2019高考数学专项突破 (9)

专项突破练1等值线

(2019·湖南株洲模拟)下图为“某地区地形示意图”。读图，回答1～3题。

1．关于该区域的描述，正确的是()

A．位于我国南方地区

B．范围较小，比例尺较小

C．等高距为100 m

D．图中湖泊可能是火山口

2．M湖湖水开始外泄时，其湖面高程介于()

A．1 150～1 200 m B．1 200～1 250 m

C．1 250～1 300 m D．1 300～1 350 m

3．沿图中登山线路行进，可仰看百米飞瀑的地点是()

A．①B．②C．③D．④

答案 1.D 2.C 3.D

解析第1题，图示区域没有经纬度位置和典型事物，无法判断所在地区，A错误；图示范围越小，比例尺越大，B错误；图中1 200 m等高线和1 300 m等高线之间还有一条等高线，说明等高距为50 m，C错误；图中湖泊可能是火山口，D正确。第2题，根据图中等高线数值可判断出峡谷海拔为1 250～1 300 m，M湖湖面高程超过峡谷，可从峡谷中流出。C正确。第3题，瀑布出现在陡崖处，图中③④之间等高线重合，有陡崖分布，由材料“可仰看百米飞瀑”可知应位于瀑布下游，④能看到。D正确。

(2019·安徽合肥模拟)下图为“世界某区域等高线地形图”。据此回答4～5题。

4．图示区域内河流落差可能是()

A．78 m B．98 m C．128 m D．148 m

5．图中M、N、P、Q四地中()

A．M地位于阴坡，坡度较其他三地陡

B．N地位于鞍部，地势较其他三地高

C．Q地位于山谷，在m地的东北方向

D．P地位于山脊，处于盛行风迎风坡

答案 4.B 5.A

解析第4题，图示等高距是40 m，河流源头最高处海拔范围80～120 m，最低处海拔为0 m，区域内河流落差范围可能是98 m。B正确。第5题，图示位于北半球，根据等高线形态，图中M、N、P、Q四地中，M地位于阴坡，等高线较密集，坡度较其他三地陡，A正确；N地位于谷地，B错误；Q地位于山脊，在M地的西北方向，C错误；P地位于山谷，图示区域位于欧洲西部，P地位于盛行西风背风坡，D错误。

我国东南沿海某地拟修建一座水位60m的水库。下图为“拟建水库附近地形示意图”。读图，回答第6题。

6．建设成本最低的水库大坝宜建在()

A．甲B．乙C．丙D．丁

答案 A

解析水库大坝宜建在山谷地区，同时具有较大的集水区。根据图中等高线的分布规律可知，

甲地为一个喇叭形出口，周边地形较高，在此修建水库，工程量最小，库容量较大，建设成本最低。

(2019·北京师范大学附属中学模拟)积温是一个地区一年内日平均气温≥10 ℃持续期内日平均气温的总和。读“我国局部地区积温分布图”，回答7～8题。

7．M、N两地积温的差值可能是()

A．1 000 ℃B．1 500 ℃

C．2 000 ℃D．2 500 ℃

8．导致M、N两地积温差异的主要因素是()

A．纬度位置B．海陆位置

C．地形D．人类活动

答案7.B8.C

解析第7题，由图中经纬网可知，M地位于四川盆地，其积温应高于周围地区；N地位于云贵高原，其积温应低于周围地区，所以可以得到：5 500

(2017·山东济南期末)读“我国某河流上游部分河段年平均气温分布示意图”，完成9～10题。

9．该河流的流向大致为()

A．自东南向西北B．自西北向东南

C．自西南向东北D．自东北向西南

10．水能资源最丰富的河段是()

A．甲乙河段B．乙丙河段

C．丙丁河段D．丁戊河段

答案9.C10.B

解析第9题，结合图中指向标，根据年平均气温变化，西南部年平均气温较低，说明地势较高，为河流上游地区，所以河流从甲流向戊，即从西南向东北流。故选C。第10题，图中等温线越密集，说明该地区温差越大，地势起伏越大，河流落差越大，所以该河段水能最丰富。图中乙丙河段等温线最密，水能资源最丰富。故选B。

