由一道高考题的解法引发的思考

由一道高考题的解法引发的思考

张涛

(包头市第一中学，014040)

摘要：本文对一道高考题的解法进行了探索，通常的做法是构造函数后再利用导数，但本文用了高等数学中的一个定理从另一个角度解决了问题，巧妙地回避了构造函数，并就与导数有关的高等数学的知识在高中如何发挥作用谈了一点体会。

关键词拉格郞日定理构造函数导数

近些年来，越来越多高等数学的内容进入了高考大纲，如《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称为《标准》）将《导数及其应用》这部分内容安排在选修系列1－1的第三章和选修系列2－2的第一章。在选修系列2－2中更是增加了定积分与微积分基本定理的内容，对运算的要求也略有提高，原因主要是理科对数学的实际要求更高。其中导数和定积分是这一章中的两个基本内容，微积分基本定理，即牛顿-莱布尼兹公式将这两个概念紧密的联系在一起，只要求出被积函数的原函数就可以计算出定积分。虽然是选修内容，但对绝大部分高中学生来说，它依然是必要的基础性的。这部分内容在高中教材中几进几出，除了高考导向的影响外，主要是定位不明确。鉴于它的教育价值，《标准》给出了明确的定位，同以前相比有较大的不同。《标准》则非常强调对其本质的认识，提高了对导数几何意义以及用导数处理实际问题的要求。新课程把导数摆在了一个全新的位置,教材没有把导数的概念建立在形式化的极限定义及相关知识的基础之上，不把导数作为一种极限规则来处理，而是突出了变化率的核心地位,让学生从随处可见的平均变化率开始，以平均变化率作为高中微积分内容的开始,，用形象直观的“逼近”方法定义导数，巧妙地引入导数的概念。这样引入还能让学生更深刻地理解变量数学的本质，对函数这一核心概念的深入理解是很有帮助的。

导数是高中数学教材新增加的内容,是初高等数学衔接的重要知识,导数的引入使相应的教学方法、数学工具和数学语言更加丰富,应用形式更加灵活多样,导数已成为分析和解决问题时必不可少的工具，更成为了研究函数的重要工具。从2005年开始，导数成了高考中必考的一个内容。从这六年(2005-2010)的高考题目中涉及导数的题目来看，没有超出利用一阶导数研究函数单调性、求函数极值和最值、不等式问题以及优化问题。这就要求学生掌握并学会利用一阶导数来讨论函数的单调性、极值、最值不等式问题。但是用导数解决问题时往往需要构造函数，这种构造的技巧对学生来说是一个难点，让学生对相关题目望而却步。如2009年高考辽宁的理科第21题的第二问，学生很难想到这种构造函数的技巧，但如果用拉格郞日定理却能回避构造函数，其实从直观上学生应该很容易理解拉格郞日定理，并不需要理论证明，而且解答高考题时可以应用高等数学的知识与结论以及一些竞赛的知识，那么何不类比导数概念的引入，向学生介绍这个定理，直观的理解它，而不要严格的理论证明，给学生增加一个思考的角度，回避构造函数的难点呢，以下笔者用该定理给出2009年高考辽宁的理科第21题的第二问的一种简便做法。

首先通过下面一道题目来看一下如何通过构造函数来应用导数解决问题的

题目比较eπ和eπ的大小

分析：有的学生肯定认为用计算器不就可以解决了，但高考时不允许使用计算器，而且π和e都是无理数，根本没法取近似值去比较大小，那能不能根据中间量法和图像法得到解决呢？答案也是否定的。分析一下，要比较eπ和eπ的大小，可比较其对数值的大小，即ln eπ

和ln e π的大小，进而比较ln e π和ln e π的大小， 即比较

ln e e 和ln ππ

的大小关系，于是想到了构造函数()ln x f x x =，这里我们要把ln e e 和ln ππ看作函数()ln x f x x =的两个函数值，然后利用函数的单调性去比较大小，由于函数不是我们熟悉的基本初等函数，所以我们想到利用导数这个有力工具先求函数的导数，在根据导数的符号判断函数的单调性。 先求导()2

1ln x f x x -'= 解不等式组()00

f x x '??得x e >，故函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以 ()()f e f π>，即

ln ln e e ππ>?ln ln e e ππ>?ln ln e e ππ> 所以e

e ππ> 从以上解题过程中不难看出，构造函数是解决问题的关键，但对学生而言如果没有积累足够的解题技巧很难想到如此的构造方法。

既然构造函数是一个用导数解决有关问题的难点，那么如果有的题目可以回避构造函数的话，而用其他知识来解决的话那一定会事半功倍的。为了下面解决问题的需要，先给出 拉格朗日定理的内容：

定理【1】 (拉格朗日定理)若函数()f x 满足

()[]()()()()()()1,2,,a b a b a b f b f a f b a

ξξ-'=-在连续；

在可导；

则在内至少存在一点，使

下面我们看这样一道题

题目 (2009辽宁理21)已知函数()()211ln ,12

f x x ax a x a =-+-> ()()()()()()12121212

125,0,,,1.f x a x x x x f x f x x x <∈+∞≠->--讨论函数的单调性；

证明：若，则对任意有

证明：(1)略解：当2a =时，()f x 在()0,+∞上单调增加；当12a <<时，()f x 在()1,1a -上单调减少，在()0,1a -，()1,+∞上单调增加；当2a >时，()f x 在()1,1a -上单调减少，在()0,1，()1,a -+∞上单调增加。

(2)考虑函数()()()211ln 2

g x f x x x ax a x x =+=-+-+ 则()(

)(

))2

11111a g x x a x a -'=--+

≥-=- 由于15a <<，故()0g x '>，即()g x 在()0,+∞上单调增加，从而当120x x >>时有 ()()120,g x g x ->即()()12120,f x f x x x -+->故

