三角形角平分线性质

三角形内角平分线定理

三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线平分对边之比。即在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则

BD/DC=AB/AC

应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例三角形内角平分线内平分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.

三角形外角平分线的性质定理：

三角形外角平分线平分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例，均可以用相似△证明.

角平分线性质定理

角平分线的性质：

1.角平分线可以得到两个相等的角。

2.角平分线上的点到角两边的距离相等。

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

证明

●三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条

邻边成比例．

即在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC.

证明：如图，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF.

S△ABD：S△ACD=BD：CD

又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC ×DF]=AB：AC

所以BD/CD=AB/AC.

1.角平分线可以得到两个相等的角。

角平分线，顾名思义，就是将角平分的射线。

如右图，若射线AD是角CAB的角平分线，则角CAD 等于角BAD。

2.角平分线线上的点到角两边的距离相等。

如右上图，若射线AD是∠CAB的角平分线，求证：

CD=BD

∵∠DCA=∠DBA

∠CAD=∠BAD

AD=AD

∴△ACD≌△ABD

∴CD=BD

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

这一条是第二条的引申，详细证明过程参照第二条和三角形内心。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

如右下图，平面内任意一小于180度的∠MAN，AS 平分∠MAN，直线BC分别交射线AM、AN、AS于B、C、D，求证：AB/BD=AC/CD：

作BE=BD交射线AS于E，如图1：

∵BE=BD，

∴∠BED=∠BDE，

∴∠AEB=∠ADC

又∵∠BAE=∠CAD,

∴△AEB∽△ADC,

∴AB/BE=AC/CD, 即AB/BD=AC/CD.

另外的情况，

如图2，直线BC交AS的反向延长线于D,如图3，直线BC交AN的反向延长线于C;

此时，仍有AB/BD=AC/CD

证法与图1类似

【角平分线逆定理】

1.到角两边的距离相等的点在角平分线上。

2.平面内任意一小于180度的∠MAN如图，直线BC 分别交半直线AM、AN、AS于B、C、D，AB/BD=AC/CD 则：AS平分∠MAN

下面给出证明过程：

证明：过B作BH∥AC交AS于H

∴△ADC∽△HDB(∠ADC=∠HDB，∠ACD=∠HBD)

∴AC/CD=HB/BD

又AB/BD=AC/CD

∴AB=BH

∴∠BHA=∠BAH=∠HAC

∴AS平分∠MAN

《角平分线的性质》教学设计-参考模板

12.3 角的平分线的性质（第1课时）教案 一、教学分析 1．教学内容分析 本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第12.3节第一课时内容，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用．作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律． 2．教学对象分析 刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础． 3．教学环境分析 利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律．根据如今各学校实际教学环境及本节课的实际教学需要，我选择多媒体教学系统辅助教学，将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握． 二、教学目标 1、知识与技能： （1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法． （2）理解角的平分线的性质并能初步运用．

角的平分线教学设计

3．9角的平分线教学目标 1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．2．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．3．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。教学重点和难点角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．教学过程设计一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明1，复习引入课题．（1）提问关于直角三角形全等的判定定理．（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角平分线OC．2．画图探索角平分线的性质并证明之．（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一点P，并分别作出表示Ｐ点到∠AOB两边的距离的线段PD，PE．（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．（3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式． 3．逆向思维探求角平分线的判定定理．（1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理．（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2．（3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程．4．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．二、应用举例、变式练习练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P 在射线OC上，PD⊥OA于DPE⊥OB于E．∴（角平分线的性质定理）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ OP 平分∠AOB（）例1已知：如图3－87（a）， ABC的角平分线BD和CE交于F．（l）求证：F到AB，BC和 AC边的距离相等；（2）求证：AF平分∠BAC；（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图387（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？说明：（1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的．（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。（3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力．练习2已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等．练习 3已知：如图 3－88，在四边形 ABCD中， AB＝AD， AB ⊥BC，AD⊥DC．求证：点 C在∠DAB的平分线上．例2已知：如图 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA 于 C，ED⊥OB于 D．求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到 OC＝OD．这样处理，可避免证明两个三角形全等．练习4 课本第54页的练习.说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力．三、互逆命题，互逆定理的定义及应用1．互逆命题、互逆定理的定义．教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子．教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题．2．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题．例3写出下列命题的逆命题，并判断（1）～（5）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：（1）两直线平行，同位角相等；（2）直角三角形的两锐角互余；（3）对顶角相等；（4）全等三角形的对应角相等；（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；（6）等腰三角形的两个底角相等；（7）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（6）题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”．3．理解互逆命题、互逆定理的有关结论．例4 判断下列命题是否正确：（1）错误的命题没有逆命题；（2）每个命题都有逆命题；（3）一个真命题的逆命题一定是正确的；（4）一个假命题的逆命题一定是错误的；（5）每一个定理都一定有逆定理．通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义．四、师生共同小结1．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？2．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？3．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？五、作业课本第55页第3，5，6，7，8，9题．课堂教学设计说明本教学设计需2课时完成．角平分

