Maple基础教程

目录

第二章MAPLE基础 (1)

2.1与M APLE对话 (1)

2.2使用命令和函数包 (18)

2.3微积分 (23)

2.4线性代数 (28)

2.5微分方程 (35)

2.6优化 (45)

2.7动态系统 (53)

2.8基础编程知识 (58)

2.9M APLE使用中常犯的错误 (78)

第二章Maple基础

Maple是目前应用非常广泛的科学计算软件之一，具有非常强大的符号计算和数值计算功能。Maple 提供智能界面求解复杂数学问题和创建技术文件，用户可在易于使用的智能文件环境中完成科学计算、建模仿真、可视化、程序设计、技术文件生成、报告演示等，从简单的数字计算到高度复杂的系统，满足各个层次用户的需要。与传统工程软件不同，甚至有别于旧版本的Maple，新版本Maple为工程师提供了大量的专业计算功能，庞大的数学求解器可用于各种工程领域，如微分方程、矩阵、各种变换包括FFT、统计、小波、等等，超过5000个计算命令让用户通常只需要一个函数就可以完成复杂的分析任务。

本章主要介绍Maple的基本功能，包括：数值和符号计算计算、求解方程、微积分计算、向量及矩阵计算、微分方程求解等。Maple是一个全面的系统，提供多种方式完成同一个任务。在本章中，我们将通过简单、易于重复的方式求解常见的问题，但它不是唯一的操作方式。当用户熟悉本章中的各种操作方式后，用户可以通过帮助系统了解如何使用相似的技术完成各种任务。

2.1 与Maple对话

2.1.1 Maple环境

Maple的用户界面是一个典型的Windows或Mac风格的操作环境。工作环境界面如图2-1所示。

图2-1：Maple工作界面

在图2-1的工作界面中，窗体的主要部分包括：

●主文档，即主工作区。事实上，用户大可以把它想象成包含有各种数学和绘图工具的

Microsoft Word。

●面板区。汇集了数学工具和特殊的数学符号，用户可以将它们直接拖拽到工作区中使用。

面板区中最重要的面板当属Expressions，Matrix，Common Symbols和Greek。Maple提供了总共约30个面板，用户可以在面板区空白处单击鼠标右键，并单击Arrange Palettes 来进行选择。

●工具条。Maple提供了两个主要的工具条。默认状态下，标准工具条含有保存、缩放等通

用按钮和一些Maple特定用途的按钮。关联工具栏（context-sensitive toolbar）则包含了一些与被选对象（如数学表达式、图形、动画）相关的工具和操作命令。该工具条的内容会随不同的选中对象而改变。表2-1表格给出了一些重要的工具条按钮。

●输入和输出。Maple中任何以数学模型显示的表达式理论上都是可被执行的。但是在实际

运用中，用户可能需要一些公式是可被执行的，而另一些只是用于解释性语句。本章中的绝大部分示例都是可执行的表达式。这样的表达式被认为是输入，而输出则显示为蓝色，通常居中显示在屏幕上。

● 绘图和图像区。在单个Maple 文件中可以包含绘图、动画、静态图片和一些其他元素。 ● 章节和子章节。用户可以将内容分组整理成若干可折叠的章节和子章节。通过单击灰色的

小三角图标可以展开或收起文档。

表2-1：Maple 工具条按钮功能

重启。单击该按钮将清除内存并重置所有已定义的变量。在每次执行

新的示例或是新文件前进行该操作，可以避免将之前计算所用的变量定义代入新的计算模型中。

终止计算。有些情况下，大规模问题的解算可能会超出用户所期望的

时间。按下该按钮可以取消计算。

在光标位置之后插入文本区。该操作将添加空白段落并将入切换为文字模式。在该模式下，用户不能输入数学公式。要切换到数学模式，按

Plot 认

单个感叹号按钮将执行一个章节内所有的钮将执行整个文档内所有的计算。

Animation 其他的按钮则是用来实现自动播放。2.1.2 准备工作

在用户对Maple 系统的功用有清楚的认识之前，记住一些简单的规则会使初学的过程变得十分容易。大多数的Maple 初学者在用户界面上不得要领，下面的提示将帮助用户顺利地度过初学阶段，尽可能记住它们。

