二次函数的平移规律

二次函数的平移规律

二次函数的图象和性质是初中数学九年级上的教学内容，教材先研究了最简单的二次函数2ax y =，然后研究了k ax y +=2，2)(h x a y -=，k h x a y +-=2)(，这三个复杂的二次函数的图象及性质，而这三个稍复杂的二次函数的图象均是由2ax y =的图象平移得来的。但是实际教学中发现，图象的平移规律对学生来说始终是一个难点！如何突破这个难点呢？几何画板的演示对于这个问题的解决起了重要的作用！

（一）2ax y =与k ax y +=2的图象和性质

首先，几何画板展示22x y =，222+=x y ，222-=x y 的图象，目的是让学生

先直观的发现三者之间的关系，进行猜想；然后几何画板演示k x y +=22（k 可以任意变

化）的图象，让学生更加直观地感受到图像之间存在着上下平移的联系，进而抛出问题：为什么这三个图象之间存在上下平移的联系，目的是引导学生从几何画板的直观猜想到归纳，最后用数学知识去验证猜想和归纳的准确性。即对于一般的点A )2,(2

m m 和B )2,(2k m m +，横坐标不变，纵坐标+k ，根据点的平移规律，相当于点A 向上或下平移了|k|个单位变成了点B ，所以整个图象呈现上下平移的状态！这样就从数和形两方面验证了平移规律“上加下减”，利用平移更好的研究k ax y +=2的性质。

（二）2ax y =与2)(h x a y -=图象和性质

首先，几何画板展示22x y =，2)1(2-=x y ，2)1(2+=x y 的图象，目的是让学

生先直观的发现三者之间的关系，进行猜想；然后几何画板演示2)(2h x y -=（h 可以任意

变化）的图象，让学生更加直观地感受到图像之间存在着左右平移的联系，进而抛出问题：为什么这三个图象之间存在左右平移的联系，目的是引导学生从几何画板的直观猜想到归纳，最后用数学知识去验证猜想和归纳的准确性。即对于一般的点A )2,(2m m 和B )2,(2m h m +，纵坐标不变，横坐标+h ，根据点的平移规律，相当于点A 向右或左平移了|h|个单位变成了点B ，所以整个图象呈现左右平移的状态！这样就从数和形两方面验证了平移规律“左加右减”，利用平移更好的研究2)(h x a y -=的性质。

以上就是我们利用几何画板进行直观演示，在演示过程中指导学生进行猜想，进而由猜

想进行归纳，再利用数学知识进行验证的一个教学过程！

二次函数平移变换

二次函数配方问题 如何将2y ax bx c =++ （一般式）的形式变化为 2 ()y a x h k =-+（顶点 式） 2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ? ? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-=， 对称轴是2b h a =- 顶点（a b a c a b 44, 22 -- ） （h, k ） （1）y=x 2-2x-1 （2） y =x 2-x-6 （3）5322--=x x y （4） y=x 2+2x+1 （5）y=2x 2-6x-1 （6）6422++-=x x y （7）432+--=x x y （8） y =-x 2-x-6 （9）y =-4x 2-3x-7 关于y=ax 2+bx+c 中a b c 的分析以及y=ax 2+bx+c 与c ax y +=图像判断 1.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( ) 2.如图所示,当b<0时,函数y=ax+b 与y=ax 2 +bx+c 在同一坐标系内的图象可能是( ) 1 x A y O 1 x B y O 1 x C y O 1 x D y O x A y O x B y O x C y O x D y O

二次函数平移 一、本节学习指导 平移是二次函数中的常考点，大多以选择题、填空题出现，在判断平移时，首先我们要判断平移类型，再结合口诀“上加下减，左加右减”来解题，拿不准的题目就画图，虽然花费时间较多，但是准确率较高。本节有配套免费学习视频。 二、知识要点 1、 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位 向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位 向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位 向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位 y=a (x-h )2+k y=a (x-h )2 y=ax 2+k y=ax 2 2、平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： ⑴ 2 y ax bx c =++ 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2 y ax bx c =++ 变成 2 y ax bx c m =+++（或2 y ax bx c m =++- ） ⑵2 y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2 y a x b x c =++变 成2 () ()y a x m b x m c =++++（或2 ()()y a x m b x m c =-+-+） 3、二次函数2 ()y a x h k =-+与2 y ax bx c =++ 的比较 从解析式上看，2()y a x h k =-+与2 y ax bx c =++ 是两种不同的表达形式，后者通过配 方可以得到前者，即2 2 424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-=，。

