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线性代数应用实例

求插值多项式

右表给出函数f(t)上4个点的值，试求三次插值多项式

p(t) a 0 a-|t a 2t 2 a 3t 3 ,

并求f (1.5)的近似值。

角军：令三次多项式函数 p(t) a 0 a 1t a 2t 2

表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：

a 。

3 a o a 1 a 2 a 3 0 a o

2a 1 4a 2 8a 3 1 a o

3a 1

9a 2

27a 3

对于四元方程组，笔算就很费事了。应该用计算机求解了，键入:

2 3

2,a 3 1，三次多项函数为 p(t) 3 2t

2t t ,故f(1.5)近

似等于 p(1.5) 3 2(1.5) 2(1.5)2 (1.5)3

1.125。

在一般情况下，当给出函数

f(t)在n+1个点t i (i 1,2,卅，n 1)上的值f(tj 时，就可

以用n 次多项式p(t) a 。a 1t a ?t 2

卅 a n t n

对f (t)进行插值。

在数字信号处理中的应用——数字滤波器系统函数

数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。它的特点在于所有的相加节点都限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线性算子，它的标注符号为z 1

o 根据这样的结构图，也可以用

类似

于例 7.4的方法，求它

的输入输出之间的传递函数，在数字信号处理中称为系统函

数。图1表示了某个数字滤波器的结构图，现在要求出它的系统函数，即输出 y 与输入 u 之比。先在它的三个中间节点上标注

信号的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。

t i

0 1 2 3 f(t i )

-1

得到x = 1 0 0 0 3

0 1

0 -2

0 0 1 0 -2

0 0 0 1 1 u

m ---

X 1

-i ---- 11 -- 1

—

z 1

■ V

1/4

J 1 1/4

■

* x 2

二―]X

z 1

3/8

图1某数字滤波器结构图

>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27], b=[3;0;-1;6], s=rref([A,b]) 得到 a 0 3,a 1

2, a 2

描述n 阶线性时不变(LTI )连续系统的微分方程为

d n y

d n 1y

」d m

」du 」

n ，

n 1 y b

1 m

m 1u

，

1 n a 2dt dt

dt dt dt

y 及其各阶导数的初始值为 y (0)，y ⑴(0)，…，y (n -1)(0)，求系统的零输入响应。

当LTI 系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解(即令微分方程等

0)，其形式为(设特征根均为单根)

P 1, p 2,…，p n 是特征方程 a 1 n +a 2

n 1

+…+ a n + a n +1 =0

的根，它们可用 roots(a)

各系数 C 1，…，C n 由y 及其各阶导数的初始值来确定。对此有

C 1+C 2+…+C n = y o y o = y(0)

由于迟延算子Z 1

不是数,

要用符号代替，所以取 qx 2 2u 3 8q

x i X 2 X 3

X 3

X i

写成矩阵形式为

Z J 按照图示情况，可以写出

0 q 0

2 X 1

3 1

X 1

1 0 X 2

-q —

X 2 —

4 X 3

X 3

x = Qx - Pu

经过移项后，系统函数现在可以列写计算系统函数的

syms q

Q(1,2) q; Q(2,3)=3/8*q Q(3,3)=0; P=[2;1/4;0] W=inv(eye (3) Q)*P

程序运行的结果为

可以写成：

W = x/u = inv(l - Q)* P

MATLAB 程序 ea705,

%规定符号变量

1/4; Q(3,1)=1;

%给非零元素赋值

%给右下角元素Q ( 3,3 )赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零

%给P 赋值

%用信号流图求传递函数的公式

我们关心的是以整理后得到

16/( 8 2*(3*q 16/( 8 3*qA2 2*q) 2*q/( 8 3*qA2 2*q) ]

2)/( 8 3*qA2 2*q) 2/( 8 3*qA2 2*q)] 3*qA2 2*q) 2*q/( 8 3*q A

2*q)]

y x3作为输出的系统函数,

故再键入

pretty(W(3))

