《平面向量》综合测试题

《平面向量》综合测试题

一、选择题

1. 若A （2，-1），B （-1，3），则AB 的坐标是 ( )

A.（1，2）

B.（-3，4）

C. （3，-4）

D. 以上都不对

2.与a =（4，5）垂直的向量是 ( )

A.（-5k ,4k ）

B. (-10，2）

C. (54,k k

-) D.（5k , -4k ） 3. △ABC 中,BC =a , AC =b ,则AB 等于 ( )

A.a+b

B.-(a+b )

C.a-b

D.b-a

4.化简52(a －b )－3

1(2a +4b )+152(2a +13b )的结果是 ( ) A.51a ±51b B.0 C. 51a +51b D. 51a －5

1b 5.已知|p |=22,|q |=3, p 与q 的夹角为4

π,则以a =5p +2q ,b =p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( )

A.15

B.15

C. 16

D.14

6.已知A (2,-2),B (4,3),向量p 的坐标为(2k -1,7)且p ∥AB ,则k 的值为 ( ) A.109-

B.109

C.10

19- D.1019 7. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++= ，则点P 与△ABC 的关系是 ( )

A. P 在△ABC 的内部

B. P 在△ABC 的外部

C. P 是AB 边上的一个三等分点

D. P 是AC 边上的一个三等分点

8.在△ABC 中，AB =c , BC = a , CA =b ,则下列推导中错误的是 ( )

A.若a ·b <0,则△ABC 为钝角三角形

B. 若a ·b =0,则△ABC 为直角三角形

C. 若a ·b =b ·c ,则△ABC 为等腰三角形

D. 若c ·( a +b +c )=0,则△ABC 为等腰三角形

9.设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,,则|a +b |的值 ( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+

10.若|a |=1,|b |=2,(a -b )⊥a ,则a 与b 的夹角为 ( )

A.300

B.450

C.600

D.750

二、填空题

11.在△ABC 中，已知,4==AC AB 且,8=?AC AB 则这个三角形的形状是 .

12.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，则船实际航行的速度的大小和方向是 .

13. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ,现用a 、b 表示c ,则c= .

14.给出下列命题:①若a 2+b 2=0,则a =b =0;

②已知A ),,(11y x B ),(22y x ,则);2,2(212121y y x x AB ++= ③已知a ,b ,c 是三个非零向量,若a +b =0,则|a·c |=|b·c |

④已知0,021>>λλ,e 1,e 2是一组基底,a =λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线,a 与e 2也不共线; ⑤若a 与b 共线,则a·b =|a |·|b |.其中正确命题的序号是 .

三、解答题

15.如图,ABCD 是一个梯形,CD AB CD AB 2,//=, M 、N 分别是AB DC ,的中点,已知

=AB a ,=AD b ,试用a 、b 表示,DC BC 和.MN

16设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果AB =e 1+e 2,=BC 2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2)

⑴求证:A 、B 、D 共线;

⑵试确定实数k,使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.

17.已知△ABC 中,A (2,4),B (-1,-2),C (4,3),BC 边上的高为AD .⑴求证:AB ⊥AC ;⑵求点D 与向量AD 的坐标.

18.已知二次函数f (x ) 对任意x ∈R ，都有f (1-x )=f (1+x )成立，设向量a =(sin x ,2), b =(2sin x ,2

1), c =(cos2x ,1),d =(1,2)。

（1）分别求a ·b 和c ·d 的取值范围；

（2）当x ∈[0,π]时，求不等式f (a ·b )>f (c ·d )的解集。

A B N M D C

答案

一、BCDBA ；DDDDB 二、11.等边三角形；12大小是4km/h ,方向与水流方向的夹角为600 ; 13.a －2b ; 14.①③④

三、15.∵|AB |=2|CD |∴DC AB 2=∴2121==AB DC a ,=BC b －21a , MN =4

1a －b 16.⑴∵B D B C C D =+= 5e 1+5e 2=AB 5 , ∴BD AB //又有公共点B,∴A 、B 、D 共线

⑵设存在实数λ使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2) ∴ k =λ且k λ=1 ∴k =1±

17.⑴由0=?AC AB 可知AC AB ⊥即AB ⊥AC

⑵设D （x,y ）,∴)2,1(),5,5(),4,2(++==--=y x BD BC y x AD ∵BC AD ⊥ ∴5(x -2)+5(y -4)=0 ∵BC BD // ∴5(x +1)－5(y +2)=0 ∴???????==2527y x ∴D(25,27))2

3,23(-=AD 18. (1）a ·b =2sin 2x +1≥1 c ·d =2cos 2x +1≥1

（2）∵f (1-x )=f (1+x ) ∴f (x )图象关于x =1对称

当二次项系数m >0时, f (x )在（1，+∞）内单调递增，

由f (a ·b )>f (c ·d )? a ·b > c ·d , 即2sin 2x +1>2cos 2x +1

又∵x ∈[0,π] ∴x ∈3(,)44

ππ 当二次项系数m <0时,f (x )在（1，+∞）内单调递减，

由f (a ·b )>f (c ·d )? a ·b > c ·d , 即2sin 2x +1<2cos 2x +1

又∵x ∈[0,π] ∴x ∈3[0,)(,]44

πππ 、 故当m >0时不等式的解集为3(,)44ππ;当m <0时不等式的解集为3[0,)(,]44

πππ 、