垂直平分线的性质

13.1.2 线段的垂直平分线的性质 学习目标： 1.掌握线段垂直平分线的性质和判定. 2.运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题. 一、自主回顾： 1.如图1，△ABC和△A′B′C′关于直线MN轴对称，则直线MN与线段A A′有怎样的关系？ 2.直线MN与线段B B′、CC′又有怎样的关系？ 图1 图2 二、合作探究： 1.如图2，直线l垂直平分线段AB,P 1,P 2 ,P 3 ，是上的点，分别量一量点,P 1 , P 2,P 3 到点A与B的距离，你有什么发现？ 2.证明你发现的结论. 已知：直线ＭＮ垂直平分_____,垂足为Ｃ，点C在直线 ＭＮ上. 求证：AC=________. 3.如右图，若PA=PB，那么点P在线段 A B AB的垂直平分线上吗？你能证明吗？ O B A P3 P1 P2 P M N C B A

通过上述的证明你又能得到什么结论？ 三、学以致用： 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水。 修在河边什么地方，可使水泵站到张村、李庄的距离相等？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。 四、达标检测： 1、如图，△ABC 中，AD 垂直平分边BC ， AB ＝5，那么AC ＝_________. 2. 如右图所示，直线MN 和DE 分别是线段 AB 、 BC 的垂直平分线，它们交于P 点，请问PA 和 PC 相 等吗?为什么? 3.△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，垂足为E, 交AB 于点D ，AE=5cm ，△CBD 的周长为24cm ， 求△ABC 的周长。 五、分层巩固： A 组：P 65 6、9 、12 B 组：P 62 2 P 65 6 C 组：P 65 1 张村 李庄 l A B E D C B A

《角平分线的性质》(课时)教案

12.3 《角的平分线的性质》教案设计 （第1课时） 利川市忠路镇初级中学钟金荣 教案目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 教案重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教案难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 教案过程： 一、创设情景

学生结合导学案，独立思考，小组交流完成。 二、探究体验 探究一 学生在导学案上完成，请一名学生板书到黑板上。探究二：

结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用．

三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则 PE =PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． A O B P E 图2 图3 A B P E A O B P E F 图1

四、完成导学案练习 1．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5， CD ＝2. 求：（1）点D 到AB 的距离； （2）△ABD 的面积. 2 五、课堂小结 六、作业 教材第51页第2、3题 七、板书设计： 12.3 角的平分线的性质

【精品】三角形角平分线专题讲解

【关键字】精品 二由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是笔直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。

《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计-01

《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计 教学设计思想： 通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明.让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题.对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据.最后通过例题的学习来巩固这些知识点. 教学目标： 知识与技能： 总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明； 说出用尺规作角平分线的依据； 能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明. 过程与方法： 经历用尺规作角平分线的过程； 经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力； 情感态度价值观： 通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略； 愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见. 教学重点和难点： 重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用； 难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用. 解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法. 教学方法： 启发引导、小组讨论 课时安排： １课时 教具学具准备： 投影仪或电脑、三角板 教学过程设计： （一）角平分线的性质定理 我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？

角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论： 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 做一做 证明三角形全等判定公理的推论. 注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据. 证明略. 利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明. 已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)， ∴∠1=∠2(角平分线的定义). ∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义). 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO (已证)， ∠1＝∠2(已证)， OP＝OP(公共边)， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). （二）角平分线性质定理的逆定理 做一做 1.请写出角平分线性质定理的逆命题. 2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证.