W(3) - —

22q

u 8 3q 2q 1.5q 2

q 4

z 1 8

1.5z 2 z 1 4

用线性代数方法的好处是适用于任何复杂系统，并能用计算机解决问题。

信号与系统课程中的应用

线性时不变系统的零输入响应

已知

解：

号右端为

2 y(t) C 1e p 1

C 2e p 2

C n e P n

其中语句求得。

u W

P1C1+P2C2+…+ p n C n=Dy o (Dy o表示y的导数的初始值y⑴(0))

P 1n

叱1

P 2 1

C 2

p n 1C p

D n 1y 0

1 C 1 y 0 写成矩阵形式为

p 1

P 2

P n

C 2

Dy °

n 1

-n 1

P 1 P 2

P n

y °

即 VC = Y 0 ,其解为 C =V \ Y 0

式中

C [C

1 , C

2 ,

,C n ]T ;

Y o [y o , Dy 。,]

||,D n S]

P 1

P 2

P n

n 1

P 1 P 2

P n

V 为范德蒙矩阵，在 MATLAB 的特殊矩阵库中有 MATLAB 程序 ea703.m

a=input(' 输入分母系数向量 a=[a1 ，a2，...]=');

n=length(a)-1;

p=roots(a);V=rot90(vander(p));c= V\Y0'; dt=input('dt='); tf=input('tf=') t=0:dt:tf; y=zeros(1

， length(t));

for k=1: n y= y+c(k)*exp(p(k)*t);e nd plot(t ，y)，grid

程序运行结果

用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序

并输入

a=[3，5，7，1]; dt=0.2; tf=8;

而Y0取

[1，0，0];[0 ，1，0];[0 ，0，1]

三种情况，用hold on 语句使三次运行生成的图形画在一幅图上，得到图 2。

减肥配方的实现

设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了

80年

代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。现在的问题是：如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少？才能全面准确地实现这个营养要求。

营养每100g 食物所含营养 (g)

减肥所要求的每日营

养量

脱脂牛奶

大豆面粉

乳清

蛋白质 36 51 13 33 碳水化合物

52 34 74 45 脂肪

1.1

设脱脂牛奶的用量为 X 1个单位（100g ），大豆面粉的用量为 X 2个单位（100g ），孚L 清的用量为X 3个单位（100g ）,表中的三个营养成分列向量为：

vander 函数可直接生成。

Y0=input('

输入初始条件向量 Y0=[y0

，Dy0，D2y0，...]=');

0 2 4 6 8

图2三阶系统的零输入响应

在k=0 的初始状态：x0 x c0

x s0

0.3

0.7

一年以后，市区人口为

矩阵乘法来描述，可写成：

X ci= (1-0.02) X co+O.O6x s0，郊区人口x si= O.O2x co + (1-O.O6)X so，用

0.94 0.02 0.3

Ax0

0.06 0.98 0.7 0

0.2960

0.7040

36 51 13

a1 52 , a2 34 , a1 74 ,

07 1.1

则它们的组合所具有的营养为

36 51 13 x1a1 x2a2 x3a3 x1 52 x2 34 x3 74

0 7 1.1

使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：

36 51 13 x1 33

52 34 74 x2 45 Ax b

0 7 1.1 x3 3

用MATLAB 解这个问题非常方便，列出程序ag763 如下：

A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1]

b=[33;45;3]

x=A\b 程序执行的结果为：

0.2772

x 0.3919

0.2332

即脱脂牛奶的用量为27.7g，大豆面粉的用量为39.2g,乳清的用量为23.3g，就能保证所需

的综合营养量。

人口迁徙模型

设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6% 的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30% 的居民住在市区，70% 的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30 年、50 年后又如何？

这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示，即

X ,其中x c为市区人口所占比例，x s为郊区人口所占比例，k表示年份的次序。

MATLAB 程序进行计算：

A=[0.94,0.02;0.06,0.98] x0=[0.3;0.7] x1=A*x0, x10=AA10*x0 x30=AA30*x0 x50=A A

50*x0

程序运行的结果为:

无限增加时间

k ，市区和郊区人口之比将趋向一组常数

个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更

清楚地看到乘以矩阵A 的效果。选U 1为稳态向量[0.25,0.75] T

的任意一个倍数，令5=[1,3]丁和U 2=[-1,1] T

。可以看到，用

适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子，避免相角项出现，使得问题简单化。这也是方阵求特征值的基本思想。

这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型。所得到的向量序列 X 1 ,x 2,...,X k

称

为马尔可夫链。马尔可夫过程的特点是

k 时刻的系统状态X k 完全可由其前一个时刻的状态

x k-1所决定，与k-1时刻之前的系统状态无关。

此关系可以从初始时间到k 年,扩展为x k Ax k

1 A x

k 2

川

A k x 。,用下列

0.2960 x 0.7040 , x 10

0.2717

0.7283

0.2541

0.7459 X

0.2508

0.7492

0.25/0.75。为了弄清为什么这

A 乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度，不影响其相角（方向）

因此

Au i

0.94 0.02 1 1 u 1 0.06 0.98 3

3 Au 2

0.94 0.02 1

0.92

0.06 0.98

0.92

初始向量 x0可以写成这两个基向量

u1和

0.30

X 。

0.25

0.05

0.70

0.92u 2

0.25u 1 0.05u 2 0.25u i

0.05(0.82) U 2

式中的第二项会随着二项就可以忽略不计而得到

k 的增大趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要

k>27，这第

A k x 0

0.25u 1

0.25 0.75

u2的线性组合;

X k A X 0

交通流的分析

某城市有两组单行道，

构成了一个包含四个节点

A,B,C,D 的十字路口如图6.5.2所示。

在交通繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量(每小时的车流数)标于图上。现要求计算每两个节点之间路段上的交通流量

X l ,X 2,x 3,x 4。

解：在每个节点上，进入和离开的车数应该相等，这就决定了四个流通的方程：节点 A: x i +450= X 2+6IO 节点 B: x 2+520= X 3+480 节点 C: x 3+390= X 4+600 节点 D: x 4+640= X 2+310

将这组方程进行整理，写成矩阵形式:

0 0 1 -1 ? 210

■

0 0

0，0

注意这个系数矩阵所代表的意义，它的左边四列从左至右依次为变量

X 1,X 2,x 3,x 4的系

数，第五列则是在等式右边的常数项。把第四列移到等式右边，可以按行列写恢复为方程，其结果为：

X 1=X 4+330, X 2=X 4+170, X 3=X 4+210 0 = 0

由于最后一行变为全零，这个精简行阶梯形式只有三行有效，也就是说四个方程中有一个是相依的，实际上只有三个有效方程。方程数比未知数的数目少，即没有给出足够的信息来唯一地确定 X 1 ,X 2,X 3,和X 4。其原因也不难从物理上想象，题目给出的只是进入和离开这个十字路区的流量，如果有些车沿着这四方的单行道绕圈，那是不会影响总的输入输出流量的，但可以全面增加四条路上的流量。所以 X 4被称为自由变量，实际上它的取值也不能完全自由，因为规定了这些路段都是单行道，

X 1,X 2,X 3,和X 4。都不能取负值。所以要准确了解这里的交通流情况，还应该在

X 1,X 2,X 3,和X 4中，再检测一个变量。

乙

x 2

=160

X 2 X 3

=-40 x

x 4

= 210

X 1

X 4 = -330

其系数增广矩阵为：

1 1

-160

—40 [A,b]

1 210 * 1

1 ?-330

用消兀法求其行阶梯形式,

或者直接调用 1 0 0 -1 ? 330

0 1

-1 ? 170

为U0

二

U0=rref([A,b]), 可以得出其精简行阶梯形式

图3单行线交通流图

价格平衡模型

在Leon tiff成为诺贝尔奖金获得者的历史中，线性代数曾起过重要的作用，我们来看看他的基本思路。假定一个国家或区域的经济可以分解为n个部门，这些部门都有生产产

品或服务的独立功能。设单列n元向量x是这些n个部门的产出，组成在R n空间的产出向

量。先假定该社会是自给自足的经济，这是一个最简单的情况。因此各经济部门生产出的产品，完全被自己部门和其它部门所消费。Leontiff提出的第一个问题是，各生产部门的实

际产出的价格p应该是多少，才能使各部门的收入和消耗相等，以维持持续的生产。

Leon tiff的输入输出模型中的一个基本假定是：对于每个部门，存在着一个在R n空间

单位消耗列向量V i，它表示第i个部门每产出一个单位(比如100万美金)产品，由本部门和其他各个部门消耗的百分比。在自给自足的经济中，这些列向量中所有元素的总和应该为1。把这n个V i，并列起来，它可以构成一个n x n的系数矩阵，可称为内部需求矩阵V。

举一个最简单的例子，假如一个自给自足的经济体由三个部门组成，它们是煤炭业、电力业和钢铁业。它们的单位消耗列向量和销售收入列向量p如下表：

如果电力业产出了100个单位的产品，有40个单位会被煤炭业消耗，10个单位被自己消耗，而被钢铁业消耗的是

50个单位，各行业付出的费用为：

0.4

P e V2 P e 0.1

0.5

这就是内部消耗的计算方法，把几个部门都算上，可以写出

P c P c 各部门消耗成本=卩他P e V e P s V s血弘弘]P e 销售收入P e

P s P s

0. 0.4 0.6

其中V V c, V e,V s 0.6 0.1 0.2

0.4 0.5 0.2

于是总的价格平衡方程可以写成为：

P -Vp = 0

(I -V ) P =0

此等式右端常数项为零，是一个齐次方程。它有非零解的条件是系数行列式等于零，或者用行阶梯简化来求解。

用MATLAB 语句写出其解的表示式：

V=[0.,0.4,0.6;0.6,0.1,0.2;0.4,0.5,0.2],

U0 = rref([[eye(3)-V],zeros(3,1)])

程序运行的结果为

1.0000

0 -0.9394 0 U 0

1.0000 -0.8485

0 0 0 0

这个结果是合理的，

简化行阶梯形式只有两行，

说明［I-V ］的秩是2,所以它的行列式必

定为零。由于现在有三个变量，只有两个方程，必定有一个变量可以作为自由变量。记住

U0矩阵中各列的意义，它们分别是原方程中

p c , p e , p s ,的系数，所以简化行阶梯矩阵 U0

表示的是下列方程：

P c - 0.9394 p s = 0 P c = 0.9394 p s p e - 0.8485 p s = 0

p e = 0.8485 p s

这里取p s 为自由变量，所以煤炭业和电力业的价格应该分别为钢铁业价格的 0.94和0.85

倍。如果钢铁业产品价格总计为 100万元，则煤炭业的产品价格总计为

94万，电力业的

价格总计为85万

网络的矩阵分割和连接

在电路设计中，经常要把复杂的电路分割为局部电路，每一个电路都用一个网络’黑盒子’来表示。黑盒子的输入为U i ,i i ,输出为U 2,i 2,其输入输出关系用一个矩阵 A 来表示（如

图 7.6.1 所示）：

u 2

u 1

A i 2

A 是2X 2矩阵，称为该局部电路的传输矩阵。

把复杂的电路分成许多串接局部电路，分别求出它们的传输矩阵，再相乘起来，得到总的传输矩阵，可以使分析电路的工作简化。

图4单个子网络模型

以图7.6.2为例，把两个电阻组成的分压电路分成两个串接的子网络。第一个子网络只包含电阻

R 1,

第二个子网络只包含电阻

R 2，列出第一个子网络的电路方程为：

同样可列出第二个子网络的电路方程，

I 3 I 2

2 / R

U 3

U 2

写成矩阵方程为：

U 3

0 U 2

3 1/R 2

i i 2

12 11, U 2

U 1

写成矩阵方程为：

u 2

1 R 1

U 1 八

i 2 0 1

i 1

图5两个子网络串联模型

从上分别得到两个子网络的传输矩阵

1 R1 1 0

A1 1, A2

10 1 21/ R2 1

整个电路的传输矩阵为两者的乘积

1 R1 1 0 1 R1

A A1 A2

1 20 1 1/R

2 1 1/R2 1 R1/R2

实用中通常对比较复杂的网络进行分段，对于这样简单的电路是不分段的，这里只是一个示例。

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