2019-2020年高三模拟考试数学试卷(理科)

2019-2020年高三模拟考试数学试卷（理科）

一、填空题（每题4分，共48分）

１、已知向量}3,1{=→m ，}1,2{a a n -=→，若→

→⊥n m ，则a = 。 2、函数x x y cos sin 1-=的最大值是 。

3、已知直线062:1=++y ax l 与直线01)1(:2

2=-+-+a y a x l 平行，则实数a = 。 4、在等差数列}{n a 中，96151241=+++a a a a ，则=-1092a a 。 5、函数x x f 2log 2)(-=的值域为),1(+∞，则)(1

x f

-的值域为 。

6、若)1cos 2(12sin ++-θθi 是纯虚数，则θ的值为 。

7、已知集合M=},065|{2

N x x x x ∈≤--，从M 中任取两个数相加，得到的和作为集合N 的元素，则N 的非空真子集有 个。 8、设1010221010

)1()1()1()

32(-++-+-+=-x a x a x a a x ,则+++210a a a

10a + = 。

9、某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生n 名)92(≤≤n ，现从中选出2人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为

3

2

，则n = 。 10、若函数)(x f 满足：①0)(>x f ；②任意∈b a ,R ，有)()()(b f a f b a f ?=+；③若任意∈b a ,R ，且b a <，则)()(b f a f <，试写出该函数具有的两个性质： 。

11、已知各项均为正的等比数列}{n b 的首项11=b ，公比为q ，前n 项和为n S ，若1lim 1

=+∞→n

n n S S ，

则公比q 的取值范围是 。

12、已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足1)()()2()2(=++++x f x f x f x f ，2

1

)1(=

f ，4

1

)2(=

f ，则=)2007(f 。 二、选择题（每题4分，共16分）

13、已知命题“若0>+y x ，则0>x 且0>y ”。这个命题与它的否命题应当存在（ ） A 、原命题是真命题，否命题是假命题； B 、原命题与否命题都是真命题； C 、原命题是假命题，否命题是真命题； D 、原命题与否命题都是假命题。

14、在极坐标系中，已知圆的方程是,sin 22cos 6θθρ-=则过圆心与极轴垂直的直线极坐标

方程是 （ ）

A 、 3sin =θρ

B 、θρsin 3=

C 、 θρcos 3=

D 、 3cos =θρ

15、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→ 明文

（解密），已知加密规则为：明文d c b a ,,,对应密文d d c c b b a 4,32,2,2+++，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16。当接受方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 （ ）

A 、 4，6，1，7

B 、 7，6，1，4

C 、 6，4，1，7

D 、 1，6，4，7

16、设定义域为R 的函数)(x f 满足以下条件：①对任意0)()(,=-+∈x f x f R x ；②对任意

],,1[,21a x x ∈当12x x >时，有0)()(12>>x f x f ，则以下不等式不一定成立的是（ ）

A 、)0()(f a f >

B 、)()21(a f a f >+

C 、)3()131(->+-f a

a f D 、)()131(a f a a

f ->+-

三、解答题

17、（本题满分12分）

已知向量}cos ,{sin x x a =→

，R x x x b ∈=→

},cos ,{cos ，已知函数)()(→

→

→

+?=b a a x f （1）求函数)(x f 的最值与最小正周期；（2）求使不等式2

3

)(≥x f ],0[π∈x 成立的x 的取值范围。

在正方体-ABCD 1111D C B A 中，棱长为a ，M 为11B A 的中点，N 为1BB 的中点， （1）求异面直线AM 与CN 所成角的大小； （2）求四面体N-AMC 的体积。

19、（本题满分14分）

设),(R y x yi x z ∈+=，i 是虚数单位，满足1064

4≤+≤z

z ， （1）求证：0=y 时满足不等式的复数不存在。 （2）求出复数z 对应复平面上的轨迹。

双曲线C 与椭圆14

82

2=+y x 有相同的焦点，直线x y 3=为双曲线C 的一条渐近线。 （1）求双曲线C 的方程；

（2）过点P （0，4）的直线l ，交双曲线C 于A 、B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不

重合）。当→

→→==QB QA PQ 21λλ，且3

8

21-

=+λλ时，求Q 点的坐标。

21、（本题满分16分）

设数列}{n a 是首项为0的递增数列，（N n ∈），,)(1

si n )(n n a x n

x f -=,[n a x ∈]1+n a 满足：对于任意的b x f b n =∈)(),1,0[总有两个不同的根。 （1）试写出)(1x f y =，并求出2a ； （2）求n n a a -+1，并求出}{n a 的通项公式；

