高中物理竞赛培训资料必修一
第一讲：力学中的三种力
【知识要点】
摩擦角
将摩擦力f和接触面对物体的正压力N合成一个力F，合力F称为全反力。在滑动摩擦情况下定义tgφ=μ=f/N，则角φ为滑动摩擦角；在静摩擦力达到临界状态时，定义tgφ0=μs=f m/N，则称φ0为静摩擦角。由于静摩擦力f0属于范围0＜
f≤f m，故接触面作用于物体的全反力F'同接触面法线的夹角
?
?
?
?
?
=-
N
f
tg0
1
α≤φ0，这就是判断物体不发生滑动的条件。换句话说，
只要全反力F'的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能
推动木块，这种现象称为自锁。
【例题1】如图所示，一质量为m的小木块静止在滑动摩擦因数为μ=
3
3
的水平面上，用一个与水平方向成θ角度的力F拉着小木块做匀速直线运动，当θ角为多大时力F最小？
【例题2】如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为m，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?如果有n块这样的滑块叠放起来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力?
【例题3】如图所示，一质量为m=1㎏的小物块P静止在倾角为θ=30°的斜面上，用平行于斜面底边的力F=5N推小物块，使小物块恰好在斜面上匀速运动，试求小物块与斜面间的滑动摩擦因数（g取10m/s2）。
【练习】
1、如图所示，C是水平地面，A、B是两个长方形物块，F是作用在物块B上沿水平方向的力，物块A和B以相同的速度作匀速直线运动，由此可知，A、B间的滑动摩擦因数
N
F
F
f m
f0
α
φ
θ
F P
θ
F
μ1和B 、C 间滑动摩擦因数μ2有可能是：（ ）
A 、μ1=0，μ2=0；
B 、μ1=0，μ2≠0；
C 、μ1≠0，μ2=0；
D 、μ1≠0，μ2≠0；
2、如图所示，水平面上固定着带孔的两个挡板，一平板穿过挡板的孔匀速向右运动，槽中间有一木块置于平板上，质量为m ，已知木板左、右两侧面光滑，底面与平板之间摩擦因数为μ0，当用力F 沿槽方向匀速拉动物体时，拉力F 与摩擦力μmg 大小关系是（ ）
A 、F ＞μmg
B 、F=μmg
C 、F ＜μmg
D 、无法确定
3、每根橡皮条长均为l =3m ，劲度系数为k =100N/m ，现将三根橡皮条首尾相连成如图所示的正三角形，并用同样大小的对称力拉它，现欲使橡皮条所围成的面积增大一倍，则拉力F 应为多大？
4、两本书A 、B 交叉叠放在一起，放在光滑水平桌面上，设每页书的质量为5克，两本书均为200页，纸与纸之间的摩擦因数为0.3，A 固定不动，用水平力把B 抽出来，求水平力F 的最小值。
5、（90国际奥赛题）（哥伦比亚）一个弹簧垫，如图所示，由成对的弹簧组成。所有的弹簧具有相同的劲度系数10N/m ，一个重为100N
的重物置于垫上致使该垫的表面位置
下降了10cm ，此弹簧垫共有多少根弹簧？（假设当重物放上后所有的弹簧均压缩相同的长度）。
第二讲：共点力作用下物体的平衡
（一）力的运算法则
（二）平行力的合成与分解
同向平行力的合成：两个平行力F A 和F B 相距AB ，则合力ΣF 的大小为F A +F B ，作用点C 满足F A ×AC=F B ×BC 的关系。
反向平行力的合成：两个大小不同的反向平行力F A 和F B （F A ＞F B ）相距AB ，则合力ΣF 的大小为F A －F B 同向，作用点C 满足F A ×AC=F B ×BC 的关系。
（三）共点力作用下物体平衡条件：这些力的合力为零，即ΣF=0。 （四）三力汇交原理
若一个物体受三个非平行力作用而处于平衡状态，则这三个力必为共点力。
本节内容重点是充分运用共点力平衡条件及推论分析和计算处于平衡态下物体受力问题，竞赛中还应掌握如下内容和方法：①力的矢量三角形法：物体受三个共点力作用而平衡时，这三力线相交，构成首尾相连封闭的三角形，问题化为解三角形，从而使问题得以简化；②摩擦平衡问题，由临界状态寻求突破口；③竞赛中物体受力由一维向二维或三维拓展，空间力系平衡问题转化为平面力系平衡问题求解。
【例题1】如右图所示，匀质球质量为M 、半径为R ；匀质棒B 质量为m 、长度为l 。求它的重心。
F A ΣF
图
1-1-3 ΣF
F B
图1-1-4
【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出重心C 。C 在AB 连线上，且AC·M=BC·m ；
第二种方法是：将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为-M 的球A '的合
成，用反向平行力合成的方法找出重心C ，C 在AB 连线上，且BC·（2M+m ）
=C A '·M 。不难看出两种方法的结果都是m M l R M BC +??? ??