()()12121f x f x x x ->--；当120x x <<时有()()()()12211221

1f x f x f x f x x x x x --=>--- 以上第二问的解决又构造了函数，下面用定理

【1】 给出第(2)问另外一种简便的做法，可以不

用构造函数

不失一般性，假设120x x << 则()21x ax a f x x

-+-'= 由于函数()f x 在[]12,x x 上连续，在()12,x x 上可导，则由定理

【1】 可知一定存在()12,x x ξ∈

使得 ()()()1212

f x f x f x x ξ-'=- 要证明()()1212

1f x f x x x ->--只需证明()211a a f ξξξξ-+-'=>-，()0,ξ∈+∞ 即证明()2

110a a ξξ+-+->，()0,ξ∈+∞ 令()()2

11g a a ξξξ=+-+-，()0,ξ∈+∞ 当15a <<时

()010g a =-> 对称轴直线()10,22

a ξ-=∈ ()()2min 442104a a a g ξ---+=>

即()2110a a ξξ+-+->，()0,ξ∈+∞

故()211a a f ξξξξ

-+-'=>-成立，这样就证明了第二问 一点体会：由以上的证明过程不难看出使用定理1要比构造函数的思路更加直接，既然我们把许多高等数学的内容放到高中，并且只是作为工具而很少给出严格的理论证明，那么我们也可以通过直观让学生把拉格朗日定理作为一个解决问题的理解并运用而不必给出严格的理论证明，为某些问题的解决提供更多的思路。

本文从一道高考题出发，用学生可以直观接受的拉格朗日中值定理给出了此题第二问的一种新的方法，回避了构造函数的繁琐技巧，某种程度上降低了题目的难度，使学生更容易理解和接受。笔者觉得既然将导数等内容放到高中，那么我们可以适度的将一些涉及到的高等数学的内容作为结论介绍给学生，这将会在某些问题上降低难度，给学生以不同的思考角度和方式，拓宽学生的思路。

参考文献

[1]复旦大学数学系陈传璋、金福临、朱学炎、欧阳光中编数学分析(第二版)上册。高等教育出版社，1983年7月第二版。

[2]人民教育出版社 课程教学研究所中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2A 版.北京:人民教育出版社，2007

从几道高考题说起

从几道高考题说起 发表时间：2018-11-21T17:23:43.303Z 来源：《中小学教育》2019年2月03期作者：周维奇[导读] 高考命题素养立意悄然而来，化学学科证据推理素养亮相高考试卷，而此核心素养恰恰是我们教学实践中薄弱的部分。本文仅结合参加的培训谈谈对化学证据推理素养的肤浅认识。周维奇四川省雅安市芦山县四川省芦山中学 625600 【概要】高考命题素养立意悄然而来，化学学科证据推理素养亮相高考试卷，而此核心素养恰恰是我们教学实践中薄弱的部分。本文仅结合参加的培训谈谈对化学证据推理素养的肤浅认识。【关键词】化学学科核心素养、化学学科证据推理中图分类号：G648.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2019）03-125-02我们先来看看2017全国卷的几道题，它所体现的高考命题导向值得玩味。例题1.【2017新课标2卷】下列由实验得出的结论正确的是实验结论 A 将乙烯通入溴的四氯化碳溶液，溶液最终变为无色透明生成的1,2-二溴乙烷无色、可溶于四氯化碳 B 乙醇和水都可与金属钠反应产生可燃性气体乙醇分子中的氢与水分子中的氢具有相同的活性 C 用乙酸浸泡水壶中的水垢，可将其清除乙酸的酸性小于碳酸的酸性 D 甲烷与氯气在光照下反应后的混合气体能使湿润的石蕊试纸变红生成的氯甲烷具有酸性 例题2.【2017新课标2卷】由下列实验及现象不能推出相应结论的是实验现象结论 A 向2 mL 0.1 mol·L-1的FeCl3溶液中加足量铁粉， 振荡，加1滴KSCN溶液黄色逐渐消失，加KSCN溶液颜色不变还原性：Fe＞Fe2+ B 将金属钠在燃烧匙中点燃，迅速伸入集满CO2 的集气瓶集气瓶中产生大量白烟，瓶内有黑色颗粒产生 CO2具有氧化性 C 加热盛有少量NH4HCO3固体的试管，并在 试管口放置湿润的红色石蕊试纸石蕊试纸变蓝 NH4HCO3显碱性 D 向2支盛有2 mL相同浓度银氨溶液的试管中分别 加入2滴相同浓度的NaCl和NaI溶液一只试管中产生黄色沉淀，另一支中无明显现象 例题3.【2017新课标3卷】下列实验操作规范且能达到目的的是目的操作 A. 取20.00 mL盐酸在50 mL酸式滴定管中装入盐酸，调整初始读数为30.00 mL后， 将剩余盐酸放入锥形瓶 B. 清洗碘升华实验所用试管先用酒精清洗，再用水清洗 C. 测定醋酸钠溶液pH 用玻璃棒蘸取溶液，点在湿润的pH试纸上 D. 配制浓度为0.010mol·L-1的KMnO4溶液称取KMnO4固体0.158 g，放入100 mL容量瓶中，加水溶解并稀释至刻度 这几道来自2017全国卷的高考选择题，题并不难，然而学生在做此类题时常常犯难，哪怕是基础知识掌握牢固的学生。皆因它有一个明显的提示，化学高考命题确实已经转向到了学科核心素养立意。这几道题体现的是化学学科证据推理素养立意。 证据推理是核心素养之一，它可以基于多学科知识载体培养。基于化学学科知识培养证据推理素养就是化学学科证据推理素养。化学学科证据推理素养无可争议是化学学科的核心素养。 依据华东师范大学王祖浩教授的观点：中学化学证据推理与模型认知核心素养有4个层次水平划分。水平1 能从物质及其变化的事实中提取证据，对有关的化学问题提出假设，能依据证据证明或证伪假设；能识别化学中常见的物质模型和化学反应的理论模型，能将化学事实和理论模型之间进行关联和合理匹配。水平2 能从宏观和微观结合上收集证据，能依据证据从不同视角分析问题，推出合理的结论；能理解、描述和表示化学中常见的认知模型，指出模型表示的具体含义，并运用于理论模型解释或推测物质的组成、结构、性质与变化。水平3 能从定性与定量结合上收集证据，能通过定性分析和定量计算步骤推出合理的结论；能认识物质及其变化的理论模型和研究对象之间的异同，能对模型和原型的关系进行评价以改进模型；能说明模型使用的条件和适用范围。水平4 能依据各类物质及其反应的不同特征寻找充分的证据，能解释证据与结论之间的关系；能对复杂的化学问题情境中的关键要素进行分析以建构相应的模型，能选择不同模型综合解释或解决复杂的化学问题；能指出所建模型的局限，探寻模型优化需要的证据。 证据推理素养的培养恰恰是“双基”教育缺失的部分，也是“能力”教育薄弱的部分。如何在高中化学教育中去培养证据推理素养？我认为应该明确几点： 1、证据推理素养更主要的是一种思维方法，需要建立相应的思维模式。由证据证明或证伪结论。化学证据推理的一般考查模型：通过实验操作、实践认知获取证据，证据往往是宏观的现象；给出结论，结论往往是性质、结构、微观本质或者基本概念；运用基于化学的知识判断证据能否证明或证伪结论。如果证据是小范围且能够推导出大范围事件的结论，那么就能够由证据证明结论，或者说如果证据成为结论的充分条件则证据就能够证明结论。或者表述为，如果依据现象得出的结论包含于所给的结论内，那么现象就可以证明所给的结论，它们就存在着因果关系。

