,)a b c (3,5,7)=或(4,5,6)，即{}1,2,3,5,7,8A =或{}1,2,4,5,6,8A =．
若{}1,2,3,5,7,8A =，则{}4,6,9,10,11,12B =，由于B 中含4,6,11,12，
故A 中必须1、3邻接，1、5邻接，5、7邻接，8、3邻接，这时只有唯一的排法，由此得到一个塔：
若{}1,2,4,5,6,8A =，则{}3,7,9,10,11,12B =，类
似知A 中必须1、2邻接，5、6邻接，4、8邻接，这时有两种排法，得到两个塔：
(2) 如果9d =，则{}1,2,,,,9,8,14A a b c
c a b c =≤+
+=，这时(,,)a b c
(3,5,6)=或(3,4,7)，即{}1,2,3,5,6,9A =或{}1,2,3,4,7,9A =．
若{}1,2,3,5,6,9A =，则{}4,7,8,10,11,12
B =，为得到B 中的4,10,12，
A 中必须1、3、9两两邻接，这不可能；
若{}1,2,3,4,7,9A =，则{}5,6,8,10,11,12B =，为得到B 中的6,8,12，
A 中必须2、4邻接，1、7邻接，9、3
邻接，于是有两种排法，得到两个塔：
(3) 如果10d =，则{}1,2,,,,10,9,13A a b c c a b c =≤++=，这时，
(,,)(3,4,6)a b c =，即{}1,2,3,4,6,10
A =，{}5,7,8,9,11,12
B =，为得到B
中8,9,11,12， A 中必须6、2邻接，6、3邻接，10、1邻接，10、2邻接，只有唯一排法，得到一个塔：
因此，结构不相同的“塔”共有6个．
12
56
4
8
37111012
991210117
3
8
46
521125
648
3
7
11
10129
125
6
4
8
3711
10129
1
256
48
371110
129
125
6
48
3
71110
129
第十届东南数学奥林匹克解答
第二天
(2013年7月28日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭
1. 设()1!2!2013!x x x f x ??????
=+++????????????
，[]x 表示不超过x 的最大整数．对整 数n ，若关于x 的方程()f x n =有实数解，则称n 为好数．求集合{}1,3,5,,2013 中好数的个数． （吴根秀提供）
解 先指出两个明显的结论：
(a ) 若m 为正整数，x 为实数，则[]x x m m ????=????????；
(b ) 对任意整数l 与正偶数m ，有212l l m m +????
=????????
． 下面我们求解原问题．
在结论(a )中令!(1,2,,2013)m k k == 并求和，可知
2013
2013
11[]()([])!!k k x x f x f x k k ==????
===????????
∑
∑， 这表明方程()f x n =有实数解当且仅当方程()f x n =有整数解．
以下只需考虑x 为整数的情况．由于
[][]2013
21(1)()11!!k x x f x f x x x k k =?+?
????+-=+-+-≥ ???????
????∑， ① 所以()()f x x ∈Z 单调递增．下面找整数,a b ，使得
(1)0()(1)(1)()2013(1)f a f a f a f b f b f b -<≤<+<<-<≤<+ ．
注意到(1)0(0)f f -<=，所以0a =．又由于
6
11173(1173)1173586195489120122013!k f k =??==+++++=≤????∑， 611174(1174)1174587195489120142013!k f k =??==+++++=>???
?∑， 故1173b =．
因此{}1,3,5,,2013 中的好数就是{}(0),(1),,(1173)f f f 中的奇数．
在①中令2(0,1,,586)x l l == ，由结论(b )知212(22013)!!l l k k k +????
=≤≤????????， 因此
2013
2212(21)(2)11!!k l l f l f l k k =?+?
????+-=+-= ???????
