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课程表安排的优化模型

一类课表安排的优化模型

xxx

（XXX大学理学院应数班贵阳 550025）

摘要：本文采用逐级优化、0-1规划的方法，考虑多重约束条件，引入了偏好系数，建立了一个良好的排课模型，并根据题目给的数据，通过MATLA B编程，进行模型验证，求出了所需课表。且在方案合理性分析中用计算机模拟的方法分析了偏好系数的变化、教室的种类对排课结果的影响。最后给出了教师、教室的最优配置方案。

关键词：逐级优化；0-1规划；多重约束条件；排课模型

1.问题提出

用数学建模的方法安排一个贵州民族学院理学院合理的课表，尽可能让老师和学生都满意。让老师满意，就是要让每位家住贵阳和花溪的老师在一周内前往上课的天数尽可能少（家住民院的老师前往学院的次数尽可能少），同时还要使每位老师在学校逗留的时间尽可能少（家住贵阳和花溪的老师每天最多往返学校一次），比如安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段。用数学建模的方法解决以下问题：

1) 建立排课表的一般数学模型；

2) 利用你的模型对本学期我院课表进行重排，并与现有的课表进行比较； 3) 给出评价指标评价你的模型，特别要指出你的模型的优点与不足之处；

4) 对学院教务处排课表问题给出你的建议。

2.问题分析

在学校的教务管理工作中，课程表的编排是一项十分复杂、棘手的工作。排课需要考虑时间、课程、教学区域、教室、院系、班级、教师等等因素。经优化的排课，可以在任意一段时间内，教师不冲突，授课不冲突，授课的班级不冲突，教室占用不冲突，且综合衡量全校课表在宏观上是合理的。如何利用有限的师资力量和有限教学资源，排出一个合理的课程安排结果，对稳定教学秩序、提高教学质量有着积极的意义。某高校现有课程50门，编号为5001~c c ；教师共有48名，编号为4801~t t ；教室28间，编号为2601~r r 。具体属性及要求见附录1；课表编排规则：每周以5天为单位进行编排；每天最多只能编排10节课，上午4节，下午4节，特殊情况下可以编排10节课，每门课程以2节课为单位进行编排，同类课程尽可能不安排在同一时间。比如安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段。

本题的目标是将所有课程按照一定的约束条件安排到时间表中。由于总周

课时数为700，最少需要14张时间表。根据假设，学校要将其全部编排，则目标是排出14张课程表。假设14张表同时上课，那么要求教师不冲突、教室不冲突、课程全部排完以及所有软、硬约束。由于目标是将所有课程排完，可以先将不同课程按照其时间要求随机分配至时间表中，形成“时间段-课程”组合；再建立该组合对教师的约束，通过“0-1规划”确定最优的“时间段-课程-教师”组合；同理，确定出“时间段-课程-教师-教室”的最优组合，最终得到所求课表。

3.模型的建立

3.1 模型假设

1.假设学校的目标是将课程全部编排；

2.假设所编排的课程表是学生自选型，不考虑班级或上课人数；

3.假设在课程要求中的各项均为强制要求，即“硬约束”；

4.假设在教师属性中，能胜任课程类别、周最大课时数为强制要求，即“约束”；对教室类别要求、上课时间要求用偏好程度衡量，为“软约束”；

5.假设所得14张课表中2张同时上课，上完后另外2张课表开始上课；

6.假设课表内容由上课时间、教师、教室、课程组成。

3. 2 符号说明

54321A A A A A :效用矩阵 ; k t :教师编号 ;

u r :教室编号 ;

c :课程编号 ;

β :偏好系数，表示教师对教室、教师对上课时间的偏好系数;

i s :课程表上时间段的编号 ; k

st :为i c 课程的要求课时数 ;

i sc :为k t 教师的要求课时数 ;

{

}

u k i

j i r t y s ,,= :课程表上某一时间段的课程-教师-教室组合 ;

3．3 模型的准备与初步建立：

3．3.1 模型的准备

1.根据分析，关联关系有教师—教室、教师—课程、教师—上课时间、课程—教室、课程—上课时间一共五个。

图1 关联关系示意图

（实线表示“硬约束”，虚线表示“软约束”）

依次建立721,,,A A A 七个效用矩阵。其中，为强制约束的有,42,A A .

1A 矩阵：

()ij

a A =1（刻画 i 教师上

j 教室的偏好效果指标）其中：10≤≤aij ;

2A 矩阵：

()ij a A =2（刻画i 教师上j 课程时的效果指标）其中：1,0=aij

3A 矩阵：

()ij

a A =3（刻画i 教师上

j 时间段上课时的偏好效果指标）

其中:10≤≤aij 4A 矩阵：

()ij a A =4（刻画i 课程在j 教室上时的效果指标）其中：1,0=aij

偏好约束有1A 、3A 。 2. 时间段i s 的编号:

每一张课表上有星期一到星期五，每天有5 个时间段（每两个课时算一个时间段）。根据假设，假设题目需要同时排十四张课程表，需要对十四张课程表上的时间段都进行编号:

星期一

星期五星期一

星期五

上午1、2 节

5s 6s 10s

70s 上午3、4 节

71s

75s 76s 80s 140s 下午5、6 节

141s 145s 146s 150s 210s 下午7、8 节

211s

215s 216s

220s

280s 晚上9、10

281s

285s

286s

290s

350s

表1 时间段编号

3.对课程的处理

当某一课程的课时数为奇数时，取大于他的最小偶数。对所有课程的课时数进行调整。新的课时数为i k （,48,2,1 =i 即为48 位教师），原课程编号为i

c （50,2,1 =i ），i j y （i 表示原课程的编号， ,2,1=j ），待排课程集合为{}i j y . 3．3.2 模型的初步建立

第一步：随机分配课程到各个时间段

当课程的上课时间（上下午）要求为强制性约束时，分别选出上下午的课程集合

{

y y B 11=上午,{

}

j y y B

21=下午

..我们随机给上午B 中的每一个元素抽取一个上

午的时间段，其中满足的条件是，给下午B 中的每一个元素抽取一个下午的时间段。组成

时间段—课程()i j i y s 组合。此时， {}i j i y s =（某一时间段对应的某一课程）。如此，完成随机分配，使得每个时间段编号都有一个课程赋值。

第二步：根据教师k t 对i s 时间段上的课程所要求的教室的偏好1A 矩阵，对i s 进行次赋值，ij i i a s s -=.

