抽象代数电子教案
《抽象代数》课程教案
第一章 基本概念
教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。
教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。
教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。
教学措施：黑板板书与口授教学法。 教学时数：12学时。 教学过程：
§1 集合
定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集
合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。
定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示：
习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，
习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。
若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。
3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之
间的关系。
（3）集合的蕴含（包含）
定义：若集B 中每个元素都属于集A ，则称B 是A 的子集，记为A B ?，否则说
B 是A 的子集，记为A B ?. 定义：设A B ?，且存在B a A a ?∈但，那么称B 是A 的真子集，否则称B 不是
A 的真子集。
定义：若集合A 和B 含有完全一样的元素，那么称A 与B 相等，记为A =B . 结论：显然，A B B A B A ???=且. （4）集合的运算
①集合的并：{}
B x A x x B A ∈∈=或 ②集合的交：{}B x A x x B A ∈∈=且 ③集合的差：{}B x A x x B A ?∈=-且 ④集合在全集内的补：{}A x E x x A ?∈=且 ⑤集合的布尔和（对称差）：
{})()()()( B A B A A B B A B A x B x A x x B A -=--=?∈∈=⊕但或 ⑥集合的卡氏积：{}B b A a b a B A ∈∈=?且),(
注：B A ?中的元素可看成由A 和B 坐标轴所张成的平面上的点。 卡氏积的推广：
{}
m i A a a a a A A A A m A A A i i m m m
i i m ,,2,1,),,,( ,,,21211
21 =∈=???=∏=：
成的卡氏积为个集合，那么由它们做是令
对上述集合运算，可以得到一批基本公式：
A
B A A A B A A A A A A A A A E E A A A E A A A E A A A
C A B A C B A C A B A C B A C
B A
C B A C B A C B A A B B A A B B A ================)(;)()6(;;;)5(.;;;)4()()()();()()()3()()(;)()()2(.
;)1( 吸收律：φφφφ
例题：
例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B={2}
A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A ∩B=空集合.
例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A ∪B={1.2.3.4.6} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A ∪B={1.2.3.4.5.6}
§2 映射
定义：设φ是集合A 到B 的一个对应法则：对于任何一个12n A A A ??
?的元
12()()n i i a a a a A ??
?∈，都能够得到一个唯一的D 的元d ，那么这个法则φ
叫做集合12n A A A ??
?到集合D 的一个映射。
其中，元d 是12()n a a a ??
?在映射φ的象，a 是b 在φ下的逆象。
例1：A1=A2=....=An=D=所有实数作成的集合. φ：（a 1,a 2,……,a n ）→ a 12+a 22+……+a n 2=φ(a 1,a 2,…,a n )是一个 A 1×A 2×…×A N 到D 的映射.
例2 ：A 1={东,西},A 2={南}，D={高,低}
φ1：（西,南）→高=φ1（西,南）不是一个A 1×A 2到D 的映射. φ2:(西,南）→高，（东,南）→低，则φ2是一个A 1×A 2到D 的映射.
例3：A 1=D=所有实数所成的集合. φ：a →a 若a ≠1 1→b 这里b 2=1 不是一个A 1到D 的映射.
例4：A 1=D=所有实数所成的集合.
φ：a →a-1不是一个A 1到D 的映射. 定义：我们说，12n A A A ??
?到集合D 的两个映射φ1与φ2是相同的，假如对任何一个元12()n a a a ???来说，φ112()n a a a ??
?=φ212()n a a a ??
?。
例5：A=D=所有正整数的集合. φ1：a →1=φ1（a ）
φ2: a →0a =φ2（a ） 则φ1与φ2是相同的.
§3 代数运算
设给定D A A A f D A A A m m →?????? 2121:的映射到， 如果n=2时，f 就叫做代数运算。一般地有
定义：任一个D B A 到?的映射都叫做D B A 到?的一个代数运算。
例1：A={所有整数}，B={所有不等于零的整数}。D={所有有理数}
0：（a.b ） b
a
=a b 是一个A×B 到D 的代数运算，即普通的除法.
例2：令V 是数域F 上一个向量空间，那么F 的数与V 的向量空间的乘法是一个
F×V 到V 的代数运算.
例3：A={1},B={2},D={奇，偶} 0：（1.2）→奇=1 2 是一个A×B 到D 的代数运算.
例4 A={1.2},B={1.2},D={奇，偶} 0：（1.1）→奇 （2.2）→奇 （1.2）→奇 （2.1）→偶 是一个A×B 到D 的代数运算.
代数运算表：当B A ,都是有限集时，那么D B A 到?的每一个代数运算都可以用运算表表示。
设{}{}m n b b b B a a a A ,,,,,,,2121 ==，则运算表为：
注：对于代数运算D A B →?的运算表，要求B A 与中元素在上表中的位置互换。 在实际工作中，更多的是D B A ==的情形，这时，有如下定义：
定义：若A A A 到是? 的代数运算，则可称 是A 的代数运算或二元运算。
§4 结合律
例题:A={所有整数}，代数运算是普通减法 那么（a-b ）-c ≠a-(b-c) 除非c=0.