+=2。
【例题2】如图所示，一轻绳跨过两个等高的轻定滑轮（不计大小和
摩擦），两端分别挂上质量为m 1=4kg 和m 2=2kg 的物体，如图，在滑轮间绳上悬挂物体m 为了使三个物体能保持平衡，则m 的取值范围多大？
【例题3】如图所示，直角斜槽间夹角为90°，对水平面的夹角为θ，一横截面为正方形的物块恰能沿此槽匀速下滑。假定两槽面的材料和表面情况相同，试求物块与槽面间的滑动摩擦因数μ多大？
【例题4】如图所示，三个相同的光滑圆柱体，半径为r ，推放在光滑圆柱面内，试求下面两个圆柱体不致分开时，圆柱面的半径R 应满足的条件。
【练习】
1、如图所示，长为L=5m 的细绳两端分别系于竖直地面上相距X=4m 的两杆的顶端A 、B ，绳上挂一光滑的轻质挂钩，下端连着一个重为G=12N 的重物，平衡时绳中张力T
等于
（M+m ）g
m
（2M+m ）g
多少牛顿？
2、如图所示，小圆环重为G ，固定的大环半径为R 轻弹簧原长为l （l <2R ），其劲度系数为k ，接触光滑，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ应为多大？
3、如图所示，一轻杆两端固结两个小球A 和B ，A 、B 两球质量分别为4m 和m ，轻绳长为L ，求平衡时OA 、OB 分别为多长？（不计绳与滑轮间摩擦）
4、如图所示，n 个完全相同的正方体木块一个紧挨一个排列成一条直线放在水平地面上，正方体木块与水平地面的滑动摩擦因数为μ，现用一水平力F 推第一块木块，使这n 块木块一起做匀速直线运动，则第k 块木块对第k+1块木块的作用力为多大？
5、如图所示，物体m 在与斜面平行的拉力F 作用下，沿斜面匀速上滑，在这过程中斜面在水平地面上保持静止。已知物体、斜面的质量分别为m 、M ，斜面倾角为θ，试求：（1）斜面所受地面的支持力；（2）斜面所受地面的摩擦力。
第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心
【知识要点】
（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。
（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛·米”
。一般规定
逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件
作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。
（四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。
计算重心位置的方法：
1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。
2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。（见上一讲）
3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为：
212211m m x m x m x C ++= 2
12211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系，其重心C 位置由如下公式求得：
i i i C m x m x ∑∑=
i i i C m y m y ∑∑= i
i
i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交
点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。
【例题1】如图所示，c 为杆秤秤杆系统的重心，a 为杆称的定盘星，证明：无论称杆的粗细如何变化，杆秤的刻度沿杆轴线的方向总是均匀分布的。
【例题2】（第十届全国预赛）半径为R ，质量为m 1的均匀圆球与一质量为m 2的重物分别用细绳AD 和ACE 悬挂于同一点
A ，并处于平衡。如图所示，已知悬点A 到球心O 的距离为L ，若不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 和竖直方向的夹角θ。
y y y
【例题3】（第十届全国决赛）用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L ，横截面为4
L
h