一道高考数学几何题的多种解法探究

一道高考数学几何题的多种解法探究 本文通过一个高考填空题的四种解法着重阐明解析 几何的思想和方法。解法一打破题目所给的坐标系的禁锢，重新建立坐标系另辟蹊径。解法二根据直线AC⊥BD以此建立新的坐标系，这是本题的又一个另辟蹊径。有了参数α，写出新坐标系下的圆的方程，再数形结合用根与系数的关系求弦长。解法三采用直线参数方程，再一次另辟蹊径为解决本题寻求新的方法，其根本目的是便于计算弦长。解法四是几何法，用添加两条垂线的巧妙运用，结合几个重要定理求出弦长，用重要不等式求四边形的最大值。有了这些好方法，使本来很难做的问题得以迎刃而解。 命题：如图⑴已知AC、BD为⊙O：x?+y?=4的两条互相垂直的弦， 垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值是__. 解法一： 由于|OM|= ，考虑到原来的坐标系中两条弦长的计算比较繁琐，因此可改变方法，以 直线OM为x轴，建立新的直角坐标系，此时M的坐标是（，0）。 1.直线AC与BD有一条斜率不存在时，另一条的斜率

为0.不妨设BD的斜率 不存在，则BD⊥x轴，另一条|AC|为直径4，弦|BD|= 此时四边形ABCD 的面积S=1/2|AC|?|BD|=4 2.当直线AC与BD的斜率都存在时，不妨设AC的斜率为k，（k≠0）则BD的斜率为-1/k.所以AC的直线方 k?x-y-k=0，BD的直线方程为x+k?y-=0 。 设O到AC、BD的距离分别是d1，d2，则d1=，d2= 由垂径定理和相交弦定理得|AC|?=4（|AC|/2）?=4（2+d1）（2-d1）=4（4-d1?）类似地可得到|BD|? S?=（1/2|AC|?|BD|）? ∴S ≤ 5. 当k?=1/k?时k=±1时等式成立，此时四边形ABCD的面积S取得最大值5。 坐标系的恰当建立是解析法解题的重要基础和关键，否则会使计算繁琐。本题解法打破题目所给的直角坐标系的禁锢，重新建立坐标系，这就是另辟蹊径的重要途径。然后再综合运用圆的垂经定理和相交弦定理，点到直线的距离公式和重要不等式定理就可解决问题。 解法二：由于AC⊥BD，分别以AC、BD所在直线为x′、y′轴，建立如图新的直角坐标系设∠xMx′=α，则M的坐标为（0，0），O的坐标是（-cosα，sinα），圆的方程是（x′+cosα）?+（y′-sinα）?=4

从一道高考试题引发的思考

从一道高考试题引发的思考 ——浅谈物理考查中的过度学术化倾向 沈金林 （浙江省平湖中学 浙江平湖 314200） 1．问题的由来 2006年全国卷Ⅰ理综物理有这样一道选择题： 【例1】 一位质量为m 的运动员从下蹲状态向上起跳，经时间，身体伸直并刚好离开地面，速度为v 。在此过程中，（ ） A ．地面对他的冲量为mv ＋mg Δt ，地面对他做的功为12 mv 2 B ．地面对他的冲量为mv ＋mg Δt ，地面对他做的功为零 C ．地面对他的冲量为mv ，地面对他做的功为12 mv 2 D ．地面对他的冲量为mv －mg Δt ，地面对他做的功为零 本题正确的答案是B 。而临场考生大多误选A 或C ，错误的认为地面对运动员做的功应等于其动能变化。其实，运动员是一个由肢体的各部分组成的质点系，而高中物理的动能定理只适用于质点。质点系的机械能的变化不仅与重力、弹性力以外的其它外力做功有关，还跟其他内力做功有关。本题中运动员从下蹲状态向上起跳机械能的增加是通过肢体内力做功实现的，地面对人的作用力没有做功。 从功的定义式出发分析，物理学中所谓的机械功是指作用在物体上的力和物体沿力的方向上发生了位移的乘积，这里的“位移”确切地说是指力的作用点沿力的方向对地的位移，本题中运动员从下蹲状态向上起跳过程中，重心的高度虽然发生了变化，但地面对人的作用力作用点对地并没有位移，所以，地面对人的作用力并没有做功。 从功和能的转化角度分析，做功过程必然伴随着能量的转化或转移，甲物体对乙物体做功，则甲物体的能量减少，而乙物体的能量增加。在运动员起跳过程中，地面与人之间显然没有能量转化或转移，所以地面对人和人对地面的作用力都没有做功。 笔者之所以在此不厌其烦对此题作出详细解释，是因为类似该题中学生所犯的错误大量存在于现行各类测试卷和课外辅导练习中。请看一个常见于教辅用书中的试题： 【例2】 如图1所示，平板车放在光滑水平面上，一个人从车的左端 由静止开始加速向右端跑动，设人受到的摩擦力为f ，平板车受到的摩擦力 为f'′，下列说法正确的是（ ） A ．f 、f'′均做负功 B ．f 、f'′均做正功 C ．f 做负功，f'′做正功 D ．因为是静摩擦力，f 、f'′做功均为零 教辅用书对该题常见的解析为：人在跑动过程中，速度增加，人受到的摩擦力对人做正功，同时车后退，车受到的摩擦力对车做正功，故B 项正确。 表面上看，这样的分析与解答滴水不漏，可谓“天衣无缝”。但仔细一推敲就不难发现，与上题错误相似，是被人和车的机械能都增加了这一表象所迷惑。当人在车上向右加速跑动的过程中，即使人的重心在向右（前）加速移动，人的后脚向左（后）蹬车使车向左（后）加速运动，无论脚底与车面是否有相对滑动（通常情况下应是相对静止的），摩擦力在脚底上的作用点（对地）都是向左（后）移动的，这个移动方向与车对脚的摩擦力方向相反，所以，人受到的摩擦力做负功，而车受到的摩擦力做正功。人和车的图 1

