数形结合在中考压轴题中的应用

数形结合在中考压轴题中的应用

1.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形

MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取

值范围；

（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．

[解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，

(08)F -，．

设抛物线2C 的解析式是

2(0)y ax bx c a =++≠，

则16404208a b c a b c c ++=??

++=??=-?，，． 解得168a b c =-??

=??=-?

，，．

所以所求抛物线的解析式是2

68y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．

当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+． 根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形． 所以2ADN S S =△．

所以，四边形MDNA 的面积2

(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．

所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781

444

S t ?

?=--+ ???，

（04t <≤）． 所以74t =

时，S 有最大值814

． 提示：也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形

MDNA 是矩形．

所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．

所以22420t t +-=．解之得1222t t ==，（舍）．

所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时2t =

．

[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。此题代表了几何代数相结合的这一类题型，他要求学生的基本功扎实，熟练掌握常规的求函数解析式的方法和二次函数求最值的方法。再次需要特别提出的是，绝大多数学生在求二次函数最值的时候用的是配方法或者对称轴坐标代入法，当然这本身是没有错的，只是在用这些方法求二次函数最值的时候要注意，这个二次函数的对称轴在自变量x 的取值范围之内吗？如果不在，那又该怎么做？当然这个题中二次函数的对称轴是在自变量x 的取值范围之内的，但是希望不要因此而产生错觉，觉得每个题都是如此。另外本题的第四问就是一个典型的由几何图形关系转变成代数关系的问题（由四边形为矩形得出对角线段相等）。那么相似的，当某三个点连接而成的图形成等腰或等边或直角三角形时，能转变成怎样的线段关系？当某四个点连接而成的图形是正方形是时，有怎样的线段关系？这些都是我们平时要思考的问题。

2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线2

34y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ，，三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，的直线3

34y x t

=-+与x 轴交于点Q ，

点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．

（1）确定b c ，的值：__________b c ==，；

（2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）：

(______)(______)(______)B Q P ，，，，，；

（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．

[解] （1）9

4

b =

3c = （2）(40)B ， (40)Q t ， (443)P t t -，

（3）存在t 的值，有以下三种情况 ①当PQ PB =时

PH OB ⊥，则GH HB = 4444t t t ∴--= 1

3

t ∴=

②当PB QB =时 得445t t -= 4

9

t ∴=

③当PQ QB =时，如图

解法一：过Q 作QD BP ⊥，又PQ QB =

则5

22

BP BD t ==

又BDQ BOC △∽△

BD BQ BO BC ∴

=

544245t

t -∴= 32

57

t ∴=

解法二：作Rt OBC △斜边中线OE

C O

则5

22

BC OE BE BE ==

=，， 此时OEB PQB △∽△

BE OB

BQ PB

∴= 5

4

2445t t ∴=-

32

57

t ∴=

解法三：在Rt PHQ △中有2

22

QH PH PQ += 2

2

2

(84)(3)(44)t t t ∴-+=- 257320t t ∴-= 32

057

t t ∴=

=，（舍去） 又01t <<

∴当13t =或49或32

57

时，PQB △为等腰三角形．

解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有

时需要综合运用。

代数讨论：计算出△PQB 三边长度，均用t 表示，再讨论分析

Rt △PHQ 中用勾股定理计算PQ 长度，而PB 、BQ 长度都可以直

接直接用t 表示，进行分组讨论即可计算。

[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t 值与题目中的01t <<矛盾，应舍去。在压轴题中，结果往往不是唯一的，这就要求我们考虑问题要全面，面面俱到。存在p 点使三角形为某某三角形或者说在某个图形上存在某个点使得某两个三角形相似这都是我们经常遇见的问题，考验的是学生缜密的逻辑思维能力。

C

O

3.如图1，已知直线12y x =-

与抛物线21

64

y x =-+交于A

B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；

（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；

（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

[解] （1）解：依题意得2164

12

y x y x

?=-+????=-??解之得12126432x x y y ==-????=-=??