最终得到????

??=ki k i ki

s s s s 1

111 第三步： 0-1 规划

1．目标是将k t 教师分配到不同的时间段上，约束条件是分配结果必须满足教师的课时数要求。

因此，问题转化为求有约束条件的0-1 规划问题。目标函数：

ki n

k n

i ki

x s

Z ?=

∑∑==11

max

约束条件：

????

?????===∑∑==1,02/2/1

1ki n

k ci ki n

i k ki x s x ST x

所得解为：

??????

??=ki k k i

i x

x x x x x x x x X 2

12 222111211 将教师安排到最优的时间段，此时 {}k i j i T Y s ,= 若无最优解，重回步骤一。

2．为每一个时间段安排教室

?果指标

该时段课程对教室的效

偏好该时段的老师对教室的这一时间段的效果指标

教室对i u S R

3．结合效用矩阵A 4 的S i

根据i s 时段课程i c 对教室u R 的效果矩阵4A ，对i s 进行第一次赋值，若

1=ij a ,则1=i s ，否则，0=i s 。

4．结合效用矩阵A 1 的S i

根据i s 时段教师k T 对教室u R 的效用矩阵1A ，对i s 进行第二次赋值，

i i a s s -=最终得到：

????

??=ui u i s

s s s s 1

111

第四步再次使用0-1 规划

目标是将u R 教师分配到不同的时间段上，约束条件是分配结果必须满足同一间教室在四张课表的同一时间段不重复。因此，问题转化为求有约束条件的0-1 规划问题。目标函数：

ui n

u n

i ui

x s

Z ?=∑∑==11

max

约束条件：

????

?????

?==+++=+++=+++1

,0 1

11565146413631262116111611ui x x x x x x x x x x x x x 所得解为：

??????

??=ui u2u12 222111211 x

x x x x x x x x X i

将教室安排到最优的时间段，此时 {}u R ,，k i j i T Y s = 若无最优解，重回步骤一。 6.1.4 安排课程表

将每个i s 的组合按照其编号读入到表1 中，得到最后的课程表。具体课表见附录二。

4.模型的求解

充分考虑课程的时间要求（上午,下午或晚上），随机分配课程，得到“时间段-课程”组合。分配示例见附录一。由于，题目所给数据中，教师的总课时数小于课程总课时数，又经过计算，设定目标是为做成十四张课表，其中两张先行开课，上完后，另外再两两开课。利用0-1 规划求解，构造要用矩阵时，要考虑的是，教师对这一事件的偏好，每位家住贵阳和花溪的老师在一周内前往上课的天数尽可能少，同时还要使每位老师在学校逗留的时间尽可能少，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段等因素，利用excel 构造出效用矩阵。用LINGO 软件求解线性规划模型的过程详见见附录三。

5. 模型的评价与分析

5．1合理性分析：

模型充分考虑了课程、教室、教师等的相互约束，建立了关系关联，并对约束采用0-1规划，确定出 “时间段-课程-教师-教室”组合。同时，我们也充分考虑了教师对教室和上课时间的偏好，建立了一个偏好系数可调的模型，使所得课表尽量满足课程、教室、教师的各种属性及要求，对教师聘用，教室配置给出合理化建议。

5．2模型的评价：

第一．模型的优点：

⒈引入了偏好系数β，能较大程度地满足教师、课程和教室的要求；

⒉建立了关联关系，使模型建立更清晰、明确、具有条理性；

⒊用0-1规划解决相互约束问题，形成“时间段-课程-教师-教室”组合，科学合理；

⒋逐步优化，层层递进，思路清晰，简单易懂。

⒌充分考虑各个教师、教室、课程的要求，具有良好实用性。

以上总结的内容不可能是生产分配研究方法与策略的全部,但愿它能起到敲门砖的作用, 带领更多的有志踏入研究之门.

第二．模型的缺点：

⒈当课时数为奇数时，将其近似为偶数计算，导致课表中所有时间未能充分利用；

⒉在随机给每个时间段安排课程时，未能确立完善的分配方式；

参考文献：

[1] 姜启源、谢金星、叶俊,数学模型（第三版）[M]，北京：高等教育出版社,2003。

[2]郭耀煌等，运筹学[M]，四川：西南交通大学出版社，2000。

[3]薛秀谦、朱开永，运筹学[M]，徐州：中国矿业大学出版社，2002。

[4]韩中庚，数学建模方法与应用[M]，北京：高等教育出版社，2005。

[5]徐玖平、胡知能，中级运筹学[M]，北京：科学出版社， 2008。

[6]张小红、张建勋，数学软件与数学实验[M]，北京：清华大学出版社，2004。

[7] 邓集贤、杨维权、司徒荣、邓永录，概率论与数理统计（第四版）[M]，北京：高等教育出版社,2009。

[7]刘卫国. MATLAB 程序设计教程[M].北京: 中国水利水电出版社,2005.