(2018·广东湛江模拟)乌拉圭境内大部分地区地势平坦，北部和东部有少数低山分布，山区植被破坏严重。2016年4月15日，乌拉圭经历了由大西洋登陆的龙卷风引起的强降水，境内多条河流洪水泛滥，涝灾严重，造成了严重的地表积水。下图为“该国洪水过后某一时刻的等地表积水深度线分布图”。读图，回答11～12题。

11．下列说法正确的是()

A．图中地表积水东北多、西南少

B．图中由河流向两岸积水逐渐增多

C．城镇地表积水比周围区域的平均深度更深

D．越向河流下游积水深度越浅

12．影响该区域洪灾形成的主要因素有()

①天气②地形地势③植被覆盖率④城市热岛效应

A．①②③B．②③④

C．①②④D．①②③④

答案11.C12.A

解析第11题，根据图中等地表积水深度线数值，图中地表积水东北少、西南多，A错误；图中由河流向两岸积水逐渐减少，深度逐渐变浅，B错误；城镇地表积水大于35 mm，比周围区域的平均深度更深，C正确；由材料可知，地势东北高西南低，河流自东北向西南流，越向河流下游积水深度越深，D错误。第12题，影响该区域洪灾形成的主要因素有天气，降水量大且集中，①正确。地形平坦，地势低洼，排水不畅，②正确。植被覆盖率低，调蓄径流能力弱，③正确。城市热岛效应反映的是气温差异，与洪涝无关，④错误。综上，A正确。

(2018·四川广安、眉山、内江、遂宁模拟)公交等时线是指从某一地点，利用公交出行，所用出行时间相等的各点连成的平滑曲线。下图为“广州市某日以市中心天河城为出发点的公交等时线(单位：秒)”。据此完成13～14题。

13．从天河城出发，50分钟时间内的平均公交车速最慢的是()

A．华师方向B．广州东站方向

C．动物园方向D．珠江新城方向

14．图示区域南部可能有()

A．河流流经B．高速公路穿过

C．工业区布局D．大片农田

答案13.B14.A

解析第13题，由公交等时线定义可知，公交等时线上各点利用公交车出行，到达出发点的用时相等。公交车速度越慢，相同时间内行走的距离越短，距出发点也就越近，公交等时线越密集。50分钟即3 000秒内公交车速度最慢的方向为3 000秒公交等时线上距离天河城距离最短的方向，读图可知，天河城到广州东站方向出行距离最短，故选B。第14题，读图，根据公交等时线的分布特点，南部等时线先稀疏后密集，说明南部方向公交车速先快后慢，高速公路、工业区、农田对公交车速影响不大；若有河流流经，则需要过桥，桥梁对同时通行车辆的数量有一定的限制，影响公交车速，故A正确。

(2019·云南富源六中模拟)读“华北地区冬小麦开花日期示意图”，完成15～17题。

15．自1980年至2000年，华北地区冬小麦开花日期的变化特点是()

A．普遍推迟5天左右

B．普遍提前5天左右

C．普遍推迟10天左右

D．普遍提前10天左右

16．甲地地形可能是()

A．平原B．山地

C．高原D．谷地

17．导致华北地区1980～2000年冬小麦开花日期变化的原因是()

A．月均温升高B．月均温降低

C．霜冻影响D．干旱缺水

答案15.B16.D17.A

解析第15题，全球气候变暖，作物开花期提前；由图可知，同一纬度两条等值线接近或部分重合，而时间相差5天，开花日期提前约5天，B正确。第16题，根据等值线的判读规律，

甲地等值线显示的开花日期比周边早，说明甲地气温比周围气温高，从地形对气温影响来说，该地应该地势较低，所以D正确。第17题，读图并结合所学知识，可以得出2000年华北地区冬小麦开花日期较1980年提前，说明月均温升高，导致开花日期偏早，A正确。