一道高考数学试题的多种解法

一道高考试题的多种解法 2007年普通高等学校招生全国统一考试卷Ⅰ理科数学19题: S?ABCDABCD为平行四边形底面,四棱锥中, CBBCS?A面侧.已知底面2BC?23?SA?SB2?AB45??ABC. ,,,BC?SA; 证明(Ⅰ)SABSD. 与平面所成的角的大小(Ⅱ)求直线下面只列,第一问证法较多,第二问相对作法较少: 举几种第一问的证法AOO?BCSSO. ）垂足为证法一:过（如图作,连接1,?SOCDBC?ABS面底得由侧面底面 ABCDSASBCDAOBOAB内的射,、分别是、在底面影. ?OBOASA?SB? ,又45??ABC?ABO?, 形直,角三角又是等腰?OB?OA. BC?SA. 由三垂线定理得SOOAO?BCA1). 连接如图,垂足为(:证法二过,作?SBCSBCSASOSBC?ABCDAO?且由侧面,在侧面底面内的射 影得是,侧面BO,AO?AO?SO. 45?ABO??SBO????SA?ABO?SBSAOOBOA?. .,在又,中90SOA???SOB??SOOB?. 即BCSA?. 由三垂线定理得 OBCAC连接,记证法三:连接的中点为,ABCAOSO?中2).、在(如图 2BC?245??ABC?2AB?ABC?,,,?BCAO?) .(是等腰直角三角形, 下同证法二OACBC连接的中点为,记,证法四:连接 2BC?245ABO???2AB?ABC?SOAO?ABC是等腰直角,中,,2).、(如图在?BC?AO. 三角形, ??SBCSOSASBCSBCABCDAO?. 在侧面,是又侧面底面,内的射影侧面3?cosSBA?SAB?. 在中易得3． 6???SBCcosCBAcos??cos?SBCcos?SBA. 又3?3SC?SO??BCSBC. 中由余弦定理得,在SA?BC. 由三垂线定理得AAO?BCOSO(如图,连接,垂足为过证法五:1). 作?SOSA?SBCSBCSBC?ABCDAO内的射影侧面由侧面,,底面在侧面得且是AO?SO,AO?BO. OA?OB?245??ABC?2AB?ABO?Rt. ,在中,AOS?SORt??12SA?3,AO?. ,在中BOSSO?1?OB?SO?2BO?SB?3,. 中在,,SA?BC. 由三垂线定理得?SBABCDABCDBCSBC?. ,证法六: 侧面在底面内的射影为底面 3??SBAcosSAB?. 中易得在36?cos?SBC?CBA??SBA?cos?SBCcoscos又. 3 SC?3SBC?. 在中由余弦定理得?AO?ABCDBC?SOBCOAOSOSO?是记则的中点为,连接底面、,(如图1),SAABCD内的射影.

一道高考题引发对however用法的思考

一道高考题引发对however用法的思考 however用法详解 一、考点描述however是高考英语中一个十分重要的考点，近几年来每年的各省考题均有所涉及。请看两道典型高考真题： 1. You should try to get a good night?s sleep _____ much work you have to do. A. however B. no matter C. although D. whatever 【分析】答案选A。however作连接副词时，与no matter how相当，后接形容词或副词，意为“无论……”“不管……”。句意是：不管你有多少工作要做，你都应该好好休息一个晚上。 2. He tried his best to solve the problem, _____ difficult it was. A. however B. no matter C. whatever D. although 【分析】答案选A。因difficult是形容词，修饰形容词要用连接副词however(无论如何，不管多么)，引导一个让步状语从句。 二、用法详解 不管however以何种形式出现在高考题中，它都不外乎以下两种用法。1. 用作副词(1) 表示让步：意为(1) “无论如何”“不管怎样”，用来修饰形容词或副词，其词序为：however+形容词或副词+主语+谓语。这样用的however其实具有连词的功能，用以引导让步状语从句。如：Phone me when you arrive, however late it is. 你到达之后就给我打电话，不论多么晚也要打。However much he eats, he never gets fat. 不管他吃多少，他永远吃不胖。However cold it is, he always goes swimming. 不管天有多冷，他都去游泳。You won’t move the stone, however strong you are. 不管你力气有多大，也休想搬动那块石头。However far it is, l intend to drive there tonight 不管有多远，我今晚也要开车到那儿去。用于此用法时，请注意以下几点：①此用法属however所有用法中最重要的考点，同学们务请引起高度重视。②这样用的howeverfont-family: 'Times New Roman'">②与no matter how 大致同义。如：People always want more, however [no matter how] rich they are. 人总是富了还想再富。However [No matter how] hard I worked, she was never satisfied. 无论我多么努力地工作，她从来没满意过。③有时从句谓语可用情态动词。如：Don’t laugh, however funny it may be. 无论多么有趣也不要笑。I’ll try to finish it in time, however hard it may be. 无论多么难，我也要按时完成。④“however＋形容词或副词＋主语＋谓语”有时可以有所省略。如：I refuse, however favorable the conditions. 不管条件如何有利，我都不干。(conditions后省去了are) I’d rather have a room of my own, however small (it is), than share a room. 无论房间多么小，我宁愿一个人住一间，而不愿意与别人合住一个房间。 A grammar rule, however true (it is), is useless unless it can be understood. 一条语法规则，不管如何正确，除非能懂，否则毫无用处。 一条语法规则，不管如何正确，除非能懂，否则毫无用处。 (2) 表示转折：尤其用于谈及一个既成事实时，表示转折，其意为“可是”“仍然”等。可放在句首、句中或句末，通常用逗号与句子其他成分隔开。如：My father, however, did not agree. 但是，我父亲不同意。My room is small; however, it’s comfortable. 我的房间很小，但却很舒服。My room is small; however, it’s comfortable. He said that it was so; he was mistaken, however. 他说情况如此，可是他错了。注：however不能像but(但是)那样直接连