的正方形，求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽），试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。
练习题：1、如图所示，木棒的一端用一根足够短的绳子拴住悬挂在天花板上，另一端搁在滑动摩擦因数为μ的水平木板上，木板放在光滑的水平面上，若向右匀速拉出木板时的水平拉力为F 1，向左匀速拉出时的水平拉力为F 2，两种情况下，木棒与木板间的夹角均保持为θ不变，试比较F 1和F 2的大小？
2、（99上海）如图所示，是一种手控制动器，a
片，C 是杠杆，O 是其固定转动轴，手在A 点施加一作用力F 若使轮子制动需要的力矩是一定的，则下列说法正确的是： A 、轮a 逆时针转动时，所需力F 小 B 、轮a 顺时针转动时，所需力F 小 C 、无论轮a 逆时针还是顺时针转动所需的力F 相同
D 、无法比较力F 的大小
3、（99上海）如图所示，质量不计的杆O 1B 和O 2A 转轴，A 处有一凸起物搁在O 1B 中点，B 处用绳子系在O 2A 根长杆，今在O 1B 杆上C 点（C 为AB 中点）悬挂重为G 的物体，
则在A 处受到的支承力大小为 ；B 处受绳拉力大小为 。
4、（第7届全国决赛）一薄壁圆柱形烧杯，半径为r ，质量为m ，重心位于中心线上，离杯底的距离为H ，今将水慢慢注入杯中，
问烧杯连同杯内的水共同重心最低时水面离杯底的距离等于多少？（设水的密度为ρ）
5、为保证市场的公平交易，我国已有不少地区禁止在市场中使用杆秤。杆秤确实容易为不法商贩坑骗顾客提供可乘之机。请看下例。
秤砣质量为1千克，秤杆和秤盘总质量为0.5千克，定盘星到提纽的距离为2厘米，秤盘到提纽的距离为10厘米（图9）。若有人换了一个质量为0.8千克的秤驼，售出2.5千克的物品，物品的实际质量是多少？
F
6、（俄罗斯奥林匹克试题）如图所示，三根相同的轻杆用铰链连接并固定在同一水平线上的A 、B 两点，AB 间的距离是杆长的2倍，铰链C 上悬挂一质量为m 的重物，问：为使杆CD 保持水平，在铰链D 上应施的最小力F 为多大？
7、如图所示，一铰链由2n 个相同的链环组成，每两个链环间的接触是光滑的，铰链两端分别在一不光滑的水平铁丝上滑动，它们的摩擦系数为μ，证明：当锁链在铁丝上刚好相对静止时，末个链环与铅垂线交角为?
?
?
??--1221
n n tg μ。
8、（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片A i B i （i=1，2…），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起B i 恰在碗口上，另一端小突起A i 位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m 的质点放在薄片A 6B 6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A 6的距离，则薄片A 6B 6中点所受的（由另一薄片的小突起A 1所施的）压力。
第四讲：一般物体的平衡、稳度 【知识要点】 （一）一般物体平衡条件
受任意的平面力系作用下的一般物体平衡的条件是作用于物体的平面力系矢量和为零，对与力作用平面垂直的任意轴的力矩代数和为零，即：
ΣF=0 ΣM=0
O ' O
A 1
A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 12
B 3 B 4
B 5
B 6 A B
C
D m
若将力向x 、y 轴投影，得平衡方程的标量形式：
ΣF x =0 ΣF y =0 ΣM z =0（对任意z 轴）
（二）物体平衡种类
（1）稳定平衡：当物体受微小扰动稍微偏离平衡位置时，有个力或力矩使它回到平衡位置这样的平衡叫稳定平衡。特点：处于稳定平衡的物体偏离平衡位置的重心升高。
（2）不稳定平衡：当物体受微小扰动稍微偏离平衡时，在力或力矩作用下物体偏离平衡位置增大，这样的平衡叫不稳定平衡。特点：处于不稳定平衡的物体偏离平衡位置时重心降低。
（3）随遇平衡：当物体受微小扰动稍微偏平衡位置时，物体所受合外力为零，能在新的平衡位置继续平衡，这样的平衡叫随遇平衡。特点：处于随遇平衡的物体偏离平衡位置时重心高度不变。
（三）稳度：物体稳定程度叫稳度。一般来说，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多，这个平衡的稳度越高；重心越低，底面积越大，物体稳度越高。