超经典二次函数图象的平移和对称变换总结

二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数 的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的 图像； 1.能通过对实际问题中的情境分 析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性 质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和 开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二 次方程的近似解； 1.能用二次函数 解决简单的实际 问题； 2.能解决二次函 数与其他知识结 合的有关问题； （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数 2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 y ax bx c =++关于x轴对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y轴对称 2 y ax bx c =++关于y轴对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-；

二次函数的平移规律

活动课二次函数的平移规律 【教学目标】 1、借助几何画板探究如何通过y=ax2平移得到y=ax2+k的图象和y=a(x-h)2的图像； 2、思考如何通过y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k的图像； 3、归纳猜想得出平移规律。 【重点难点】 探究理解平移规律是教学的重点，也是教学的难点。 【教学过程】 一、探究归纳 利用几何画板画出二次函数y=2x2和y=2x2－1及y=2（x－1）2的图象，并观察三个图象的位置关系？ 1、利用几何画板移动y=2x2向上和向下平移1个单位，观察其中y k的变化规律（关注其正负值） 抛物线y=2x2与y=2x2+k图像位置有什么关系？ 可以发现后者可以由前者向上或向下平移｜k｜个单位得到的，当k>0时向上平移，当k<0时，向下平移。 2、利用几何画板移动y=2x2分别向左和向右平移1个单位，观察其中x k的变化规律（关注其正负值） 可以发现，y=2(x-h)2的图像可以由y=2x2与分别向左和向右平移 ｜k｜个单位得到。当h>0时，向右平移，当h<0时，向左平移。

3、归纳猜想：如何通过平移y=2x 2得到y=2（x －1）2+1的图像。 又如何通过平移y=ax 2平移得到y=a(x-h)2+k 的图像。 引出平移规律。 二、知识巩固 例1、抛物线y=ax 2+k 与y=-5x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，3)，则其表达式为y=-5x 2+3，它是由抛物线y=-5x 2向上平移3个单位得到的. 教师 ①点拨解这类题，必须根据二次函数y=ax 2+k 的图象与性质来解，a 值确定抛物线的形状大小及开口方向，k 值确定顶点的位置. ②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长.(有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长) 例2 已知抛物线y=ax 2+k 向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x 2+2，试求a 、k 的值. 解:根据题意，得3,2 2.a k =-??-=?解得3,4. a k =-??=? 此题可以根据规律直接求出a 、k. 三、课堂小结 1.本节课探究得出了二次函数的平移规律；你知道如何通过平移y=ax 2平移得到y=a(x-h)2+k 的图像吗？ 三、作业 不画图象，回答下列问题. ①函数y=－2(x+3)2的图象可以看成是由函数y=－2x 2的图象作怎样

二次函数平移规律

二次函数平移专项练习题 平移规律：针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减” 要注意如果知道了顶点坐标在移动时是“左减右加” ｜a ｜的大小决定抛物线开口的大小,｜a ｜越大,抛物线的开口越小. a>0时 抛物线开口向上，反之向上 c>0时 抛物线交y 轴于正半轴，反之在负半轴 a 、 b 同号时 对称轴在y 轴左侧，异号时在右侧 抛物线平移时只有二次项系数a 是不变的 1、 把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛 物线的表达式为（ ） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 根据左加右减、上加下减可得：B. 2(1)3y x =-++ 2、将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图 像，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由：2y x x =+=-（x+ 21）2-41 232y x x =-+=(x-23)2-41 得：a=21-（-2 3）=2 ，所以选B 3、抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为y=x 2 -2x-3，则b 、c 的值为（ ） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2

由y=x 2-2x-3=(x-1)2 -4， 再根据左加右减、上加下减可得平移前的解析式为： y=(x+2-1)2-4+3=x 2+2x 所以：b=2 c=0 4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位． 根据上加下减可得：B 5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛 物线解析式为 [ ] A ．y=-3(x-1)2-2； B ．y=-3(x-1)2+2； C ．y=-3(x+1)2-2； D ．y=-3(x+1)2+2． 根据左加右减、上加下减可得：A ．y=-3(x-1)2-2； 6、要从抛物线212y x =-得到21(1)32y x =-+-的图像，则抛物线y=-21x 2必须[ ] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位； D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位． 根据左加右减、上加下减可得：B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位