12.3《角平分线的性质》教学设计

12.3 《角的平分线的性质》教学设计 （第1课时） 授课教师： 教学目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 教学重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 教学过程： 一、创设情景 生活中有很多数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。 二、探究体验 要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A 点放在角

的顶点处，AB 和AD 沿角的两边放下，过AC 画一条射线AE ，AE 即为∠BAD 的平分线。 学生口述，用三角形全等的方法证明AE 是∠BAD 的平分线。 多媒体展示实验过程。 把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC =DC ，从几何作图角度怎么画？ 让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕。 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕．让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的平分线上的点到角两边的距离相等） 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用． 三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则PE =PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． 让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题： 问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？ 四、例题讲解 O B A O B P E 图2 图3 A O B P E A O B P E F 图1

三角形角平分线专题讲解(精选.)

二由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这 种尝试与猜想是在一定的规律基本之图1-1 B

上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠∠，如取，并连接、，则有△≌△，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图 1-2，，平分∠，平分∠， 点E 在上，求证：。 分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2． 已知：如图 1-3，2，∠∠，，求证⊥ 图1-2 D B C

角的平分线的性质教案

12.3 角的平分线的性质(1) 教学内容 本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理． 教学目标 1．知识与技能 通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理． 2．过程与方法 经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 3．情感、态度与价值观 激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力． 重、难点与关键 1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理． 2．难点：两个互逆定理的实际应用． 3．?关键：可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论．利用全等来证明它的逆定理． 教具准备 投影仪、制作如课本图11．3─1的教具． 教学方法 采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理． 教学过程 一、创设情境，导入新课 【问题探究】（投影显示） 如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗？ 【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1?）直观地进行讲述，提出探究的问题． 【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理． 【教师活动】 请同学们和老师一起完成下面的作图问题． 操作观察： 已知：∠AOB ． 求法：∠AOB 的平分线． 作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于M ，交OB 于N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC?即为所求（课本图11．3─2）． 【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知． 【媒体使用】投影显示学生的“画图”． 【教学形式】小组合作交流． 二、随堂练习，巩固深化 课本P19练习． 【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD 与直线AB 是互相垂直的． 【探研时空】（投影显示） 如课本图11．3─3，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生． 【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．” 论证如下： 1 2

线段垂直平分线的性质

线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是： 1．知识目标： ①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理． ②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2．能力目标： ①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． ②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． ③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3．情感与价值观要求 ①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 4．教学重点、难点 重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。 第一环节：创设情境，引入新课

教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字 在题中有很重要的作用． 在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对 称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我 们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线 段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成． 进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?” 教师演示线段垂直平分线的性质： 定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 同时，教师板演本节的题目： 1．3 线段的垂直平分线(一) 第二环节：探究新知 第一环节提出问题后，有学生提出了一个问题：“要证‘线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等’，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗?何况不可能呢．” 教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。 通过讨论和思考，有学生提出：“如果一个图形上每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了．” 教师肯定该生的观点，进一步提出：“我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．” 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB． 分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． M 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°P

角平分线性质教学反思

课题：角平分线的性质 学习目标：1、了解角平分线的性质．能够根据性质解决简单问题； 2、在动手操作过程中，培养动手操作能力与探索精神． 重点：角分线的性质证明及运用用 难点:性质的探究 一、复习旧知识 1、如图，已知OC 平分∠AOB ， 则 = = 2 1 =2 =2 2、如图AOB ∠内有一点P ， ①过点P 作OA 、OB 的垂线段PD 、PE ②PD 的长度叫做点P 到OA 的 ③PE 的长度叫做点P 到OB 的 二、想一想 如图是一个平分角的仪器模型，其中DC BC AD AB ==,，可以得到AC 平分 BAD ∠和BCD ∠,你能说明它的道理吗？ 三、动手做一做（跟老师来做一做） （1）将∠AOB 对折（折痕是∠AOB 的什么线？） （2）再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边） （3 猜想：PD 和 PE 大小如何？ 验证猜想 已知：OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上， PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 求证: PD=PE 由此我们得到角平分线的性质：角的平分线上的 书写格式 ∵OC 平分 ，PD ⊥OA ∴PD=PE E B