● Maple 有不同的模式：文字模式

，数学模式

。这意味着如果

用户不在正确的模式下输入内容，则无法实现相应的功能。要运行本书中的示例，最重要的模式是数学模式，该模式下用户可以直接输入数学表达式并进行相关的操作。 ● 在文字模式下，光标显示为垂直线，周围没有虚线框。在文字模式下输入的任何内容，包

括数学表达式，都被视为不可执行内容，通常用于描述性文字。如果输入的表达式看起来像：s+a/s^2，可以按[F5]键或工具栏上的按钮，从文字模式切换到可执行的

数学模式。

● 在数学模式下，光标显示为斜体，周围有虚线框。数学模式下输入的任何内容，包括中文

语句，都被视为可执行内容，按回车键后会返回结果。如果输入的是中文，那么Maple 会将该中文语句视为变量名。如果用户输入的文本看起来像下面这样：,可以

按[F5]键或工具栏上的

按钮，从数学模式切换到可执行的文字模式。

●

如果用户的光标正位于表达式的指数或是分母部分，可以使用箭头键移动光标位置。 ● 如果通过[Backspace]或[Del]键不能删除一些对象，则可以把光标移到待删除行，并按下

[Ctl]+[Del]，Maple 的这一“超级删除”功能键可用于复杂对象的整行删除操作。 示例：使用键盘输入1+2，按回车键执行表达式得到结果。注意：结果将另起一行显示。 打开一个空白文件，用户可以注意到窗口的顶部是菜单和工具栏，面板在左侧。鼠标点击到空白位置，确认当前模式是数学模式，可以注意到光标被虚线框包围，用户可以在虚线框内输入数学符号，输入完后按回车键，结果另起一行显示。

3

输入方程

切换到数学模式下，在光标处输入数学表达式。 1) 输入1-x^2。

2) 选中上面的表达式，按斜杠键“/”。用户可以发现光标会自动跳转到分母上。 3) 在分母位置上输入1+x^2。

用户也可以点击工具栏上的按钮

，在当前执行组后插入一行新的可执行输入。注意在

Maple 输入提示符（[>）后输入的内容，不管当前是文字模式或者是数学模式，全部视为可执行语句。

[>22

11x x -+

用户也可以将上面的2D 数学表达式转换为1D 数学表达式，用鼠标右键点击上面的表达式，从右键菜单中选择“2-D 数学→转换为→1-D Math Imput ”，如下图2-2所示：

图2-2：利用右键菜单转换表达式格式

[> (1-x^2)/(1+x^2); 右键菜单

使用右键菜单，无需命令知识，用户就可以使用Maple 中大量的数学计算和其他操作。 例子：将光标移到上面的输出结果上，点击鼠标右键。弹出的右键菜单提供了该表达式可以实现的多个操作。从如下图2-3所示的右键菜单中选择积分操作：Integrate →x 。

图2-3：利用右键菜单操作表达式

2arctan()x x

+

绘制积分结果的图形，用鼠标右键点击上面的结果表达式，在弹出的右键菜单中选择：Plots→2-D Plot ，显示积分结果对应的图形2-4。

图2-4 利用右键菜单生成的积分结果图

备注：用户可以用鼠标点击生成的图形，使用右键菜单或绘图工具条对创建的图形进行操作。

改变问题

Maple文件中的数学是“活的”，用户可以修改原表达式，重新运行后获得新的计算结果。例如：返回到第一个示例，将数字修改为“3”，然后按下回车键，可以看到结果随之变化。如果是多行计算，用户可以选中要重新执行的语句，可以包括图形，然后点击工具栏上的执行按钮（），所选的计算结果将全部得到更新。

