八年级数学上册 15.3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法练习 (新版)新人教版

第1课时 分式方程及其解法

基础题

知识点1 分式方程的概念

1．下列是分式方程的是( )

A.x x ＋1＋x ＋43

B.x 4＋x －52

＝0 C.34(x －2)＝43x D.1x ＋2

＋1＝0 2．下列方程：①x －12＝16；②x －2x ＝3；③x （x －1）x ＝1；④4－x π＝x 3；⑤3x ＋x －25＝10；⑥1x ＋2y

＝7，其中是整式方程的有________，是分式方程的有________．

3．已知x ＝1是分式方程1

x ＋1＝3k x

的根，则实数k ＝________． 知识点2 分式方程的解法

4．(丽水中考)把分式方程2x ＋4＝1x

转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( ) A ．x B ．2x

C ．x ＋4

D ．x(x ＋4)

5．解分式方程2x ＋1＋3x －1＝6x 2－1

分以下几步，其中错误的一步是( ) A ．方程两边分式的最简公分母是(x －1)(x ＋1)

B ．方程两边都乘以(x －1)(x ＋1)，得整式方程2(x －1)＋3(x ＋1)＝6

C ．解这个整式方程，得x ＝1

D ．原方程的解为x ＝1

6．(金华中考)分式方程32x －1

＝1的解是________． 7．已知x ＝3是关于x 的方程10x ＋k －3x ＝1的一个解，则k ＝________．

8．解下列方程：

(1)23＋x 3x －1＝19x －3

；

(2)6x －2＝x

x ＋3

－1；

(3)2x x －2＝1－12－x

；

(4)x x 2－4＋2x ＋2＝1x －2

.

中档题

9．下列关于x 的方程，是分式方程的是( )

A.3＋x 2－3＝2＋x 5

B.2x －17＝x 2

C.x π＋1＝2－x 3

D.12＋x ＝1－2x

10．(孝感中考)分式方程x x －1＝23x －3

的解为( ) A ．x ＝－16 B ．x ＝23

C ．x ＝13

D ．x ＝56

11．(宁波中考)方程x x －2＝12－x

的根是x ＝________． 12．当x ＝________时，x x －5－2与x ＋1x 互为相反数． 13．(威海中考)若关于x 的方程x －1x －5＝m 10－2x

无解，则m ＝________． 14．解下列方程：

(1)(新疆中考)3x 2－9＋x x －3

＝1；

(2)x ＋1x －1＋4x 2－1

＝1；

(3)x x －1－1＝2

（x －1）（x ＋2）

.

15．在解分式方程2－x x －3＝13－x

－2时，小玉的解法如下： 解：方程两边都乘以x －3，得2－x ＝－1－2.①

移项，得－x ＝－1－2－2.②

解得x ＝5.③

(1)你认为小玉从哪一步开始出现了错误________(只填序号)，错误的原因是________________；

(2)请你写出这个方程的完整解题过程．

16．如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是－3和1－x 2－x

，且点A ，B 到原点的距离相等，求x 的值．

综合题

17．解关于x 的方程：m x －1x －1

＝0(m ≠0且m ≠1)．

参考答案

1．D 2.①④⑤ ②③⑥ 3.16

4.D

5.D

6.x ＝2

7.2 8．(1)方程两边同乘以9x －3，得2(3x －1)＋3x ＝1.

解得x ＝13

. 检验：当x ＝13

时，9x －3＝0. 因此x ＝13

不是原方程的解． ∴原分式方程无解．

（2）方程两边同乘以(x －2)(x ＋3)，得6(x ＋3)＝x(x －2)－(x －2)(x ＋3)．

解得x ＝－43

. 经检验，x ＝－43

是原方程的解． （3）方程两边同乘(x －2)，得2x ＝x －2＋1.

解得x ＝－1.

检验：当x ＝－1时，x －2≠0，

∴x ＝－1是原方程的解．

（40方程两边都乘以(x ＋2)(x －2)，得x ＋2(x －2)＝x ＋2.

解得x ＝3.

经检验，x ＝3是原方程的解．

9.D 10.B 11.－1 12.56

13．－8 14.(1)去分母，得3＋x(x ＋3)＝x 2－9，3＋x 2＋3x ＝x 2－9.

解得x ＝－4.

经检验，x ＝－4是原方程的解．

（2）方程两边乘以(x ＋1)(x －1)，得(x ＋1)2＋4＝(x ＋1)(x －1)， 解得x ＝－3，

检验：当x ＝－3时，(x ＋1)(x －1)≠0，

∴x ＝－3是原方程的解．

∴原方程的解是x ＝－3.

（3）方程两边都乘以(x －1)(x ＋2)，得x(x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝2， 解得x ＝0.

经检验x ＝0是原方程的解，

∴原方程的解为x ＝0.

15.(1)① 去分母时漏乘常数项

(2)去分母，得2－x ＝－1－2(x －3)．

去括号，得2－x ＝－1－2x ＋6.

移项，合并，得x ＝3.

检验，将x ＝3代入x －3＝0，

所以原方程无解．

16.由题意，得1－x 2－x

＝3. 解得x ＝52

. 经检验，x ＝52

是原方程的解． ∴x ＝52

. 17.方程两边同乘以x(x －1)，得m(x －1)－x ＝0，即(m －1)x ＝m. ∵m ≠1，

∴x ＝m

m －1.

检验：x＝m

m－1

时，x(x－1)≠0.

∴原分式方程的解为x＝m

m－1

.

八年级数学下册《分式第二讲分式方程》知识点及典型例习题.doc

【知识要点】 1. 分式方程的概念以及解法 ; 2. 分式方程产生增根的原因 3. 分式方程的应用题 【主要方法】 2. 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数 ; 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程 ; 方程两边同乘以最简公分 母. 3. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 2019-2020 年八年级数学下册《分式第二讲 分式方程》知识点和典型例习题 题型一：用常规方法解分式方程 【例 1】解下列分式方程 （ 1） 1 3 ；（ 2） 2 1 0 ；（ 3） x 1 4 1 ；（ 4） 5 x x 5 x 1 x x 3 x x 1 x 2 1 x 3 4 x 提示易出错的几个问题： ①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根； ④忘 记验根 . 题型二：特殊方法解分式方程 【例 2】解下列方程 （ 1） x 4 x 4 4 ； （ 2） x 7 x 9 x 10 x 6 x 1x x 6 x 8 x 9 x 5 提示：（ 1）换元法，设 x y ；（ 2）裂项法， x 7 1 1 . x 1 x 6 x 6 【例 3】解下列方程组 1 1 1 (1) x y 2 1 1 1 (2) y z 3 1 1 1 (3) z x 4 题型三：求待定字母的值 【例 4】若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3

【例 5】若分式方程 2 x a 1的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 提示： 2 a 0 且 x 2 ， a 2 且 a 4 . x 3 题型四：解含有字母系数的方程 【例 6】解关于 x 的方程 x a c b x d (c d 0) 提示：（ 1） a, b, c, d 是已知数；（ 2） c d 0 . 题型五：列分式方程解应用题 练习： 1．解下列方程： （ 1） x 1 2x 0 ； （2） x 2 4 ； x 1 1 2x x 3 x 3 （ 3） 2x 3 2 ； （4） 7 3 1 7 x 2 x 2 x 2 x 2 x x x 2 x 2 1 （ 5） 5x 4 2x 5 1 （6） 1 1 1 1 2x 4 3x 2 2 x 1 x 5 x 2 x 4 （ 7） x x 9 x 1 x 8 x 2 x 7 x 1 x 6 2．解关于 x 的方程： （ 1） 1 1 2 (b 2a) ；（ 2） 1 a 1 b (a b) . a x b a x b x 3．如果解关于 x 的方程 k 2 x 会产生增根，求 k 的值 . x 2 x 2 4．当 k 为何值时，关于 x 的方程 x 3 (x k 2) 1 的解为非负数 . x 2 1)( x 5．已知关于 x 的分式方程 2a 1 a 无解，试求 a 的值 . x 1 （二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验， 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例 1．解方程： 1 x 3 x 2 二、化归法 例 2．解方程： 1 2 0 1 x 2 x 1