[9] 欧阳光中、朱光炎、金福临、陈传璋，数学分析上册（第三版） [M]，北京：高等教育出版社,2007。

[10]王夏林，概率论与数理统计 [M]，西安：西北工业大学出版社,2002。

附录

附录一：

课程、教师、教室（ 5001~c c ，4801~t t ，2601~r r ）分别为：

5001~c c

4801~t t

2601~r r

1，保险学原理蔡静 6-606 2，常微分方程车克平 6-605 3，大学化学

陈浩

6-604

4，大学物理陈远强6-603 5，大学英语三储昌木6-602 6，大学英语一代莉莉6-601 7，大学语文范梦慧6-505 8，电磁学高伟6-504 9，电力电子学韩军6-503 10，电子电路计算机辅助设计胡菊芳6-405 11，泛函数分析黄成泉6-404 12，复变函数黄国桢6-403 13，复利数学姜晴琼6-402 14，概率论蒋桂珍5-2楼15，概率论与数理统计金良琼15-312 16，高等数学一李寒贫15-215 17，高级语言程序设计李荣15-210 18，机械基础李伟民15-202 19，机械制图及CAD初步李文力15-201 20，计算机应用基础李燕13-609 21，解析几何林玲13-607 22，近世代数刘红梅13-604 23，就业指导刘泓（李磊）13-603 24，科技文献刘小华13-407 25，离散数学骆最芬13-401 26，理论力学聂思敏12-102 27，量子力学潘仁龙

28，毛邓齐新潮

29，面向对象程序设计饶彦

30，模拟电路任丽蓉

31，模式识别与图像处理商德强

32，热力学与统计物理施涛

33，热学实验孙向荣

34，实变函数索洪敏

35，寿险精算原理田应福

36，数分三王守财

37，数据库系统应用王新锋

38，数理统计王燕红

39，数学模型吴兴玲

40，数学物理方程熊宗洪

41，数值分析杨昌仁

42，算法与数据结构杨亚碧

43，体育三叶一蔚

44，体育一余芳琼

45，图论张儒良

46，微分几何张微微

47，线性代数张伟

48，原子物理学赵行知

49．证卷投资分析

50，中国近代史纲要

51，

附录二：

具体课表为：

星期一：星期二; 星期三;

1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 1-2 3-4 5-6 7-8 9-1

1-2 3-4 5-6 7-8 9-10

07应C54

C46

T31

C11

T34

C46

T31

数R13 R13 R8 R13

07信计C39

C31

T45

C34

T43

C31

T45

08应物C48

C18

T18

C18

T18

C40

T17

T30

R13

C32

T42

R13

C27

08应数C9

T25

C39

C22

T24

R12

C12

T31

R12

C14

T15

R12

T25

08统计C4

T25

C41

R11

C35

T13

R11

C13

R11

C35

T13

R11

T25

C49

08信计C29

T11

T31

C38

T22

R13

C22

T24

R10

T31

C29

T11

C29

T11

C41

R10

09应物C8

T37

R11

T37

R11

C23

T16

R11

C23

T16

R11

T37

R14

T37

R14

C26

T25

T23

R18

C28

T29

C15

T22

R12

C30

T22

C28

09应数C37

T23

C37

T23

C36

T41

C23

T16

T31

T23

R18

T12

C28

C37

T23

C36

T41

C28

09统计C36

T41

R10

C17

T11

R10

C28

T28

C36

T41

R10

C14

T15

C23

R10

C23

R10

C28

T28

C17

T11

R10

T47

C17

T11

R10

09信计C5

T46

R19

C36

T41

C17

T28

C28

T28

C17

T28

C25

T36

T12

C28

T28

C36

T41

T46

R19

C23

T14

C23

T14

10应物C47

T17

C50

T44

R28

T10

C16

T30

R16

C20

C44 C19

T18

C19

T18

T19

10应数C6

T20

R25

C50

T44

R26

C51

T39

C53

T35

C21

T40

C51

T39

T20

R25

10统计C53

T38

T20

R25

C50

T44

R26

C51

C20

T27

C44 C6

T20

R25

C51

CC3

T19

10信计

C20

T45

C53

T38

T20

R25

C50

R25

C51

C44 C51

C20

T45

T20

R25 星期四：星期五;

1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 1-2 3-4 5-6 7-8

07应数C54

R13

C11

T34

07信计C39

C34

T43

C31

T45

08应物C10

T33

C10

T33

C32

T42

R13

C27

08应数C39

C14

T15

R12

C22

T24

R12

C12

T31

R12

08统计C13

C35

T13

C41

R11 R11 R11

08信计C38

T22

R13

C41

R10

C22

T24

R10

09应物C15

T22

R12

C43 C5

T23

R18

C30

T48

C42

C33

R14

C33

R14

09应数C5

T23

R18

C43 C2

T31

C36

T41

T12

09统计C36

T41

R10

C43 C14

T15

T47

09信计C17

T28

C43 C25

T36

T12

C36

T41

10应物C6

R16

C16

T31

C20

T18

R13

10应数C21

T40

C53

T35

C20

C53

T35

C51

T39

10统计C20

T27

C53

T38

C51

C53

T38

10信计C53

T38

C24

T29

C53

T38

C51

附录三

程序代码：

model:

sets:

teacher/ @file('偏好0.1.txt') /:teacheryaoqiu;

kecheng/ @file('偏好0.1.txt') /:kechengyaoqiu;

links(teacher,kecheng):c,x;

endsets

data:

teacheryaoqiu=@file('偏好0.1.txt') ;

kechengyaoqiu=@file('偏好0.1.txt') ;

c=@file('偏好0.1.txt') ;

enddata max=@sum(links:c*x); @for(kecheng(j): @sum(teacher(i): x(i,j))=kechengyaoqiu(j));

@for(teacher(i): @sum(kecheng(j): x(i,j))<=teacheryaoqiu(i)); @for(links:@bin(x));