????∑， 这说明(2),(21)f l f l +中恰有一个为奇数，从而{}(0),(1),,(1173)f f f 中恰有
1174
5872
=个奇数，即集合{}1,3,5,,2013 中的好数有587个．
2. 设n 为大于1的整数．将前n 个素数从小到大依次记为12,,,n p p p （即
12p =，23,p =）
，令1212n p p p n A p p p = ．求所有正整数x ，使得A
x
为偶数，且 A
x
恰有x 个不同的正约数． （何忆捷提供）
解 由已知得2|x A ，注意到224n p p n A p p =? ，故可设12
22n n
x p p a a a = ，其中101,0(2,3,,)i
i p i n a a ＃＃= ．此时有
122222n n p p n A
p p x
a a a ---= ， 故
A
x
不同的正约数个数为122(3)(1)(1)n n p p a a a --+-+ ．由已知得 12
1222(3)(1)(1)2n n n n
p p x p p a a a a a a --+-+== ． ① 下面数学归纳法证明：满足①的数组12(,,,)n a a a 必为(1,1,,1)(2)n 3． (1) 当2n =时，①变为1212(3)(4)23a a a a --=，其中1{0,1}a ?．若10a =，
则223(4)3a a -=，无非负整数2a 满足；若11a =，则2
22(4)23a a -=?，可得
21a =．从而12(,)(1,1)a a =，即2n =时结论成立．
(2) 假设1n k =-时结论成立（其中3k 3），则当n k =时，①变为
112
1221121(3)(1)(1)(1)2k k k k k k k k p p p p p p a a a a a a a a ------+-+-+= ． ②
若2k a 3，则考虑到
01,011(11)k k k i i i k p p p p p i
k a a <-+<<-+?<＃-，
故②的左边不能被k p 整除，但此时②的右边是k p 的倍数，矛盾！
若0k a =，则②变为
112
1221121(3)(1)(1)(1)2k k k k k p p p p p a a a a a a ------+-++= ．
注意到23,,,k p p p 为奇素数，因此一方面1k p +为偶数，从而上式左边为偶数，
而另一方面，右边12
21k k p p a a -- 为奇数．从而必有11a =．但此时132a -=，故左
边是4的倍数，但右边不是4的倍数，仍矛盾！
由上述讨论知，只能1k a =，此时②中1k
k k k k p p p a a -+==，因而
112
1221121(3)(1)(1)2k k k k p p p p a a a a a a ------+-+= ．
由归纳假设知1211k a a a -==== ．从而1211k k a a a a -===== ，即当n k =时结论成立．
由(1)、(2)可断定12(,,,)(1,1,,1)n a a a = ，故所求正整数为
2122n n x p p p p p == ．
3. 将33′正方形任意一个角上的22′正方形挖去，剩下的图形称为“角形”（例如，图1就是一个角形）．现于1010′方格表（图2）中放置一些两两不重叠的角形，要求角形的边界与方格表的边界或分格线重合．求正整数k 的最大值，使得无论以何种方式放置了k 个角形之后，总能在方格表中再放入一个完整的角形．
（何忆捷提供）
解 首先有max 8k <，这是因为，若按图1的方式放置8个角形，则不能再于方格表中放入另一个角形．
下面证明：任意放置7个角形后，仍可再放入一个完整的角形．
将1010′方格表的第5、6行及第5、6列遮住，留出4个44′正方形．当放置7个角形后，由于每个角形不能与两个上述44′正方形相交，故根据抽屉原理知，必存在一个44′的
正方形S ，使得与S 相交的角形至多1个，而角形可被33′正方形所包含，故正方形S 被角形所占据的部分必包含于它的某个角上的33′正方形．
如图2所示，我们可以在S 除去一个角上33′正方形后剩余的部分放置一个新的角形．因此7k =时符合题意．
综上所述，有max 7k =．
4. 设整数3n ≥，,,(0,1)αβγ∈，,,0(1,2,,)k k k a b c k n ≥= 满足
1
()n
k
k k a
αα=+≤∑，1
()n
k k k b ββ=+≤∑，1
()n
k k k c γγ=+≤∑．
若对任意满足上述条件的,,(1,2,,)k k k a b c k n = ，均有1
()n k k k k k a b c λλ=+≤∑， 求λ的最小值． （李胜宏提供）
解 令111,,111a b c αβγ
αβγ
=
==+++，,,0(2,3,,)i i i a b c i n == ，此时条 件成立，故λ须满足(1)111αβγ
λλαβγ
+??≤+++，解得
(1)(1)(1)αβγ
λαβγαβγ
≥+++-．
记
0(1)(1)(1)αβγ
λαβγαβγ
=+++-．下面证明，对任意满足条件的,,k k k a b c ， 1,2,,k n = ，有
01
()n
k k k
k k a b c
λλ=+≤∑．
① 由题目条件知
1
3
1n
k k k k k k k a b c αβγαβγ=??