(63)(42

A B ∴--，，， （2）作AB 的垂直平分线交x 轴，y 轴于C D ，两点，交AB 于M （如图1） 由（1

）可知：OA OB ==

AB ∴=

122

OM AB OB ∴=

-= 过B 作BE x ⊥轴，E 为垂足

由BEO OCM △∽△，得：5

4OC OM OC OB OE =∴=，，

同理：5

55002

42OD C D ????=∴- ? ?????

，

，，， 设CD 的解析式为(0)y kx b k =+≠

图2 图1

图1

第26题

5204

5522

k k b b b ?==+????∴∴??=-??-=???

AB ∴的垂直平分线的解析式为：5

22

y x =-

． （3）若存在点P 使APB △的面积最大，则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个交

点的直线1

2

y x m =-+上，并设该直线与x 轴，y 轴交于G H ，两点（如图2）．

212164

y x m y x ?=-+??∴??=-+??

211

6042

x x m ∴-+-=

抛物线与直线只有一个交点，

2

114(6)024m ??

∴--?-= ???

，

2523144m P ??∴=

∴ ???

， 在直线125

24

GH y x =-

+：中， 25250024G H ????

∴ ? ?????

，，，

GH ∴=

设O 到GH 的距离为d ，

11

2211252524224GH d OG OH d d AB GH ∴=∴?=??∴=，

∥

P ∴到AB 的距离等于O 到GH 的距离d ．

另解：过P 做

PC ∥y 轴，PC 交AB 于C ，当PC 最大时△PBA 在AB 边上的高h 最大（h

图2

与PC 夹角固定），则S △PBA 最大 → 问题转化为求PC 最大值，设P （

x,

）,C

（

x, ）,从而可以表示PC 长度，进行极值求取。

最后，以PC 为底边，分别计算S △PBC 和S △PAC 即可。

[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。存在某点，使得某个图形的面积最大，这是我们遇见过不少次数的题型。这类题型一般有两种解法，通过作图的几何方法得到最大的高（底相同时），或者把这个图形的面积表示成关于某个自变量的二次函数，通过求二次函数的最值来求图形面积的最值。本题介绍的是两种几何方法，具体题目中要根据计算的繁简程度灵活确定解题方法。（此题中出现求已知线段的垂直评分线解析式，在其他的题目中，可能不是求垂直平分线，而是求已知线段的一条垂线解析式，只不过垂足不是中点而已。这一类的直线方程该怎么求，是常考的考点，自己要熟练掌握。

4.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．

（1）求正方形ABCD 的边长．

（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．

（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．

（4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =∠的点P 有 个．

（抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a

a ??

-- ???，．

[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．

()()01084A B ，，，，

86FB FA ∴==，． 10AB ∴=．

（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=，．

P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．

（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．

GA AP FA AB ∴

=，即610

GA t

=．

3

5

GA t ∴=．

3

105OG t ∴=-．

4OQ t =+，

()113410225S OQ OG t t ?

?∴=

??=+- ??

?． 即2319

20105

S t t =-

++． 19195323

210b a -=-=???- ???，且190103≤≤， ∴当19

3t =

时，S 有最大值． 此时476331

1051555

GP t OG t ===-=，，

∴点P 的坐标为7631155??

???

，．

（8分）

方法二：当5t =时，163

7922

OG OQ S OG OQ ====

，，． 设所求函数关系式为220S at bt =++． 抛物线过点()63102852?

? ???

，，，，

1001020286325520.2a b a b ++=??∴?++=??，

31019.5a b ?=-??∴??=??，

2319

20105

S t t ∴=-

++． 19195323

210b a -=-=???- ???，且190103≤≤， ∴当19

3t =

时，S 有最大值． 此时7631

155

GP OG ==，，

∴点P 的坐标为7631155??

???