End

运输优化模型参考

运输问题摘要本文根据运输公司提供的提货点到各个客户点的路程数据，利用线性规划的优化方法与动态优化模型——最短路径问题进行求解，得到相关问题的模型。针对问题一，我们采用Dijkstra 算法，将问题转化为线性规划模型求解得出当运送员在给第二个客户卸货完成的时，若要他先给客户10送货，此时尽可能短的行使路线为： 109832V V V V V →→→→，总行程85公里。针对问题二，我们首先利用prim 算法求解得到一棵最小生成树：再采用Dijkstra 算法求得客户2返回提货点的最短线路为12V V →故可得到一条理想的回路是：121098436751V V V V V V V V V V V →→→→→→→→→→ 后来考虑到模型的推广性，将问题看作是哈密顿回路的问题，建立相应的线性规划模型求解，最终找到一条满足条件的较理想的的货车送货的行车路线： 121098436751V V V V V V V V V V V →→→→→→→→→→。针对问题三，我们首先直接利用问题二得一辆车的最优回路，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，最终可为公司确定合理的一号运输方案:两辆车全程总和为295公里（见正文）；然后建立线性规划模型得出二号运输方案：两辆车全程总和为290公里（见正文）；最后再进一步优化所建的线性规划模型，为运输公针对问题四，我们首先用Dijkstra 算法确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理该方案得到运输总费用是645元。关键字：Dijkstra 算法, prim 算法, 哈密顿回路问题重述某运输公司为10个客户配送货物，假定提货点就在客户1所在的位置，从第i 个客户

优化设计试卷练习及答案

-- 一、填空题 1．组成优化设计数学模型的三要素是设计变量、目标函数、约束条件。２.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ????，海赛矩阵为2442-????-?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题,的基础上力求简洁。５.约束条件的尺度变换常称规格化,这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6．随机方向法所用的步长一般按加速步长法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例递增的方法。 7.最速下降法以负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法,其收敛速度较慢。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题,这种方法又被称为升维法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩１1坐标轮换法的基本思想是把多变量的优化问题转化为单变量的优化问题 12.在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束, ,另外应当尽量减少不必要的约束。 1３.目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+１，空间中描述出来,为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况,常采用目标函数等值面的方法。 1４．数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是建立搜索方向，和计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。１６.机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。二、名词解释 1.凸规划对于约束优化问题 ()min f X ..s t ()0j g X ≤ (1,2,3,,)j m =??? 若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =???都为凸函数,则称此问题为凸规划。 2.可行搜索方向是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降,且不会越出可行域。 3．设计空间：ｎ个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合 4.．可靠度 5.收敛性是指某种迭代程序产生的序列(){}0,1,k X k =???收敛于1lim k k X X +*→∞ = 6.非劣解：是指若有m 个目标()()1,2,i f X i m =???,当要求ｍ-1个目标函数值不变坏时,找不到一个X,使得另一个目标函数值()i f X 比()i f X *,则将此X *为非劣解。 7. 黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。 8.可行域:满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。 9.维修度略三、简答题 1．什么是内点惩罚函数法?什么是外点惩罚函数法?他们适用的优化问题是什么?在构造惩罚函数时,内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？

数学建模-工厂最优生产计划模型

数学建模与数学实验课程设计报告学院数理学院专业数学与应用数学班级学号学生姓名指导教师 2015年6月

工厂最优生产计划模型【摘要】本文针对工厂利用两种原料生产三种商品制定最优生产计划的问题，建立优化问题的线性规划模型。在求解中得到了在不同生产计划下收益最优化的各产品的产量安排策略、最大收益，以及最优化生产计划的灵敏度分析。对于问题一，通过合理的假设，首先根据题中所给的条件找出工厂收益的决定条件，利用线性规划列出目标函数MAX。由题目中所得，工厂原料及价格的约束条件下运用lingo软件算出最优生产条件下最大收益为1920元，其次是不同产品的产量。对于问题二，灵敏度分析是研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化时，最优基保持不变。对产品结构优化制定及调整提供了有效的帮助。根据问题一所给的数据，运用lingo软件做灵敏度分析。关键词：最优化线性规划灵敏度分析 LINGO

一、问题重述某工厂利用两种原料甲、乙生产A1、A2、A3三种产品。如果每月可供应的原料数量（单位：t ），每万件产品所需各种原料的数量及每万件产品的价格如下表所示：（1）试制定每月和最优生产计划，使得总收益最大；（2）对求得的最优生产计划进行灵敏度分析。二、模型假设（1）在产品加工时不考虑排队等待加工的问题。（2）假设工厂的原材料足够多，不会出现原材料断货的情况。（3）忽略生产设备对产品加工的影响。（4）假设工厂的原材料得到充分利用，无原材料浪费的现象。三、符号说明 Xij （i=1,2,；j=1,2,3；）表示两种原料分别生产出产品的数量（万件）； Max 为最大总收益； A1，A2，A3为三种产品。四、模型分析问题一分析：对于问题一的目标是制定每月和最优生产计划，求其最大生产效益。由题中所给的条件找出工厂收益的决定条件，利用线性规划列出目标函数MAX 。由题目中所得，工厂原料工厂原料及价格的约束，列出约束条件。问题二分析：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化时，最优基保持不变。通过软件数据进行分析。五、模型建立与求解问题一的求解：建立模型：题目的目标是寻求总利益最大化，而利润为两种原料生产的六种产品所获得的利润之和。设Xij （i=1,2,；j=1,2,3；）表示两种原料分别生产出产品的数量（万件）则目标函数:max=12(x11+x21）+5(x12+x22)+4(x13+x23) 原料每万件产品所需原料（t ）每月原料供应量（t ） A1 A2 A3 甲 4 3 1 180 乙 2 6 3 200 价格（万元/万件） 12 5 4