从一道高考题看冒号和破折号的区别

从一道高考题看冒号和破折号的区别 山东省寿光市第一中学张剑平 2010年7月31日 “对岸的草原上万籁无声，河这边却是一片骚动和聒噪：鸟啄击橡树干的笃笃声，野兽穿越丛林的沙沙声，潺潺的流水声，野牛的低哞声——荒野的世界充满一种亲切而粗犷的和谐。” 以上句子是05年重庆高考语文试题中有关标点符号题的一个正确选项，但是，几年来，总有学生对这个句子中冒号和破折号的使用产生怀疑，那么，这个句子中的冒号和破折号用得到底对不对呢？还是先让我们看看冒号和破折号的区别再说吧。 冒号和破折号，一个是点号，一个是标号，差别是很大的，但是，因为二者都有引起下文和总结上文的作用，所以，有时候也会分辨不清。 引起下文时的区别： 1、冒号用在表示提示性话语之后的停顿，用来提示下文。破折号用于表示标明行文中解释说明的语句，分说部分是对总说部分的注释。破折号只是要对前边的文字做进一步的解释和说明，主要是起到加以强调的目的。冒号主要是起到“涵盖”的目的。请看例子： （1）这次职工大会有三个议程：审议奖罚条例，通过三年规划，选举职代会理事。 （2）我国的四大发明——火药、印刷术、指南针、造纸术，对世界历史的发展有伟大的贡献。 （3）今天晚会上有如下节目：舞蹈、独唱、二重唱、相声和杂技。 第一、三句分说部分是总说的分项叙述，而第二句则是对总说部分的注释。 2、冒号的提示作用要发挥到句子末尾，也就是说，冒号要管到句末，不能只管到句中。如果要管几句话或一段话，一般要用序次语或引号标明。而破折号没有这一限定。例如： A、记者在北京一些小学采访，不少老师反映：这一两年，小学生在思想道德方面反映出的劳动观念淡薄，劳动习惯差，自理能力低，不珍惜劳动成果等问题在全国许多地方都存在。（冒号所管的内容为“这……等问题”，没有管到句末，且只做主语，所以应将冒号改为“的”。）

一道高考填空题解法探究

一道高考填空题解法探究 江苏省通州市石港中学(226351) 高志军 设函数3()31f x ax x =-+()x R ∈，若对于任意[]1,1x ∈-,都有()f x ≥0 成立，则实数a 的值为▲ ．（2008年普通高等学校招生统一考试（江苏卷）14题）. 解法一 (对x 进行分类讨论) (1)若x ＝0时，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立. (2)当0x >时, 即(]0,1x ∈时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x = -，则()()' 4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2?? ??? 上单调递增， 在区间1,12?????? 上单调递减，因此()max 142g x g ?? == ???，从而4a ≥. (3)若0x <时, 即[)1,0x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331 a x x ≤ - ()() '4 3120x g x x -= <， 所以()g x 在区间[)1,0x ∈-上单调递增，所以min ()(1)4,g x g =-=从而4a ≤. 综上所述,4a =. 解法二(对a 进行分类讨论) 2()33f x ax '=-. (1)0a ≤时, ()0f x '≤恒成立,∴()f x 在区间[]1,1-上为减函数, min ()(1)2,f x f a ==-()f x ≥0 恒成立，∴20,2,a a -≥∴≥与0a ≤矛盾. ∴0a ≤不可能. (2) 0a >时, 2()33f x ax '=-=3(a x x +. ①01a <≤时, []1,1x ∈- ∴()f x '=3(a x x +≤0恒成立, ∴()f x 在区间[]1,1-上为减函数, min ()(1)2,f x f a ==-∴20,2,a a -≥∴≥与 01a <≤矛盾. ∴01a <≤不可能. ②1a >时, ()f x '的正负、()f x 的单调性及函数值如下表

从一道日本高考数学题说起

从一道日本高考数学题说起 九宫徵羽双子座的完全平方3月23日 我是在我关注的知乎专栏“来看看日本高中的高考数学都考些啥”里看到这道题的，你可以点击文末的阅读原文进入这个专栏。 在放出题目之前，科普一下日本的高考，它分为两个部分，一个是在1月的全国统一高考（センター試験），考完这个统考之后呢，2月到3月还有一场每所大学——甚至一所大学的不同院系自己命题的校内高考，最后学校根据两场考试的成绩再决定录不录取。 看着有点像我们的自主招生，实际上并不是。日本也有与我们的“自主招生”和“校长推荐”类似的途径，可以不参加统考和校考就直接录取。 那接下来，看看题目吧，这是刚刚结束的2018年日本高考，东京工业大学理科生考试的数学的第一道题，一般来说，你需要在25分钟左右解答完这道题。 大致翻译： a,b,c是实数，在复平面考察这三个方程的解。 （1）前两个方程都没有实数解的时候，证明它们的四个解要么共圆，要么共线，并用a,b表示出圆心和半径。 （2）问，三个方程都没有整数解，且六个解共圆的充分必要条件。 题倒是不难，对于东京工业大学这么大的名头来说，可能还算简单了。 如果你想先自己做一下，就不要往下翻了。

