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高考数学专题《数列》超经典

高考复习序列-----

高中数学数列

一、数列的通项公式与前n 项的和的关系

①11

1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?

（注：该公式对任意数列都适用）

②1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） ③12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用） ④s n+1?s n ?1=a n+1+a n （注：该公式对任意数列都适用）二、等差与等比数列的基本知识 1、等差数列

⑴ 通项公式与公差：

定义式：d a a n n =--1

一般式：()q pn a d n a a n n +=?-+=11 推广形式： ()n m a a n m d =+-m

a a d m

n --=

?；

⑵ 前n 项和与通项n a 的关系：

前n 项和公式：1()

n n n a a s +=

1(1)n n na d -=+211

()2

d n a d n =+-.

前n 项和公式的一般式：应用：若已知()n n n f +=2

2，即可判断为某个等差数列n 的前n 项和，并可求出首项及公差的值。

n a 与n S 的关系：1(2)n n n a S S n -=-≥（注：该公式对任意数列都适用）

例：等差数列12-=n S n ，=--1n n a a （直接利用通项公式作差求解） ⑶ 常用性质：

①若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；特别地：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+?n 、

m 、p 成等差数列；

②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,a a a ++456,a a a ++789a a a ++，???）仍是等差

数列；

③{}n a 为公差为d 等差数列，n S 为其前．n ．项和．．，则232,,m m m m m S S S S S --，43m m S S -，．

．．也成等差数列, A 、构成的新数列公差为D=m 2

d ，即m 2

d=(S 2m -S m )- S m ；

B 、对于任意已知S m ，S n ，等差数列{}n a ?

????n S n 也构成一个公差为2d 等差数列。

⑥若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ② 1

n n S a

S a +=奇偶； ⑦若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1

S n

S n =-奇偶。

例：已知等差数列{}n a ，其中===11010010,10,100S S S 则解析：法一，用等差数列求和公式1(1)

n n na d -=+

求出d a ,1 法二，10S ，10011020301020...,S S S S S S ---成等差数列，设公差为D ，则：

D S S S 451010100110+=-

法三,

63. 等比数列的通项公式： ⑴ ①一般形式：1

*11()n n

n a a a q

q n N q

-==

?∈； ②推广形式：n m

n m a a q

-=?

，n q =

③其前n 项的和公式为：11(1)

,11,1n n a q q s q na q ?-≠?

=-??=?，或11

,11,1n n a a q q q s na q -?≠?-=??=?.

⑵数列{}n a 为等比数列

()()211

111002,n n n n n n n

a q q a a a n n N a a q a -+-++?

=≠?=?>≥∈?=?()1a q 0n N*≠∈、，n n S A q B ?=?+

⑶ 常用性质：

①

若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a ?=? ；特别地：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2

m n p a a a =??n 、m 、p 成等比数列;

②

等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,a a a ++456,a a a ++789a a a ++，???）仍是等比数列；

③{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --，43m m S S -，．．．也成等比数列（仅当当

1q ≠-或者1q =-且m 不是偶数时候成立）；

设等比数列

{}n b 的前．n 项积．．

为n T ，则k T ，232,k k k k T T T T ，43k k

T T 成等比数列．

④ {}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. ⑤ {}n a 既是等差数列又是等比数列?{}n a 是各项不为零的常数列.

判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：

）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列

②中项法：

)22

1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列

③一般通项公式法：

),(为常数b k b

kn a n +=?{}n a 是等差数列

④一般前n 项和公式法：

),(2为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等差数列

判断或证明一个数列是等差数列的方法：

（1）定义法：

?=+（常数）q a a n

n 1

{}n a 为等比数列；（2）中项法：?≠?=++)0(2

1n n n n a a a a {}n a 为等比数列；

（3）通项公式法：??=为常数）q k q k a n n ,({}n a 为等比数列；（4）前n 项和法：?-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数列。

?-=为常数）（q k kq k S n n ,{}n a 为等比数列。

数列最值的求解

（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；

（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，的最值可求二次函数的最值；

可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出中的正、负分界项，即：若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??

≤?或10

n n a a +≤??≥?。

例1：等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前项的和最大。【解析】：

()项）项和最大（或前前，1011020001110121012111012111011129121291??

?=-=????+=+-=?=++?=-?=>a a a a a a a a a a a a S S S S a

例2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 001213123<>=S S a ，，

①求出公差d 的范围，

②指出1221S S S ，，

，中哪一个值最大，并说明理由。【解析】：

① ()()()3

00,52156421442

11212212212,21221312131211231--?<>+=+=+-=+=

?-=-= d S S d S d

d d a a S d d a a ，，根据已知同理：

② 由0001213123 d S S a 及，，<>=，可知，n=12是前n 项和正负分界项，

故()(),70,60 n a n a n n ≤≥所以，6S 最大

变式：若等差数列的首项为为31，从第16项开始小于1 ，则此数列公差d 的取值范围是解析：116 a ，但要注意此时还要一个隐含条件115 a ，联立不等式组求解。 3、若数列的前n 项和n n S n 102-=，则=n a ，{}n ns 数值最小项是第项。【解析】：法一（导数法）：

根据等差数列前n 项和的标准形式Bn An S n +=2，可知该数列为等差数列，

n nS n a a a d S S a n n S a n n 112112,2,7,9102

12122211-=?-==-=∴-=-=-=-==令

时时，即当’‘4

0)(,114)(,112)(2=

=-=-==n n f n n f n n nS n f n ,取得最小值，其中15)3(,14)2(34

2-=-=f f ，分别求出

，可见当n=3时{}n ns 取得最小。法二（列举法）：对于,0,01且数值较大时且数值较小 d a 可用列举法，分别求出n=1、2…时的{}

n ns 的值，再进行比较发现。

n S 2n S an bn =+{}n a

4、已知数列{}n a ，的最小值为则

a n a a a n

n n ,2,3311=-=+ 【解析】：法一（均值不等式）：由累加法：33--2

1+=?=-n n a n n a a n n ，令

时取得最小值。

，可见，，取得最小值，时，，即可见当6663

)6(533)5(63353333

,133)(=====-+==

n f f n a n n n n n n a n f n n 法二（列举法）：实在没招时使用该法。

5、已知等差数列{}n a 的前n 项和的最小值为则n n S n S S S ,25,0,1510== 。【解析】：

-49-)7(48-)6(,732063

0)(,320)(,)(,310300,3

22'2'23110110，故取，而时取得最小值，

，即当令====-==-=∴-=?=+?==?--

=f f n n f n n n f S n n f n n S n a a a S d m n m S n S d n n m n

6、

数列通项公式的求法：

类型1：等差数列型)(1n f a a n n +=+

思路：把原递推式转化为)(1n f a a n n =-+，再使用累加法（逐差相加法）求解。例，已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

1221111*21)2(21)1(2n a a a n a a n a a n n n n n =∴+=-?

+-=-+-=----以上逐次累加，

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =

变式：已知数列{}n a 满足1232

n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解： 1232n

n n a a +=+?两边除以1

2n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n

a a ++-=，此时23

)(=n f ，故数列{}2

n n a 是以1222a 1

1==为首项，以2

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n a n =-

评注：本题n n a a 、1+前的系数不一致，不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为

113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2

n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3

1(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

类型2：等比数列型n n a n f a )(1=+ 把原递推式转化为

)(1

n f a a n

n =+，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。例（2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足

11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+

②

用②式－①式得1.n n n a a na +-=则1(1)(2)n n a n a n +=+≥；故

1(2)n n

a n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2

n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

????=-???=

③

由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!13452n n a n =?????=

。所以，{}n a 的通项公式为!

n n a = 评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为

1(2)n n

a n n a +=+≥，进而求出132122

n n n n a a a a a a a ---???? ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。类型4：待定系数法处理q pa a n n +=+1 或n n n q pa a +=+1型数列

把原递推式

,1q pa a n n +=+转化为

;1),(1q

t t a p t a n n -=

-=-+转化思路：

为等比数列，则数列此式与原式比较，得到令?

?????--=

=-++t a t a q p

t t a p t a n n n n -1),-(11 例，数列{}n n n n a a a a a 求,32,1,11+==+

解：令1-312

),(21=-=-=-+t t a t a n n 比较原递推式，，所以?

?????=+++2111

n n a a 即{}1+n a 是公比为2的等比数列， 1+n a =（11+a ）1

-n 2

，或令n n b a =+1，{}n b 是公比为2的等比数列，所以

n n n n b a b b b 2,21,2*1111=∴=+==-其中，

变式1：已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

思路：等式两边同时除于

15+n ；原递推式变成

,535*52511+=++n n n n a a 令n n

b a =5，

()n

n n n n n n n n n n n n n n n n n a b b b a b b b t t b t b b b 521525252*5152*11565,521153

152

)(5253521111

1111111+=?+=?=??? ??=??

??-=-?=

=??? ??=-?=-=?-=-?+=∴------++

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+?转化为)-(1t a p t a n n =-+，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

变式2：已知数列{}n a 满足112,12

n n a a a a +=

=+，求数列{}n a 的通项公式。思路：将原递推式两边倒数后换元，再转化为,

1q pa a n n +=+

变式3：已知数列{}n a 满足5

13n n a a ?=+，17a =，求数列{}n a 的通项公式。思路：将原递推式两边求对数后换元，再转化为,

1q pa a n n +=+

变式4：已知数列{}n a

满足111

(14116

n n a a a +=

++=，，求数列{}n a 的通项公式。思路：：

换元n b =2

1(1)24

n n a b =

-，再代入原递推式，再转化为,1q pa a n n +=+ 类型5 已知n n a S 、递推式()n n a f S = 求n a

这种类型一般利用??

?-==-1

,11 n S S n S a n n n 导出1--=n n n S S a ，消去n S ，得到n a 与1-n a 的递推式，再利用前

面的方法求解出n a （知识迁移：??

?-==+--2,1

,211 n S S n S a a n n

n n ）

例，已知数列{}n a 前n 项和2

214---=n n n a S ，求：（1）的关系与n n a a 1+，（2）通项n a 。

解：（1）

222212121*212

2121212121)214()214(11111

12121111+=?+=??? ??-+=???

??-+=?-----=-=++--+--+--+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a S S a

（2）由上式：2222221111=-?+=++++n n n n n n n n a a a a ，令n n n a b 2=，即有21=-+n n b b ，而，222111===S a b ，

所以，{}=1b b n 为2，公差为2,的等差数列，1

22,2-=

?==n n n n

n n n a a b n b 类型6：12()n a a a f n = 求n a

用作商法：(1),(1)(),(2)

(1)n f n f n a n f n =??=?

≥?-?

数列求和的常用方法

然数和公式：

①

()

1122n n n +++???+=

；

② ()()

121126n n n n ++++???+=

；

③ ()2

2333

1124

n n n +++???+=

一、利用等差等比数列的求和公式求和 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

[例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

2l o g l o g 3l o g 1l o g 3323=

?-=?-=

x x x ，由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32＝

x x n --1)1(＝2

11)21

1(21--n ＝1－n 21（利用等比数列求和公式） [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(2

1+=

n n S n ， )2)(1(21

1++=+n n S n

∴ 1)32()(++=

n n

S n S n f ＝64342++n n n ＝n n 64

341++＝50)8(12+-n n 501≤

∴ 当

n ，即n ＝8时，501)(max =n f

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通项之积

设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ②

①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----?

+=-- ∴ 2

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 解：由题可知，{

n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n

}的通项之积设n n n

S 2

226242232+???+++=

…………………………………① 14322

226242221++???+++=n n n

S ………………………………② ① -②14322

22222222222)21

1(+-+???++++=

-n n n n

S 1122212+---=n n n ∴ 1

4-+-

=n n n S 三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S

…………. ①

将①式右边反序得

1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..②

又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ，①+②得

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

题1 已知函数（1）证明：

；

（2）求的值.

解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得：

所以

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例5] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a

a a n ，…

解：设)231

()71()41(

)11(12-++???++++++=-n a

a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+

=＝2

)13(n

n + 1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n n -+--

=＝2)13(11n n a a a n -+--- 五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）

n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）()()???

??+--=-+=+-=+=

1211212112121;1

11)1(1n n n n a n n n n a n n

（4）)

11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=

⑸ (

)

b a b

a b a a n n n n a n n --=

+=-+=++=

1;111

[例6] 求数列

???++???++,1

1,,321,

11n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=

111

则 1

212

11+++

???+++

n n S n

＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n [例7] 在数列{a n }中，11211++???++++=

n n n n a n ，又1

2+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

解： ∵ 2

11211n n n n n a n =++???++++=

∴ )111(82

122+-=+?=

n n n n b n

∴ 数列{b n }的前n 项和

)]1

11(

1()3

1()2

11[(8+-+???+-+-+-=n n S n ＝)1

1(8+-

n ＝ 18+n n

六、分段求和法（合并法求和）

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ )180cos(cos n n --=

∴S n ＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0

[例9] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1032313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= （合并求和）

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++ ＝10

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =，（1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式． {

、 ~

、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =，所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得14 3 n n a a -=． 5分由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分（2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)

绝密★启用前全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是

A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入