18．下图为“我国南方某区域等高线地形图(单位：m)”，读图回答下列问题。

(1)描述图示区域内的地形、地势特征。

(2)说明AB河段的河流流向。

(3)某同学在登上当地最高的朝阳峰时，看不到甲、乙、丙、丁中的哪个村镇？请简述理由。

(4)甲、乙、丙、丁四个村镇中，哪一处发生滑坡的可能性更高，请说明原因。

答案(1)盆地地形，地势中间低四周高。

(2)先由北向南流，再向东南流。

(3)丁。有山脊阻挡视线。

(4)丁。原因：丁处附近等高线密集，该处的山体坡度大。

2019高考数学考点突破——选考系列参数方程学案

参数方程 【考点梳理】 1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数 ? ?? ?? x ＝f t ，y ＝g t 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲 线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例 如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ?? ?? x ＝f t ，y ＝g t 就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 3．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y －y 0＝tan α(x －x 0) ? ?? ?? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2 ? ?? ?? x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a >b >0) ? ?? ?? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 考点一、参数方程与普通方程的互化 【例1】已知曲线C 1：?????x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：? ????x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数). (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π 2 ，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：

2019高考数学考点突破——空间向量与立体几何空间向量及其运算学案

空间向量及其运算 【考点梳理】 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π 2 ，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a·b ＝0(a ≠0，b ≠0) a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 2 3 夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 23· b 21＋b 22＋b 2 3 考点一、空间向量的线性运算 【例1】如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB → ＝b ，AD → ＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)MP →＋NC 1→. [解析] (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋1 2 b . (2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP → ＝12 A 1A →＋AP → ＝－12a ＋? ? ???a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→

2019高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：导数与函数的单调性 Word版含解析

导数与函数的单调性 【考点梳理】 函数的导数与单调性的关系 函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则 (1)若f ′(x )＞0，则f (x )在这个区间内单调递增； (2)若f ′(x )＜0，则f (x )在这个区间内单调递减； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数． 【考点突破】 考点一、判断或证明函数的单调性 【例1】已知函数已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性. [解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a >0，则当x ∈??? ?0，1a 时，f ′(x )>0； x ∈??? ?1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 所以f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 【类题通法】 用导数判断或证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤 (1)一求．求f ′(x )； (2)二定．确认f ′(x )在(a ，b )内的符号； (3)三结论．作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数． 【对点训练】 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)，试讨论f (x )的单调性． [解析] f ′(x )＝3x 2 ＋2ax ，令f ′(x )＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－2a 3 . 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x ) 在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，x ∈? ????－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，

2019高考数学考点突破——函数的应用函数的图象学案

函数的图象 【考点梳理】 1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象 y ＝f (ax )的图象； ②y ＝f (x )的图象 ―――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a ，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻转变换 ①y ＝f (x )的图象―――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方 x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；

②y ＝f (x )的图象―――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧 原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象． 【考点突破】 考点一、作函数的图象 【例1】作出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1 －1； (3)y ＝x 2－|x |－2. [解析] (1)首先作出y ＝lg x 的图象C 1，然后将C 1向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象C 2，再把C 2在x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即为所求图象C 3：y ＝|lg(x －1)|.如图①所示(实线部分)． (2)y ＝2 x ＋1 －1的图象可由y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得y ＝2 x ＋1 的图象，再向下 平移一个单位得到，如图②所示． (3)y ＝x 2 －|x |－2＝? ???? x 2 －x －2x ≥0，x 2 ＋x －2x <0， 其图象如图③所示． 【类题通法】 画函数图象的一般方法 (1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出； (2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出． 【对点训练】 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|log 2(x ＋1)|；(2)y ＝|x －1|，x ∈R ；(3)y ＝2x －1 x －1 . [解析] (1)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图①. (2)可先作出y ＝x －1的图象，将x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不变可得y ＝|x －1|的图象．如图②中实线部分所示． (3)∵y ＝2＋ 1x －1，故函数图象可由y ＝1 x 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位

2019高考数学考点突破——平面向量：平面向量的数量积 Word版含解析

平面向量的数量积 【考点梳理】 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ； (2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉. 考点一、平面向量数量积的运算 【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC → 的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118 (2)已知点P 在圆x 2 ＋y 2 ＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP → 的最大值为________. [答案](1)B (2) 6 [解析](1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →. 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，

且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC → ， 所以AF →＝12AB →＋34AC → . 又BC →＝AC →－AB → ， 则AF →·BC →＝? ????12AB →＋34AC →·(AC →－AB →) ＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB → ＝34AC →2－12AB →2－14 AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC → |＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝1 8.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP → ＝(cos α＋2，sin α)， ∴AO →·AP → ＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号. 【类题通法】 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补. 【对点训练】 1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE → ＝() A ．－32B ．32 C ．－332 D ．332 [答案]A [解析]由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD → ，BE →〉＝3×3×? ?? ??－12＝－32，故选A.