简答： （1）都是实系数方程，由韦达定理不难得出①的两个解关于实轴对称，②的两个解同样，所以这四个解围成一个等腰梯形，那显然共圆。 求半径略。 （2）由第一问立得后两个方程共圆的圆心是1/(b-c)，所以这两个圆心重合的充要条件是a+c=2b。（然后还要再考虑它们都没有实解，它们不共线，略） 题说完了，如果我只说这道题我就不会取这个标题了。 题目里的最后一句，“必要十分条件”（ひつようじゅぶんじょうけん）里的“十分”不免让我产生了一个疑问，难道是上传题目的打字打错了？毕竟“十分”和“充分”都是じゅうぶん。 然后我查了一下“充分必要条件”的日语： 确实是写“十分”的，然后我又查了一下“十分”和“充分”的用法： 之前日语只使用“十分”一词，后来由“充実”（じゅうじつ）、“充足”（じゅうそく）等词中引申出“充分”，多用于表达精神上的充分（满足）。在表达数值性、物理性时多使用“十分”。 所以充要条件写作“必要十分条件”也是理所当然的了。 那现代汉语里的“充分”一词是如何出现的呢？它也是一个和制汉语词吗？我又查了一下《汉语外来词词典》。

一道高考选择题的多种解法

一道高考选择题的多种解法 题目：两个可视为质点的小球a 和b ，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示。已知小球a 和b 的质量之比为3，细杆长度是球面半径的2倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是（ ） A. 45 B. 30 C. 5.22 D. 15 解法一：力矩平衡 辅助线如图所示，其中ON 垂直ab ，OM 垂直水平虚线，则θ=∠MON 。又由于R ab 2=，所以三解形aOb 为等腰直角三角形。以O 点为转轴，用力矩平衡原理有（图中未做出转轴到力的作用线的距离）： ?? ? ??+=??? ??-θπθπ4sin 4sin gR m gR m b a 整理得 ?? ? ??+=??? ??-θπθπ4sin 4sin 3…………………………（1） 将四个选项代入可知，选项D 正确。 附：若将上面的（1）式展开来看，可以直接求出关于关于θ的三角函数值，但从下面的计算可以看出，这样做来选择正确选项，并不是容易的。 θθθθcos 2 2sin 22sin 223cos 223+=?-? 整理可得： 32tan -=θ 图2 图1

可以很容易的知道A 和B 是不正确的，但由于我们没有记住C 和D 的角度的正切值，所以说不易找到结果。这说明了解选择题和解答题的解法是不同的。 解法二：共点力平衡——正弦定理 受力分析如图3所示，由于两物体处于平衡状态，所以所受到的三个力将分别构成封闭的三角形。 由两直线平行，同位角相等，可知a 、b 两物体所受支持与直方向的夹角分别为θπ -4和 θπ +4。在两个三角形中分别用正弦定理，有 4sin 4sin 1π θπg m F =??? ??- (2) 4sin 4sin 2π θπg m F =??? ??+ (3) （2）式除以（3）式，整理可得 34sin 4sin 12==?? ? ??-??? ??+m m θπθπ 将四个选项分别代入上式可以找到正确答案。 解法三：共点力平衡——正交分解法 如图对a 进行受力分析并建立直角坐标系。由共点力平衡条件可知 图4 图3

一道高考填空题的解法探究

一道高考填空题的解法探究-中学数学论文 一道高考填空题的解法探究 贾周德 （赣榆中等专业学校，江苏连云港222100） 摘要：本文探究了一道高考填空题的多种解法，开扩了学生的解题思路，培养了学生的创新思维.教学实践证明，在数学教学中开展一题多解训练，有利于学生掌握数学基础知识和基本方法，提高解题能力。 关键词：基本不等式；判别式；三角换元；几何；导数 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-11-0020-01 在数学教学中，笔者引导学生对下面一道高考填空题的解法作了一番探究，得到了多种不同的解法，现总结如下，供解题参考。 题目：设x,y,z为正实数，满足x－2y+3z=0，则y2xz的最小值是。 (2008年江苏高考数学卷第11题) 一、基本不等式法 解法1：由x－2y+3z=0,得y=x+3z2.将此式代入y2xz中,整理得y2xz=x4z+9z4x+32.由题设知,x4z,9z4x均为正实数,由基本不等式,得x4z+9z4x+32≥2x4z.9z4x+32=3,即y2xz≥3(当x=y=3z时,取“=”)，所以y2xz的最小值是3. 点评：上述解法1是用基本不等式ab≤a+b2（a≥0, b≥0）求解的。本题也可以这样解,将已知等式化为y=x+3z2，由基本不等式,得y≥3xz0，即y2xz≥3,从而得解。利用基本不等式求最值时,要注意满足“一正数、二定值、三相等”的条件。

二、判别式法 解法2：设y2xz=t (t0)，则y2=txz.由已知等式,得y=x+3z2.将此式代入y2=txz 中,整理得(xz)2+(6－4t)xz+9=0.因为这个关于xz的二次方程有正实数根，所以判别式Δ＝(6－4t)2－36≥0,解得t≥3或t≤0(舍去），即y2xz≥3（当x=y=3z 时，取“＝”）.所以y2xz的最小值是3. 点评：上述解法2是将y2xz用新变量t表示，结合已知等式，用代入法消去y，整理得关于xz的二次方程，从而利用“判别式法”得解.利用判别式法求函数的最值时,要注意检验其结论的正确性，防止出现“误判”或“漏判”的情形. 三、三角换元法 解法3：将x－2y+3z=0化为x2y+3z2y=1.令x2y=cos2θ,3z2y=sin2θ,θ∈(0,π2).两式相乘并整理，得y2xz=3sin22θ.因为2θ∈(0,π),所以1sin22θ≥1,于是y2xz≥3.当θ=π4时, 1sin22θ取最小值1,从而y2xz取最小值3,此时x=y=3z.所以y2xz的最小值是3. 点评：上述解法3是将已知等式化为x2y+3z2y=1，利用三角换元法把问题转化为求三角函数的最值问题而得解的。这里得出x2y+3z2y=1后,也可以利用基本不等式求解。 四、几何法 解法4：作线段AP=x，延长AP至点B,使PB=3z，则AB=x+3z=2y(x,y,z为正实数). 以线段AB为直径作圆O (如图),作半径OC,使OC⊥AB,则OC=y.过点P作PE⊥AB,交圆O于点E,则3xz=PE2≤OC2,即3xz≤y2,所以y2xz≥3.显然,当点P 与圆心O重合时,此不等式取“＝”，此时x=y=3z.所以y2xz的最小值是3.