数学建模中常见的十大模型

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的

运输优化模型参考

运输问题摘要本文根据运输公司提供的提货点到各个客户点的路程数据，利用线性规划的优化方法与动态优化模型——最短路径问题进行求解，得到相关问题的模型。针对问题一，我们采用Dijkstra 算法，将问题转化为线性规划模型求解得出当运送员在给第二个客户卸货完成的时，若要他先给客户10送货，此时尽可能短的行使路线为： 109832V V V V V →→→→，总行程85公里。针对问题二，我们首先利用prim 算法求解得到一棵最小生成树：再采用Dijkstra 算法求得客户2返回提货点的最短线路为12V V →故可得到一条理想的回路是：121098436751V V V V V V V V V V V →→→→→→→→→→ 后来考虑到模型的推广性，将问题看作是哈密顿回路的问题，建立相应的线性规划模型求解，最终找到一条满足条件的较理想的的货车送货的行车路线： 121098436751V V V V V V V V V V V →→→→→→→→→→。针对问题三，我们首先直接利用问题二得一辆车的最优回路，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，最终可为公司确定合理的一号运输方案:两辆车全程总和为295公里（见正文）；然后建立线性规划模型得出二号运输方案：两辆车全程总和为290公里（见正文）；最后再进一步优化所建的线性规划模型，为运输公司针对问题四，我们首先用Dijkstra 算法确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理该方案得到运输总费用是645元。关键字：Dijkstra 算法, prim 算法, 哈密顿回路问题重述

数学建模练习题1

2.14成绩与体重数学建模一、问题举重比赛按照体育运动员的体重分组，你能在一些合理、简单的假设下，建立比赛成绩与体重之间的关系吗？下面是下一届奥运会的成绩，可供检验你的模型。一、问题分析成绩与肌肉的力度有直接关系，随着力度的增加，成绩呈上升趋势。假设力度与肌肉横截面积成正比，而截面积和体重都与身体的某个特征尺寸有直接关联。由此可以找到成绩和体重之间的关系。可以以此建立模型。

二、模型假设以及符号说明 1．本模型主要考虑运动员举重总成绩和体重的关系，所以假设运动员其他条件相差不大。 2．运动员的举重能力用其举重的总成绩来刻画 3．符号说明：人的体重 W 人的身高 h 肌肉横截面积 S 人的体积 V 肌肉强度 T 举重成绩 C 非肌肉重量 W1 斜率 K 三、模型构成模型一 1．题中给出举重比赛按照体育运动员的体重分组，所以我们猜测成绩与体重应该是正比关系。 2．画出坐标图，体重越重，成绩越好，进一步验证了正比关系。最大体重

从上图可以看出，体重越大，举重总成绩相对越好，所以我们猜测举重总成绩与体重大概成线性关系。则，我们可以用一次函数C=kW+b对三个体重进行拟合，根据图中数据，可得： = = 2.66， = = 1.45, = = 1.17 把b代入得出三个一次函数为： = 2.66W+143.8, = 1.45W+75.1, = 1.17W+69.7, 用上述模型计算得到的理论值,并画出图表与原图表进行比较：最大体重

通过比较两个图表，我们可以推测体重与成绩数据的推测图表和已知图标的拟合度并不是特别的理想，所以我们可以认为用线性函数对举重总成绩与体重进行拟合的模型过于简单、粗略，考虑的因素比较少。模型二我们这一次综合各种因素来进行分析建模。通过查阅各种自然科学磁疗，我们可以近似以为：一般举重运动员的举重能力是用举重成绩来衡量，而举重运动员的举重能力与其肌肉强度近似成正比关系，从而举重运动员的举重总成绩与其肌肉强度近似成正比，即： C = T (为常数且>0) ○1从运动生理学得知，肌肉的强度与其横截面积近似成正比，即： T = S (为常数且>0) ○ 2综合○1，○2可得 C=T=S ○3通过查阅资料，我们可以假设肌肉的横截面积正比于身高的平方，人的体重正比于身高的三次方，即可得： S = , W = (，为常数且>0，>0) 综合上述所有算式，我们有： C= S = ○ 4 因为W = ，我们可以推测出举重运动员举重总成绩与其体重的关系为： C = 利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，求出上述模型的常数M。利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，运用最小二乘法求出上述模型的系数 K 。因为体重超过108千克的运动员的体重没有具体的数据，为了模型的准确性，故将这个数据舍去。经过代入9次运算得出平均常数，为=20.3,=9.6，=9.0。于是举重运动员的举重总成绩与体重的关系模型为

优化设计复习题

一、填空题 1. 用最速下降法求()()2211f x =100)1x x -+-（x 最优解时，设()[]00.5,0.5T x =-,第一步迭代的搜索方向为 T 100]- [103。 2. 机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向。 3. 当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。 4. 应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点和终点，他们的函数值形成趋势高--低--高。 5. 包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6. 函数12 T T x Hx B x c ++的梯度为_________。 7. 设G 为n n ?对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量0d ,1d ,满足 ()010d Gd =，则0d ，1d 之间存在共轭关系。 8. 与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值的不变方向。 9. 设计变量、目标函数、约束条件是优化设计问题的数学模型的基本要素。 10. 对于无约束二元函数()12,f x x ，若在()01234,x x x =点处取得极小值，其必要条件是在0x 点的梯度为0,充分条件是在0x 点的海赛矩阵正定。 11. K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 12. 用黄金分割法求一元函数()21036f x x x =-+的极值点，初始搜索区间 [][],10,10a b =-，经第一次区间消去后得到新区间【-2.36,10】。 13. 优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量，目标函数，约束条件。 14. 牛顿法搜索方向k d =()()21()k k f x f x --??，其计算是大，且要求初始在级极小点附近位置。 15. 将函数()21 12121210460f x x x x x x x =+---+表示成12 T T x Hx B x c ++的形式为。

运输问题优化模型

运输方案问题的优化模型摘要：本文研究运输最优化问题。运输问题(Transportation Problem)是一个典型的线性规划问题。一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案的问题。本论文运用线性规划的数学模型来解决此运输问题中总费用最小的问题。引入x变量作为决策变量，建立目标函数，列出约束条件，借助LINGO软件进行模型求解运算，得出其中的最优解，使得把某种产品从2个产地调运到3个客户的总费用最小。关键词：LINGO软件运输模型最优化线性规划