，．

（4）2．

．

5. 如图①，Rt ABC △中，90B ∠=

，30CAB ∠=．它的顶点A 的坐标为(100)，，顶点

B 的坐标为(5，10AB =，点P 从点A 出发，沿A B

C →→的方向匀速运动，同时点Q 从点(02)

D ，出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求BAO ∠的度数．

（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．

（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．

（4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点

P 沿这两边运动时，使90OPQ ∠=的点P 有几个？请说明理由．

解: （1）60BAO =∠．

（2）点P 的运动速度为2个单位/秒． （3

）(10)P t -（05t ≤≤）

1

(22)(10)2

S t t =+-

2

9121

24t ??=--+

???． ∴当92t =

时，S 有最大值为

1214

， 此时112P ?

??

． （4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，90OPQ <∠，

当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是12单位长度， 作90OPM =∠交y 轴于点M ，作PH y ⊥轴于点H

，

由OPH OPM △∽△得：11.53

OM =

=， 所以OQ OM >，从而90OPQ >∠．

所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ =∠的点P 有1个．

（第29题图①）

x t （第29题图②）

②同理当点P 在BC 边上运动时，可算得1217.8OQ =+

=．

而构成直角时交y 轴于03? ??

，20.217.8=>， 所以90OCQ <∠，从而90OPQ =∠的点P 也有1个． 所以当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个．

点评：稍微留心点的同学不难发现，虽然第四题和第五题图像数据都不相同，但是可以说他

们基本上就是同一个题。动点问题一直是学生们觉得比较难理解的问题，其实在动点问题中，某些函数关系却是“静止不变”的，另外，由函数关系画函数图像，或是由函数图像求函数关系式，都是初三数学里面应该牢牢掌握的基本功。在这里再重新说一遍动点问题的一般解题步骤：设出合适的未知数x （或者是题目已经给出的自变量x ）、用含自变量x 的整式表示相关量、根据题目直接给出或间接给出（即对题目条件进行转化得到的）的条件建立方程，解出x 的值，并保留符合题意及实际情况的值。另外，对题目已知条件进行转化往往是解题的关键，一些转化方法，比如两直线平行时，四边形为特殊四边形时该怎么处理。下面的几个题中将会涉及到，希望自己用心体会，总结为自己的方法。

中考数学——平行四边形的综合压轴题专题复习及答案解析

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒． （1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）； （2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值； （3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由． 【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）． （2）S的最大值为，此时x=2． （3）x=，或x=，或x=． 【解析】 试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求； ②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标． （2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式． （3）本题要分类讨论： ①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值； ②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值． ③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN 的长，联立CN的表达式即可求出x的值． 试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q， 有题意可得：PQ∥AB，

2020-2021中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)及答案

2020-2021中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)及答案 一、平行四边形 1．问题发现： （1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长． 问题探究： （2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形 ABCD 截得线段的长度． 问题解决： （3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点 (1052,1052)P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，353）(0,0)E ，(5,5)F ． 【解析】 试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分． （2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分． （3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长． 试题解析：（1）作图如下：

八年级下册---平行四边形压轴题解析

八年级下册---平行四边形压轴题解析 八年级下册---平行四边形压轴题 一(选择题(共15小题) 1((2012?玉环县校级模拟)如图，菱形ABCD中，AB=3， DF=1，?DAB=60?，?EFG=15?，FG?BC，则AE=( ) A( B( C( D( 2((2015?泰安模拟)如图，已知直角梯形ABCD中，AD?BC，?BCD=90?， BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论:?CP平分?BCD;?四边形ABED为平行四边形;?CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分;??ABF为等腰三角形，其中不正确的有( ) A( 1个 B( 2个 C( 3个 D(0 个 3((2014?武汉模拟)如图?A=?ABC=?C=45?，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，?EF?BD，?EF=BD，??ADC=?BEF+?BFE，?AD=DC，其中正确的是( )

