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一道高考数学试题的解法探究及教学思考

题目：双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1、l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1、l 2于A 、B 两点. 已知||、||、||成等差数列，且与同向.

（1）求双曲线的离心率；

（2）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.

一、试题分析

本题是2008年高考数学全国卷I 文科第22题（理科第21题），是主要考查解析的几何基本思想和基本方法的压轴题，看似平凡，其实是一道可以用来归纳求解离心率的常用方法和技巧的好题，对启迪学生的发散性思维，拓宽学生的解题思路很有帮助。其命题意图是考查学生数形结合、化归与转化的数学思想和方程的思想。考生初读题目，感觉常规，下笔却困难重重。原因是试题的第（1）问对考生的思维能力要求较高，许多考生草读一遍题意，

便下笔求解A 、B 两点的坐标，虽然一些考生能够正确求出A 、B 两点的坐标为2,a ab A c c ?? ??

?，22222,a c abc B a b

a b ??- ?--??，接下来计算||和||还较容易，但计算||由于计算量大，陷入解题困境，部分考生算出了一个相当复杂的结果；部分考生甚至算了半天也计算不出结果，最后心慌，放弃此题。本文以此题为载体，引导学生一题多解，发散思维，并引发了几点思考，旨在与同行交流。

二、第（1）问解法探究

分析：如图1所示，设双曲线方程为22

22x y a b -=1(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F(c,0)(c ＞0)，则c 2=a 2+b 2.不妨设l 1：bx-ay=0，l 2：bx+ay=0，

依题意||FA

==b ，||

==a ，由

b a

c e +==知，只需求出a b 的值即可，可用多种思维建立a 与b 的关系。解法1（坐标法）:由已知知直线AB 的方程为)(c x b a y --=，联立0,(),bx ay a y x c b -=???=--

解图1

得),(2c ab c a A ，联立??

???--==+)(0c x b a y ay bx 解得),(22222b a abc b a c a B ---。因为BF 与FA 同向，所以a ＞b,所以a =||，222||ac OB a b =-，2222||a b AB a b

=-。又因为||、||、||成等差数列，所以||||||2+=，可得a=2b ，所以25122=+==a

b a

c e 。【点评】联立消元和坐标运算是解决解析几何问题的核心，也是常规解题思想和方法，但往往由于涉及字母较多，计算量大，运算技巧强，使得许多学生“易想难算”，望而生畏，产生恐惧心里，因此，对学生而言是一项艰巨的考验。

解法2（勾股定理）: 因为a =||，又由已知知222||||||=+，

||||||2+=，联立可得||3||5=，所以||43||AB OA == tan ∠AOB ，因为与FA 同向，所以∠AOB=2∠AOF ，即

34tan 1tan 22=∠-∠AOF AOF ，解得tan ∠AOF =12或tan ∠AOF =-2（舍去），因此2

1=a b 。以下略。【点评】事实上，由221a

b a

c e +==知，只需求出a b 的值即可，进而寻找a 与b 之间的关系，而a b 恰为渐近线l 1 的斜率，由斜率的定义得b a

=tan ∠AOF ，再往下思考，会自然想到∠AOB=2∠AOF ，通过求出tan ∠AOB =

||||

AB OA 的值再计算，这样思路自然，迅速解答。解法3（方程思想）:由已知得222||||||,2||||||,

OA AB OB AB OA OB ?+=??=+??解得||：||：||=3：

4：5。设||OA =3k ，||AB =4k ，||OB =5k ，k ＞0，则可求得tan ∠AOB =||43||AB OA =，进而tan ∠AOF =12，即2

1=a b 。以下略。【点评】在解法2的思维的启发下，利用已知建立三元方程组，从而可以得到||OA 、

||、||中的任何两个或三个的比值关系，这个解法较为简捷，也激发了学生思维智慧的火花。

解法4（三角法）: 设∠AOF=θ，则∠AOB =2θ，由||||||2OB OA AB +=得||||2||||OA OB AB AB +=，在R t △AOB 中，||1t a n 2||OA AB θ=，||1sin 2||

OB AB θ=，即22s i n 12t a n 1=+θθ，由万能公式解得21tan =θ，即2

1=a b 。以下略。【点评】此解法充分利用直角三角形中的三角函数，把边长的比值问题转化为三角函数的运算，使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系，从而培养思维的灵活性。