+++??
???
∑ 11
1
3
3
3111n
n
n
k k k k k k k k k a b c αβγαβγ===??
??+++??≤?? ?
? ?????
??
∑∑∑1≤， 这里用到了结论：当,,0(1,2,,)i i i x y z i n ≥= 时，有
3
3331111n n n n i i i i i i i i i i x y z x y z ====????????
≤ ? ?????????????
∑∑∑∑． ② （为完整起见，我们将②的证明过程附在最后．）
因此，为证①，只需证明对1,2,,k n = ，有
13
k k k k k k k k k k a b c a b c λαβγλαβγ+??
+++≤??? ???
，
即
()
1
2
3
3
()()()k k k k k k k a b c λαβγλαβγ+??
+++≤ ???
．
③ 事实上，
01()()
αβγ
λαβγαββγγα=
++++++
2
()()
k k αβγ
αβγαββγγα≥++++++ ()()()k k k k αβγ
αβγαβγ
=+++-， 因此
()()()
k k k k λαβγλαβγ
++++≤
． ④
又由于(),(),()k k k k a k b k c ααββγγ+≤+≤+≤，故
()
223
3
()()()k k k a b c k k k αβγ
αβγ??≤ ?+++??
．
⑤ 由④、⑤可知③成立，从而①成立． 综上所述，min 0(1)(1)(1)αβγ
λλαβγαβγ
==
+++-．
注 ②可以直接用H?lder 来证明，亦可由Cauchy 不等式进行如下推理：
2
33111n n n i i i i i x y ===?????≥ ??? ?????∑∑；
2
3111n
n
n
i i i i i i i z x y z ===?????≥ ??? ?????∑∑；
22
111
1n n
n n i i i i i i i x y z ====????≥= ?????
∑．
由以上三式知
2
2
31133311111
n n n n n
n
i i i i i i i i n i i i i i i i
i x y z x y z x y z =======?? ????????????≥≥
????? ???????
??
∑∑∑∑∑．
历届东南数学奥林匹克试题
目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20)
2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作 一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立，求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的 圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有 一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进
2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版
2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B
因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B
第十届中国东南地区数学奥林匹克试题解答
第十届东南数学奥林匹克解答 第一天 (2013年7月27日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭 1. 实数,a b 使得方程3 2 0x ax bx a -+-=有三个正实根．求32331 a a b a b -++的 最小值． （杨晓鸣提供） 解 设方程320x ax bx a -+-=的三个正实根分别为123,,x x x ，则由根与系数的关系可得 123122313123,,x x x a x x x x x x b x x x a ++=++==， 故0,0a b >>． 由2123122313()3()x x x x x x x x x ++≥++知：23a b ≥． 又由123a x x x =++≥= a ≥ 32331a ab a b -++23(3)31 a a b a a b -++= +332333113 a a a a a a b ++≥≥=≥++ 当9a b == 综上所述，所求的最小值为． 2. 如图，在ABC ?中，AB AC >，内切圆I 与BC 边切于点D ，AD 交内切圆I 于另一点E ，圆I 的切线EP 交BC 的延长线于点P ，CF 平行PE 交AD 于点 F ，直线BF 交圆I 于点,M N ，点M 在线段BF 上，线段PM 与圆I 交于另一 点Q ．证明：ENP ENQ ∠=∠． （张鹏程提供） 证法1 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T 联结,,ST AI IT ，设ST 与AI 交 于点G ，则,I T A T T G A I ⊥⊥，从而有2AG AI AT AD AE ?==?，所以,,,I G E D 四点共圆． 又,IE PE ID PD ⊥⊥，所以,,,I E P D 四点共圆，从而,,,,I G E P D 五点共圆． 所以90IGP IEP ∠=∠=，即IG PG ⊥ ，
2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)
2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题 第一天 1. 如图1，在圆内接ABC 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ，1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵，满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。 允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a ： （1） 对每个正整数i ，有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ .
第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ，求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。
参考答案 第一天 1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。 分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。 由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ，这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行，既不改变题设也 不改变结论。同样，不妨设12p y y y <<< 。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。 由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。否则，将整个数表关于主对
2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一年级试题答案及评析
1．求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有2()(1)(1)a b ab b kab +++≥． 2．如图，两圆1Γ，2Γ交于A ，B 两点，C ，D 为1Γ上两点，E ，F 为2Γ上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交．设CF 与1Γ，2Γ分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1Γ，2Γ分别交于点()M D ≠，()N E ≠． 证明：若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等． 3．函数**:f →N N 满足：对任意正整数a ，b ，均有()f ab 整除(){} max ,f a b ．是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论． 4．将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示． 现有一个固定放置的918?方格表．若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由．
5．称集合{1928,1929,1930,,1949}S =的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除．用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数．试比较x ，y 的大小，并说明理由． 6．设a ，b ，c 为给定的三角形的三边长．若正实数x ，y ，y 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值． 7．设ABCD 为平面内给定的凸四边形．证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形A B C D ''''，使得点P 在直线AB 与A B ''上，点Q 在直线BC 与B C ''上，点R 在直线CD 与C D ''上，点S 在直线DA 与D A ''上． 8．对于正整数1x >，定义集合()(){},,,mod 2x p S p p x p x v x αααα=≡为的素因子为非负数且，其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和．约定()11f =． 今给定正整数m ．设正整数数列1a ，2a ，，n a ，满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,,n n n n m a f a f a f a m +??=++． （1）证明：存在常数A ，B ()01A <<， 使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数Q ，使得对所有*n ∈N ，n a Q <． 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 参考答案 1．原不等式 ()() 2221(1)a b b a b b kab ?++++≥ ()221(1)b ab b b kb a ???++++≥ ?? ? 单独考虑左边，左边可以看成是一个a 的函数、b 为参数，那么关于a 取最小值的时候有 ()()2231(1)1(1)(1)b ab b b b b b a ????++++≥++=+ ? ? ????? 于是我们只需要取32(1)k b b ?≤+即可．
2013中国数学奥林匹克成绩
2013中国数学奥林匹克成绩 名次姓名性别学校总分1张灵夫男四川绵阳中学126 2宋杰傲男上海中学126 3刘宇韬男上海中学126 4肖非依男华中师范大学一附中126 5夏剑桥男郑州外国语学校126 6陈嘉杰男华南师范大学附属中学126 7高奕博男人大附中126 8胥晓宇男人大附中126 9柳何园男上海中学123 10杨赛超男石家庄二中南校123 11孟 涛男北京四中123 12刘驰洲男乐清市乐成公立寄宿学校120 13李大为男复旦大学附属中学120 14郝晨杰男江苏省启东中学120 15马玉聪男武汉二中120 16余张逸航男华中师范大学一附中120 17王 翔男深圳中学120 18刘 潇男乐清市乐成公立寄宿学校117 19宋一凡男石家庄二中117 20饶家鼎男深圳市第三高级中学117 21段柏延男人大附中117 22陈凯文男鄞州中学114 23顾 超男格致中学114 24沈 澈男人大附中114 25金 辉男镇海中学111 26涂瀚宇男四川南充高中108 27李辰星男郑州一中108 28周韫坤男深圳中学108 29陈 成男镇海中学105 30朱晶泽男华东师范大学第二附属中学105 31邓杨肯迪男湖南师大附中105 32廖宇轩男郑州外国语学校105 33任卓涵男郑州一中105 34李 爽男育才中学105 35高继杨男上海华育中学102 36李 笑男湖南师大附中102 37颜公望男武汉六中102 38黄 开男华中师范大学一附中102 39田方泽男中山纪念中学102 40占 玮男合肥一中102 41黄 迪男四川自贡蜀光中学99 42杨卓熠男成都七中99 43杨承业男成都七中99 44丁允梓男上海中学99