备注：如果点击工具栏上的“执行整个工作表”按钮，Maple将重新执行文件中的所有可执行语句。

2.1.3 输入数学

在Maple中有多种方法输入数学，用户可以组合使用面板、键盘快捷键、右键菜单、命令行等方式输入数学符号，用户可以任选一种用户习惯的方式操作。表2-2列举了常用的输入数学的方式：

表2-2：在Maple中输入数学

面板

Maple工作表左侧的20个面板含有1,000

多个符号。用户也可以使用Maple的表达式面板输入数据，表达式面板含有用于常规的操作的填充模版。

?

图2-5：表达式面板

示例：使用表达式面板求表达式

6

4()

+的积分，打开“表达式”面板，然t sin t

后点击不定积分。

符号和命令补全机制帮助用户完成符号和

键，从

，

绘图，使用符号补

”，然后从列

”。

2

πx

+

图2-6 e x

y=的图形2

πx

+

e x y=

2.1.4 鼠标点击VS键盘命令

Maple提供了解决问题的两种基本方法：“鼠标点击”方法和“键盘命令”方法。

点击的方法是基于鼠标来完成的，也就是使用点击菜单、拖拽、单击图标等动作来实现。这种方法交互性强，对于快速处理问题、交互操作和数学探索都十分便捷。

命令方法是基于大量的由用户输入的专用命令和函数名来完成特定的任务。这种方法在高级的任务和编程中推荐使用。

本书假定读者会根据不同的情形采用不同的方法，并在大多数情况下，提供了两种方法的实现。本节所用鼠标和键盘的图标将会在后续章节用于标识各实例是基于鼠标点击方法还是键盘命令方法。

点击式数学示例- 函数和导数的绘图

f x x x

=，绘制,f f'和f''在区间[-π,π]上的图形。

()cos()

我们可以使用右键菜单解决这个问题，操作过程见表2-3：

表2-3：使用右键菜单

键，用鼠

Select Plot Type

。

→

图2-7 cos()x x ?的图形

选中前面的一阶和二阶导数结果，然后按

拖入到绘图区域。用相同的操作将二阶导→

图2-8 cos()x x ?及其一阶、二阶导数的图形

→

可以注意到

cos()x x ? cos()x x ?

这时工具栏上的输入模式切换到文字模式

。删除原来的文字，点击工具栏

上的数学模式

。这样用户可以在文

字区域输入2-D 数学，输入或者拷贝粘贴原来的表达式cos()x x 。

13. 对Curve 2和Curve 3应用相同的操作。

添

在标题处，用文字“对表达式”替换原有

点击工具栏上的数学模式图标，输入表达

，点击工具栏上的文字模式图

图2-9 cos()x x 及其一阶、二阶导数的图形

键盘命令示例 - 噪声信号

在本例中，用户将使用Maple 命令完成在信号中加入噪音，然后进行相关分析，操作步骤见表2-4。

表2-4：使用键盘命令

Sample(RandomVariable(Normal(1, .5))):

[> Noise(1);

[> Noise(1)[1];

[> signal := x -> x*sin(x);

[> noisySignal := x -> signal(x) + Noise(1)[1]:

[> noisySignal(1);

[> noisyData := [seq([.1*i, noisySignal(.1*i)], i =

-100 .. 100)]:

[> plot([noisyData, signal(x)], style = point, symbol = [cross, circle], color = [green, blue], legend = ["噪音信号", "信号"]);

图2-10 信号和噪声的图形

命令拟合噪声是函数模是函数备注：我们经常对一个数据结构中的各个元是获取元素数目的命示例：使用（实验）数据拟合数学模型，模备注：如果是多元数据拟合，数据需要写成expr := Statistics:-Fit(a+b*x+c*y+d*z, data[.., 指数、

[> Xdata := [seq(noisyData[i, 1], i=1..nops(noisyData))]: [> Ydata := [seq(noisyData[i, 2], i=1..nops(noisyData))]:

[> f := Fit(c*x*sin(a*x)+b, Xdata, Ydata, x);

[> plot([noisyData, f(x)], x=-10..10, style=[point,

line], symbol=cross, legend=["噪声信号", "拟合模型"]);

图2-11 噪声信号和拟合模型的图形

2.1.5 帮助系统

Maple系统提供了一个非常好的帮助系统，帮助系统是最重要的资源，用户可以学习和掌握Maple命令的语法和功能。

这里有几种途径进入Maple帮助系统：

?从帮助菜单，选择帮助文件

?点击工具栏上的图标

?如果已经知道希望阅读的主题词，可以直接从Maple文件访问帮助页，方法是执行命令?topic，例如输入?LinearAlgebra，回车后弹出LinearAlgebra相关的主题列表和帮助页。

Maple帮助系统打开一个独立的窗口，包含两个窗格，如图2-12所示。左侧的窗格包含开始检索和浏览的内容，右侧的窗格显示最后的检索结果，例如一个特定的帮助页。

图2-12 Maple帮助系统

Maple中的帮助页面列出了命令的调用格式、参数、和使用说明，并在帮助页的后面列举了使

用范例。一些帮助页面中还提供了超链接，使用户可以阅读相关的页面和字典定义。链接帮助页的超链接显示为绿色，链接到字典定义的超链接显示为暗红色。

使用帮助导航：

用户可在帮助系统导航中输入要搜索的主题或关键词，选项卡提供了帮助系统所有主题的列表。

某些时候，在解决某个数学问题时不知道应该使用Maple的什么命令，用户可从数学问题本身出发，推测在这些命令的帮助页面应当包含某些特定单词，此时就要用到全文查找的方法（选择搜索文本）。例如想要解一个微分方程，但是不知道应该用什么命令，我们可以推测，在这个命令的帮助中应该包含solve，differential和equation等关键词，此时可以在帮助菜单中选择搜索文本，在搜索区域输入要查找的关键词，例如solve differential equation等，然后单击搜索按钮，让Maple开始检索。

搜索帮助系统：

?在左侧窗格的搜索区域输入字符。

?默认情况下，完成主题检索。为了完成文字检索，选择文字按钮。

?输入关键字，回车后开始检索。

Maple 将列出匹配的主题，并附带数值，表明匹配的程度，用户可从列表中选择最感兴趣的主题。

?检索将列出匹配的主题，基于主题中关键词的使用频率。

?通过选择资源下拉菜单，用户可以检索所有的帮助系统或指定的资源，例如帮助页、任务、向导、和手册。

检索结果排列在左侧窗格的检索结果选项卡内，点击内容表选项卡，查看帮助系统中的所有主题。

2.2 使用命令和函数包

Maple 16内置5,000多个计算命令，深度覆盖广泛的数学和编程主题。Maple中的命令分为两类：主函数库（main library）和函数包（packages）。

?主函数库包含最常用的Maple命令，也称为顶层（top-level）命令。

?其他的命令，按照领域打包成不同的函数包，如微积分、统计、微分几何等。例如，Optimization函数包收集了数值求解优化问题的命令。

2.2.1 使用顶层Maple命令

一些常用的命令归类为顶层命令，如前面介绍的sin，taylor，int，exp，dsolve，solve，fsolve，rhs，eval，factor，expand，simplfiy等，用户可以立即在Maple工作表中使用这些顶层命令。

如果用户希望交互式使用Maple命令，仅需要使用2-D数学输入命令。注意，这些命令和变量名显示为斜体。Maple命令的结构类似于command(arguments)，具体的命令名和调用格式取决于用户使用的命令。

举例，对表达式因式分解，在数学模式下输入：

2

(+1)

x

表达式的微分，输入：

cos()x

求表达式在范围[0,2]π上的积分，输入：

2

4π

绘制表达式的图形，输入下面的命令生成如图2-13所示的表达式图形：