（3）设n n n a a a a a S 1

4321)1(--++-+-= ，求n S 。

已知集合}),1()2()(|)({R x x f x f x f x f M ∈+=++=，3

sin )(x

x g π=。

（1）判断)(x g 与M 的关系，并说明理由；

（2）M 中的元素是否都是周期函数，证明你的结论；

（3）M 中的元素是否都是奇函数，证明你的结论。

上海市六校2006学年第二学期高三数学测试标准答案及评分标准

一、填空题

1、 3

2、

23 3、1- 4、24 5、（0，2） 6、（理）Z k k ∈+=,4

2π

πθ （文）i 2- 7、510 8、（理） 1（文） 1 9、（理）6 （文）15

13

10、①1)0(=f ；

②)(x f 在R 上是增函数 11、10≤

1

（文） 4

二、选择题

13、C 14、（理） D （文） D 15、C 16、（理） C （文） B 三、解答题

17、解：}cos 2,cos {sin x x x b a +=+→

→

………1分

)12(cos 2

1

2sin 211cos 2)cos (sin sin )()(2

+++

=++=+?=→

→

→

x x x x x x b a a x f )4

2sin(2223π

++=

x ………4分 (1)∴)(x f 的最大值是

2223+,)(x f 的最小值是2

2

23-, ………6分

)(x f 的最小正周期是ππ

==2

2T ………7分 (2) 由解知

Z k k x k x x x f ∈+≤≤-?≥+?≥++?≥

,8

380)42sin(23)42sin(222323)(ππππππ

………10分

又∵],0[π∈x ∴x 的取值范围是],8

7[]83,

0[ππ

π ………12分 18、解：（1）以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴y 轴z 轴建立空间直角坐标系

…1分

则 )0,0,(a A )0,,0(a C ),2,

(a a a M )2

,,(a

a a N ………3分 ∴},2,0{a a AM =→ }2

,0,{a

a CN =→ ………4分

设→AM 与→CN 夹角为θ 524

521cos 22

==

?=→→→

→

a a CN

AM CN AM θ ∴52

arccos =θ ……7分 ∴异面直线AM 与CN 所成角为5

2arccos ………8分 (用立几方法做的相应给分) （2）CB S V V AMN AMN C AMC N ?--=

=3

1

………10分 而MN B ABN AMA A ABB AMN S S S S S 1111????---==2

2222

8

3814141a a a a a =---

…11分 ∴328

1

8331a a a V =??=

………12分 19、（理）（1）证明：当0=y 时，0≠=x z ……2分

则???

????≤+-≥+-????????

≤+≥+?≤+≤0641006441064464106442

2x x x x

x x x x x x x x ……4分 由

064

42≥+-x x x ，因为06442>+-x x ，则0>x 由

064

102≤+-x

x x ，因为064102>+-x x ，则0

（2）解：10)(6442

2≤+-+

+≤y x yi x yi x ，由题知：z

z 64

+必为实数……9分 所以：????

?

???

≤++≤=+-106440642222y x x x y x y y 0=y （舍）或6422=+y x ，52≤≤x ……12分

所以z 所对应的轨迹是以原点为圆心，以8为半径的圆弧。……14分

（文）解：设DN 的长为x 米（0>x ）

∵||||||||AM DC AN DN =，∴x

x AM )

2(3||+=，∴x x AM AN S AMPN 2)2(3||||+=?=…3分 （1） 由32>AMPN

S ，得32)2(32

>+x

x ，∴0122032>+-x x ，

解得6>x 或3

2

0<

2

,0(+∞ 。………8分

（2）令x x y 2)2(3+=，则)44

(3++=x

x y ，因为函数x x y 2)2(3+=在),4[+∞上单调递

增，………10分

∴当4=x 时，x

x y 2

)2(3+=取得最小值，即AMPN S 取得最小值27平方米，………12分

此时4||=DN 米，2

3

||=

BM 米。………14分 20、（理）解（1）设双曲线方程为122

22=-b

y a x ，由题知，椭圆的焦点为)0,2(±，

则求得的双曲线的两焦点为)0,2(±，∴对于双曲线C ：2=c ，…2分 又x y 3=

为双曲线C 的一条渐近线，∴

3=a

b

，…3分 解得3,12

2

==b a ，…4分

∴双曲线C 的方程为：13

2

2

=-y x 。………5分

（2）由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零。设l 的方程：),(,411y x A kx y +=，),(22y x B ，则)0,4

(k

Q -

，……6分 ∵→

→

=QA PQ 1λ，∴),4

()4,4(111y k

x k +=--

λ ∴?????=-+=-11114)

4(4y k x k λλ????