2009第六届中国东南地区数学奥林匹克试题及解答
第六届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2009年7月28日 上午8：00－12：00） 江西·南昌 1. 试求满足方程2221262009x xy y -+=的所有整数对(,)x y 。 2. 在凸五边形ABCDE 中，已知AB =DE 、BC =EA 、AB EA ≠，且B 、C 、D 、E 四点共圆。证明：A 、B 、C 、D 四点共圆的充分必要条件是AC =AD 。 3. 设,,x y z R +∈，222(), (), ()a x y z b y z x c z x y =-=-=-。求证： 2222()a b c ab bc ca ++≥++。 4. 在一个圆周上给定十二个红点；求n 的最小值，使得存在以红点为顶点的n 个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边。 第二天 （2009年7月29日 上午8：00－12：00） 江西·南昌 5. 设1、2、3、…、9的所有排列129(,,,)X x x x = 的集合为A ；X A ?∈，记 1239()239f X x x x x =++++ ，{()}M f X X A =∈；求M 。(其中M 表示集合M 的元素个数) 6. 已知O 、I 分别是ABC ?的外接圆和内切圆。证明：过O 上的任意一点D ，都可以作一个三角形DEF ，使得O 、I 分别是DEF ?的外接圆和内切圆。 7. 设(2)(2)(2) (,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x ---= ++++++++， 其中,,0x y z ≥ ，且 1x y z ++=。求(,,)f x y z 的最大值和最小值。 8. 在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块？ F E I O B C A D
中国数学奥林匹克(cmo)试题(含答案word)
2012年中国数学奥林匹克(CM Ｏ）试题 第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角，不含点A 的弧BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为 2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤=、。 允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上１或同时减去１。若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵"。求好矩阵A 的个数. 3.证明:对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,, a a : （1） 对每个正整数i ,有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈-使得 1122m m n b a b a b a =+++.
第二天 4．设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x ++ +=的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤=∑的最大值． 5．设n 为无平方因子的正偶数,k 为整数,p 为质数，满足 |p p <2,|()n p n k +。 证明:n 可以表示为ab bc ca ++，其中,,,a b c 为互不相同的正整数。 ６．求满足下面条件的最小正整数k ：对集合{1,2,,2012}S =的任意一个k 元子集A ,都存在S 中的三个互不相同的元素a 、b 、c ，使得a b +、b c +、c a +均在集合A 中.
小学四年级数学奥林匹克竞赛试题及答案
小学四年级数学奥林匹克竞赛试题及答案 (每题8分；总共120分) 一、选择.（将正确的答案填在相应的括号内） 1.找规律填数:（在横线上写出你发现的规律） 21 26 19 24 ( ) ( ) 15 20 . (1)15,34 (2)17,18 (3)17,22 (4)23,25 2.甲乙两个数的和是218,如果再加上丙数,这时三个数的平均数比甲乙两数的平均数多 5,丙数是( ). (1)124 (2) 122 (3)140 (4)127 3.设X和Y是选自前500个自然数中的两个不同的数,那么(X+Y)÷(X-Y)的最大值 是( ). (1)1000 (2) 990 (3)999 (4)998 4.选择: 8746×7576 的积的末四位数字是 ( ). (1) 6797 (2) 9696 (3) 7669 (4) 6769 5. 现有1分,2分和5分的硬币各四枚,用其中的一些硬币支付2角3分钱,一共有多少 种不同的支付方法？ (1)4 (2) 5 (3)10 (4)8 6.右图中,所有正方形的个数是( )个. (1)10 (2)8 (3)11 (4)9 7.用0--4五个数字组成的最大的五位数与最小的五位数相差( ). (1)30870 (2)32900 (3)32976 (4)10000 8.用0、5、8、7这四个数字；可以组成（）个不同的四位数？ (1)10 (2)18 (3)11 (4)9