二次函数平移问题

将抛物线向左平移 m 个单位,由点的平移规律可知,顶点坐标由( h,k) 变为 二次函数的平移问题 我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律 . 一.当解析式为一般式y=ax 2+bx+c (a 丰0)时 1. 向上或向下平移时 , 二次函数解析式的变化规律 . 将抛物线向上平移 n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c+n 将抛物线向下平移 n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c-n 两式比较：可得抛物线向上平移n 个单位，常数项上加n ,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=ax 2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移 n 个单位，常数项上减去n ,即解析 式由 y=ax 2+bx+c 变为 y=ax 2+bx+c-n 2. 向左或向右平移时 , 解析式的变化规律 . 将抛物线向左平移m 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y= 2 a(x+m) +b(x+m)+c 将抛物线向右平移 m 个单位长度后, 得到的新抛物线的解析式为 y= 2 a(x-m) +b(x-m)+c 两式比较，可得出抛物线向左平移 m 个单位，自变量上减去 m,即解析式由 y=ax 2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c;同理可推出抛物线向右平移 m 个单位，自变量 上加上m,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=a(x-m) 2+b(x-m)+c 3. m 个单位长度后，再将抛物线向上平移 2 y= a(x+m) +b(x+m)+c+n m 个单位长度后，再将抛物线向下平移 2 y= a(x+m) +b(x+m)+c-n m 个单位长度后，再将抛物线向上平移 2 y= a(x-m) +b(x-m)+c+n m 个单位长度后，再将抛物线向下平移 2 y= a(x-m) +b(x-m)+c-n 二.当解析式为顶点式y=a(x-h) 2+k (a ^0)时 1. 向上或向下平移时,解析式的变化规律 . 将抛物线向上平移n 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h) 2+k+n 将抛物线向下平移n 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h) 2+k-n 将抛物线向上平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由(h , k )变为 (h , k+n )所以抛物线的解析式由y=a(x-h) 2+k 变为y=a(x-h) 2+k+n 将抛物线向下平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由(h , k )变为 (h , k-n )所以抛物线的解析式由y=a(x-h) 2+k 变为y=a(x-h) 2+k-n 比较两个解析式可得出向上平移 n 个单位，括号外加n ,同理可推出向下平移n 个单位括号外减去 n. 即抛物线解析式由 y=a(x-h) 2+k 变为 y=a ( x+m-h)2+k-n 2. 向右或向左平移时,解析式的变化规律 将抛物线向左平移m 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m) 2+k 将抛将抛物线向左平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向左平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向右平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向右平移 的新抛物线的解析式为 n 个单位长度后 , 得到 n 个单位长度后 , 得到 n 个单位长度后 , 得到 n 个单位长度后 , 得到

二次函数的平移

《二次函数的平移》教学设计杜军涛 一、教材分析 1、教材分析 本节课是北师大新版初中数学九年级下册第二章第三节二次函数的平移的一个延伸和拓展，也是陕西中考近几年的一个热点和难点。本节课是在八年级下册第三章学习了图形的平移之后，在九年级下学习了二次函数的图像和性质，a,b,c对图像的影响，二次函数的平移的基础上的进一步专题研究。通过本节课的学习为后面二次函数的旋转变换，对称变换提供了一定的研究思路，也为后面二次函数其他的专题研究打下了基础，同时又为高中的数学学习做好了铺垫，具有承上启下的作用。 2、学情分析 学生的身心特点：九年级的学生他们有着强烈的求知欲，具有一定的观察能力，模仿借鉴能力，思维和思辨的能力。他们喜欢动手操作，独立思考，合作交流，他们乐于在课堂上展 示自己的想法和做法。因此，本节课我将留出充足的时间和思维空间让学生进行自主探索学习，合作交流，展示自己独特的想法。 从认知状况来说：九年级学生学生在此之前已经学习了图形（包括直线，抛物线）的平移，对二次函数的平移已经有了初步的认识，但是部分学生对于二次函数的平移只是记住了平移 规律，对于平移的本质理解不够深刻。对于二次函数平移与几何图形相结合的问题（由于其 抽象程度较高，）仍有一定的困难，因此本节课会将重心放在引导分析以上两个问题。 基于以上对教材和学情的认识，我设计了如下的教学目标 二、教学目标分析 教学目标：理解并掌握在平移过程中图像的变化对a,b,c的影响 通过对二次函数平移的研究，培养学生的动手操作、观察、分析、分类讨论、归 纳概括的能力； 情感、态度和价值观：通过数学活动让学生学会与人相处，养成自主探索，合作交流的良好学习习惯。 教学重点：利用二次函数的平移解决几何图形的的相关问题，培养学生数形结合的思想方法。教学难点：利用二次函数的平移解决几何图形的的相关问题，培养学生数形结合的思想方法。 三、教学方法分析 按照新课标的理念；本节课我将采用启发式、讨论式的教学方法，以问题串的形式由浅入深，层层递进，尊重学生的个体差异，激发学生的求知欲，始终在学生知识的“最近发展区” 设置问题，给学生留出足够的思考时间和思维空间，让学生进行自主探索和合作交流，从真正意义上完成对知识的自我建构。 四、学习方法分析： 通过开展自主探索，合作交流，展示等活动，培养学生分析问题，解决问题的能力 五、教学过程： 新课标指出，教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程， 是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：

