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必修1 第一章集合与常用逻辑用语第1.4-1.5节

常用逻辑用语

常用逻辑用语核心知识

重点

命题真假判断、充分条件、必要有条件、全称量词命题、存在量词命题、含有一个量词的命题的否定

难点充分条件、必要有条件、全称量词命题、存在量词命题、含有一个量词的命题的否定

考试要求考试：

?考查题型：选择题、填空题和解答题。

?考查难度：小题的难度一般中等，经常与集合不等式关联考试；解答题的难度中等偏上，属于易错题。

核心知识点一：命题及充分条件、必要条件

1. 命题及相关概念

定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题。

真命题：判断为真的语句；

分类

假命题：判断为假的语句。

形式：“若p，则q”。其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。

2. 充分条件与必要条件

命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题

推出关系p?q p q

条件关系p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

注意：

充分条件与必要条件的两点说明

（1）p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”。

（2）q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p 一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立。

3. 充要条件

（1）推出关系：p?q，且q?p，记作p?q。

（2）简称：p是q的充分必要条件，简称充要条件。

（3）意义：p?q，则p是q的充要条件或q是p的充要条件，即p与q互为充要条件。

【例题】判断下列各题中p是q的什么条件？

（1）p：（a－2）（a－3）＝0，q：a＝3；

（2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形。

解析：

（1）由（a－2）（a－3）＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以推出（a－2）（a－3）＝0，因此p是q的必要不充分条件。

（2）

四边形的对角线相等四边形是平行四边形，

∵

四边形是平行四边形四边形的对角线相等，

∴p是q的既不充分也不必要条件。

总结提升：

充分、必要、充要条件的判断方法

（1）定义法

若p?q，q p，则p是q的充分不必要条件；

若p q，q?p，则p是q的必要不充分条件；

若p?q，q?p，则p是q的充要条件；

若p q，q p，则p是q的既不充分也不必要条件。

（2）集合法

对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：

若A?B，则p是q的充分条件；

若A?B，则p是q的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若A B，则p是q的充分不必要条件；

若A B，则p是q的必要不充分条件；

【例题】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

解析：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）。

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，

故有??

?<+-≥-10121m m 或???≤+->-10

1m m ，解得m≤3。

又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{m|0＜m≤3}。

总结提升：

根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解。

核心知识点二：全称量词与存在量词

注意：

（1）诠释全称命题及特称命题

①全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”。

②有些命题省去了全称量词，但仍是全称命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”。

③特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有的”“存在”等。

（2）全称命题与特称命题的区别

①全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”。

②特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”。

注意：“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的辨析

（1）一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p（x）的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词。

（2）与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定。因此，对含有一个量词的命题的否定，应根据命题所叙述对象的特征，挖掘其中的量词。

【例题】判断下列命题的真假：

（1）?x，y为正实数，使x2＋y2＝0；

（2）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P；

（3）?x∈N，x2>0。

解析：

（1）∵当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，

∴不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题。

（2）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题。

（3）∵0∈N，02＝0，所以命题“?x∈N，x2>0”是假命题。

总结提升：判断全称命题和特称命题真假的方法

（1）要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p（x）为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为假。

（2）要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p（x）为假。

【例题】设命题p：?n∈N，n 2>2n，则?p为（）

A. ?n∈N，n 2>2n

B. ?n∈N，n 2≤2n

C. ?n∈N，n 2≤2n

D. ?n∈N，n 2＝2n

解析：由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“?x ∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2”。

答案：D

易错点拨：含有一个量词的命题的否定：一、量词改变；二、结论否定

本节重要知识点

1. 命题及充分条件、必要条件、充要条件.

2. 全称量词命题、存在量词命题、含有一个量词的命题的否定。

（答题时间：30分钟）

1. 命题“?x ∈[1，2]，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是（） A. a≥4

B. a≤4

C. a≥5

D. a≤5

2. 已知,x y R ∈，则“1x >或1y >”是“2x y +>”的（） A. 充要条件

B. 必要非充分条件

C. 充分非必要条件

D. 既非充分也非必要条件 3. 若a 、b 不全为0，必须且只需（） A. 0ab ≠

B. a 、b 中至多有一个不为0

C. a 、b 中只有一个为0

D. a 、b 中至少有一个不为0

4. 命题“220x x --=”是命题“1x =-”的______条件。

5. 命题“2,210x R x x ≥?∈-+”的否定是__________。

1. C

【解析】由题意可得原命题为真命题的条件为a≥4，可得其充分不必要条件为集合{a|a≥4}的真子集，由此可得答案。

【详解】解：命题“?x ∈[1，2]，20x a -≤”为真命题，可化为?x ∈[1，2]，2a x ≥，恒成立，即“?x ∈[1，2]，20x a -≤”为真命题的充要条件为a≥4，

故其充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C 符合题意。故选：C 。

【点睛】本题属于命题与集合相集合的题目，解题的关键是明确充分不必要条件的定义。 2. B

【解析】通过反例可知“1x >或1y >”是“2x y +>”的非充分条件；利用逆否命题为真可知若2x y +>，则1x >或1y >为真，验证出“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要条件，从而可得结果。

【详解】若32x =，0y =，则3

x y +=<，可知“1x >或1y >”是“2x y +>”的非充分条件；

若2x y +>，则1x >或1y >的逆否命题为：若1x ≤且1y ≤，则2x y +≤；可知其逆否命题为真命题，则原命题为真；则“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要条件；

则“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要非充分条件本题正确选项：B

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够利用原命题与逆否命题同真假来判断出必要条件成立。 3. D

【解析】本题首先可以通过题意中的“a 、b 不全为0”来确定题意中所包含三种情况，然后观察四个选项，看哪个选项恰好包含题意中的三种情况，即可得出结果。

【详解】“a 、b 不全为0”包含三种情况，分别是“b 为0，a 不为0”、“b 不为0，a 为0”、“a 、b 都不为0”，故a 、b 中至少有一个不为0，故选D 。

【点睛】本题的重点在于对“不全为”、“至多有一个”、“只有一个”、“至少有一个”等连接词的意思的判断，能否明确理解上述连接词的词义是解决本题的关系，考查推理能力，是简单题。 4. 必要不充分

【解析】求出方程220x x --=的解后可判断两者之间的条件关系。【详解】220x x --=的解为1x =-或2x =，所以当“220x x --=”成立时，则“1x =-”未必成立；

若“1x =-”，则“220x x --=”成立，

故命题“220x x --=”是命题“1x =-”的必要不充分条件，填必要不充分。

【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.

5. 2210x R x x ?∈-+<，

【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可。【详解】因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题“2,210x R x x ≥?∈-+”的否定命题：2210x R x x ?∈-+<，，故答案为：2210x R x x ?∈-+<，。

【点睛】本题主要考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题。

常用逻辑用语综合训练

典例一：充分、必要条件的判定

【能力提升】设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

解析：选A ∵??