2019高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语集合学案

集合 【考点梳理】 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?． (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法． 2．集合间的基本关系 (1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A． (2)真子集：若A?B，但集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A?≠B或B?≠A． (3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B． (4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 并集交集补集 图形表示 符号表示A∪B A∩B ?U A 意义{x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x?A} 4. (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)子集的传递性：A?B，B?C?A?C. (3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. (4)?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)，?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)． 【考点突破】 考点一、集合的基本概念 【例1】(1)已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P 的元素个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )

A ．92 B ．98 C ．0 D ．0或9 8 [答案] (1) B (2) D [解析] (1) 因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5.当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6.同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则 x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个． (2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2 －3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝2 3 ，符合题意； 当a ≠0时，由Δ＝(－3)2 －8a ＝0得a ＝98， 所以a 的取值为0或9 8. 【类题通法】 与集合中的元素有关的解题策略 (1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【对点训练】 1. 已知集合A ＝{(x ，y )|x 2 ＋y 2 ＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 [答案] B [解析] 因为A 表示圆x 2 ＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2 ＋y 2 ＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. 2. 已知集合A ＝{x ∈R|ax 2 ＋3x －2＝0}，若A ＝?，则实数a 的取值范围为________. [答案] ? ????－∞，－98 [解析] ∵A ＝?，∴方程ax 2＋3x －2＝0无实根，

2019高考数学考点突破——随机变量及其分布(理科专用)二项分布与正态分布 Word版含解析

二项分布与正态分布 【考点梳理】 ．条件概率 ．事件的相互独立性 ()定义：设，为两个事件，如果()＝()()，则称事件与事件相互独立. ()性质：若事件与相互独立，则与，与，与也都相互独立，()＝()，()＝(). ．独立重复试验与二项分布 ()独立重复试验 在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验，其中(＝，，…，)是第次试验结果，则(…)＝()()()…(). ()二项分布 在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则(＝)＝(－)－(＝，，，…，)，此时称随机变量服从二项分布，记作～(，)，并称为成功概率. ．正态分布 ()正态分布的定义 如果对于任何实数，(＜)，随机变量满足(＜≤)＝φμ，σ()，则称随机变量服从正态分布，记为～(μ，σ).其中φμ，σ()＝(σ>). ()正态曲线的性质 ①曲线位于轴上方，与轴不相交，与轴之间的面积为； ②曲线是单峰的，它关于直线＝μ对称； ③曲线在＝μ处达到峰值； ④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.

()正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①(μ－σ<≤μ＋σ)＝； ②(μ－σ<≤μ＋σ)＝； ③(μ－σ<≤μ＋σ)＝. 【考点突破】 考点一、条件概率 【例】()如图，是以为圆心，半径为的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形(阴影部分)内”，则()＝. ()某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) ．．．． [答案]()() [解析]()由题意可得，事件发生的概率()＝＝＝.事件表示“豆子落在△内”，则()＝＝＝.故()＝＝＝. ()设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，则由题意可得()＝，()＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是()＝＝＝.故选. 【类题通法】 . 利用定义，分别求()和()，得()＝，这是求条件概率的通法. . 借助古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数()，再求事件与事件的交事件中包含的基本事件数()，得()＝. 【对点训练】 ．从，，，，中任取个不同的数，事件＝“取到的个数之和为偶数”，事件＝“取到的个数均为偶数”，则()＝( ) ．．．． [答案]

2019高考数学概率：几何概型

几何概型 【考点梳理】 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝ 构成事件A 的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 . 【考点突破】 考点一、与长度(角度)有关的几何概型 【例1】(1)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ， CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．23 D ．45 (2)如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________． [答案] (1) C (2) 1 3 [解析] (1)设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )>20，解得2

P ′在C ''B 上发生”． 又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π 6 . 故所求事件的概率P ＝ C D l l ''B 'B ＝π6·1π2 ·1＝13 . 【类题通法】 1．解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置． 2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 【对点训练】 1．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．1 3 B ．12 C ．23 D ．34 [答案] B [解析] 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝1 2 .故选 B. 2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与 AB 交于点M ，则AM