9. 学校进行乒乓球选拔赛；每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场；一共进 行了21场比赛；有多少人参加了选拔赛？ (1)7 (2)8 (3)11 (4)9 10 一个长方形的纸对折成三等份后变成了一个正方形；正方形的周长是40厘米；那么 原来长方形的周长是多少？ (1)70 (2)80 (3)100 (4)96 11.小明每分钟走50米,小红每分钟走60 米,两人从相距660米的两村同时沿一条公路 相对出发,8分钟后两人相距( )米. (1)75 (2)200 (3)220 (4)90 12甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码. 赵说：“甲是2号；乙是3号.” 钱说：“丙是4号；乙是2号.” 孙说：“丁是2号；丙是3号.” 李说：“丁是4号；甲是1号.” 又知道赵、钱、孙、李每人都说对了一半；那么丙的号码是几？ (1)4 (2)2 (3)3 (4)1 13有一根木材长4米,要把它锯成8段,每锯一段要用3分钟.共锯了( )分钟. (1)21 (2)24 (3)19 (4)20 14有一个两位数,这个两位数十位上的数字是个位上的数字的4倍,如果把它减去5,十位数字就与个数字相同,那么这个两位数减去10后是( ). (1)73 (2)82 (3)83 (4)72 15. 公园要建一个正方形花坛,并在花坛四周铺上2米宽的草坪,草坪的面积是96平方米,花坛和草坪的面积总和是( )平方米. (1)204 (2)190 (3)196(4)100
2018年第十五届东南地区数学奥林匹克试题
The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建，泉州 第一天（2018年7月30日8:00-12:00） 高一年级试卷 1. 设c 是实数,若存在[]1,2x ∈,使得max ,25c c x x x x ? ?+++≥???? ．求c 的取值范围．这里{}max ,a b 表示实数a 、b 中的较大者． 2. 在平面直角坐标系中,若某点的横坐标与纵坐标均为有理数,则称该点为有理点,否则称之为无理点．在平面直角坐标系中任作一个五边形,在它的五个顶点中,有理点和无理点哪个多？请证明你的结论． 3. 锐角ABC △内接于⊙O ()AB AC <,BAC ∠的平分线于BC 相交于点T ,AT 的中点是M ,点P 在ABC △内,满足PB PC ⊥．过P 作AP 的垂线,D 、E 是该垂线上不同于P 的两点,满足BD BP =,CE CP =．若直线AO 平分线段DE ．证明：直线AO 与AMP △的外接圆相切． 4. 是否存在集合*A N ?,使得对每个正整数n ,{},2,3,,15A n n n n ?恰含有一个元素？证明你的结论．
The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建，泉州 第二天（2018年7月31日8:00-12:00） 高一年级试卷 5. 设{}n a 为非负实数列．定义21k k i i X a ==∑,212k k k i i Y a i =??=???? ∑,1,2, k =．证明：对任意正整数n ,有100n n n n i i i i X Y Y X ?==≤? ≤∑∑．这里,[]x 表示不超过实数x 的最大整数． 6. 在ABC △中,AB AC =,⊙O 的圆心是边BC 的中点,且与AB 、AC 分别相切于点E 、F ．点G 在⊙O 上,使得AG EG ⊥,过G 作⊙O 的切线,与AC 相交于点K ．证明：直线BK 平分线段EF ． 7. 一次会议共有24人参加,每两人之间或者握手一次,或者不握手．会议结束后发现,总共出现了216次握手,且任意握过手的两个人P 、Q ,在剩下的22人中,恰与P 、Q 之一握过手的不超过10人．一个朋友圈指的是会议中3个两两之间握过手的人所构成的集合．求这24个人中朋友圈个数的最小可能值． 8. 设m 为给定的正整数,对正整数l ,记()()()()4142451m l A l l l =+?+? ?+．证明：存在无穷多个正整数l ,使得55 m l l A 且515m l +不整除l A ．并求出满足条件的l 的最小值．
第五届中国数学奥林匹克 (1990年)
第五届中国数学奥林匹克(1990年) 1.如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，圆O1过A、B且与 边CD相切于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于 E、F。求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD。 2.设x是一个自然数，若一串自然数x0=1,x2, ... , x n=x满足x i-1
a.存在一个偶子集D，使得f(D)>1990； b.对于X的任意两个示相交的偶子集A、B，有f(A∪ B)=f(A)+f(B)-1990。 求证：存在X的子集P、Q，满足 iii.P∩Q是空集，P∪Q=X； iv.对P的任何非空偶子集S，有f(S)>1990 v.对Q的任何偶子集T，有f(T)≦1990。 6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分 图。求证：当且仅当3|n时，存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发，经过图中各线段恰一次，最后回到出发点)。
七年级数学奥林匹克竞赛题(一)解析