A( ???? B( ??? C( ??? D(??? 4((2014?市中区一模)在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC(下列结 论:?AB′=AD;??FCB′为等腰直角三角形;??ADB′=75?;??CB′D=135?(其中正确的是( ) 第1页(共23页) A(?? B( ??? C( ?? D(???? 5((2014?江阴市二模)在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE?PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA?AE交DP于点F，连接BF，FC(下列结 论:??ABE??ADF; ?FB=AB;?CF?DP;?FC=EF 其中正确的是( ) A(??? B( ??? C( ??? D(???? 6((2014?武汉模拟)如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G(连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论:

2019中考数学压轴题精选

2019中考数学压轴题 1.(眉山)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣9 4x 2 +bx+c 经过点A （﹣5，0）和点B （1，0）. （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PG ⊥y 轴，交抛物线于点G.过点G 作GF ⊥x 轴于点F.当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标； （3）如图2，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作∠DMN ＝∠DBA , MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由. O

2.(甘肃)如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴 交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．

3.(广安)如图，抛物线与x轴交于A、B两点在B的左侧，与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，，P点为抛物线上一动点不与A、D重合．求抛物线和直线l的解析式； 当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l 于点F，求的最大值； 设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

最新八年级下册---平行四边形压轴题解析

八年级下册---平行四边形压轴题 一．选择题（共15小题） 1．（2012?玉环县校级模拟）如图，菱形ABCD中，AB=3，DF=1，∠DAB=60°，∠EFG=15°，FG⊥BC，则AE=（） B 2．（2015?泰安模拟）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论：①CP平分∠BCD；②四边形ABED为平行四边形；③CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分；④△ABF为等腰三角形，其中不正确的有（） 3．（2014?武汉模拟）如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结 论，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（） 4．（2014?市中区一模）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．其中正确的是（）

5．（2014?江阴市二模）在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF； ②FB=AB；③CF⊥DP；④FC=EF 其中正确的是（） 6．（2014?武汉模拟）如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC 交DE于N，下列结论： ①GM⊥CM； ②CD=CM； ③四边形MFCG为等腰梯形； ④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（） 7．（2013?绍兴模拟）如图，△ABC纸片中，AB=BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线； ④BF+CE=DF+DE．

精选四边形压轴题及其答案

精选四边形（菱形、矩形、正方形）压轴题及答案 1．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动． （1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值； （3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值． 【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，求出DE=CF，根据SAS推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出AE=DF，∠DAE=∠FDC 即可； （2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求 出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求 出AC=AE=a，根据正方形的性质∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可； （3）根据（1）（2）知：点P在运动中保持∠APD=90°，得出点P的路径是以AD 为直径的圆，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，求出QC即可． 【解答】解：（1）AE=DF，AE⊥DF，

理由是：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°， ∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE=CF， 在△ADE和△DCF中 ， ∴△ADE≌△DCF， ∴AE=DF，∠DAE=∠FDC， ∵∠ADE=90°， ∴∠ADP+○CDF=90°， ∴∠ADP+∠DAE=90°， ∴∠APD=180°﹣90°=90°， ∴AE⊥DF； （2） （1）中的结论还成立，CE：CD=或2， 理由是：有两种情况： ①如图1，当AC=CE时， 设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE==a， 则CE：CD=a：a=； ②如图2，当AE=AC时，

2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案

2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案 一、平行四边形 1．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F． 探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数． 归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论； 猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论． 【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析. 【解析】 试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG 度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设 ∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可． 试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣ 30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：

初二平行四边形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

A B 初二平行四边形所有知识点总结和常考题 知识点： 1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质：⑴平行四边形的对边相等；⑵平行四边形的对角相等：⑶平行四边形的对角线互相平分。 3平行四边形的判定：⑴.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。 5、矩形的性质：⑴矩形的四个角都是直角； ⑵矩形的对角线相等。 6、矩形判定定理：⑴ 有三个角是直角的四边形是矩形； ⑵对角线相等的平行四边形是矩形。 7、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第 三边的一半。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。） 8、菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形。 9、菱形的性质：⑴菱形的四条边都相等； ⑵菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 S 菱形=1/2×ab （a 、b 为两条对角线长） 10、菱形的判定定理：⑴四条边相等的四边形是菱形。 ⑵对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 11、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 12正方形判定定理：⑴ 邻边相等的矩形是正方形。 ⑵有一个角是直角的菱形是正方形。 （矩形+菱形=正方形） 常考题： 一．选择题（共14小题） 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A ．两组对边分别平行 B ．对角线相等 C ．对角线互相平分 D ．两组对角分别相等 2．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）