1问题重述与问题分析 1、1 问题重述要把一种产品从产地运到客户处,发量、收量及产地到客户的运输费单价如表1所示。表1 运输费用表客户1 客户2 客户3 发量产地1 10 4 12 3000 产地2 8 10 3 4000 需求量2000 1500 5000 这是一个供求不平衡问题，产品缺少1500个单位，因此决定运输方案应按下列目标满足要求：第一目标，客户1为重要部门，需求量必须全部满足；第二目标，满足其他两个客户至少75%的需要量；第三目标，使运费尽量少；第四目标，从产地2到客户1的运量至少有1000个单位。 1、2 问题分析运输方案就是安排从两个产地向三个客户运送产品的最佳方案，目标是使运费最少。而从题目来看产品的总量只有7000个单位，客户的需求量却有8500个单位，产品明显的缺了1500各单位，所以至少要按以下要求分配运输，首先

客户1为重要部门，需求量必须全部满足，从产地2到客户1的运量至少有1000个单位，即至少向客户1发2000个单位，且从产地2向客户1发的要大于等于1000个单位；其次满足其他两个客户至少75%的需要量，即至少得向客户2发1125个单位，至少向客户3发3750个单位。最佳的运输方案就是满足了要求中的发量，而让运输费用最少的方案。 2、模型的假设 1）运输过程中道路畅通，无交通事故、交通堵塞等发生，运输车行驶正常；2）从产地到客户整个路途中，所走的路程都是最短的； 3）每一个产地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到各个销地；4）每一个销地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由产地满足； 5）从任何一个产地到任何一个销地的物品运输成本和所运输的数量成线性比例关系； 6）这个成本就等于运输的单位成本乘以运输的数量。 3符号说明 A,2A表示该产品的两个产地； ① 1

工厂生产计划最优化问题

工厂生产计划最优化问题小组成员:何光,岳峥,魏维健,高志强,苏文辉

背景介绍某厂生产三种产品Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，每种产品要经过A,B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1，A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1，B2，B3表示。产品Ⅰ可在A，B任何一种规格设备上加工。产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效时台以及满负荷操作时机床设备的费用如下表，要求安排最优的生产计划，使工厂利润最大。

解:对产品I来说,设以A1,A2完成A工序的产品分别为X1,X2件,转入B工序时,以 B1,B2,B3完成B工序的产品分别为X3,X4,X5件;对产品II来说,设以A1,A2完成A工序的产品分别为X6,X7件,转入B工序时,以B1完成B工序的产品为X8件;对产品III来说,设以A2完成A工序的产品为X9件,则以B2完成B工序的产品也为X9件.由上述条件可得: A工序加工的对应产品总量=B工序加工的对应产品总量 I ：X1+X2=X3+X4+X5 II：X6+X7=X8 III：X9=X9 任何设备不能超过其有效台时产品利润=产品单价-原料费工厂最终利润=产品利润×产品总量-总的设备费用

由题目所给的数据可得数据模型为: MAX Z=(1.25-0.25)x(X 1+X 2 )+(2.00-0.35)x(X 6 +X 7 )+(2.80-0.50)x X 9-300/6000 x (5X 1 +10X 6 )-321/10000 x(7X 2 +9X 7 +12X 9 )- 250/4000 x(6X 3+8X 8 )-783/7000 x(4X 4 +11X 9 )-200/4000 x 7X 5 s.t. 5X 1+10X 6 <=6000 7X 2+9X 7 +12X 9 <=10000 6X 3+8X 8 <=4000 4X4+11X9<=7000 7X 5<=4000 X 1+X 2 =X 3 +X 4 +X 5 X 6+X 7 =X 8 X 1,X 2 ,X 3 ,X 4 ,X 5 ,X 6 ,X 7 ,X 8 ,X 9 >=0

管道运输与订购优化模型

钢管订购和运输优化模型要铺设一条1521A A A →→→Λ的输送天然气的主管道, 如图一所示(见反面)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有721,,S S S Λ。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。为方便计，1km 主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为i s 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为i p 万元，如下表： i 1 2 3 4 5 6 7 i s 800 800 1000 2000 2000 2000 3000 i p 160 155 155 160 155 150 160 1单位钢管的铁路运价如下表：里程(km) ≤300 301～350 351～400 401～450 451～500 运价(万元) 20 23 26 29 32 里程(km) 501～600 601～700 701～800 801～900 901～1000 运价(万元) 37 44 50 55 60 1000km 以上每增加1至100km 运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点1521,,,A A A Λ，而是管道全线）。

问题：（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。思考题：（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。 7

BIM建筑模型练习题

BIM技术的解析应用单选题： 1、BIM是以建筑工程项目的（A. 各项相关信息数据）作为模型的基础，进行建筑模型的建立，通过数字信息仿真模拟建筑物所具有的真实信息。 2、以下关于BIM的概念的表述，正确的是（D. BIM是一种解决方案的集合）。 3、BIM最大的意义在于（D. 全生命周期应用）。 4、BIM让人们将以往的线条式的构件形成一种三维的立体实物图形展示在人们的面前，这体现了BIM的（ A. 可视化）特点。 5、最早关于 BIM 的概念是（B.1975.0）年提出的。 6、（C. 《2011-2015 年建筑业信息化发展纲要》）的颁布，标志着 BIM 技术真正成为我国建筑信息化的主线，也成为我国的“BIM 元年”。 7、BIM技术最先从（B. 美国）发展开来。 8、BIM在施工阶段应加入的信息有（D. 材料）。 9、全生命周期的广义定义是（C.涵盖并服务于建筑乃至城市的全生命周期）。 10、实现BIM全生命周期的关键在于BIM模型的（B.信息传递）。 11、（A.施工建设）中的风险属于显性风险。 12、以下不属于BIM应用产生的收益和效果的是（C.合同价格提高）。 13、BIM标准化研究工作的实施主体是（A. 企业级）。 14、BIM 构件分类以（A. 企业属性）为基础构建管理体系。 15、以矩形截面型钢结构框架梁为例进行面分法分类时，可按（C. 功能、材质、形状）进行。 16、以下不是企业级 BIM 标准化政策实施路线的内容的是（B. 全面把握）。 17、建筑工业化和（C. 建筑业信息化）是建筑业可持续发展的两大组成部分。 18、BIM 的一个基本前提是（A. 项目全寿命期内不同阶段不同利益相关方的协同）。 19、（B. 建筑信息模型）是指全寿命期工程项目或其组成部分物理特征、功能特性及管理要素的共享数字化表达。 20、工程项目全寿命期可划分为（B. 策划与规划、勘察与设计、施工与监理、运行与维护、改造与拆除）五个阶段。 21、（B. BIM建模软件）是BIM 信息模型的基础。 22、（A. Revit 系列）是Autodesk公司一套BIM系列软件的名称。 23、中