分式方程应用题分类练习

分式方程应用题分类练习 一、【行程中的应用性问题】 1.电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢技 术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着 所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度. 2.甲乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速 公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米， B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度 快10千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度. 3.某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km的普通公路。又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。 4.从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。 二、【工程类应用性问题】 1、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？ 2、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。 3、某项工程，需要在规定的时间内完成。若由甲队 去做，恰能如期完成；若由乙队去做，需要超过规定日期三天。现在由甲乙两队共同做2天后，余下的工程由乙队独自去做，恰好在规定的日期内完成，求规定的日期是多少天？ 4.甲乙两个水管同时向一个水池注水,一小时能注满水池的 8 7 ,如果甲管单独注水40分钟,再由乙管单独 注水半小时,共注水池的 2 1 ,甲乙两管单独注水各需多少时间才能注满水池? 三、【营销类应用性问题】 1、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。 2、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？ （2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 3、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的

【精品】分式方程的几种特殊解法

【关键字】精品 分式方程的几种特殊解法 白云中学：孙权兵 解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。 一、加减相消法。 例1、解方程：。 分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。如果我们发现方程两边都加上分式，则可以通过在方程两边都加上分式，就将原方程化简成，从而轻松获解。 解：原方程两边都加上，则可得： 去分母，得： 解得： 经检验，是原分式方程的解。 二、巧用合比性质法。 例2：解方程：。 分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。 解：由合比性质可得： 去分母并化简得：，即 解得： 经检验，是原分式方程的解。 三、巧用等比性质法。 例3、解方程：。 分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原

方程化简后再求解。 解：由等比性质可得：。 化简得： 经检验，是原分式方程的解。 四、分组化简法。 例4、解方程：。 分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分复杂，做法不可取。此题可采用分组组合后各自通分的方法来求解。 解：原方程可化为： 分别通分并化简，得： 解得： 经检验，是原分式方程的解。 五、倒数法。 例5、解方程：。 分析：本题若按常规方法去做，需通分和去分母，然后再求解，过程较复杂。但如果采用倒数法，则可以简化解题过程。 解：原方程两边取倒数，得： 移项化简，得： 方程两边取倒数，得： 解得： 经检验，是原分式方程的解。 六、列项变形法。 例6、解方程：。 分析：将该方程直接去分母，方程两边的运算十分繁杂。若注意到方程的分母特点是两个连续因式的积，它们的差为1。凡是这样的分式或分数都能拆开成两个分式或分数的差，使得除首、末两项之外的中间项可以相互抵消，从而达到化繁为简。。

分式方程解法的标准

分式方程解法的标准 一,内容综述: 1.解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即 分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根. 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: 将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等. 为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公 分母为0. 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数 式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊

内蒙古太仆寺旗第三中学人教版八年级数学上册教案：153分式方程(4课时)

教 学 设 计 学校：太仆寺旗第三中学 教学年级：八年级 教学课题：分式方程及应用（4课时）设计教师：王利祥

15.3分式方程(4课时） 教学任务分析 教学设计说明[来源:https://www.sodocs.net/doc/c22179741.html,][来源:学科网Z.X.X.K][来源:Z#xx#https://www.sodocs.net/doc/c22179741.html,] 简述教学设计思想与特色[来源:Z#xx#https://www.sodocs.net/doc/c22179741.html,] 本节课的教学设计注重贴近学生思维的最近发展区，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生自主探索、合作交流、归纳总结等，从而初步获得数学建模的基本思想，例习题的选取注重联系学生生活实际，给学生搭建主动参与，积极思考的活动平台．教师在其中适时地点拨，与学生一道剖析问题，找出解决问题的多种方法．同时还注意总结和指导学生的解题策略，提高学生逻辑推理能力，为学生今后研究、解决实际问题打好基础． 教材分析 本节内容是在学生掌握了一元一次方程的解法和分式四则运算的基础上进行的，为后面学习可化为一元一次方程的分式方程打下基础．通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，进一步发展学生分析问题和解决问题的能力，培养应用意识，渗透类比转化思想． 学情分析 学生在已经学习了一元一次方程、二元一次方程组的基础上，明确了解整式方程的方法步骤后来学习分式方程，已经具有了一定的类比、分析、归纳能力，但是思维的严谨性仍相对薄弱，虽然他们喜爱学习活泼的内容，并乐于用自己的方式去学习，用自己的头脑去思考，但仍需老师引导其由感性认识到理性认识．同时学生已经学习了分式的意义，这对理解分式方程可能无解这一教学难点有很大帮助． 教学方式启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法与应用 教学手段多媒体（实物投影仪、计算机、直尺、三角板）课题15.3分式方程（第1课时） 教学目标知识技能理解分式方程的概念，会解简单的分式方程。 数学思考培养学生的观察能力和运算能力。 解决问题利用类比的方法探究分式方程的解法。 情感态度通过分式方程的学习，具有初步解决分式方程问题的意识。 重点分式方程的概念。 难点解简单的分式方程。 活动流程图活动内容和目的 活动1 创设情景探索新知 通过本章引言问题，引出分式方程的概念。

八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练(直接打印版)

八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练 一、【行程中的应用性问题】 例1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？ 分析： 等量关系：慢车用时=快车用时+ （小时） 例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度． 分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等． 解：设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意，得 x x 6828-=x 5.1828 ，解得46x =， 经检验，46x =是方程的根，且符合题意． ∴46x =，1.569x =， 即普通快车车的平均速度为46km ／h ，直达快车的平均速度为69km ／h ． 评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义． 例3 A 、B 两地相距87千米，甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度。 分析： 等量关系：甲用时间=乙用时间+ （小时） 例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？ 解： 设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得： 603060

特殊分式方程的几种特殊解法

特殊分式方程的几种特殊解法 解分式方程最常用的方法是去分母法，把分式方程化为整式方程，以之求解的过程， 但在一些具体方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大，运算复杂，计算量加 大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特殊分式方程，采用特殊方法, 会简化解题过程。 一 ?比例法 x 1 a b 例1.解方程 (b 0) x 1 a b A D 分式：观察方程，形如： 的形式，可根据比例"两外项之积等于两内项之积” B C 而直接求解。 解：原方程化为 (x 1)(a b) (a b)(x 1) 2a a x b 2 3x 3 2x 3x 1 2x 2 解：原方程化为 (2 3x)(2x 2) (3 2x)(3x 整理得13x 7， 7 x 13 经检验x —是原方程的根。 13 二.换元法 y 3 4y 8 例3.解方程 y 2 y 3 分析：本题若移项，形如— D ，如果用比例法则去分母后方程变为 B C 2 3y 24y 7 0，对一元二次方程我们还不能求解。因此，经观察发现 8 4 匚2，其中匚2与丄虫互为倒数关系，可利用换元法简便求解。 y 3 y 3 y 3 y 2 解：设'一3 A ，则原方程变形为 y 2 整理得2bx b 0， 例2.解方程: 1)

4 A 0 A 整理得A 2 4 A 2 y 3 当A 2时， 2，解得y i 7 ; y 2 当A 2时，乂卫 2，解得y y 3 3 1 、 经检验，y 1 7, y 2 都是原方程的解。 3 例4.解方程组 3 2 5 (1) x y x y 1 4 4 ⑵ y x x y 分析：方程(1),( 2)中都含有 --------------- x y 1 i 设 a , b x y x y 则方程组变形为 3b 2a 5 b 4a 4 解这个二元一次方程组， 1 1 求出a 、b 的值，代入 禾口 中，即可解出x , y 的值。 x y x y 三.倒数法 关系，可有下面解法。 解: x - 2，或x 1 4 4 因此可运用换元法, 例5.已知：x - x 分析：已知条件中, 1 ~2 x , 1 —互为倒数2- 2 21，求 x 2 2 1 ......... x , x 2 -，其中 2 2, 1 —互为倒数关系，利用此 2 1 ~~2 x 例6. 解方程: 2x 3x 2 17 分析: 3x 2 方程的左边两项为倒数之和, 2x 1 4 因此可用倒数法简化求解,

分式方程的解法与技巧_知识精讲

分式方程的解法与技巧 【典型例题】 1. 局部通分法： 例1. 解方程：x x x x x x x x -----=-----34456778 分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。 解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()() x x x x --=-- 去分母得：()()()()x x x x --=--4578 解之得：x ＝6 经检验：x ＝6是原分式方程的根。 点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。 但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。 2. 换元法： 例2. 解方程： 7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全相同，故可考虑用换元法求解。令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。 解：设，则原方程可化为：k x x =-+265 793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320 当时，k x x =--=126702 ()()x x -+=710 解之得：，x x 1217=-=

当时，k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+= 解此方程此方程无解。 经检验：，是原分式方程的根。x x 1217=-= 点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。 3. 拆项裂项法： 例3. 解方程： 12442212x x x x ++-+-= 分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。 解：原方程拆项，变形为： ()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---= 裂项为： 122222221x x x x ++-++--= 化简得：321x += 解之得：x =1 经检验：x ＝1是原分式方程的解。 4. 凑合法： 例4. 解方程：x x x x 4143412 +-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。 解：部分移项得： x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412=------ ∴x 412= ∴x ＝2 经检验：x ＝2是原分式方程的根。

《分式方程(第一课时)》教学设计

分式方程（第1课时）教学设计 一、教学目标 知识与能力（1）了解分式方程的概念。 （2）了解需要对分式方程的解进得检验的原因。 过程与方法会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单分式方程，体会化归思想和程序化思想。 情感态度与价值观通过对本节课的学习使学生养成严谨的数学思维，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。 二、教学重难点 重点利用去分母的方法解分式方程。 难点了解用去分母的方法解分式方程产生增根的原因。 三、学情及学法分析 这是八年级学生第一次接触分式方程，在对整式方程的认识还不够深入的情况下，就遇到比解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情况，学生对此内容的接受会有很大困难，特别是产生增根的原因，学生没有认知准备。 四、教学过程 1、创设情境，引入课题 问题1 为了解决引言中的问题，我们得到了方程 9060 3030 v v = +- 。仔细观察这个方程， 未知数的位置有什么特点？ 师生活动：学生独立思考并作答。 设计意图：由实际问题引出分母中含有未知数胡方程，让学生了解研究分式方程的必要性。 追问1：方程12 23 x x = + ， 2 110 525 x x = -- ， 2 1 133 x x x x =+ ++ 与上面的方程有什么共同 特征？ 追问2：你能再写出几个分式方程吗？ 设计意图：让学生进一步巩固对分式方程概念的认识。 2、思考探索，获取新知 问题2 你能试着解分式方程 9060 3030 v v = +- 吗？ 师生活动：学生分组讨论，相互交流。教师适当给出提示和纠正。并派出学生代表将不同的解法展示在黑板上，学生相互交流。 设计意图：让学生在已有的知道经验基础上，尝试解分式方程。 问题3 这些解法有什么共同特点？ 师生活动：学生讨论之后，教师总结，这些解法的共同点是先去分母将分式方程转化为整式方程式，再解整式方程，进而通过以下几个问题明确解分式方程的方法和依据： （1）如何把它转化为整式方程？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两过乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 学生思考后得出结论：分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了。利用等式的性质2可以在方程两边都乘以一个式子——各分母的最简公分母。 设计意图：通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，

八年级(北师大版)数学分式方程应用题归类

分式方程应用题 1、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？ 2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。 3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。 4、假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度 5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。 6、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少？ 7、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度 8、八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区到学校120千米，一部分学生乘慢车先行，出发1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达，已知快车速度是慢车的1。5倍，求慢车的速度

9、两地相距360千米，回来时车速比去时提高了50%，因而回来比去时途中时间缩短了2小时，求去时的速度 . 10、甲、乙两人同时从A 、B 两地相向而行，如果都走1小时，两人之间的距离等于A 、B 两地距离的8 1；如果甲走3 2小时，乙走半小时，这样两人之间的距离等于A 、B 间全程的一半，求甲、乙两人各需多少时间走完全程？ 11、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？ 12、某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的2.1倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少. 13、供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度. 14、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度 15、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。 16、某人沿一条河顺流游泳l 米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为xm/s,水流速度为nm/s,求他来回一趟所需的时间t 。

分式方程的特殊解法

分式方程的特殊解法 分式方程的解法除常规的去分母法和换元法之外，还有许多特殊的解法。 一、 分组通分法： 例1、 解方程 3 2411423---=---x x x x 分析：要整个方程一起通分，计算量大又易出错。观察方程中分母的特点可联想分组通分求解。 略解：方程两边分别通分，相减得 ) 3)(4(5)1)(2(5---=---x x x x x x 当05≠-x 时，)3)(4()1)(2(--=--x x x x ，解得2 51= x 当05=-x 时，解得52=x 经检验，2 51= x 52=x 都是原方程的解 二、 分离分式法： 例2、解方程43325421+++++=+++++x x x x x x x x 分析：每个分式的分母与分子相差1，利用这特点可采用分离分式法求解 略解：原方程可变形为 4 11311511211+-++-=+-++-x x x x 整理得 )4)(3(72)5)(2(72+++=+++x x x x x x 当072=+x 时，解得2 7- =x 当072≠+x 时，方程无解 经检验2 7- =x 是原方程的解 练习：② 6 5327621+++++=+++++x x x x x x x x 解：29-=x 三、 巧添常数 例3、解方程 33224411+-++-=+-++-x x x x x x x x 解析：同样若整体通分，次数增高，运算复杂，求解困难，而方程中每个分式的分子和分母都是相同两数的差与和，可在每个分式中添加常数“1”，会使问题柳暗花明，迅捷可解，可谓别有洞天． )133()122()144()111(++-+++-=++-+++-x x x x x x x x ，即：3 2224212+++=+++x x x x x x x x

分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

分式方程的解法及应用（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方 程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；

15.3分式方程第一课时

1 5?3分式方程 第一课时 一、学习目标： 1、理解分式方程的概念，能准确区分分式方程和整式方程。 2、弄淸分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程。 3、淸楚产生增根的原因，会检验一个数是不是原方程的增根。重点：解分式方程的基本思路和解法。 难点：理解解分式方程时可能无解的原因。 二、自主学习： 自学教材第149-150,并思考下列问题： 1、什么是分式方程？ 2、如何解分式方程？如何将分式方程化为整式方程？ 3、解分式方程时为什么一泄要验根？脸根的方法是什么？ 4、简述解分式方程的一般步骤。 三、自学检测： 1、下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 四、水平提升: 1、解方程： (1) x + 1 7^1 2x 2x-\ =2 ⑶二=丄_2 x — 3 3 — x ⑷匕亠 x— 2乂 4 3 (1) 2三(2)- + -= 7 b x y 3 —x x x— 1 (5)——=-(6) 2x +---- = 10 7T 25 (9)x- — = 2(10) 3v + 1 +4 X2y-2 2、解方程： 3 2 ⑴A x x-6⑵ (3) 1- 3 (4) x(x-1) x-2x X X 2x +11 (7)3x+ ----- =1(8)x-l= X2 (H)->5(12) 1 = 5 X X Y— 1 3、已知□是方程厂"的解' 求k的值。型上=4 x 2x

r* ——2 Y 2、分式方程p = 0的增根是 3、当a为何值时,方程合=2 +乞有增根。 4、若分式方程有增根’求"值。 父若方程壬^芝无解，求“的值。 6、当m是什么实数时，分式方程-+ ———=0无解? x x-1 x(x-1) X 111 7、已知关和的方程口-2 = 口有-个正数解，求m的取值范歐

第十五章---分式方程(知识点+题型分类练习)

专题复习：分式 【基础知识回顾】 一、分式的概念 若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做公式 提醒：①：若则分式A B无意义 ②：若分式A B=0，则应且 二、分式的基本性质 分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。 1、a m a m ? ?= a m b m ÷ ÷= （m≠0） 2、分式的变号法则 b a - = 3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。 约分的关键是确保分式的分子和分母中的，约分的结果必须是分式。 4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分，通分的关键是确定各分母的 提醒：①最简分式是指 ②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分。 ③约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项。 三、分式的运算： 1、分式的乘除 ①分式的乘法：b a? d c= ②分式的除法：b a÷ d c= = 2、分式的加减 ①用分母分式相加减：b a± c a=

②异分母分式相加减：b a± d c= = 3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(b a) m = 四、分式方程的概念 分母中含有的方程叫做分式方程 【提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】 二、分式方程的解法： 1、解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程：即 分式方程整式方程 2、解分式方程的一般步骤：①、②、③、 3、增根： 在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。 【提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略 2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分 母后的整式方程无解。如： 1 3 1 = - - -x x a x 有增根，则a= ，若该方程无解，则a= 。 三、分式方程的应用： 解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。 【提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型】

【计划】2018年中考数学真题分类汇编第7讲分式方程无答案

【关键字】计划 第7讲分式方程 知识点1 分式方程的解 知识点2 分式方程的解法 知识点3 分式方程的增根 知识点4 分式方程的实际应用 知识点1 分式方程的解 （2018株洲）5、关于的分式方程解为，则常数的值为 A、B、C、D、 （2018张家界）2．若关于的分式方程的解为，则的值为( ) 知识点2 分式方程的解法 （2018德州）8.分式方程的解为（ D ） A．B． C. D．无解 （2018龙东） （2018荆州）5.解分式方程时，去分母可得（） A. B. C. D. （2018成都）8.分式方程的解是（A ） A．x=1 B． C. D． （2018兰州） （2018哈尔滨）

（2018海南） （2018黄石）13、分式方程的解为________________ （2018铜仁） （2018甘肃） （2018湘潭）11．（3分）分式方程=1的解为x=2． （2018无锡） （2018常德）10.分式方程的解为． （2018眉山）15．已知关于x的分式方程－2=有一个正数解，则k的取值范围为. （2018广州）13.方程的解是__x= 2__. 知识点3 分式方程的增根 （2018潍坊）14．当时,解分式方程会出现增根． （2018达州）13．若关于的分式方程无解，则的值为. （2018齐齐哈尔） 知识点4 分式方程的实际应用 （2018临沂）10.新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年1-5月份.每辆车的销售价格比去年 降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年整年的少20%。今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元根据题意.列方程正确的是（） A． () 5000120% 5000 1 x x - = + B． () 50001+20% 5000 1 x x = + C. () 5000120% 5000 -1 x x - = D． () 50001+20% 5000 -1 x x = （2018黔东南、黔南、黔西南）8.施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务.设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（） A．10001000 2 30 x x -= + B． 10001000 2 30 x x -= + C．10001000 2 30 x x -= - D． 10001000 2 30 x x -= - （2018淄博）10.“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，

分式方程的几种特殊解法

分式方程的几种特殊解法 白云中学：孙权兵 解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程； （2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。 一、加减相消法。 例1、解方程：2017 2018112017201811222++-=++-+x x x x x 。 分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。如果我们发现方程两边都加上分式 2017 201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。 解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：11 2=+x 去分母，得：12+=x 解得：1=x 经检验，1=x 是原分式方程的解。 二、巧用合比性质法。

例2：解方程：7 81222++=++x x x x 。 分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。 解：由合比性质可得：7 7-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 7 1112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （ 解得：23-==x x 或 经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。 三、巧用等比性质法。 例3、解方程：1 3242344++=++x x x x 。 分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。 解：由等比性质可得： 1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。 ∴ 13242++= x x 化简得： 02=x ∴ 0=x 经检验，0=x 是原分式方程的解。

分式方程解题技巧(提高)

分式方程解题技巧 例一， 一般结构的分式方程 解方程：x x x x x ++-=-2227115 解：（分解因式以便确定最简公分母）原方程变形为： ) 1(7)1)(1(1)1(5++-+=-x x x x x x )1(7)1(5-+=+x x x 4=x 检验：把4=x 代入0)1)(1(≠-+x x x 所以4=x 是原方程的解。 例1：解方程：) 4)(1(52)3)(2(1)2)(1(1+++=+++++x x x x x x x 分析：一般解法，最简公分母为)4)(3)(2)(1(++++x x x x ，此题直接去分母较为复杂。经观察发现，左边分母两个因式的差等与分子，右边分母两个因式的和等与分子。故考虑将分式拆开。 解：原方程变形为： 4 11131212111+++=+-+++-+x x x x x x 4 132+=+-x x 2 7-=x 经检验27- =x 是原方程的根。 例2：解方程：

20 7245361121330163223223+++++=+++++x x x x x x x x x x 分析：经观察发现直接去分母计算量非常可观，而且分母用公式法或十字相乘法都不能分解成两个因式的积。但是，同时也发现分子的最高次项的次数都比分母的最高次项高。我们知道假分数可以转化为带分数，故考虑将假分式变为真分式。 解：原方程变形为： 20 72522134222+++++=+++++x x x x x x x x 20 725213422+++=+++x x x x x x 解得：5=x 经检验5=x 是原方程的根。 例3：解方程：02)1(2122=++-+x x x x 分析：此题借用关系式2)1(122 2-+=+x x x x 较为简单。 解：原方程变形为：0)1 (2)1 (2=+-+x x x x 设x x y 1+= 则022=-y y 0=y 或2 当0=y 时，01=+x x ，则方程无解。 当2=y 时，21=+ x x ，即0122=+-x x ，则1=x 经检验：1=x 是原方程的解。 例4：解方程：5 26423234=+-+-+x x x x 分析：根据题目特点，利用下面关系式解题较为简单， 若c c x x 11+=+（c 为常数），则X=C 或c 1。

分式方程增根分类举例

与分式方程根有关的问题分类举例 与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。 1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值 解答此类问题必须明确增根的意义： （1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。 （2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。 利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。 例1. （2000年潜江市） 使关于x 的方程a x x a x 2 2 24222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a 无关 解：去分母并整理，得： ()a x 22401--=<> 因为原方程的增根为x =2，把x =2代入<1>，得a 2=4 所以a =±2 故应选C 。 例2. （1997年山东省） 若解分式方程21112x x m x x x x +-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2 解：去分母并整理，得： x x m 22201---=<> 又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入<1>式，得： m =2或m =1 故应选C 。 例3. （2001年重庆市） 若关于x 的方程ax x +--=11 10有增根，则a 的值为__________。 解：原方程可化为：()a x -+=<>1201 又原方程的增根是x =1，把x =1代入<1>，得： a =-1 故应填“-1”。

例4. （2001年鄂州市） 关于x 的方程x x k x -=+-323 会产生增根，求k 的值。 解：原方程可化为：()x x k =-+<>231 又原方程的增根为x =3，把x =3代入<1>，得： k=3 例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程： ()()()115111 2x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。 解：原方程可化为： ()()()()x k x k x ++--=-<>151112 把x =1代入<1>，得k=3 所以当k=3时，解已知方程只有增根x =1。 评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是： （1）将所给方程化为整式方程； （2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）； （3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。 2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围 例6. （2002年荆门市） 当k 的值为_________（填出一个值即可）时，方程x x k x x x -=--122只有一个实数根。 解：原方程可化为：x x k 2201+-=<> 要原方程只有一个实数根，有下面两种情况： （1）当方程<1>有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由?=+=440k 得k=－1。当k=－1时，方程<1>的根为x x 121==-，符合题意。 （2）方程<1>有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由?=+>440k ，得k>－1。又原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入 <1>得k=0，或k=3，均符合题意。 综上所述：可填“－1、0、3”中的任何一个即可。 例7. （2002年孝感市） 当m 为何值时，关于x 的方程2111 2x x m x x x ---=+-无实根？ 解：原方程可化为： x x m 2201-+-=<>