2019特殊四边形中考填空压轴题(最新)

8、(2014年重庆市第18题)如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为． （2014?安徽省,第14题5分）如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．

(2014.年河南省第题)如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE 沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为． (2014年四川省绵阳市第17题)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为．

12. （2014?黑龙江绥化,第18题3分）如图，在矩形ABCD 中，AD =AB ，∠BAD 的平分 线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论： ①∠AED =∠CED ；②OE =OD ；③BH =HF ；④BC ﹣CF =2HE ；⑤AB =HF ， 其中正确的有（ ） 13．（2014?青岛，第7题3分）如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上．若AB =6，BC =9，则BF 的长为（ ）

14. （2014?山西，第10题3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的变长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（） A．a2B．a2C．a2D．a2 9．（2014?浙江宁波，第11题4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（） ．．

苏教版初二八下期中复习平行四边形压轴题含答案(非常好)

教学主题 平行四边形压轴题教学目标 重要知识点1. 2. 3. 易错点 教学过程 一．选择题（共15小题） 1．（2012?玉环县校级模拟）如图，菱形ABCD中，AB=3，DF=1，∠DAB=60°，∠EFG=15°，FG⊥BC，则AE=（） A．B．C．D． 考点：菱形的性质；解直角三角形． 专题：压轴题． 分析：首先过FH⊥AB，垂足为H．由四边形ABCD是菱形，可得AD=AB=3，即可求得 AF的长，又由∠DAB=60°，即可求得AH与FH的长，然后由∠EFG=15°，证得△FHE 是等腰直角三角形，继而求得答案． 解答：解：过FH⊥AB，垂足为H． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=3， ∵DF=1， ∴AF=AD﹣FD=2， ∵∠DAB=60°， ∴∠AFH=30°， ∴AH=1，FH=， 又∵∠EFG=15°， ∴∠EFH=∠AFG﹣∠AFH﹣∠EFG=90°﹣30°﹣15°=45°， ∴△FHE是等腰直角三角形， ∴HE=FH=， ∴AE=AH+HE=1+． 故选D．

点评：此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 2．（2015?泰安模拟）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论：①CP平分∠BCD； ②四边形ABED为平行四边形；③CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分；④△ABF为等腰三角形，其中不正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．0个 考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；平行四边形的判定． 专题：证明题；压轴题． 分析： 解答：解：∵BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点， ∴CF=CE，BE=DF， 在△BCF和△DCE中， ∵， ∴△BCF≌△DCE（SAS）， ∴∠FBC=∠EDC，BF=ED， 在△BPE和△DPF中， ∵， ∴△BPE≌△DPF（AAS）， ∴BP=DP， 在△BPC和△DPC中， ∵， ∴△BPC≌△DPC（SSS）， ∴∠BCP=∠DCP，即CP平分∠BCD， 故选项①正确； 又∵AD=BE且AD∥BE，

2020年九年级数学中考典型压轴题专项训练：四边形(含答案)

2020年九年级数学中考典型压轴题专项训练：四边形 1、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积． 2、如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点． （1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积． 3、如图，在?ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证： （1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形． 4、如图，E是?ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．

5、如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号） 6、如图，?ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D 落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E． （1）求证：四边形BCED′是菱形； （2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值． 7、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD．（1）求tan∠DBC的值；（2）求证：四边形OBEC是矩形．

初二数学：平行四边形知识点总结及压轴题练习(附答案解析)