定义：设 是集合A 的一个代数运算，如果A c b a ∈?,,都有)()(c b a c b a =，
则称 满足结合律。
定义：设A 中的代数运算为 ，任取)2(>n n 个元素n a a a ,,,21 ，如果所有加括
号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用n a a a 21来表示。
定理：如果A 的代数运算 满足结合律，那么对于A 的任意)2(≥n n 个元素
n a a a ,,,21 来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的
结果就可用n a a a 21来表示。
[论证思路] ?
因n 是有限数，所以加括号的步骤必是有限的。
?任取一种加括号的步骤)(21n a a a π，往证：
)()(2121n n a a a a a a =π
?
对n 用数学归纳法。
①2121)(b b a a a n =π
②1b 和2b 分别是i 和i n -个元素经加括号而运算的结果. ③1,1-≤--≤n i n n i ，由归纳假设释之.
§5交换律
定义：设 是集合A 的一个代数运算，如果A b a ∈?,都有a b b a =，则称 满足
交换律。
定理：设A 的代数运算 同时满足结合律和交换律，那么n a a a 21中的元的次序可以任意掉换。 [论证思路]
?
采用数学归纳法，归纳假设1-n 时命题成立.
?对n 的情形，任掉换i a 的位置，使之成为n i i i a a a 21.
?注意n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列. 令n i k =. ?
用结合律和归纳法假设证明之.
§6分配律
代数运算?与⊕的第一分配律和第二分配律的定义，以及⊕的结合律与这两种分配律的综合运用
定义：设B A ,都是集合，而?是A A B →?的代数运算，而⊕是A 的代数运算，
如果A a a B b ∈?∈?21,,，都有
)()()(2121a b a b a a b ?⊕?=⊕?
那么称⊕?,适合第一分配律。
例. 假如B 与A 都是全体实数的集合，?和⊕就是普通的乘法和加法，则 b ? (a 1⊕a 2)=(b ?a 1) ⊕ (b ?a 2)就变为
b(a 1+a 2)=(ba 1)+(ba 2) 定理1：设B A ,和⊕?,如上，如果⊕满足结合律，且⊕?,满足第一分配律，那么
A a a a
B b n ∈?∈?,,,,21 ，都有
)()()()(2121n n a b a b a b a a a b ?⊕⊕?⊕?=⊕⊕⊕?
[论证思路] ?
采用数学归纳法，归纳假设1-n 时命题成立。 ?
先后利用：结合律——2=n 的归纳假设——1-n 的归纳假设直至完成证明。 定义：设B A ,和⊕?,同上，若A a a B b ∈?∈?21,,，若有
)()()(2121b a b a b a a ?⊕?=?⊕，那么称⊕?,满足第二分配律.
定理2：设B A ,和⊕?,同上，若⊕适合结合律，而⊕?,适合第二分配律。那么
)()()(,,,,,1121b a b a b a a A a a a B b n n n ?⊕⊕?=?⊕⊕∈?∈? 都有。
§7 一一映射、变换
在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射
作重点的讨论。
例1：A={1，2，3，4，5} A ={2，4，6，8}
则 φ：1→ 2，2 →4，3→6，4→2，5→2。是一个A 到A 的映射. 例2：A={1，2，3，…} A ={奇，偶} 则
φ：1，3，5，…→奇，2，4，6…→偶 是一个A 到A 的映射. 定义：若是在一个集合A 到A 的映射?下，A 的每一个元都至少是A 中某一个元
的象，那么?叫做一个A 到A 的满射。 定义：一个A 到A 的映射，
:a a ?→叫做一个A 到A 单射，假如
a b a b ≠?≠。
定义：设?是集合A 到A 的映射，且?既是单的又是满的，则称?是一个一一映
射（双射）。
例3：:{1,2,3,}2{2,4,6,}Z Z ?=→=，
其中Z n n n ∈?=,2)(?，可知?显然是一个双射。
注意：Z 与偶数集Z 2之间存在双射，这表明：Z 与它的一个真子集Z 2一样“大”。 思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：A 为无限集的充要条件是A 与其某个真子集之间存在双射。
定理：一个A 到A 的一一映射?带来一个通常用1-?表示的A 到A 间的一一映射。 证明：由于?是A 到A 的双射，那么就A 中任一个元素a ，它在A 中都有逆象a ，并且这个逆象a 是唯一的。利用?的这一特点，则可确定由A 到A 的映射1-?：
a a A a A A =∈?→--)(,,:11??，如果a a =)(?，由上述说明，易知1-?是映射。
1-?是满射：A a ∈?，因?是映射a a A a =∈??)(,?使，再由1-?的定义知a a =-)(1?，这恰说明，a 是a 在1-?下的逆象。由a 的任意性，知1-?是满射。
1-?是单射：2121,,a a A a a ≠∈?若由?是满射21a a 及?的逆象分别是