一般物体平衡问题是竞赛中重点和难点，利用ΣF=0和ΣM=0二个条件，列出三个独立方程，同时通过巧选转轴来减少未知量简化方程是处理这类问题的一般方法。对于物体平衡种类问题只要求学生能用重心升降法或力矩比较法并结合数学中微小量的处理分析出稳定的种类即可。这部分问题和处理复杂问题的能力，如竞赛中经常出现的讨论性题目便是具体体现，学生应重点掌握。
【例题1】（第二届全国复赛）如图所示，匀质管子AB 长为L ，重为G ，其A 端放在水
平面上，而点C 则靠在高2
L
h
的光滑铅直支座上，设管子与水平面成倾角θ=45°，试求要使管子处于平衡时，它与水平面之间的摩擦因数的最小值。
【例题2】（第一届全国决赛），如图所示，有一长为L ，重为G 0的粗细均匀杆AB ，A 端顶在竖直的粗糙的墙壁上，杆端和墙壁间的摩擦因数为μ，B 端用一强度足够大且不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁C 点，木杆处于水平，绳和杆夹角为θ。
（1）求杆能保持水平时，μ和θ应满足的条件；
（2）若杆保持平衡状态时，在杆上某一范围内，悬挂任意重的重物，都不能破坏杆的平衡状态而在这个范围以外，则当重物足够重时，总可以使平衡破坏，求出这个范围来。
【例题3
前，A 、B 0间的动摩擦因数为μ。若系统处于平衡状态，
μ0和μ必须满足什么条件？
A B
【练习题】1、如图所示，方桌重100N ，前后脚与地面的动摩擦因数为0.20，桌的宽与高相等。求：（1）要使方桌匀速前进，则拉力F 、地面对前、后脚的支持力和摩擦力各是多大？（2）若前、后脚与地面间的静摩擦因数为0.60。在方桌的前端用多大水平力拉桌子可使桌子以前脚为轴向前翻倒？
2、如图所示，重30N 的均匀球放在斜面上，球面上C
求绳的拉力，斜面对球的支持力和摩擦力。
3、如图所示，一光滑半球形容器直径为a ，边缘恰与一光滑竖直的墙壁相切。现有一均匀直棒
AB ，A 端靠在墙上，B 端与容器底相接触，当棒倾斜至水平面成60°角时，棒恰好平衡，求棒长。
4、（芬兰奥赛试题）如图所示，一均匀木板，以倾角θ静止地放在二根水平固定木棒A 和B 上，两棒之间距离为d ，棒与木板间静摩擦因数为μ0，当木板刚好不滑动时，求木板重心离A 棒距离。
5、如图所示，将一根长为2L 的硬铅丝弯成等臂直角形框架，在两臂的端点各固定一
A
B
个质量为m 的小球，在直角的顶点焊一根长为r 的支杆，支杆平分这一顶角，将杆支在一支座上。试证明：当22L r =
时，平衡是随遇平衡；当r ＞22L 时，平衡是不稳平衡；
当r ＜22L 时，平衡是稳定平衡（不计支杆、铅丝的质量）
6、质量为50kg 的杆，竖直地立在水平地面上，杆与地面的最小静摩擦因数μ为0.3，杆的上端被固定在地面上的绳牵拉住，绳与杆的夹角θ为30°，如图所示。
（1）若 水平力F 作用在杆上，作用点到地面距离h 1为杆长L 的5
2
，要使杆不滑倒，则力F 最大不超过多少？
（2）若作用点移到5
42L
h =处时，情况又如何？
第五讲：运动的基本概念、运动的合成与分解
【知识要点】 平均速度：t
s
t x x v =-=
0 瞬时速度：t s
v t ?=→?0lim
平均加速度：t
v
a ??=
瞬时加速度：t
v
a t ??=→?0lim
【运动的合成与分解】
一个物体同时参与几个运动时，各个分运动可以看作是独立进行的，它们互不影响，物体的实际运动可以看成是这几个运动迭加而成的，这一原理叫运动的独立性原理。它是运动的合成与分解的依据。在进行运动的分解时，理论上，只要遵从平行四边形法则，分解是任意的，而实际中既要注意分速度有无实际意义，又要注意某一分速度能否代表所要求解的分运动的速度。分运动与分运动、分运动与合运动之间除遵从矢量运动算法则外，运动的同时性也是联系各个方向上的分运动和合运动的桥梁。
【例题1】一物体以大小为v 1的初速度竖直上抛，假设它受到大小不变的恒定的空气阻力的作用，上升的最大高度为H ，到最高点所用时间为t ，从抛出到回到抛出点所用时间为T ，回到抛出点速度大小为v 2，求下列两个过程中物体运动的平均速度、平均速率、平均加速度。 （1）在上升过程中。 （2）整个运动过程中。
【例题2】高为H 的灯柱顶部有一小灯，灯下有一高为h 的行人由灯柱所在位置出发，沿直线方向在水平面上背离灯柱而去。设某时刻该人的行走速度为v 0，试求此时行人头顶在地面的投影的前进速度v 。
【例题3】如图所示，绳AB 拉着物体m 在水平面上运动，A 端以速度v 做匀速运动，问m 做什么运动？
【例题4】如图所示，两个相同的小球A 、B 通过轻绳绕过定滑轮带动C 球上升，某时刻连接C 球的两绳夹角为60°，A 、B 速度均为v ，求此时C 球的速度。