B 初二平行四边形所有知识点总结和常考题 知识点： 1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质：⑴平行四边形的对边相等；⑵平行四边形的 对角相等：⑶平行四边形的对角线互相平分。 3平行四边形的判定：⑴.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四 边形是平行四边形；⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。 5、矩形的性质：⑴矩形的四个角都是直角； ⑵矩形的对角线相等。 6、矩形判定定理：⑴有三个角是直角的四边形是矩形； ⑵对角线相等的平行四边形是矩形。 7、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第 三边的一半。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。） 8、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。 9、菱形的性质：⑴菱形的四条边都相等； ⑵菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线长） 10、菱形的判定定理：⑴四条边相等的四边形是菱形。 ⑵对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 11、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 12正方形判定定理：⑴邻边相等的矩形是正方形。⑵有一个角是 直角的菱形是正方形。（矩形+菱形=正方形） 常考题： 一．选择题（共14小题） 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（） A．两组对边分别平行B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 2．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出 平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（） A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD

中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)

2020年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合 1．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G． （1）求证：DG＝BC； （2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由． （3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由． （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE， ∵E是DC的中点，即DE＝CE， ∴△DEG≌△CEB（AAS）， ∴DG＝BC． （2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG． 理由：由（1）知DG＝BC， ∵AB＝AD+BC，AF＝AD， ∴BF＝BC＝DG， ∴AB＝AG， ∵∠BAG＝90°， ∴∠AFD＝∠ABG＝45°， ∴FD∥BG． （3）解：结论：FH＝HD． 理由：由（1）知GE＝BG，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG， ∵FD∥BG，

∴AE⊥FD， ∵△AFD为等腰直角三角形， ∴FH＝HD． 2．如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？ （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠DFO＝∠BEO， ∵∠DOF＝∠EOB，OD＝OB， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴DF＝BE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． （2）解：∵DM＝AM，DO＝OB， ∴OM∥AB，AB＝2OM＝8，

中考数学压轴题：特殊四边形存在性问题

?? ?? 探究特殊四边形存在性问题 1．如图，抛物线y＝x2－2x－3经过点A（2，－3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB. (1)求点B，C的坐标； (2)若点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标； (3)若点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 第1题图 解：(1)令x＝0得y＝－3， ∴C(0，－3)， ∴OC＝3， ∵OC＝3OB， ∴OB＝1， ∴B(－1，0)， 把A(2，－3)，B(－1，0)分别代入y＝ax2＋bx－3得： ?a－b－3＝0?a＝1 ?，解得?， ?4a＋2b－3＝－3?b＝－2 ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3； (2)如解图①，过点B作BE⊥AC，交AC延长线于点E. 第1题解图① ∵C(0，－3)，A(2，－3)， ∴AC∥x轴， ∴BE＝3， 又∵OB＝1， ∴AE＝3，∴AE＝BE，

∴∠BAE＝45°， ∵∠BDO＝∠BAC＝45°， ∴OB＝OD， ∴D点的坐标为(0，1)或(0，－1)， (3)存在．如解图②. 第2题解图② 当AB∥MN时，由AB＝MN＝32，可知点M与对称轴的距离为3，由y＝x2－2x－3可得对称轴为直线x＝1， ∴点M的横坐标为4或－2，把x＝4和－2分别代入y＝x2－2x－3可得点M坐标， 把x＝－2代入y＝x2－2x－3得y＝4＋4－3＝5， (－2，5)． ∴M 1 把x＝4代入y＝x2－2x－3得y＝16－8－3＝5， (4，5)， ∴M 2 当MN与AB互相平分时，四边形AMBN是平行四边形，由AC＝BN＝2，可知点M与点C重合，∴点M3坐标为(0，－3)， ∴M的坐标为(－2，5)或(0，－3)或(4，5)． 2．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B. (1)求抛物线的解析式； (2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标； (3)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E，是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由． 第2题图 解：(1)设抛物线解析式为：y＝a(x－1)2＋4(a≠0)． ∵抛物线过点C(0，3)， ∴a＋4＝3，∴a＝－1. ∴y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3； (2)由(1)得，抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，