???

?-=--=1111

444λλy k k x ，∵),(11y x A 在双曲线C 上 ∴

01316)1(1621

2112

=--+λλλk ，0164896)348(212

12=-++-k k λλ……9分 同理有：0164896)348(2

22

22

=-++-k k λλ，……10分 若03482

=-k ，则直线l 过顶点，不合题意，……11分

所以03482

≠-k ，∴21,λλ是二次方程0164896)348(2

2

2

=-++-k x x k 的两根，

∴38

48

396221-=-=

+k λλ，∴2±=k ，此时0>?……13分 ∴所求Q 的坐标为)0,2(±。……14分

（文）解：（1）设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b y a x ，则m a 2=，……2分

2

2

2

2

2

2

34m m m c a b =-=-=，所以椭圆方程为

1342

2

22=+m y m x ……5分 （2）设),(y x Q ，则∵M 为FQ 的中点，∴02

=-m

x ，∴m x =……7分 ∴22

2

49)411(3m m y =

-=，∴)2

3

,(m m Q ±，……10分 ∴4

3

223

±=±=m m

k PQ ，……12分

直线l 倾斜角为43arctg =α或4

3

arctg -=πα。……14分

21、（理）（1）∵01=a ,当1=n 时,|sin ||)sin(|)(11x a x x f =-=,],0[2a x ∈, ……2分 又∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根,∴π=2a

∴],0[,sin )(1π∈=x x x f ， π=2a ……4分

（2） 由(1),],[|,2

cos ||)(21sin ||)(21sin

|)(322a x x

x a x x f ππ∈=-=-= ∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根, ∴π33=a ……5分

],3[|,3

1

sin ||)3(31sin ||)(31sin |)(433a x x a x x f πππ∈=-=-=

∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根, ∴π64=a ……6分

由此可得πn a a n n =-+1， ……8分 2

)1(π

-=

n n a n ……10分 （3） 当Z k k n ∈=,2，k k k a a a a a a S 21243212-++-+-=-

π

πππππ4

])12(53[)()()[(22

1223412n k k a a a a a a k k -=-=-++++-=-++-+--=-

∴π4

2

n S n -= ……13分 当Z k k n ∈+=,12，πππ4

)

1)(1(22)12(2

12212+-=++

-=+=++n n k k k a S S k k k ∴π4

)

1)(1(+-=

n n S n ……16分

（文）（1）],0[,sin )(1π∈=x x x f ，π=2a ……6分

（2）π)1(-=n a n ……10分

（3）当n 为偶数时，π2n

S n -= ……13分 当n 为奇数时，π2

)

1(-=n S n ……16分

22、（理）（1）∵3

cos )1(3sin 2)323sin(3sin )2()(π

ππππ+=++=++x x x x g x g

=)1()1(3

sin

+=+x g x π

∴M x g ∈)( ……6分

（2）因)(x g 是周期为6的周期函数，猜测)(x f 也是周期为6的周期函数 由)1()2()(+=++x f x f x f ，得)2()3()1(+=+++x f x f x f ， ∴)2()1()3()1()2()(+++=++++++x f x f x f x f x f x f

∴0)3()(=++x f x f ， ∴)()3(x f x f -=+，

∴)()3()6(x f x f x f =+-=+，得证)(x f 是周期为6的周期函数， 故M 中的元素都是周期为6的周期函数。……12分 （3）令3

cos

)(x

x h π=，可证得)1()2()(+=++x h x h x h ……16分

∴M x h ∈)(，但)(x h 是偶函数，不是奇函数， ∴M 中的元素不都是奇函数。……18分 （文）（1）∵)4

sin cos 4cos

(sin 2)4

sin(2)()(π

π

π

x x x x g x f +=+

=

+ =x x cos sin + ……3分

又∵)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且)()(α+=x f x g ∴x x f sin )(= 2

π

α=

（不唯一）………6分

（2）由题知：)()(x f x f -=- )()(x g x g =- , x

e x g x

f =+)()( ……①

又x

e

x g x f -=-+-)()(，即x

e

x g x f -=+-)()(……②

由①②解得2)(x x e e x f --= 2

)(x

x e e x g -+= ………9分

证明

14

)

2(2)2()2()()(2222222

2

=+--++=--+=-----x x x x x x x x e e e e e e e e x f x g

………12分

（3）)(x f 与)(x g 的函数值满足的等式：①1)(2)2(2

-=x g x g ②)()(2)2(x g x f x f = ③)(21)2(2

x f x g -=等 （每给出一个连证明共3分）……18分