解法5（角平分线定理）:依题意可知∠AOF=∠BOF 。由三角形角平分线定理得||||||||OA OB AF FB =，再利用比例性质及||||||2OB OA AB +=得||||||2||2||||||||

OA OA OB AB AF AF FB AB +===+，即21=a b 。以下略。【点评】此解法用到了初中数学中的知识，显示了初中、高中数学知识的连贯性，利用两条渐近线关于实轴对称的特点和三角形角平分线定理建立简洁的比例关系进行求解。

解法6（设而不求）:不妨设l 1：x a b y =，l 2：x a

b y -=，直线AB 的方程为)(

c x b a y --=，又设),(11x a b x A ，),(22x a b x B -，则x 2＞x 1,1||1OA x =+

，2221||x a b ?+=，所以222

||||||1AB OB OA =-=。由||||||2OB OA AB +=得1221

4x x x x +=-①。直线AB 的斜率1212()b x x a a b x x +-=-②，

联立①②得2

1=a b 。以下略。【点评】利用点在曲线上的性质，对点的坐标进行相关设法，设而不

求和整体消元是解析法的重要思想和方法，可以简化很多繁琐的运算。图2

解法7（几何法）:如图2所示，过点B 作x 轴的平行线交渐近线l 1于点H ，根据两条渐近线关于y 轴对称的性质，由||||OH OB =得||||||2||AH OA OB AB =+=，且∠AOF=∠AHB 。在R t △BAH 中，tan ∠AHB=||12

||AB AH =，即tan ∠AOF =12b a =。以下略。【点评】此解法充分利用几何图形的性质及特点，巧妙地进行转化，从而简化运算。这种解决问题的思想凸显解析几何的核心问题之一——几何问题。

三、第（2）问解法探究

分析：由（1）知a=2b ，双曲线的方程可化为x 2-4y 2=4b 2①。由l 1的斜率为

21，b c 5=知，直线AB 的方程为)5(2b x y --=,代入①并化简得0845321522=+-b bx x . 由已

知08084154)532(222>=??--=?b b b 。设直线AB 与双曲线交于C(x 1，y 1)，D(x 2，

y 2)两点，则1553221b x x =+，2128415b x x =，下面可用3种解法计算。

解法1：AB 被双曲线所截得的线段的长为4l ==，解之得b=3，从而a=6，所以双曲线的方程为22

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x y -=1。解法2：AB 被双曲线所截得的线段的长可以利用△直接计算（简化运算量，提高算对

的概率），由弦长公式||

l a =（其中a 为消元后得到的一元二次方程的二项式系数），由此可得4|

|)2(12=??-+=a l ，解之得b=3，从而a=6。以下略。解法3：由双曲线的第二定义得1||CF ex a =-，2||FD ex a =-，则

12||||||()24CD CF FD e x x a =+=+-=。

将15

53221b x x =+代入即可得b=3，从而a=6。以下略。

【点评】联立方程，利用根与系数的关系和弦长公式解题是解决直线与圆锥曲线问题的基本方法。基本模式为：联立消元?计算△值?设出点的坐标?韦达定理?代入化简运算求

解问题。

四、教学思考

1. 在高考数学中学生在解析几何部分的主要问题

(1)不能做到正确地读题、审题,不能正确地理解数学的内在联系。

(2)不能准确运用概念理解诠释题意。

(3)在科学合理的运算与逻辑推理的实际能力上的欠缺。

2. 回归课本，狠抓基础，重视挖掘教材的本质与内涵

既要立足于对基础知识的强化复习，比如圆锥曲线的定义、圆锥曲线方程、圆锥曲线的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等；又要立足对基本方法的强化训练，比如用定义法、直接法、转移代入法、向量法、消参法、交轨法求轨迹方程，用焦半径公式求弦长等的复习。深化对基本概念、性质和基本方法的理解和掌握，重视知识间的内在联系，特别是知识交会点要重点掌握。同时要指导学生回归课本，重视课本的例题和习题。近几年圆锥曲线的部分高考试题都源于教材又高于教材，这是高考的一个命题趋势，教师在复习中可对每个章节的典型例题作出要求，让学生人人过关。对解决某一问题的基本方法，比如用圆锥曲线定义解决与焦点有关的问题；用违达定理解决直线与圆锥曲线位置关系等，常见的变形思路方法以及这部分的知识可能与哪些知识有联系，要总结归纳上升为结论印成讲义发给学生。以达到巩固双基的目的。

3、重视知识间的内在联系，总结常考题型，提升数学思想方法

综观近几年高考数学试卷中的圆锥曲线试题，题型新颖别致、自然流畅，内容综合，解法灵活。圆锥曲线的试题涉及到函数、方程、导数、不等式、三角、向量、数列等各章节的知识，常把代数、三角、向量、数列、导数等知识交会在一起成为典型题。而求曲线方程、弦长、角、面积、最值、轨迹、参数的值或取值范围，证明某种关系、证明定值、探索型、存在性讨论等问题是常考的题型，具有一定的综合性和灵活性，计算也较复杂，需要有较强的综合能力。函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想是解析几何的灵魂。考查学生对数学思想方法的掌握程度，在近年的高考数学中尤显突出，在复习中教师可以以专题的形式给学生在这些数学思想方法上进行渗透。

4、立足高考热点，一题多解，重视学生运算能力的培养

对近几年的高考数学试题，教师要进行深入、全面的探究。总结归纳高考中主要出现的热点题型，然后精选一些高考试题讲解，最好一题多解，帮助学生从多个切入口，较广泛地联系不同的数学知识和思想方法。丰富多彩的解题方法既给学生带来惊喜，又给学生带来美妙的感觉。这样，学生思维一旦打开，智慧的火花必将灿烂夺目。同时还要强调，当题目的解法较多时，要注意择优。解完题后应对题目认真反思：思考题型有何特征，解法有何规律；题目有哪些解法，其中哪些方法最简便；题目的几种解法中，运算有何规律；在题目的解决过程中，解题的关键何在；涉及哪些基础知识；在题目的解决过程中，有哪些地方容易发生错误；应注意什么问题。注重对学生运算能力的培养，注意运算技巧，因为圆锥曲线问题的解答过程运算量较大，对运算能力要求较高，寻求简捷、合理的运算途径显得十分重要。常

用的减“负”途径有：设而不求、活用定义（圆锥曲线的第一、二定义）、妙用性质、根与系数的关系，统一方程、巧用对称等，平时解题要有意识地积累解题经验，提升解题能力。运

算能力特别是解析几何中字母的化简变形能力历来是学生比较欠缺的一个方面，要在平时教学中加强训练，教师在课堂上不能只讲思路就让学生自己计算，一定要针对学生计算能力上较薄弱的状况，在给予学生“设而不求”、“对偶运算”、“点差法”、“巧用对称”等简化运算技巧的同时，要训练学生的计算能力，要让学生敢算、耐心算。做到“算一道题，对一道题，总结一种运算规律，掌握一系列运算技巧”，从而提升学生的运算能力，增强做解析几何题的信心。

一道竞赛试题的解法探究

44 福建中学数学 2012年第3期一道竞赛试题的解法探究浙江省温州市第二十二中学（325000） 2011年全国高中数学联合竞赛第2题，试题简约，寓意深刻，考生可以从多个角度切高洪武吴勇军一试（A 卷）中22(1)1(1)y x t t x t t =??? ?令=??=≥?? （＊2）而直线入，很好地考查高中数学常见的一些思想方法以及学生对基本知识、基本技能的掌握情况．本文拟从四个角度出发，对该题目进行初步的剖析，以期引发更多的思考．题目（2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A (1)t y x =? 过定点（1，0）．当时，两曲线有公共点，则； 0y >1y >时，两曲线有公共点，x 直线(1t y 当0y <)=?应绕着点(1，0)从逆时针方向旋转到的位置，与曲线t 2L 卷）第2 题）函数()1 f x x = ?的值域是．解法一三角换元法令tan x θ=，（22θπ?<<，且π4 θπ ≠）（注：换元时保持变量的等价性）则y tan 1cos θθ? = 11 sin cos )4 θθθ==π??． 22θππ?<<∵，且4θπ≠， 3444 <，且0θπππ ∴?π?， ()f x ∴ 的值域为((12 ?∞?+∞∪，，)．评析此函数为分式型无理函数，解决此类问题通常是化无理式为有理式，即努力将根式中的被开方数(式)化成完全平方数(式)，由221tan 1cos θθ+=联想到三角换元，思路由此打开．解法二数形结合法 y =∵ ，(y x ∴1)?=（＊1）， 322t x L 3L 1(1)?=≥切．相联立方程221t x (1)t y x =????=?，得(1)y x ??．即2222(1)210y x y x y ，22210x ?=??+?=．若直线1)(t y x =?x t ≥相切， )4(0y y 与2t ?=21( 1)2y =?则2(21)222Δ=?=??，． ∴直线(1)t y x =?绕着点(1，逆时针方向旋转过程中，0)从2 L 2 到L 的y ≤3．综上得y ≤或即函数的值域为 1y >， ((1)?∞+∞∪，，．解法比较巧妙地函数值赋予“特殊身份”，想，将问题转化为我们熟悉的两类曲线有公共点问题．其转化基本思路为：函数有意义评析本将利用数形结合思方程有解曲线有公共点． ←←解法三基本不等式法（1）若1x >， ()f x 1x >∵，20x x ∴+?>2x x ∴+>，， 2 1112x x ∴+>+?，f x ()1∴>（2）若．， x 1<

全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)

绝密★启用前全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是

A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入

2015年山东春季高考英语试题及答案word版

2015年山东省普通高校（春季）考试英语试题卷一 (选择题, 共50分) 一、英语知识运用（本题30个小题，每小题1分，共计30分） 1. ----Hi, Tom. ? ---- Fine, thanks. And you? A. How are you B. How do you do C. What are you doing D. Who are you 2. ----What’s the young lady like at the school gate? ---- . A. She is a teacher B. She is 18 C. She is beautiful D. She is a friend of mine 3. The more you practice, you will be. A. better B. best C. the best D. the better 4. ---- Oh! We’ve just missed the 7 o’clock bus· ---- . The next bus will come in half an hour. A. Excuse me B. Don’t worry C. Have fun D. With pleasure 5. It’s very cold outside. You’d better your coat. A. have on B. wear C. put on D. dress 6. ---- May I look at your new camera? ---- . Here you are. My mother bought it for me last week· A. Of course B. Good idea C. Thank you D. I’m sorry 7. ---- Please send my Christmas to your grandparents. ---- I will. Thank you. A. greet B. greeting C. greetings D. greets 8. ---- Don’t too late, or you will feel tired in class tomorrow. ---- I won’t, Mom. A. stay up B. put up C. wake up D. pick up 9. ---- Can you help me carry the box upstairs? ---- . A. Thanks a lot B. With pleasure C. You’d better not D. Yes, please 10. ---- First let me introduce myself. I’m Bill Cart from Canada. ---- . A. I’m very sorry B. Nice to meet you C. It’s a pleasure D. Nothing special 11. ---- Could you tell me the way the post office? ---- Walk straight ahead and turn left at the first crossing. A. for B. on C. at D. to 12. ---- Have you ever been to the Great Wall? ---- Yes. I there last year. A. went B. have gone C. have been D. go 13. ---- Are you ready to order, sir? ----- . A. Not at all B. Yes, sit down please C. Sorry, I have no time D. Yes, a sandwich and a beef 14. ---- useful advice the teacher gave us! ---- Yes, it has helped us a lot. A. What B. What a C. How D. How a 15. you have dreams, something nice will happen.

2015年四川省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|（x+1）（x ﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x ＜3}，则A ∪B=（） A ． {x|﹣1＜x ＜3} B ． {x|﹣1＜x ＜1} C ． {x|1＜x ＜2} D ． {x|2＜x ＜3} 考点：并集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x ＜2}，根据集合的并集可求解答案．

点评：本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题． 3．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（） A ． ﹣ B ． C ． ﹣ D ．考点：程序框图．专题图表型；算法和程序框图．

：分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当k=5时满足条件k ＞4，计算并输出S 的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2 不满足条件k ＞4，k=3 不满足条件k ＞4，k=4 不满足条件k ＞4，k=5 满足条件k ＞4，S=sin =，输出S 的值为．故选：D ．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 4．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（） A ． y=cos （2x+） B ． y=sin （2x+） C y=sin2x+cos2x D y=sinx+cosx

中考化学实验探究题归类及解法(最新整理)

中考化学实验探究题归类及解法实验探究活动是新课标理念中的一种全新的学习方法，也是中考考查的重点和热点，但不少同学对于实验探究类试题，往往不知如何入手去解答。实验探究题中的许多内容都是平时学习（实验）或生活中司空见惯的，只是命题形式新颖，选择素材陌生度高，但基础知识或原型实验来源于教材的演示实验或学生实验。很多同学做题时联想不到，这就要求我们在平时学习和生活中要多想多问几个为什么？要注意从化学的视角去观察思考学习和生产生活中的各种问题，并能根据自己已有的化学知识和经验对问题做出有意义的猜想和假设，并设法用实验去检验验证它。在解答实验探究类试题时要①通读全题划出关键的语句，审清题意,明确要求；②回归教材确定知识点；③细心分析明确设计意图，灵活应用基础知识解决探究题中的问题（关键是分析题中的设计方案和实验装置图）。现从近年来各地中考试题中选取数题，进行简要的归类与评析。根据探究题的内容可分为以下几种类型：一、气体成分的探究如人吸入和呼出气体成分探究、酒精和蜡烛等可燃物燃烧后产生气体成分探究、两种物质反应后产生气体成分探究、鱼瞟内气体成分探究等。涉及的知识点有空气、O2、N2、H2、CO、CO2等这些物质的制法及检验，以及它们与氧气、水、碱溶液等反应产生的特有现象。对应的知识点及应用探究的物质物理性质化学性质及制法空气无色无味气体，微溶于水。①支持燃烧，供给呼吸。 ②收集方法：可用注射器抽取或先往集气瓶注满水盖上玻片，移到需取样之处将水倒掉并盖上玻片。 O2无色无味气体，微溶于水。①具有氧化性：燃烧更剧烈；金属锈蚀；食物腐败。 ②制法：加热高锰酸钾或用MnO2催化过氧化氢(H2O2)制取氧气 N2无色无味气体，难溶于水。化学性质很不活泼：用作焊接金属、灯泡、食品包装的保护气，防止氧化、腐败。 H2无色无味气体，难①具有可燃性：绿色高能燃料，产物只有水。

1978全国高考数学试题

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2. 解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z) 2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a 则.42,222 2 πππππa a a a r a r =?? ? ??=?==体积 3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域 4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450= 2 2 5.化简：二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴= k 2; .254:.)()1.0()4(41 2 12 14323 12 1b b a ab = ??? ? ??----原式解

②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴= k 2，半短轴=2 如图： 2)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y 如图 3）k<0时，方程为这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上如图：三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN Y Y Y k=2 A k=1 (0,2) k=1/4 O A X O B X O X Y Y y=2 k=-4 A O O X B X y=-2 1 442 2=+-y k x

春季高考英语试题及答案

英语阶段性测试一(春考班) 本试题共80分，考试时间是60分钟。请将第I卷的答案涂到答题卡上，将第Ⅱ卷的内容写到答案页上。第I卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共30个小题，每小题1分，共30分） 1. Li Ming is a student. A. 17 years old B. 17-year old C. 17 year old D. 17-year-old 2. Liu Xiang is a great runner. He won his first gold medal the age of 19. A. on B. at C. in D. of 3. Uncle Wang is a friend of . He is reading newspaper now. A. me; today’s B. my father’s; today’s C. my father; today D. mine; today 4. Would you please my little dog when I am away? A. look after B. look at C. look up D. look down 5. ---How is your grandmother now? --- . A. She is old B. She is a nurse C. She is fine D. She is 80 6. Not only Mary but also her parents to another shopping center tomorrow. A. are going B. is going C. go D. goes 7. ---Did you meet the writer at the station? ---No. He by the time I got there. A. has left B. was leaving C. had left D. left 8. ---Hello, my I speak to John, please? --- A. It’s me. Who are you? B. I’m. Who’s that? C. Who’s calling? This Tony. D. Yes. Speaking. 9. He comes from Japan, but he _____ speak Chinese very well. A. could B. can C. should D. shall 10. I live in a room windows open to the south. A. whom B. that C. whose D. what 11. It is important for him this. A. understand B. understanding C. understood D. to understand 12. Tom was made _________ by his little sister. A. to cry B. cry C. crying D. cried 13. ---He can’t see the picture well from here. --- . A. Neither can’t I B. Neither can I C. Neither I can D. Nor I can 14. Tom, be quiet. The baby_____ in the next room. A. sleep B. slept C. sleep D. is sleeping 15. He refused to let us know the reason he didn’t go to the party. A. why B. which C. how D. that 16. ---May I take your order now? --- . A. No, I’m in trouble now B. Yes, I’d like a dish of chicken C. Yes, We obey orders D. No, I don’t have a choice of meat 17. The you study, the mistakes you will make. A. more careful; fewer B. more careful; less C. more carefully; fewer D. most carefully; fewer 18. You won’t pass the test __you work hard. A. since B. unless C. because D. in order that 19. He will show his new CD player to you as soon as he his letter. A. finishes writing B. will finish writing C. finishes to write D. will finish to write 20. This book is written in easy English beginners can read it easily. A. so; that B. so an; that C. such; that D. such an; that 21.---Must he come here tomorrow? ---No, he _____ . A.mustn’t B. can’t C. needn’t D. may not 22. Are you _____ in the job? A. interested B. interesting C. interest D. interests

2016年四川省高考数学试卷(理科)及答案

2016年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6 2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（） A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix4 3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（） A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（） A．24 B．48 C．60 D．72 5．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30） A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年 6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）

A．9 B．18 C．20 D．35 7．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1 9．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞） 10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足==，

一道试题的解法探究

一道试题的解法探究题目（2015届湖北省部分重点中学高三起点考试理科第13题）已知函数f（x）=12x2-bx+1（b∈R），若方程f（x）=x在区间（-1，1）上有解，求实数b的取值范围. 点评本题的处理方法一般是利用实根分布的知识解决二次方程在区间上有解的方法，但若只是顾及问题的表面，解完之后缺乏反思，就没有有效挖掘本题所蕴含的一系列数学思想方法，应该说就错失了一次绝佳锻炼思维的机会.为说明问题，下面给出几种思路，供参考：解法一（分类讨论的思想）由方程f（x）=x12x2-（b+1）x+1=0，记函数h（x）=12x2-（b+1）x+1，考虑h（0）=1>0，对称轴x=b+1的不确定，于是b+1与定义域区间（-1，1）的位置关系生成讨论的标准：①若-1≤b+1≤1即-2≤b≤0时，此时上述方程中Δ=（b+1）2-21即b>0时，要函数h （x）在（-1，1）上有零点，则只须h（1）12；③若b+112. 评析一般的在涉及二次函数在区间上有零点或最值的问题上，通常研究的方法都是利用其对称轴与定义域区间的位置关系生成分类讨论的标准，然后再逐步依据题目的要求将问题予以解决.此种做法易想能做，但解题过程繁杂，能否找到有效回避分类讨论的处理方法呢？

解法二：（正繁则反补集法）考虑到h（0）=1>0，问题的对立面为方程f（x）=x在区间（-1，1）上无解，也即是函数h（x）=12x2-（b+1）x+1在区间（-1，1）上无零点，则只须h（1）≥0 h（-1）≥0-52≤b≤12，则原题有解b的范围为b12. 评析一个数学问题通常都具有两面性，当一方较为繁琐的时候，往往其对立面一般就会稍显简单，上述处理正是有效利用这一点，使解题过程得到了简化.以上两种做法都绕不开利用二次方程在区间上有实根的相关知识来解题的，那么本题能否另辟蹊径呢？解法三：（等价转换的思想）由方程f（x）=x在（-1，1）上有解，可得bx=12x2-x+1.若x=0时，上述方程显然不成立，即方程的解一定不为0，于是可得b=x2+1x-1（x≠0），也即对x∈（-1，0）∪（0，1）时总存在唯一实数b让方程成立，于是参数b可看作是以x为自变量的函数，即求b的范围等价于求右侧函数的值域了.易求上述函数的值域为（-∞，-52）∪（12，+∞），也即为b的取值范围. 评析将方程有解问题转化为求函数值域问题，为常规的解题寻找到全新的视角，凸显了等价转换思想的重要意途.然而纵观上述三种处理无一例外都是从代数层面来进行求解的，那么本题是否可以从“形”的一面来介入呢？解法四：（数形结合的思想）由解法三知方程

一道高考填空题解法探究

一道高考填空题解法探究江苏省通州市石港中学(226351) 高志军设函数3()31f x ax x =-+()x R ∈，若对于任意[]1,1x ∈-,都有()f x ≥0 成立，则实数a 的值为▲ ．（2008年普通高等学校招生统一考试（江苏卷）14题）. 解法一 (对x 进行分类讨论) (1)若x ＝0时，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立. (2)当0x >时, 即(]0,1x ∈时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x = -，则()()' 4312x g x x -=，所以()g x 在区间10,2?? ??? 上单调递增，在区间1,12?????? 上单调递减，因此()max 142g x g ?? == ???，从而4a ≥. (3)若0x <时, 即[)1,0x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331 a x x ≤ - ()() '4 3120x g x x -= <，所以()g x 在区间[)1,0x ∈-上单调递增，所以min ()(1)4,g x g =-=从而4a ≤. 综上所述,4a =. 解法二(对a 进行分类讨论) 2()33f x ax '=-. (1)0a ≤时, ()0f x '≤恒成立,∴()f x 在区间[]1,1-上为减函数, min ()(1)2,f x f a ==-()f x ≥0 恒成立，∴20,2,a a -≥∴≥与0a ≤矛盾. ∴0a ≤不可能. (2) 0a >时, 2()33f x ax '=-=3(a x x +. ①01a <≤时, []1,1x ∈- ∴()f x '=3(a x x +≤0恒成立, ∴()f x 在区间[]1,1-上为减函数, min ()(1)2,f x f a ==-∴20,2,a a -≥∴≥与 01a <≤矛盾. ∴01a <≤不可能. ②1a >时, ()f x '的正负、()f x 的单调性及函数值如下表

山东省2018年春季高考英语真题及答案

山东省2018年普通高校招生（春季）考试英语试卷本试卷分一卷（选择题）和二卷（非选择题）两部分，满分80分，考试时间60分钟。考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并回收。卷一（选择题，50分）一、英语知识运用（本题30个小题，每小题1分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上。） 1.--.He is from Hang Kong. --Nice to meet you. A.Let me introduce myself B.Let me introduce Tom C.This is Tom speaking D.Have a good time,Tom 2.--Could you give me some on how to improve my spoken English？ --I’m so glad to hear that! A.movements B.suggestions C.greetings D.treatments 3.--Nowadays people are encouraged eat fruit and vegetables to keep_______. A.honest B.nervous C.healthy D.proud 4.--Why do you like swimming? --Because I find _______ very relaxing. A.it B.one C.those D.these 5.--_________? __Good idea. A.Why not join us in the game B.How did you know that C.When would you like to come D.What would you like for dinner 6.--_______beautiful the park is !We may have a picnic here this weekend . --Sound great. A.What a B.What C.How a D.How 7.--It’s an impossible task for us to finish the building in half a year. --Yes,it will take _________ one year. A.at least B.at last C.in time D.in order 8.--I think Mary is a successful woman. --I agree with you .She has nearly _______all her dreams. A.realized B.won C.understood D.believed 9.--_________? --Chinese folk music. A.How about going for a walk B.What’s your favorite sports C.How do you like Chinese D.What are you interested in C.At the City Stadium D.At the City Park 11.IF Bob wants to apply for the job, he needs to ________ . A work part-time B work six days a week C call Sandy at 555-778-6356 D have work experience 12.I hope that you can come and celebrate the Spring Festival with my family. A do B did C does D done 13.--? ---I’d like to buy some traditional Chinese souvenirs. A What can I do for you B How much do they cost C What size do you take D What color do you like 14.--What did you do last weekend? ---I Mount Tai with my friends. A climb B climbed C will climb D am climbing 15.--I wonder_________ a film. --Once a month. A.when you see B.where you see C.whether you have seen D.how often you see 16.--Who is the man _________by the window. --He is our English teacher. A.sits B.sat C.sitting D.is sitting 17.--Downing Hotel.Can I help you? --_________. A.I’m looking for a dress for my daughter. B.I’d like to buy a ticket for tonight’s film. C.I’d like to reserve a double room for this Friday. D.I’ve caught a bad cold and I’m feeling terrible. 18.I felt very tired after a day ‘s hard work,________I went to bed early. A.but B. or C.while D.so 19.--I haven’t finished my dinner yet. --Hurry up ! Our friends ________ for us. A.are waiting B.were waiting B.had waiting D.waited 20.--_______I have found somewhere to live, I will send you my address. A.Unless B.Until C.Though D.Once

2012年四川省高考理科数学试卷及答案(word版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式 ()()() P A B P A P B +=+2 4 S R p = 如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径 ()()() P A B P A P B ?g球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么3 4 3 V R p = 在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 ()(1)(0,1,2,,) k k n k n n P k C p p k n - =-=… 第一部分（选择题共60分）注意事项： 1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、7 (1)x +的展开式中2x的系数是（） A、42 B、35 C、28 D、21 2、复数 2 (1) 2 i i - =（） A、1 B、1 - C、i D、i- 3、函数 29 ,3 ()3 ln(2),3 x x f x x x x ?- < ? =- ? ?-≥ ? 在3 x=处的极限是（） A、不存在 B、等于6 C、等于3 D、等于0 4、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1 AE=，连接EC、ED则sin CED ∠=（） A B 5、函数 1 (0,1) x y a a a a =->≠的图象可能是（）

6、下列命题正确的是（） A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 7、设a r 、b r 都是非零向量，下列四个条件中，使|||| a b a b =r r r r 成立的充分条件是（） A 、a b =-r r B 、//a b r r C 、2a b =r r D 、//a b r r 且||||a b =r r 8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（） A 、22 B 、3、4 D 、59、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（） A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 10、如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45 o 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为 B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=o ，则A 、P 两点间的球面距离为（） A 、2R 、4R π C 、3R 、3 R π 11、方程2 2 ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（） A 、60条 B 、62条 C 、71条 D 、80条 α C A O D B P

科学探究试题的一般解题方法1

科学探究试题的一般解题方法1 科学探究是人们猎取科学知识的，认识世界的重要途径，它既是新课标理念实施中的一种全新的学习方法，也是九年级化学学习的重要内容。科学探究活动能有效激发学生对化学学习的兴趣，能让学生学会从日常生活、工农业生产、科学研究中或从化学问题的实际情景中，发明有探究价值的问题。科学探究活动可有效的培养学生的实验能力、探究能力、创新能力。因而科学探究能力也就理所所以成为中考考查的重点和热点，但许多同学关于科学探究类试题，往往不知如何入手去解答。实际上该类问题一般来说是在同学们已有知识和经验的基础上设计的，只要基础扎实，掌握了科学探究的一般步骤〔科学探究的一般步骤为提出问题→猜想与假设→制定计划→进行实验→收集证据→解释与结论→反思与评价→表达与交流〕，能够说并不难解，本文结合近几年典型探究类中考题，从科学探究的步骤动身，剖析该类试题解题的一般思路和方法，供参考。【一】要在已学知识和经验的基础上，敢于和大胆的做出合理的猜想和假设实际上科学探究试题中的许多内容基本上平时学习时已学过的，或生活中司空见惯的，关键问题是特别多同学做题时联想不到，这就要求我们每一个同学在平时的学习和生活中要多问几个什么原因，要注意从化学的视角去观看思考学习和生产生活中的各种问题，并能依照自己已有的化学知识和经验对问题做出有意义的猜想和假设。例1.甲同学在某食品包装袋内，发明有一个装有白色颗粒状固体A的小纸袋，上面写着“生石灰干燥剂，请勿食用”。甲同学随手将小纸袋拿出来放在空气中，通过一段时间后，发明纸袋内的白色颗粒粘在一起成为块状固体B。请你与甲同学一起对块状固体B进行探究。〔1〕猜想一：块状固体B中除氧化钙外还可能有：、。写出白色颗粒状固体A在空气中转化为块状固体B的化学反应方程式：〔2〕猜想二：块状固体B溶于水可能有现象〔填“放热”或“吸热”〕。请设计实验方案验证你的这一猜想〔至少写出两种方案，假如写出三种正确方案奖励1分〕： ①；②； ③。〔3〕取适量块状固体B加入盛有一定量水的试管中，振荡、静置、过滤，得到少量白色固体C。就白色固体C的成分，甲同学与乙同学进行讨论，一起猜想。甲同学认为，白色固体C可能是：氢氧化钙；乙同学认为，白色固体C可能是：碳酸钙；你认为，白色固体C还可能是：。方案现象和结论同时又对学生们知识的掌握情况及思维能力、实验设计能力、探究能力及综合能力提出了较高的要求。它以生活中司空见惯的食品干燥剂生石灰作为试题的情景，通过分析生石灰放在空气中变成块状固体的缘故进行猜想和探究。事实上此题考查的仍然是知识的应用，考查的是相关物质的性质。解题的关键是抓住生石灰氧化钙及其在空气中变质后一系列物质的性质