初二下四边形压轴题

初二下四边形压轴题 Prepared on 24 November 2020

1、 已知D 、E 分别为x 轴、y 轴的点 OD ＝5，OE ＝10， A 为OD 中点． （1）平面内是否存在点F ，使以点E 、F 、A 、D 为顶点的四边形是平行四边形如果存在，求出点F 的坐标； （2）点M 是直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形 是菱形若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 2 边上，且（1 （2AE =（3，设BE =x 定义域。 3、ABCD 沿直线BD 翻折，点C 落在点E 处，联结AE ． （1ABDE 的面积； （2AB =a ，BC ＝b ， 试求PD 的长（用a 、b 表示） 4、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一动点（不与点A 、点D 重合） 将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP ． （1）当点P 移动到AD 边的中点时，求BE 的长； （2）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式。 5、在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边 AB 、BC 、DA 上，AE =2。 （1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积。 （2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积。（用含a 的代数式表示） x x P H G A B C D E F B A C B D P H G A B C D E F

初二压轴题(特殊的平行四边形)

初中数学备课组 教师 班级 初二 学生 日期 上课时间 教学内容：压轴题综合 1、如图，四边形OABC 与四边形ODEF 都是正方形。 （1）当正方形ODEF 绕点O 在平面内旋转时，AD 与CF 有怎样的数量和位置关系？并证明你的结论； （2）若OA=3，正方形ODEF 绕点O 旋转，当点D 转到直线OA 上时，DCO 恰好是30°，试问：当点D 转到直线OA 或直线OC 上时，求AD 的长。（本小题只写出结论，不必写出过程） F E D C B A O

2、如图，一次函数24y x =+的图像与x y 、轴分别相交于点A 、B ，以AB 为边作正方形ABCD 。 （1）求点A 、B 、D 的坐标； （2）设点M 在x 轴上，如果△ABM 为等腰三角形，求点M 的坐标。 （3）若在x ，y 轴上分别由两点P, Q ，使得P ，Q ，B ，C 四点组成的四边形为平行四边形

3、如图，在正方形ABCD 中，点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除外），连接DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线，垂足为点E 、F 。 （1）当点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； （2）当点P 在BC 边上时，正方形的边长为2，设,CE x AF y ==。求y 与x 的函数关系式，并写出函 数的定义域； （3）在（2）的条件下，当1x =时，求EF 的长。 P F E D C B A D C B A

4、直线364 y x =- +与坐标轴分别交与点A 、B 两点，点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止。点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿A B O →→运动。 （1）直接写出A 、B 两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式。 （3）当5 48= S 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标。

中考数学四边形压轴题+解析

九年级上册四边形压轴题2 一．解答题（共30小题） 1．（2009?）数学课上，老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC 的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 2．（2009?）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC 上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG． （1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE； （2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由； （3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

初二平行四边形压轴题练习

备课组 教师 班级 初二 学生 日期 上课时间 教学内容：平行四边形压轴题综合 1、如图，四边形OABC 与四边形ODEF 都是正方形。 （1）当正方形ODEF 绕点O 在平面内旋转时，AD 与CF 有怎样的数量和位置关系？并证明你的结论； （2）若OA=3，正方形ODEF 绕点O 旋转，当点D 转到直线OA 上时，DCO ∠恰好是30°，试问：当点D 转到直线OA 或直线OC 上时，求AD 的长。（本小题只写出结论，不必写出过程） F E D C B A O 2、如图，一次函数24y x =+的图像与x y 、轴分别相交于点A 、B ，以AB 为边作正方形ABCD 。 （1）求点A 、B 、D 的坐标； （2）设点M 在x 轴上，如果△ABM 为等腰三角形，求点M 的坐标。 （3）若在x ，y 轴上分别由两点P, Q ，使得P ，Q ，B ，C 四点组成的四边形为平行四边形

3、如图，在正方形ABCD 中，点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除外），连接DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线，垂足为点E 、F 。 （1）当点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； （2）当点P 在BC 边上时，正方形的边长为2，设,CE x AF y ==。求y 与x 的函数关系式，并写出函 数的定义域； （3）在（2）的条件下，当1x =时，求EF 的长。 P F E D C B A D C B A 4、直线364y x =?+与坐标轴分别交与点A 、B 两点，点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止。点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿A B O →→运动。 （1）直接写出A 、B 两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式。 （3）当548= S 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标。

中考三角形四边形压轴题精选(二)及解析

2012年各地中考数学汇编三角形四边形精选(11~20) 【11. 2012成都】 20．(本小题满分10分) 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a， CQ=9 2 a时，P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示)． 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质。解答：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ， ∴BP=CQ， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE， 在△BPE和△CQE中， ∵， ∴△BPE≌△CQE（SAS）； （2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°， ∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ， ∴，

∵BP=a，CQ=a，BE=CE， ∴BE=CE=a， ∴BC=3a， ∴AB=AC=BC?sin45°=3a， ∴AQ=CQ﹣AC=a，P A=AB﹣BP=2a， 连接PQ， 在Rt△APQ中，PQ==a． 【12. 2012成都】 25．如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)； 第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分； 第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE 重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片． (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠) 则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为________cm，最大值为________cm． 考点：图形的剪拼；三角形中位线定理；矩形的性质；旋转的性质。 解答：解：画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图，如答图1所示．

最新八年级数学下册平行四边形压轴题专练

八年级数学下册平行四边形压轴题专练1．（北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD， M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 2．（西宁）如图，在?ABCD中，E是BC的中点，连 接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：AB=CF； （2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF 3．（梅州）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠ A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接 EF交BD于O． （1）求证：BO=DO； （2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．

4．（永州）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD 于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行 四边形ABCD的面积． ? ? 5．（佛山）（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）] （2）如图2，在?ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推． 若?ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；

（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？ 6．（2014?保亭县模拟）如图，正方形ABCD中， E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC 的延长线于G，M是FG的中点． （1）求证：①∠1=∠2；②EC⊥MC． （2）试问当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由． 7．（2013?新疆）如图，?ABCD中，点O 是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、 DC的延长线分别交于点E、F． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．

中考数学压轴题专项汇编专题平行四边形的存在性

专题23 平行四边形的存在性 破解策略 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知 识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高， 这类题，一般有两个类型： （1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题： 以A ，B ，C 三点为顶点的平行四边形构造方法有： ①_x0001_ 作平行线：如图，连结AB ，BC ，AC ，分别过点A ，B ，C 作其对边的平行线，三条直线的交点为D ，E ，F ．则四边形ABCD ，ACBE ，ABFC 均为平行四边形． F E D C B A ②倍长中线：如图，延长边AC ，AB ，BC 上的中线，使延长部分与中线相等，得点D ， E ，F ，连结DE ，EF ，F D ．则四边形ABCD ，ACBE ，ABFC 均为平行四边形． A B C D E F （2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题： 先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问 题，再构造平行四边形． 解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需 要分类讨论． 通常这类问题的解题策略有： （1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答． 如图，若AB ∥CD 且AB ＝CD ，分别过点B ，C 作一组平行线BE ，CF ，分别过点A ，D 作一组平行线AE ，DF ，则△AEB ≌△DFC ，从而得到线段间的关系式解决问题．

A B C D E F （2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验． 如图．已知平行四边形ABC D ．连结AC ，BD 交于点O ．设顶点坐标为A （x A ，y A ）．B （x B ，y B ），C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）． O D C B A ①_x0001_ 用平移的性质求未知点的坐标： ,,.B A C D B C A D B A C D B C A D x x x x x x x x y y y y y y y y 祆-=--=-镲镲眄镲-=--=-镲铑或 ②利用中点坐标公式求未知点的坐标： ,22.22A C B D A C B D x x x x y y y y ì++??=???í?++?=???? 有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好． 例题讲解 例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2 ＋mx ＋n 经过点A （3，0），B （0，﹣3），P 是直线AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ． （1）分别求出直线AB 和这条抛物线的表达式； （2）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由． y x M O P B A