(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第六章数列高考专题突破三高考中的数列问题学案

高考专题突破三 高考中的数列问题 【考点自测】 1．(2017·洛阳模拟)已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则 a 1＋a 5＋a 9 a 2＋a 3 等于( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 答案 B 解析 ∵在等差数列{a n }中，a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 2 4＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2 ＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2 ＝a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝a 1，∴ a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝15a 1 5a 1 ＝3.故选B. 2．(2018·衡水调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列???? ?? 1a n a n ＋1的前 100项和为( ) A.100 101 B.99101 C.99100 D.101100 答案 A 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .

∵a 5＝5，S 5＝15，∴? ??? ? a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1) 2d ＝15，∴? ?? ?? a 1＝1， d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴ 1 a n a n ＋1 ＝ 1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴数列???? ??1a n a n ＋1的前100项和为? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1100－1101＝1－1101＝100101. 3．若a ，b 是函数f (x )＝x 2 －px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 D 解析 由题意知a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a . ∴? ?? ?? ab ＝4，2b ＝a －2或? ?? ?? ab ＝4， 2a ＝b －2，解得? ?? ?? a ＝4， b ＝1或? ?? ?? a ＝1， b ＝4. ∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D. 4．(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若 a 1·a 6·a 11＝33， b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 9 1－a 4·a 8 的值是( ) A ．1 B.22 C ．－ 2 2 D ．－ 3 答案 D 解析 {a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 3 6＝(3)3, 3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝ 7π3 ， ∴tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 6 1－a 26＝tan 2× 7π 3 1－(3) 2 ＝tan ? ????－7π3＝tan ? ????－2π－π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2018·保定模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N * 都有S n ＝23a n －13 ，若1

2019高考数学考点突破——推理与证明数学归纳法学案

数学归纳法 【考点梳理】 1．数学归纳法 证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N * )时命题成立； (2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N * )时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 2．数学归纳法的框图表示 【考点突破】 考点一、用数学归纳法证明等式 【例1】设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N * )．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－ 1](n ≥2，n ∈N * )． [解析] (1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1， 右边＝2? ?? ??1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N * )时，结论成立， 即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 那么，当n ＝k ＋1时， f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)? ??? ??f k ＋1－ 1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．

由(1)(2)可知，f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N * )． 【类题通法】 1．明确“2思路” (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少． (2)由n ＝k 时等式成立，推出n ＝k ＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程． 2．记牢“4句话” 两个步骤要做到，递推基础不可少； 归纳假设要用到，结论写明莫忘掉． 【对点训练】 用数学归纳法证明等式12 －22 ＋32 －42 ＋…＋(－1)n －1 ·n 2＝(－1) n －1 · n n ＋1 2 . [解析] (1)当n ＝1时，左边＝12 ＝1， 右边＝(－1)0 × 1×1＋1 2 ＝1，左边＝右边，原等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N * )时等式成立，即有12 －22 ＋32 －42 ＋…＋(－1) k －1 ·k 2＝(－1) k － 1 · k k ＋1 2 . 那么，当n ＝k ＋1时， 12 －22 ＋32 －42 ＋…＋(－1)k －1 ·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1) k －1 · k k ＋1 2 ＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋1 2 [－k ＋2(k ＋1)] ＝(－1)k · k ＋1 k ＋2 2 . ∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)(2)知对任意n ∈N * ，都有

2019高考数学考点突破——不等式：基本不等式 Word版含解析

基本不等式 【考点梳理】 1．基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)? ?? ??a ＋b 22≤a2＋b22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是 q24 (简记：和定积最大)． 【考点突破】 考点一、配凑法求最值 【例1】(1)若x ＜，则f (x )＝4x －2＋的最大值为________． (2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1 的最大值为________. [答案](1) 1 (2)1 5 [解析](1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）15－4x ＋3 ＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.

故f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为1. (2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝t t2＋1＋3＋t ＝t t2＋t ＋4 . 当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t ＋1， 因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15， 即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 【类题通法】 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2B ．1＋3C ．3 D ．4 [答案] C [解析] 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋ 1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 (x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3，选C. 2．函数y ＝x2＋2x －1 (x >1)的最小值为________. [答案]23＋2 [解析]y ＝ x2＋2x －1＝（x2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1 ＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1 ＝(x －1)＋ 3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1 ，即x ＝3＋1时，等号成立.