四、练一练 1、如图，已知∠1 =∠2，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 则 = （ ） 2、如上图判断： （1）AD 是∠BAC 的平分线，则DE=DF （ ） （2）DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 则DE=DF （ ） 3．如右图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ． 下列结论中错误的是 ( ) A ．PC = PD B ．O C = OD C ．∠CPO = ∠DPO D ．OC = PC 4.Rt 90ABC C BAC ∠∠ 在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ， 2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、如图，在ABC ?中，C ∠是0 90,AD 是CAB ∠的角平分线，AB DE ⊥于点E ， 5,8==BD BC ，①求DE 的长, ②求证：BE AC AB += 6．如图，在△ABC 中，∠A=0 90，AC=AB ，BD 平分∠BAC ，DE ⊥BC ，BC=8， 求证①ED AD =②求证②BE AB =③求△DEC 的周长． 五、小结：通过本节课的学习，你对角的平分线有了哪些新的认识？谈谈感受！ 六、布置作业： A B C D O P A B C D E

七年级数学下册 角平分线的性质教案

第3课时 角平分线的性质 1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点) 一、情境导入 问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，∠FDC ＝∠BDE .试说明：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB . 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即DE ＝DC .再根据△CDF ≌△EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等，从而得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行求解． 解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在△CDF 和△EDB 中，∵?????∠C ＝∠DEB ＝90°，DC ＝DE ，∠FDC ＝∠BDE ， ∴△CDF ≌△EDB (ASA)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ＝90°.在△ADC 和△ADE 中，∵?????∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌ △ADE (AAS)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .

角平分线的性质定理教案

角平分线的性质定理教案 慧光中学：王晓艳 教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理； （2）能够运用性质定理证明两条线段相等； 教学重点：角平分线的性质定理及它的应用。 教学难点：角平分线定理的应用； 教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法 教学过程： 一，新课引入： 1．通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点 操作：（1）画一个角的平分线； （2）在这条平分线上任取一点P，画出P点到角两边的距离。 （3）说出这两段距离的关系并思考如何证明。 2．定理的获得： A、学生用文字语言叙述出命题的内容，写出已知，求证并给予证明， 得出此命题是真命题，从而得到定理，并写出相应的符号语言。 B、分析此定理的作用:证明两条线段相等； 应用定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离。 3．定理的应用 二．例题讲解： 例1：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。 求证：PE=PF （此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件）

例2：已知：如图，⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C，与边AN交于点 E、F， 圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。 求证：BC=EF （此题已知中有角平分线，缺乏垂直这个条件） 三：课堂小结： ①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂 直距离; ②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.四：巩固练习 1．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2求证：AB=AC 分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌△ACD，所以必须添加一些线帮助解题。

《角平分线的性质》教案

12.3 《角的平分线的性质》教案 台前县吴坝镇中学李桂香 一、教学背景的分析 1、教学内容 本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的。内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。 2、学生 刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。 3、教学环境 利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。 4、教学重点、难点 本节课的教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。教学难点是：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；2、对于性质定理的运用。 教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习。 二、教学目标的确定

垂直平分线的性质与判定强化练习题

垂直平分线的性质与判定强化练习 1如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 2题 2如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，． 下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥ B ．ED A C ⊥ C ．ACE BCE ∠=∠ D ．A E CE = 3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ） A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定 4、线段的垂直平分线上的点_____________________________________． 5、到一条线段的两个端点的距离相等的点，______________________． 6、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。 3题 4题 7、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于E ，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。 8在△ABC 中，∠C ＝90°，用直尺和圆规在AC 上作点P ，使P 到A 、B 的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）． 9如图4，AB=AD ，BC=CD ，AC 、BD 相交于点E ．由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中三个正确结论（不要添加字母和辅助线，不要求证明）．

12.3角平分线的性质(1)教学设计

12.3角平分线的性质(1)教学设计

课题§12.3角平分线的性质（第一课时） 备课人：丁兴儒 教材分析： 本节课是在学生学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行教学的，它主要学习角平分线的作法和角平分线的性质定理。这节课的学习将为证明线段相等或角相等开辟了新的思路，并为今后对圆的内心的学习做好知识准备，因此他既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫，具有举足轻重的作用。因此，本节课在教材中占有非常重要的地位. 学情分析： 学生已经具备基础的几何知识，有一定的推理能力。好奇心强，有探究欲望，能在教师的引导下，发现生活中的数学知识，并运用所学推出新知. 一、教学目标 （一）知识与技能 1.会作已知角的平分线； 2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质； 3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算. （二）过程与方法 在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力. （三）情感、态度与价值观 在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验. 二、教学重点、难点 重点：角的平分线的性质的证明及应用； 难点：角的平分线的性质的探究. 三、教法学法 三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式. 四、教学过程设计 （一）导入新课 如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？ （二）操作探究 1、探究一：角的平分线的作法

三角形内角平分线的性质定理的证明

三角形内角平分线的性质定理的证明 一、定理 三角形内角平分线分对边为两部分与两邻边成比例. 二、证明 已知：如图，2∠1∠=. 求证： BC AC BD AD =. 方法一：利用平行线作等比代换. 证明：作DE//BC ，DE 交AC 于点E ，则EC AE BD AD =.3∠2∠=，BC AC DE AE = 又2∠1∠=，∴3∠1∠=，于是DE=EC. ∴BC AC DE AE BD AD == 方法二：应用平行线分线段成比例定理，等比代换中辅以等量代换. 如图，作BE//DC ，BE 交AC 的延长线于点E ，则CE AC BD AD =，E ∠1∠=，3∠2∠=.

又2∠1∠=，得E ∠3∠=，于是 BC=CE ， 则BC AC BD AD =. 方法三：进行逆推分析，若在AC 的延长线上作一个CE=BC ，则只要BE//DC. 延长AC 到点E ，使CE=BC ，连接BE ，则）（E ∠3∠21 3∠+=.又∠ACB 2 12∠=， ∠E ∠3∠+=ACB ，∴3∠2∠=，于是 BE//DC. 则CE AC BD AD ==BC AC . 证法4：如图20.改变△ADC 的一个内角的大小，把它改造为△AEC ，使之与△BDC 相似并作等量代换. 第一种情况：当BC AC ≠ 时，不妨设BC AC >，B CAB ∠∠<，以AC 为一边，在CAB ∠的同侧，作B CAE ∠∠=，AE 与CD 的延长线交于点E.又2∠1∠=，∴△ACE ∽△BCD. 则BC BD AC AE =，而E CA E B ∠∠-1∠-180∠-2∠-1804∠3∠=°=°==. ∴AE=AD ，于是 BC BD AC AD =，即BC AC BD AD =.

垂直平分线的性质与判定

12.1.2轴对称—垂直平分线的性质与判定 一、知识回顾： 1．垂直平分线的定义： 经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 二、探究新知： 2、已知：如下图，直线l垂直平分线段AB，垂足为c，点p是直线l任一点 求证：PA＝PB 证明： 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离3．思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？ 已知：如图，PA＝PB 求证：点P在线段AB的垂直平分线上（提示：做辅助线，构造全等三角形）证明：线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。练习 三、例题评析： 例1 如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求ΔABD的周长？ A E 若AB=AC,则点A 在线段的 若直线ED是线段BC 的垂直平分线,则图

例2、三角形中，分别画出边AB ,BC的垂直平分线，若这两条垂直平分线交于点O，则点O是否在AC的垂直平分线上。说明理由。 四、课堂练习： 1、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。 2、如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 五、课后作业： 1、如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修 建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A.在AC、BC两边高线的交点处 B.在AC、BC两边中线的交点处 C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处 D.在A、B两内角平分线的交点处 C B A

2．下列语句正确的有（）句 ①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③两个图形关于某条直线对称，对称点一定在直线的两侧；④两个轴对称图形对应点连线的垂直平分线就是它的对称轴。 A、1句 B、2句 C、3句 D、4句 3．设A，B关于直线MN对称，则垂直平分。 4．如果O是线段AB的垂直平分线与AB的交点，那么= 。 5．设MN是线段AB的垂直平分线，当点P在MN上运动时，PA，PB的长度都随之变 化，但总保持。 6、如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长。 7．如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？六、应用与拓展： 1、如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D 点，求：△BCD的周长。

(完整版)利用角平分线构造全等三角形

善于构造 活用性质 安徽 张雷 几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题. 1.显“距离”, 用性质 很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段） 例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证 明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点． 已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点 H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC ∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点． 【例2】已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，?它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ． 求证：BP 为∠MBN 的平分线． 【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF ，而PA 、PC 为外角平分线，?故可过P 作PE ⊥AC 于E ．根据角平分线性质定理有PD=PE ，PF=PE ，则有PD=PF ，故问题得证． 【证明】过P 作PE ⊥AC 于E ． ∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD=PE ，PF=PE,∴PD=PF 又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上， D C A E H I F G