数学建模运输优化模型

2012年数学建模培训第二次测试论文题目运输优化模型姓名马鹏系（院）数学系专业信息与计算科学、应用数学 2012 年8 月27 日运输优化模型

[摘要]在社会的经济生产活动中，产地（厂家）与客户都会想方设法合理调拨资源、降低运输费用，实现利益最大化，完成资源优化配置。本文在运输费单价恒定，各产地发量一定，各客户的需求量也一定的条件下，努力解决多个特定目标实现问题。力求最优的运输方案。在确定问题为不平衡的运输问题时，先虚设一个产地，将问题装华为平衡运输问题，将问题转化为目标规划问题，按照目标规划问题的建模思想逐步建立模型。本文的主要特点在于，将不平衡的线性规划问题合理地转化为目标规划问题，在求解时充分利用LINGO软件求解。关键词： lingo 目标规划线性规划运输优化问题运费最少一．问题重述

运输功能是整个现代物流七大基本功能之一，占有很重要的地位，运输成本在整个物流系统中所占的比重也很大，运输成本的有效控制对物流总成本的节约具有举足轻重的作用。通过物流流程的改善能降低物流成本，能给企业带来难以预料的效益，影响运输成本的因素是多样化、综合性的，这就要求对运输成本的分析要采用系统的观点，进行综合分析。由于影响物流运输成本的因素很多，控制措施既涉及运输环节本身，也涉及供应链的整个物流流程。要想降低物流运输成本，就必须运用系统的观点和方法，进行综合分析，发现问题，解决问题，使物流运输活动更加优化、物流运输成本更加合理化。本文已知把一种产品从产地一、二运到客户1、2、3处,产地的发量、客户的收量及各产地到各客户的运输单价已知。本文要解决问题是：客户1为重要部门，必须全部满足需求量；满足客户2、3至少75%的的需求量；使总运费尽量少；从产地2到客户1的运量至少有1000个单位。二．问题分析根据题目中所给出的条件知：有现成的两个产地和需要产品的三个客户。且两个产地的产量不同，运送到各个客户的运费单价不同。三个客户所需的货物量不同。而三个客户对两个产地的总需求为2000+1500+5000=8500（单位），而两个产地总的发量为3000+4000=7000（单位）,故需求量大于发量，属于需求量和发量不平衡问题。且提出四个不同的目标。故使用目标规划实现建模。首先设置目标约束的优先级，建立目标约束按目标的优先级，写出相应的目标规划模型。再接着使用LINGO 软件实现模型的求解，并作出相应结果的分析。三．模型假设（1）产品的运输过程不存在任何的导致产品发量和产品收量不相符的问题。产品安全送到客户处。即有：产品的发量就等于产品的收量。（2）产品的运输单价始终恒定，不存在中途因为某种原因而导致产品的单价变化问题。即运费只取决于所运输的产品的数量。（3）产地的生产量（即发量）有极限值，不可能超出本产地正常的生产范围。（4）客户需求量在一定的范围内或或是特定的具体值。四．符号说明基于题目及所要建立的模型所要用到的变量及参数，作如下符号说明：（1）产地用i A （2,1i =其中）表示，表示第产地i ；)2,1(=i a i 表示其发量；（2）客户用j B （其中j=1,2,3）表示，表示客户j;)3,2,1(=j b j 表示其需求量；（3）用ij c 1,2,3j 2;,1i ==其中表示产地i A （2,1i =其中）往客户j B （其中j=1,2,3）处运输产品的单位费用；（4）用z 表示总的运输费用；（5）用ij x 1,2,3j 2;,1i ==其中表示产地i A （2,1i =其中）运往客户j B （其

优化建模练习题解答

例1（任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？解：设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为321,,x x x ，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为654,,x x x 。建立以下线性规划模型： 6543218121110913m in x x x x x x z +++++= ???? ???????=≥≤++≤++=+=+=+6 ,,2,1,09003.12.15.08001.14.0500600 400 ..6543216352 41 i x x x x x x x x x x x x x t s i 例2 某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？解：设需要一级和二级检验员的人数分别为21,x x 人,则应付检验员的工资为：因检验员错检而造成的损失为：故目标函数为：约束条件为：线性规划模型： 212124323848x x x x +=??+??2 1211282)%5158%2258(x x x x +=????+???2121213640)128()2432(m in x x x x x x z +=+++=???????≥≥≤??≤??≥??+??0,0180015818002581800 158258212121x x x x x x 2 13640m in x x z +=

生产计划安排最优化模型

生产计划安排最优化模型摘要本文是针对工厂生产计划的安排对总利润的影响问题，通过对题目的分析，建立线性规划模型，利用Lingo软件对模型进行编程求出最优解，最终完整地解决这一问题。分析题意，可知总利润=总销售利润-总存储费用，据此我们建立了本题的目标函数。同时依据题目的要求，可以得出对目标函数的约束条件可分为各种产品每个月的产量约束，各种产品每个月的存储量约束，各种产品每个月的生产时间约束，然后根据这三种约束条件可得出各个约束式，因此，已知目标函数与约束六个月的最大利润条件，再通过利用Lingo软件进行编程求出最优解，最终得出为937115元。从Lingo软件的求解中，可以得出各个月的生产计划安排，同时我们对各个月的生产计划表进行分析，发现各个月都有不生产的产品，而这些产品销售量都符合各个月的最大需求量要求，而特别的是一月份无生产产品VII，经过对题目的分析，发现生产产品VII所需的单位设备所需台时，比生产其他产品的单位设备所需台时要耗时，因此不生产产品VII是符合最大利润要求，从而得出各个月的生产计划安排都符合题意要求。最后根据求解结果对每个月生产情况的合理性进行了分析，得出的结论是:根据模型所建立的生产计划是科学合理的。关键字:生产计划，线性规划，lingo 问题重述

企业是一个有机的整体，企业管理是一个完整的系统，由许多子系统组成。在企业的管理中，非常关键的一部分是科学地安排生产。对于生产、库存与设备维修更新的合理安排对企业的生存和发展具有重要的意义。已知某工厂要生产7种产品，以I，II，III，IV，V，VI，VII来表示，但每种产品的单件利润随市场信息有明显波动，现只能给出大约利润如下。产品 I II III IV V VI VII 大约利润/元 100 60 80 40 110 90 30 该厂有4台磨床、2台立钻、3台水平钻、1台镗床和1台刨床可以用来生产上述产品。已知生产单位各种产品所需的有关设备台时如下表。单位所需产品台时 I II III IV V VI VII 设备磨床 0.5 0.7 / / 0.3 0.2 0.5 立钻 0.1 0.2 / 0.3 / 0.6 / 水平钻 0.2 / 0.8 / / / 0.6 镗床 0.05 0.03 / 0.07 0.1 / 0.08 刨床 / / 0.01 / 0.05 / 0.05 从1月到6月，维修计划如下:1月—1台磨床，2月—2台水平钻，3月—1台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备当月不能安排生产。又知从1—6月市场对上述7中产品最大需求量如下表所示。 I II III IV V VI VII 1月 500 1000 300 300 800 200 100 2月 600 500 200 0 400 300 150 3月 300 600 0 0 500 400 100 4月 200 300 400 500 200 0 100

简单的优化模型

第三章部分习题 1. 在3.1节存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优定货周期和定货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优定货周期和定货批量都比原来结果减小 3. 在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。 4. 在3.4节`最优价格模型中，如果考虑到成本q 随着产量x 的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型。 7. 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离 ,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论；（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算0 30,0==θθ时的总淋雨量。（3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为?，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数?,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。（4）以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。

运输优化模型参考精选

运输问题摘要本文根据运输公司提供的提货点到各个客户点的路程数据，利用线性规划的优化方法与动态优化模型——最短路径问题进行求解，得到相关问题的模型。针对问题一，我们采用Dijkstra 算法，将问题转化为线性规划模型求解得出当运送员在给第二个客户卸货完成的时，若要他先给客户10送货，此时尽可能短的行使路线为：109832V V V V V →→→→，总行程85公里。针对问题二，我们首先利用prim 算法求解得到一棵最小生成树：再采用Dijkstra 算法求得客户2返回提货点的最短线路为12V V →故可得到一条理想的回路是：121098436751V V V V V V V V V V V →→→→→→→→→→ 后来考虑到模型的推广性，将问题看作是哈密顿回路的问题，建立相应的线性规划模型求解，最终找到一条满足条件的较理想的的货车送货的行车路线： 121098436751V V V V V V V V V V V →→→→→→→→→→。针对问题三，我们首先直接利用问题二得一辆车的最优回路，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，最终可为公司确定合理的一号运输方案:两辆车全程总和为295公里（见正文）；然后建立线性规划模型得出二号运输方案：两辆车全程总和为290公里（见正文）；最后再进一步优化所建的线性规划针对问题四，我们首先用Dijkstra 算法确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到该方案得到运输总费用是645元。关键字：Dijkstra 算法, prim 算法, 哈密顿回路问题重述

数学模型程序代码-Matlab-姜启源-第三章-简单的优化模型

第3章简单的优化模型 1. 生猪的出售时机p63~65 目标函数（生猪出售纯利润，元）： Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t–640 其中，t≥0为第几天出售，g为每天价格降低值（常数，元/公斤），r为每天生猪体重增加值（常数，公斤）。求t使Q(t)最大。 1.1（求解）模型求解p63 (1) 图解法绘制目标函数 Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t–640 的图形（0 ≤t≤ 20）。其中，g=0.1, r=2。从图形上可看出曲线Q(t)的最大值。 (2) 代数法对目标函数 Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t–640 用MATLAB求t使Q(t)最大。其中，r, g是待定参数。（先对Q(t)进行符号函数求导，对导函数进行符号代数方程求解）然后将代入g=0.1, r=2，计算最大值时的t和Q(t)。要求： ①编写程序绘制题(1)图形。

②编程求解题(2). ③对照教材p63相关内容。相关的MATLAB函数见提示。 ★要求①的程序和运行结果：程序：图形： ★要求②的程序和运行结果：程序：

运行结果： 1.2（编程）模型解的的敏感性分析p63~64 对1.1中(2)所求得的符号表达式t(r,g)，分别对g和r进行敏感性分析。 (1) 取g=0.1，对t(r)在r=1.5:0.1:3上求r与t的关系数据，绘制r与t的关系图形（见教材p65）。 (2) 取r=2，对t(g)在g=0.06:0.01:0.15上求g与t的关系数据，绘制g与t 的关系图形（见教材p65）。要求：分别编写(1)和(2)的程序，调试运行。 ★给出(1)的程序及运行结果：程序：

数学建模中常见的十大模型

数学建模中常见的十大模型 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明蒙特卡罗算法大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。

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