初中一年级奥赛训练题(一)及解析 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( C) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数 2．下面的说法中正确的是( D) A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式 3．下面说法中不正确的是( C) A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( D) A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0 D．b＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有( B) A．2个B．3个C．4个D．无数个 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是( B) A．0个B．1个C．2个D．3个 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。 7．a代表有理数，那么a和－a的大小关系是( D) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( D) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式D．都加上1 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x －2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，D所加常数为1，因此选D．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( C) A．一样多B．多了C．少了D．多少都可能 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为(1－10%)a=0.9a；第三天杯中水量为0.9a(1+10%)=0.9×1.1a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。
中国数学奥林匹克试题及解答
一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑． 二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两
2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一试题
第十六届中国东南地区数学奥林匹克 1. 求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有()()()2 11a b ab b kab +++≥. 2. 如图，两圆1P ，2P 交于A ，B 两点，C ，D 为1P 上两点，E ，F 为2P 上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交.设CF 与1P ，2P 分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1P ，2P 分别交于点()M D ≠，()N E ≠. 证明：若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等. 3. 函数:f N N **→满足：对任意正整数a ，b 均有()f ab 整除(){} max ,f a b .是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论. 4. 将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示. 现有一个固定放置的918?方格表.若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西g 吉安 高二年级 第一天
2019年7月30日 上午8:00-12:00 1. 对任意实数a ，用[]a 表示不超过a 的最大整数，记{}[] a a a =-.是否存在正整数m ，n 及1n +个实数0x ，1x ，…，n x ，使得0428x =，1928n x =， 110105k k k x x x m +????=++???????? (0k =，1，…，1n -)成立？证明你的结论. 2. 如图，在平行四边形中ABCD ，90BAD ∠≠?，以B 为圆心，BA 为半径的圆与AB ，CB 的延长线分别相交于点E ，F ，以D 为圆心，DA 为半径的圆与AD ，CD 的延长线分别相交于点M ，N ，直线EN ，FM 相交于点G ，直线AG ，ME 相交于点T ，直线EN 与圆D 相交于点()P N ≠，直线MF 与圆B 相交于点()Q F ≠.证明：G ，P ，T ，Q 四点共圆. 3. 今有n 人排成一行，自左至右按1，2，…，n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再次按1，2，3，…的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出. 用()f n 表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号.求()f n 的表达式(用n 表示)；特别地，给出()2019f 的值. 4. 在55?矩阵X 中，每个元素为0或1.用,i j x 表示中第行第列的元素(，，…，).考虑的所有行、列及对角线上的元有序数组(共个数组)： （,1i x ，,2i x ，...，,5i x ），（,5i x ，,4i x ，...，,1i x ，）（1i =，2， (5) （1,j x ，2,j x ，...，5,j x ），（5,j x ，4,j x ，...，1,j x ）（1j =，2， (5) （1,1x ，2,2x ，…，5,5x ，），（5,5x ，4,4x ，…，1,1x ）， （1,5x ，2,4x ，…，5,1x ），（5,1x ，4,2x ，…，1,5x ）. 若这些数组两两不同，求矩阵X 中所有元素之和的可能值.
中国东南地区数学奥林匹克合辑
首届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州） 一、 设实数a 、b 、c 满足2223 232 a b c ++=，求证：39271a b c ---++≥ 二、 设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分 别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ，求证：DM=DN 三、 （1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有 2122n n n a a a ++≥。 （2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有 2122n n n a a a ++≥。 四、 给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 （2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 五、 已知不等式 6 2(23)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ +-+-<++对于 0,2πθ?? ∈???? 恒成立，求a 的取值范围。 六、 设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证： CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、 n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场 比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，求n 的最大值。 注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。 八、 求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。
2020年中国高中数学奥林匹克试题与解答 精品
O R Q N M F E D C B A P 2020年中国数学奥林匹克试题与解答 (2020年1月11日) 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ． （1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； （2）若 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接EQ ，MQ ，FR ，MR ，则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形， 所以OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆， 所以ABD ACD ∠=∠， 于是22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 所以EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 所以 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 所以 EM FN EN FM ?=?． （2）答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则 11 ,22 NS OD EQ OB ==， 所以 NS OD EQ OB =． ① 又11 ,22 ES OA MQ OC = =，
第十六届东南地区数学奥林匹克(高二年级)
第一天 1.对任意实数a ，用[a ]表示不超过a 的最大整数，记{a }=a ?[a ]. 是否存在正整数m,n 及n +1个实数x 0,x 1,...,x n ，使得 x 0=428,x n =1928,x k +110=[x k 10]+m +{x k 5 }(k =0,1,···,n ?1)成立？证明你的结论. 2.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD =90?，以B 为圆心，BA 为半径的圆与AB ，CB 的延长线分别相交于点E,F ，以D 为圆心，DA 为半径的圆与AD,CD 的延长线交于点M,N ，直线EN,F M 相交于点G ，直线AG,ME 相交于点T ，直线EN 与圆D 相交于点P (=N )，直线MF 与圆B 相交于点Q (=F )，证明：G,P,T,Q 四点共圆. 3.今有n 人排成一行，自左至右按1,2,···,n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再按1,2,3,···的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出. 用f (n )表示最后一个退出队伍的人在最初报数是的序号.求f (n )的表达式（用n 表示）；特别地，给出f (2019)的值. 4.在5×5矩阵X 中,每个元素为0或1.用x i,j 表示X 中第i 行第j 列的元素(i,j =1,2,···,5).考虑X 的所有行、列及对角线上的五元有序数组(共24个数组)： (x i,1,x i,2,...,x i,5),(x i,5,x i,4,...,x i,1)(i =1,2, (5) (x 1,j ,x 2,j ,...,x 5,j ),(x 5,j ,x 4,j ,...,x 1,j )(j =1,2, (5) (x 1,1,x 2,2,···,x 5,5),(x 5,5,x 4,4,···,x 1,1) (x 1,5,x 2,4,···,x 5,1),(x 5,1,x 4,2,···,x 1,5) 若这些数组两两不同，求矩阵X 所有元素之和的可能值.
中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答.doc
中国数学奥林匹克 （第二十一届全国中学生数学冬令营） 第一天 福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分 一、 实数12,,,n a a a 满足120n a a a ++ +=，求证： () 12 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2, ,1k k k d a a k n +=-=-，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111, ,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----， 112121121,, ,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=+++ +， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a ++ +=可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +--------- -+-+-+ +=． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--+ +----- - 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤ - ∑．
2007年第4届中国东南数学奥林匹克试题及答案
第四届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2007年7月27日， 8：00－12：00， 浙江g 镇海） 一、 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程31x ax a =++都 有满足1000x <的偶数根。 二、 如图，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为直 径的半圆上的任意两点，过点B 作O e 的切线交直线CD 交于P ，直线PO 与直线CA 、AD 分别交于点E 、F 。证明：OE =OF 。 三、 设*min i i a k k N k ?? =+∈???? ，试求 [][]2212n n S a a a ??=+++??L 的值，其中 []2, n x ≥表示不超过x 的最大整数。 四、 求最小的正整数n ，使得对于满足条件1 2007n i i a ==∑的任一具有n 项的正整 数数列12,,,n a a a L ，其中必有连续的若干项之和等于30。 第 二 天 （2007年7月28日， 8：00－12：00， 浙江g 镇海） 五、 设函数()f x 满足：()()121f x f x x +-=+(x R ∈)，且当[]0,1x ∈时有 ()1f x ≤，证明：当x R ∈时，有()22f x x ≤+。 六、 如图，直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的 中点，MB AB ⊥，MD 交AC 于N ；MC 的延长线交AB 于E 。证明：DBN BCE ∠=∠。 七、 试求满足下列条件的三元数组(a , b , c )： (i) a
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