2017年二次函数中的面积问题

二次函数——面积问题 〖知识要点〗 一．求面积常用方法： 1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边） 2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方 3. 利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解） 二．常见图形及公式 抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱ =a ? 抛物线顶点坐标（-a b 2, a b ac 442 -） 抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 21= ?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. B C 铅垂高 水平宽 h a 图1 C B A O y x D B A O y x P

〖基础习题〗 1、若抛物线y=-x 2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为 ，△ABC 的面积为 . 2、若抛物线y=x 2 + 4x 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则△PCD 的面积是_____________. 3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ． 〖典型例题〗 面积最大问题 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式； （2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标 （3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ??= 2 1，求P 点坐标。

函数图象平移问题的解法

二次函数图像平移的一般解法 二次函数图象平移常见的方法是，将抛物线解析式通过配方写成顶点形式的表达式，根据在平移过程中顶点位置的变化，写出新抛物线的顶点坐标，从而确定出它的解析表达式．解题的困难在于需要较强的直观想象能力和快速画框架图能力和逆向逆向思维能力。而利用相对运动的知识，则可以得到一个解此类问题的十分简单明了的方法。. 1．平移规律 设在直角坐标系xoy中有一抛物线y＝f（x）,现将此抛物线向右平移（x轴的正方向）m（m＞0）个单位，再向上平移（y轴的正方向）n（n＞0）个单位。按照相对运动的观点，可以视抛抛物线未动,而将坐标系向相反方向平移，即y 轴向左平移m个单位，x轴向下平移n个单位，这样得到的新坐标系我们记为x′o′y′，（如图）为了叙述的方便我们将坐标系xoy下的点记为（x , y）, 新坐标系x′o′y′下的点记为（x′,y′），于是有 将这一关系式变形,可得 用新坐标（x′,y′）表示旧坐标（x , y）的表达式： 将此式代入抛物线的解析式y＝f（x）,得 y′－n＝f（x′－m） 这个式子就是抛物线在新坐系下x′o′y′中的的解析式。 考虑到题目中是要求将抛物线平移的，因而仍需将点（x′,y′）换成（x , y），于是我们就得到了平移之后的抛物线的解析式为y－n＝f（x－m）这样就可以得到一个规律：要获得把抛物线y＝f（x）向右平移m个单位，再向上平移n个单位所得的新抛物线解析式，只需将原抛物线的解析式y＝f（x）中的x, y分别用x－m, y－n替换即可． 类似地,可得： 把抛物线y＝f（x）向右平移m个单位，再向下平移n个单位所得的新抛物线解析式为y＋n＝f（x－m） 把抛物线y＝f（x）向左平移m个单位，再向上平移n个单位所得的新抛物线解析式为y－n＝f（x＋m） 把抛物线y＝f（x）向左平移m个单位，再向下平移n个单位所得的新抛物线解析式为y＋n＝f（x＋m） 这些规律又可总结为左右平移“x右减左加”，上下平移“y上减下加” 说明：利用这一规律写平移后的函数图象的解析式只需要考查是用x＋m 还是x－m 替换y＝f（x）中x，是用y＋n还是y－n替换y＝f（x）中y,使用起来很方便，此法也适用于直线等函数图象的平移。 ２．解题举例

二次函数平移问题

二次函数的平移问题我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律. 一.当解析式为一般式y=ax2+bx+c (a≠0)时 1.向上或向下平移时,二次函数解析式的变化规律. 将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c-n 两式比较:可得抛物线向上平移n个单位,常数项上加n，即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=ax2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移n个单位, 常数项上减去n，即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=ax2+bx+c-n 2.向左或向右平移时,解析式的变化规律. 将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c 将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c 两式比较,可得出抛物线向左平移m个单位,自变量上减去m，即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c;同理可推出抛物线向右平移m个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=a(x-m)2+b(x-m)+c 3. 将抛物线向左平移m个单位长度后, 再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c+n 将抛物线向左平移m个单位长度后, 再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c-n 将抛物线向右平移m个单位长度后, 再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c+n 将抛物线向右平移m个单位长度后, 再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c-n 二.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）时 1.向上或向下平移时，解析式的变化规律. 将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k-n 将抛物线向上平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k+n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k-n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k-n 比较两个解析式可得出向上平移n个单位，括号外加n，同理可推出向下平移n 个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a（x+m-h)2+k-n 2.向右或向左平移时，解析式的变化规律. 将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m)2+k 将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h-m)2+k 将抛物线向左平移m个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为

【单位】一元二次函数的平移问题

【关键字】单位 一元二次函数的平移问题 运用二次函数图象的平移变换 任意抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0），可以由抛物线y=ax2经过平移得到: ①将y＝ax2向上移动k个单位得： y＝ax2＋k， ②将y＝ax2向左移动h个单位得： y＝a（x＋h）2， ③将y＝ax2先向上移动k（k＞0）个单位，再向右移动h（h＞0）个单位，便得函数y＝a（x－h）2＋k的图象. 平移顺序:先上下再左右(上加下减,左加右减) 【例1】将二次函数y=-2x2+4x+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的解析式. 【分析】二次函数图象的平移即每一个点的平移，我们可通过二次函数的特殊点顶点坐目标变化来确定平移后的解析式. 解：配方法得： y=-2（x2-2x）+6 =-2（x2-2x+1-1）+6 =-2（x-1）2+8. 顶点为（1，8），将顶点按要求平移得新抛物线顶点为（0，6）. ∴平移后抛物线解析式为y=-2x2+6. 【小结】平移抛物线只改变了抛物线的位置，而不改变它的形状、大小及开口方向，即a值不变.左右平移时横坐标变化，上下平移时纵坐标变化. 【例2】（2006·泸州）二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是（）. Ａ. y=x2+3 Ｂ. y=x2+3

Ｃ. y=（x＋3）2 Ｄ. y=（x－3）2 【分析】二次函数y＝x2的顶点坐标为（0，0），顶点按要求平移后变为（3，0），选项中只有y=（x－3）2的顶点是（3，0）. 解：D. 【例3】（2006·兰州）已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新的坐标系下抛物线的解析式为（）. Ａ. y=2（x-2）2+2 Ｂ. y=2（x+2）2-2 Ｃ. y=2（x-2）2-2 Ｄ. y=2（x+2）2+2 【分析】若抛物线不动，把x、y轴分别向上、向右平移2个单位相当于将该抛物线在原坐标系内向下再向左平移两个单位，由此可得该抛物线在x、y平移后得解析式为y=2（x+2）2-2 . 解：B 【小结】将坐标系平移，实质是将抛物线向相反方向各移动了2个单位，即向下，向左平移2个单位，注意换位思考，逆向思维. 【例4】（2006·杭州）有三个二次函数，甲：y＝x2－1；乙：y＝－x2＋1；丙：y＝x2＋2x－1.则下列叙述正确的是（）. A.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合 B.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合 C.丙的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合 D.甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合 【分析】根据函数解析式画出3个函数的草图发现，甲、乙与乙、丙开口方向均相反，不能够经过平行移动使得图象重合；所以排除A、C、D.函数丙y＝x2＋2x－1可以化成y＝（x＋1）2－2，这样就可以看出甲的图形经过向左移动1个单位，向下移动1个单位与丙重合. 解：B. 二次函数图像平移

二次函数平移问题.doc

精心整理 二次函数的平移问题 我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律. 一.当解析式为一般式 y=ax2+bx+c(a ≠0) 时 1.向上或向下平移时 , 二次函数解析式的变化规律 . 将抛物线向上平移 n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c+n 将抛物线向下平移 n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c-n 两式比较 : 可得抛物线向上平移 n 个单位 , 常数项上加 n，即解析式由 y=ax2+bx+c 变为 y=ax2+bx+c+n; 同理可推出抛物线向下平移n 个单位 , 常数项上减去n，即解析式由 y=ax2+bx+c 变为 y=ax2+bx+c-n 2.向左或向右平移时 , 解析式的变化规律 . 将抛物线向左平移m 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=a(x+m)2 +b(x+m)+c 将抛物线向右平移m 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=a(x-m) 2 +b(x-m)+c 两式比较 , 可得出抛物线向左平移m 个单位 , 自变量上减去m，即解析式由 y=ax2 +bx+c 变为 y=a(x+m)2+b(x+m)+c; 同理可推出抛物线向右平移m个单位 , 自变量上加上 m,即解析式由 y=ax2+bx+c 变为 y=a(x-m) 2+b(x-m)+c 3. 将抛物线向左平移m个单位长度后 , 再将抛物线向上平移n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c+n 将抛物线向左平移m个单位长度后 , 再将抛物线向下平移n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c-n 将抛物线向右平移m个单位长度后 , 再将抛物线向上平移n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=a(x-m) 2+b(x-m)+c+n 将抛物线向右平移m个单位长度后 , 再将抛物线向下平移n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=a(x-m) 2+b(x-m)+c-n 二.当解析式为顶点式 y=a(x-h) 2+k（a≠0）时 1.向上或向下平移时，解析式的变化规律 . 2 将抛物线向上平移n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h) +k+n 2 将抛物线向下平移n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)+k-n 将抛物线向上平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k+n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h) 2+k 变为 y=a(x-h) 2+k+n 将抛物线向下平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k-n ）所以抛物线的解析式由y=a(x-h) 2+k 变为 y=a(x-h) 2+k-n 比较两个解析式可得出向上平移n 个单位，括号外加n，同理可推出向下平移n 个单位括号外减去n. 即抛物线解析式由y=a(x-h) 2+k 变为 y=a（x+m-h)2 +k-n 2.向右或向左平移时，解析式的变化规律 . 将抛物线向左平移m个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m) 2+k

第三次课 二次函数的平移翻折与旋转问题、a.b.c符号问题

二次函数的平移、翻折与旋转以及a、b、c符号问题 1、抛物线的一般式与顶点式的互化关系：y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋b 2a)2＋ 4ac－b2 4a 2、强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。 3、抛物线的平移抓住关键点顶点的移动； 例题： 1、（2015?龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式 是． 考点：二次函数图象与几何变换． 分析：根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案． 解答：解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1， 抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得 y=﹣2x2﹣4x﹣3， 故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3． 点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质． 2、（2015?湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是 和．

考点：二次函数图象与几何变换． 专题：新定义． 分析：连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx， 根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式． 解答：解：连接AB， 根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零， 设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx， 根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM， ∵OA=MA， ∴△AOM是等边三角形， 设OM=2，则点A的坐标是（1，）， 则， 解得： 则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x， 抛物线C2的解析式为y=x2+2x， 故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x． w W w .x K b 1.c o M 点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．

《探索二次函数图像平移的规律》

《探索二次函数图像平移的规律》 发表时间：2012-01-12T08:44:18.537Z 来源：《教育学文摘》2012年01月总第47供稿作者：赵正杰 [导读] 本节是九年级下册（北师大版）第二章的内容，是为学生进行数学兴趣活动而安排的。 ——数学兴趣活动教学设计 ◆赵正杰陕西省洋县湑水初中723300 教材分析：本节是九年级下册（北师大版）第二章的内容，是为学生进行数学兴趣活动而安排的，目的是加强学生的动手操作能力，培养学生探索发现、归纳总结的数学素养，开拓学生的知识视野。学生前面已经学过二次函数图像的画法，它对解决本节课的问题有一定的帮助。虽然这些内容没有在教材中安排，但是它将来与高中数学知识相结合对培养学生数形结合数学思想的形成有很好的促进作用。通过让学生经历动手操作、合作交流、观察归纳的过程，总结出二次函数图像平移时解析式的变化规律，体验数学活动的乐趣与成功的快乐，从而促进学生对二次函数图像平移的理解，激发学生学习数学的兴趣。 教学目标： 1.知识与技能目标 （1）经历操作、观察、欣赏、合作交流的过程，逐步认识二次函数图像平移的存在与解析式之间的联系。 （2）经过操作、交流、探索、观察、归纳的过程，总结出二次函数图像平移过程中二次函数解析式的变化规律。 2.过程与方法目标 经历自己操作、探索、观察、归纳、概括等过程，以及同学间的交流与合作，进一步发展同学们的合作意识、空间观念，发现函数 y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律，从而了解数形结合的数学思想对学习数学的重要性。 3.情感与态度目标 （1）通过同学们的亲自操作与实践，感受“生活中处处有数学”，让学生乐学数学，激发他们学习数学的兴趣。 （2）通过同学们的操作实践、观察发现、概括归纳，体验数学的内在美，感受成功的快乐，培养学生的创新能力。 教学重点与难点： 重点：掌握函数y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律。 难点：观察发现、概括归纳函数y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律。 教学方法：采用引导发现法、实验探究法的教学方法，本着启发性、直观性的教学原则，体现以教师为主导、学生为主体的教学思想来完成教学目标。 学习方法：实验探究法、观察分析法、合作交流法、归纳总结法。 教学准备： 1.课前准备好一张八开的白纸，并在上面画好单位长度为一厘米的直角坐标系（也可直接用相同单位长度的坐标纸）。 2.一段平直的细铁丝（不能太硬）。 教学过程： 一、创设情境，引入课题 首先，请同学们六人一组，共分成八组，每组围成一圈进行活动。 提醒大家：前面我们在画二次函数图像时先把二次函数的解析式由一般式y=ax2+bx+c化为配方式y=a(x+h)2+k，这样从对称轴两边依次取值，不但方便好算，而且描点画出的图像在对称轴两边也是一样高的，比较美观。 师：请同学们拿出准备好的坐标纸、铅笔、尺子、练习本等（约二分钟）。 二、动手操作，课堂探究 1.先记录下这些二次函数的解析式：y=x2+1，y=(x+1)2+1，y=(x+2)2+1，y=(x+3)2+1，y=(x-1)2+1， y=(x-2)2+1,y=(x-3)2+1。 2.观察讨论这些函数解析式都有哪些特征？（约二分钟） 生：（1）二次项系数a的值都是1。 （2）它们都是配方式。 （3）配方后配方式中的k值都是1没变，只是h值发生了变化。 老师对同学们的回答表示肯定，也可能回答不全面，也可能有其他回答，老师加以引导。 师：请同学们在练习本上依次对以上7个二次函数进行列表。可两名同学分工合作，一名同学完成前4个，另一名同学完成后3个。（要求在对称轴两边各至少取三个值，约八分钟。） 师：请同学们按照前面的列表，依次在准备好的坐标纸上描点、连线，并一个一个地画出七个二次函数的图像（两名同学按照前面的分工一起合作完成），再在函数的图像边上标明它的解析式（提醒学生画完一个图像再画第二个，以免发生混淆，约八分钟）。 学生完成后，请同学们拿出细铁丝，在其中一个函数的图像上慢慢地弯成抛物线状，然后又移动到其它函数的图像上比一比，再与同组同学的交流一下，共同议一议。 师：（1）你发现了什么？ （2）想一想，上面的7个二次函数的解析式恢复成一般式后， a、h、k中只有谁没有发生变化？你能用自己的语言把探索出的结论说一下吗？（讨论后再回答） 生：我们所画的函数图像都是相同的。 生：当解析式变成一般式后，只有二次项系数a=1没有变。所以能够确定，当二次项系数a=1时抛物线的形状是相同的，与h、k的值无关。 师：同学们的发现很正确。那么a都是2或a都是3……抛物线的形状又将如何呢（请同学们课后探索。） 师：请同学们再把铁丝弯成的抛物线放到函数y=x2+1的图像上，先把抛物线水平向左平移一个单位，观察一下，得到了谁的图像？再

一元二次函数的平移问题

一元二次函数的平移问题 运用二次函数图象的平移变换 任意抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0），可以由抛物线y=ax2经过平移得到: ①将y＝ax2向上移动k个单位得： y＝ax2＋k， ②将y＝ax2向左移动h个单位得： y＝a（x＋h）2， ③将y＝ax2先向上移动k（k＞0）个单位，再向右移动h（h＞0）个单位，便得函数 y＝a（x－h）2＋k的图象. 平移顺序:先上下再左右(上加下减,左加右减) 【例1】将二次函数y=-2x2+4x+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的解析式. 【分析】二次函数图象的平移即每一个点的平移，我们可通过二次函数的特殊点顶点坐标的变化来确定平移后的解析式. 解：配方法得： y=-2（x2-2x）+6 =-2（x2-2x+1-1）+6 =-2（x-1）2+8. 顶点为（1，8），将顶点按要求平移得新抛物线顶点为（0，6）. ∴平移后抛物线解析式为y=-2x2+6. 【小结】平移抛物线只改变了抛物线的位置，而不改变它的形状、大小及开口方向，即a值不变.左右平移时横坐标变化，上下平移时纵坐标变化. 【例2】（2006·泸州）二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是（）. Ａ. y=x2+3Ｂ. y=x2+3 Ｃ. y=（x＋3）2Ｄ. y=（x－3）2

【分析】二次函数y＝x2的顶点坐标为（0，0），顶点按要求平移后变为（3，0），选项中只有 y=（x－3）2的顶点是（3，0）. 解：D. 【例3】（2006·兰州）已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x轴、y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新的坐标系下抛物线的解析式为（）. Ａ. y=2（x-2）2+2 Ｂ. y=2（x+2）2-2 Ｃ. y=2（x-2）2-2 Ｄ. y=2（x+2）2+2 【分析】若抛物线不动，把x、y轴分别向上、向右平移2个单位相当于将该抛物线在原坐标系内向下再向左平移两个单位，由此可得该抛物线在x、y平移后得解析式为y=2（x+2）2-2 . 解：B 【小结】将坐标系平移，实质是将抛物线向相反方向各移动了2个单位，即向下，向左平移2个单位，注意换位思考，逆向思维. 【例4】（2006·杭州）有三个二次函数，甲：y＝x2－1；乙：y＝－x2＋1；丙：y ＝x2＋2x－1.则下列叙述正确的是（）. A.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合 B.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合 C.丙的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合 D.甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合 【分析】根据函数解析式画出3个函数的草图发现，甲、乙与乙、丙开口方向均相反，不能够经过平行移动使得图象重合；所以排除A、C、D.函数丙y＝x2＋2x－1可以化成y＝（x＋1）2－2，这样就可以看出甲的图形经过向左移动1个单位，向下移动1个单位与丙重合. 解：B. 二次函数图像平移 1. 抛物线y=-x2+2x-1的开口方向是______，顶点坐标是______．

二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题

二次函数图像平移、旋转总归纳 一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x 2+1的图象 ①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2+4； ②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2-3； ③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1； ④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1． 由此可以归纳二次函数y=ax 2+c 向上平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2+c+m ； 向下平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2+c-m ； 向左平移n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （x+n ）2+c ； 向右平移n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （x-n ）2+c ， 二、二次函数的图象的翻折 在一张纸上作出二次函数y=x 2-2x-3的图象， ⑤沿x 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x 2+2x-3． ⑥沿y 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x 2+2x-3 由此可以归纳二次函数y=ax 2+bx+c 若沿x 轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax 2-bx-c ， 若沿y 轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax 2-bx+c 三、二次函数的图象的旋转， 将二次函数 y=- x 2+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y= x 2-x+1； 由此可以归纳二次函数y=ax 2+bx+c 的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax 2-bx-c ．（备用图如下） 2121

1、（2011?桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ） A ．y=-（x+1）2+2 B ．y=-（x －1）2+4 C ．y=-（x －1）2+2 D ．y=-（x+1）2+4 2、（2012浙江宁波中考）把二次函数y ＝（x －1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________． 3、飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间 t （单位：s ）的函数关系式是s=60t-1.5t 2，飞机着陆后滑行的最远距离是（ ） A ．600m B ．300m C ．1200m D ．400m 4、（2012?襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数关系式是y=60x-1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行m 才能停下来 ． 5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y·轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________． 6、已知二次函数y ＝ax 2（a ≥1）的图像上两点A 、B 的横坐标分别是－1、2，点O 是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB 的周长为 。 7、如图，已知抛物线234 y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ，，三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，的直线334y x t =-+与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<． （1）确定b c ，的值： （2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）： （3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由． y C A O Q H B P x