从一道高考题看 consider 的用法

从一道高考题看 consider 的用法.txt有谁会对着自己的裤裆傻笑。不敢跟他说话却一遍一遍打开他的资料又关上。用了心旳感情，真旳能让人懂得很多事。╮如果有一天,我的签名不再频繁更新,那便证明我过的很好。从一道高考题看 consider 的用法从一道高考题看consider 的用法 动词consider既可作“考虑”讲, 又可作“看作”讲, 二者有什么区别呢? 让我们走近consider, 看看它有哪些用法吧。 93 NMET试题中的一道单项选择题是: Charles Babbage is generally considered ______ the first computer. A. to invent B. inventing C. to have invented D. having invented 此题考查的就是consider的用法。让我们对consider的用法作一归纳, 然后, 再做答案。 一、consider意为“考虑, 细想”时, 其后可跟: 1. 名词或代词: We must consider the matter from different standpoints. 我们应当从各个角度来考虑一下这件事。 We must consider it very carefully. 我们应仔细地考虑它。 2. 从句: We must consider what”s to be done. 我们必须考虑该怎么办。 He considered how he should answer. 他考虑应当怎样回答。 3. “疑问词＋不定式”: Have you considered how to get there? 你是否考虑过如何到那里? We have to consider what material to use first. 我们先得考虑用什么材料。 注意: consider作“考虑”解时, 不能直接接不定式。 4. 动名词: He considered going to see them in person. 他考虑亲自去看望他们。 He is considering changing his job. 他在考虑调换一下工作。 5. 介词over或单独用: He said they had considered over it. 他说他们已经考虑过了。 Let me consider. 让我考虑一下。 二、consider意为“认为, 以为, 把……看作”, 其后可跟: 1. 从句: We consider that a friend in need is a friend indeed. 我们认为患难之友才是真正的朋友。 2. 名词的复合结构（即名词作宾语补足语）: We consider Beijing the heart of our country. 我们认为北京是我国的心脏。 3. 带形容词的复合结构: They considered me too young to do the work. 他们认为我太年轻, 干不了这项工作。 4. 带不定式的复合结构: We consider only such methods to be correct. 我们认为只有这样的方法才是正确的。

一道高考题的五种解法

一道高考题的五种解法-中学数学论文 一道高考题的五种解法 高成龙 （首都师范大学数学科学学院，北京100048） 摘要：数学被称为思维的体操，一题多解可以透过多个角度来审视一道题目，对学生的解题能力有很大提高。本文通过对一道高考题进行深入分析，得出五种解法，拓展了解题思路，培养学生探究式学习的兴趣。 关键词：三角函数；一题多解；高考 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-11-0025-01 题目：（2012年全国大纲卷·理7）已知α为第二象限角，且si nα+cosα=33，则cos2α=（） A.－53 B.－59 C.53 D.59 分析一：利用三角函数基本公式sin2α+cos2α=1，联立方程组来求解得sinα,cosα的值，进而求得cos2α的值. 解法一：sin2α+cos2α=1（1），sinα+cosα=33（2），联立（1）式与（2）式消去cosα得：2sin2α－233sinα－23=0， 求得sinα=3+156或sinα=3－156. 又由题设α为第二象限角，所以sinα0，即sinα=3+156 ，代入（2）式得cosα=3－156，由cos2α=cos2α－sin2α得cos2α=－53，选A. 分析二：在解法一中求得sinα的值之后，无需在求cosα，直接利用cos2α=1－2sin2α来求cos2α的值. 解法二：由解法一求得sinα=3+156，由cos2α=1－2sin2α得cos2α=1－

2sin2α=1－23+1562=－53，选A. 分析三：根据sinα+cosα=33先求得sin2α的值，进而求得cos2α的值. 解法三：因为sinα+cosα=33，将其两边完全平方得: sinα+cosα2=1+sin2α=13，解得:sin2α=－23，利用sin22α+cos22α=1得cos2α=±53，由题设α∈π2,π，则2α∈π,2π，即2α位于第三或第四象限，这样cos2α的符号不唯一，因此这种方法不能确定cos2α的符号. 下面从另一个角度来确定cos2α的符号：根据二倍角公式cos2α=cos2α－sin2α=cosα+sinα·cosα－sinα，因为α为第二象限角，所以cosα0,sinα0，从而cosα－sinα0，另外sinα+cosα=330，因此cos2α0，从而cos2α=－53，选A. 分析四：解法思路同解法三相同，区别在于判断cos2α的符号取决于cosα与sinα的大小. 解法四：同解法三实质一样，求得cos2α=±53，下面来判断cos2α的符号，因为α为第二象限角，所以cosα0,sinα0，且sinα+cosα=330，从而sinαcosα，因此cos2α=cosα2－sinα20，从而cos2α=－53，选A. 分析五：由已知sinα+cosα的值，利用恒等式去求解cosα－sinα的值，进而求得cos2α的值. 解法五：由于题目已知sinα+cosα=33,为避免求sin2α的值，直接利用恒等式cosα+sinα2+cosα－sinα2=2得cosα－sinα2=53，又由解法三cosα－sinα0，因此cosα－sinα=－153，从而cos2α=cosα+sinα·cosα－sinα=33×－153=－53,选A. 作者简介：高成龙，首都师范大学数学科学学院，2012级研究生，研究方向：

一道高考数学试题的多种解法

一道高考试题的多种解法 2007年普通高等学校招生全国统一考试卷Ⅰ理科数学19题: 四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 侧面S B C ⊥底面A B C .已知 45ABC ∠=,2AB =,BC =SA SB ==(Ⅰ)证明SA BC ⊥; (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成的角的大小. 第一问证法较多,第二问相对作法较少,下面只列 举几种第一问的证法: 证法一:过S 作SO BC ⊥,垂足为O ,连接AO （如图1）. 由侧面S B C ⊥底面A B C D 得SO ⊥底面 A B C D ,AO 、BO 分别是SA 、SB 在底面ABCD 内的射 影. 又SA SB =,∴OA OB = 又45ABC ∠=,∴ABO ?是等腰直角三角形, ∴OA OB ⊥. 由三垂线定理得SA BC ⊥. 证法二:过A 作AO BC ⊥,垂足为O ,连接SO (如图1). 由侧面SBC ⊥底面ABCD 得AO ⊥侧面SBC ,∴SO 是SA 在侧面SBC 内的射影,且,AO SO AO BO ⊥⊥. 在ABO ?中45ABO ∠=,∴OA OB =.又SA SB =,SAO SBO ∴???. 90SOB SOA ∴∠=∠=即OB SO ⊥. 由三垂线定理得SA BC ⊥. 证法三:连接AC ,记BC 的中点为O ,连接 AO 、SO (如图2).在ABC ?中 45ABC ∠=,2AB =,BC =∴ABC ? 是等腰直角三角形, ∴AO BC ⊥.(下同证法二) 证法四:连接AC ,记BC 的中点为O ,连接 AO 、SO (如图2).在ABC ?中45ABO ∠=,2AB =,BC =∴ABC ?是等腰直角三角形, ∴AO BC ⊥. 又侧面SBC ⊥底面ABCD ,∴AO ⊥侧面SBC ,SO 是SA 在侧面SBC 内的射影. 在SAB ?中易得cos SBA ∠=

一道初中几何题的多种解法

一道初中几何题的多种解法 【题目】已知：过ABC ?的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E . 求证： FB AF ED AE 2=. 【分析】平行线分线段成比例 【提示】系数2既是难点，又是突破点 【解法1】 证：连BE ，则由同高三角形面积关系得 BCF ACF BEF AEF S S S S FB AF ????==，CDE AEC S S ED AE ??= 根据等比性质得： BCE ACE BEF BCF AEF ACF S S S S S S FB AF ??????= --= ∵D 为BC 的中点， ∴D CE BCE S S ??=2 ∴ DE AE FB AF 2=，即FB AF ED AE 2= 【解法2】 证：过D 作CF DM //交AB 于M ， ∵CF DM //， ∴ FM AF ED AE = ∵D 为BC 的中点，CF DM // ∴M 为BF 的中点，即BF MF 2 1 = ， ∴BF AF ED AE 2 1 = ，即FB AF ED AE 2= 【解法3】 证：过D 作AB DN //交CF 于N ， ∵AB DN //， C D B C C

∴ DN AF ED AE = ∵D 为BC 的中点，AB DN // ∴N 为CF 的中点， ∴DN 为BCF ?的中位线，则BF DN 2 1 = ∴ BF AF ED AE 2 1= ，即FB AF ED AE 2= 【解法4】 证：过B 作CF BG //交AD 延长线于G ， ∵CF BG //， ∴ EG AE FB AF = ∵D 为BC 的中点，CF BG // ∴D 为GF 的中点，即DE EG 2= ∴ DE AE FB AF 2=， 即FB AF ED AE 2= 【解法5】 证：过B 作AD BH //交CF 延长线于H ， ∵AD BH //， ∴BH AE FB AF = ∵D 为BC 的中点，AD BH // ∴E 为CH 的中点， ∴DE 为BCH ?的中位线，则DE BH 2= ∴DE AE FB AF 2=，即FB AF ED AE 2= 【解法6】 证：过A 作BC AK //交CF 延长线于K ， ∵BC AK //， G C C

一道高考数学试题的解法探究及教学思考

一道高考数学试题的解法探究及教学思考 题目：双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1、l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1、l 2于A 、B 两点. 已知||、||、||成等差数列，且与同向. （1）求双曲线的离心率； （2）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程. 一、试题分析 本题是2008年高考数学全国卷I 文科第22题（理科第21题），是主要考查解析的几何基本思想和基本方法的压轴题，看似平凡，其实是一道可以用来归纳求解离心率的常用方法和技巧的好题，对启迪学生的发散性思维，拓宽学生的解题思路很有帮助。其命题意图是考查学生数形结合、化归与转化的数学思想和方程的思想。考生初读题目，感觉常规，下笔却困难重重。原因是试题的第（1）问对考生的思维能力要求较高，许多考生草读一遍题意， 便下笔求解A 、B 两点的坐标，虽然一些考生能够正确求出A 、B 两点的坐标为2,a ab A c c ?? ?? ?，22222,a c abc B a b a b ??- ?--??，接下来计算||和||还较容易，但计算||由于计算量大，陷入解题困境，部分考生算出了一个相当复杂的结果；部分考生甚至算了半天也计算不出结果，最后心慌，放弃此题。本文以此题为载体，引导学生一题多解，发散思维，并引发了几点思考，旨在与同行交流。 二、第（1）问解法探究 分析：如图1所示，设双曲线方程为22 22x y a b -=1(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F(c,0)(c ＞0)，则c 2=a 2+b 2.不妨设l 1：bx-ay=0，l 2：bx+ay=0， 依题意||FA ==b ，|| ==a ，由 22 1a b a c e +==知，只需求出a b 的值即可，可用多种思维建立a 与b 的关系。 解法1（坐标法）:由已知知直线AB 的方程为)(c x b a y --=，联立0,(),bx ay a y x c b -=???=-- ?? 解图1