高考一轮数学压轴题考点分布及突破方法

2019高考一轮数学压轴题考点分布及突破 方法 说到高考数学压轴题，在很多高考生眼中，那是尖子生的天下。其实高考压轴题也并非一点分数也抢不到。只要了解到高考数学压轴题的特点，并且掌握一定的答题技巧，相信高考生可以拿到不少分数的。以下是数学压轴题考点分布及突破方法，请考生学习。 1.涉及的考点 2019年解答题考察的考点：数列、立体几何、统计、解析几何、导数 2019年解答题考察的考点：三角函数、立体几何、函数、解析几何、导数 研究高考真题的目的就是找出考点和常考考点。因为常考的知识点还将考，从来不涉及的知识点，考的可能性就不大。找出考点后，就要进行专项的训练，专项训练不在题多，而在于做好题，真题仍是第一选择。训练过程一定要揣摩整个过程，找出规律。 2.解答题的解题技巧 珍惜题目中给你的条件。数学题目中的条件都是不多也不少的，一道给出的题目，不会有用不到的条件，而另一方面，你要相信给出的条件一定是可以做到正确答案的。所以，解题时，一切都从题目条件出发，只有这样，一切才都有可能。

在数学家波利亚的四个解题步骤中，第一步审题格外重要，审题步骤中，又有这样一个技巧：当你对整道题目没有思路时：步骤(1)将题目条件推导出新条件，步骤(2)将题目结论推导到新结论. 步骤(1)就是不要理会题目中你不理解的部分，只要你根据题目条件把能做的先做出来，能推导的先推导出来，从而得到新条件。步骤(2)就是想要得到题目的结论，我需要先得到什么结论，这就是所谓的新结论。然后在新条件与新结论之间再寻找关系。一道难题，难就难在题目条件与结论的关系难以建立，而你自己推出的新条件与新结论之间的关系往往比原题更容易建立，这也意味着解出题目的可能性也就越大! 最后要提醒的是，虽然我们认为最后一题有相当分值的易得分部分，但是毕竟已是整场考试的最后阶段，强弩之末势不能穿鲁缟，疲劳不可避免，因此所有同学在做最后一题时，都要格外小心谨慎，避免易得分部分因为疲劳出错，导致失分的遗憾结果出现。 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”

2019高考数学考点突破——函数的应用函数与方程学案

函数与方程 【考点梳理】 1．函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x ∈D)的零点． (2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0. 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点 零点个数210 考点一、函数零点所在区间的判断 【例1】设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) [答案] B [解析] 法一：∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．

【类题通法】 判断函数零点所在区间的方法： 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断． 【对点训练】 函数f (x )＝12ln x ＋x －1 x －2的零点所在的区间是( ) A ．? ?? ??1e ，1 B ．(1，2) C ．(2，e) D ．(e ，3) [答案] C [解析] 易知f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，且f (2)＝12ln 2－12<0，f (e)＝1 2＋e －1 e －2>0.∴f (2)f (e)<0，故f (x )的零点在区间(2，e)内. 考点二、判断函数零点的个数 【例2】函数f (x )＝2ln 2,0 41,0 x x x x x x ?-+>?+≤?的零点个数是________． [答案] 3 [解析] 当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2 －2x 的图象， 由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点； 当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－1 4， 综上，f (x )有3个零点． 【类题通法】 判断函数零点个数的方法： (1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看

2019高考数学考点突破——函数的应用函数模型及其应用学案

函数模型及其应用 【考点梳理】 1．常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)． (2)反比例函数模型：y ＝k x ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)． (3)二次函数模型：y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)． (4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ＞0，b ≠1，a ≠0)． (5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，a ＞0，a ≠1，m ≠0)． (6)幂函数模型：y ＝a ·x n ＋b (a ≠0)． 2．三种函数模型之间增长速度的比较 函数 性质 y ＝a x (a ＞1) y ＝log a x (a ＞1) y ＝x n (n ＞0) 在(0，＋∞)上 的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行 随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行 随n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个x 0，当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 【考点突破】 考点一、用函数图象刻画变化过程 【例1】已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点 P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )