中考数学一轮复习二次根式知识点及练习题及答案

一、选择题

1．下列各式计算正确的是（ ） A ．235+=

B ．2222+=

C ．236?=

D ．

1

222

= 2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ． 1.5

B ．

13

C ．10

D ．27

3．下列等式正确的是（ ） A ．497-=-

B ．2(3)3-=

C ．2(5)5--=

D ．822-=

4．下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．12

B ．3

C ．0.01

D ．

12

5．下列各式计算正确的是（ ） A ．532-=

B ．1236?=

C ．3232+=

D ．222()-=-

6．若2019202120192020a =?-?，2202242021b =-?，2202020c =+，则

a ，

b ，

c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<

C ．b a c <<

D ．b c a <<

7．下列运算正确的是（ ）

A ．x + 2x =3x

B ．32﹣22=1

C ．2+5=25

D ．a x ﹣b x =（a ﹣b ）x 8．若实数a ，b 满足+

=3，

﹣

=3k ，则k 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤k ≤2

B ．﹣3≤k ≤3

C ．﹣1≤k ≤1

D ．k ≥﹣1

9．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A 3x +B 1

3

x - C 1

3

x +D 3x -

10．下列根式中是最简二次根式的是（ ） A 23

B 10

C 9

D 3a 二、填空题

11．能力拓展：

12121A =

+23232A =+；3:4343

A =+；

454A =________．

…n A ：________．

()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空． ()2比较大小1A 和2A

∵32+

________21+

∴132+________121

+

∴32-________21-

()3同理，我们可以比较出以下代数式的大小：

43-________32-；

76-________54-；1n n +-________1n n --

12．化简并计算：

(

)(

)(

)(

)(

)

(

)(

)

1

1

1

1

...1

1

2

2

3

19

20

x

x x x x x x x +

+

++

=+++++++_____

___．（结果中分母不含根式） 13．计算（π-3）02-2

11(223)-4

--22

--（）

的结果为_____． 14．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．

⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为

234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；

⑵根据以上规律写出n a 的表达式．

15．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72

[72]=8

[8]=2

2]=1，类似地，只需进行3次操作

后变为1的所有正整数中，最大的是________． 16．1

4

(1)(1)(2)(8)(9)x x x x x x +???=+++++的解是______．

17．1

1882

．

18．

使式子

2

x +有意义的x 的取值范围是______． 19．如果0xy >

． 20．下列各式：

是最简二次根式的是:_____（填序号）

三、解答题

21．计算及解方程组： （1

-1-） （2

)

2

+

（3）解方程组：251032x y x y x y -=??

+-?=??

【答案】（1

）2

）7；（3）102x y =??=?

．

【分析】

（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可； （2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】

（1

1-

1+（

1

1

=1 （2

2

+）

=34-

=7-

=7-

（3）251032x y x y x y

-=??

?+-=??

①②

由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2

∴原方程组的解是：10

2x y =??=?

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．

22．若x ，y 为实数，且y

1

2

．求x y y x ++2－x

y y x +-2的值．

【分析】

根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x ≥0且4x ﹣1≥0，解得x =1

4

，此时y =

1

2

．即可代入求解． 【详解】

解：要使y 有意义，必须140410x x -≥??-≤?，即1

4

14

x x ?≤??

?

?≥

??

∴ x ＝14．当x ＝14

时，y ＝12．

又∵

x y y x ++2－x y

y x +-2

＝

－

| ∵x ＝

14，y ＝1

2，∴ x y ＜y x

．

∴

+

当x＝1

4

，y＝

1

2

时，原式＝

．

【点睛】

（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

23．阅读材料，回答问题：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式

a =

，

)

111

=

1

1互为有理化因式．

（1

）1的有理化因式是；

（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：

3

==，

2

538

4

532

++

====

-

进行分母有理化．

（3）利用所需知识判断：若a=

，2

b=a b

，的关系是．

（4

）直接写结果：)1

=

．【答案】（1）1；（2）

7-；（3）互为相反数；（4）2019

【分析】

（1

）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；

（2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式(2，化简即可；

（3

）将a

=

（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．

【详解】

解：（1）∵()()

1111

=，

∴231-的有理化因式是231+； （2）

23

23-+=

(

)

(

)()

2

23

4433

74343

23

23--+=

=--+-；

（3）∵()()

125

52252525

a -=

==-++-，25b =-， ∴a 和b 互为相反数；

（4）(

)

11112020121

324320202019??+++?+?+ ?++++??

=

(

)(

)

2132432020201920201-+-+-+?+-?+

=(

)(

)

20201

20201-+

=20201- =2019， 故原式的值为2019. 【点睛】

本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．

24．阅读下列材料，然后解答下列问题：

在进行代数式化简时，我们有时会碰上如53，231

+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： (一)

5353

333

?==?； (二)

231)

=3131(31)(31)

-=-++-（； (三) 22(3)1(31)(31)=3131313131

-+-===-++++.

以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)请用不同的方法化简5+3

： ①参照(二)式化简5+3

＝__________. ②参照(三)式化简

5+3

＝_____________

(2)化简：

++++

315+37+5

99+97

+.

【答案】见解析. 【分析】

（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）原式各项分母有理化，计算即可. 【详解】 解:(1)①

;

②; (2)原式

故答案为:(1)①;②

【点睛】

此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.

25．3535+-

解：设x 3535+-222(35)(35)2(35)(35)x =++-++-235354x =+，

x 2=10 ∴x =

10．

3535+-03535+-10． 4747+- 14 【分析】

根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】

设x 47+47-

两边平方得：x 2=47+2+47-2+47?47+- 即x 2=47+47+6，

x2=14

∴x=．

0，∴x．

【点睛】

本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．

26．计算

(2)2

；

(4)

【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）

【分析】

（1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；

（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；

（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．

【详解】

解：

=

=

(2)

2

=22

-

=63

-

=9-

=1；

(4)

=

=

= 【点睛】

此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．

27．计算：（1 ；

（2）

)

)

2

13

【答案】（1）2）1-. 【分析】

（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案． （2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算． 【详解】

（1）原式=

=

（2）原式=212---

=1-. 【点睛】

本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．

28．02020((1)π-．

【答案】 【分析】

本题根据零次幂，最简二次根式，整数次幂的运算规则求解即可． 【详解】

原式11=-= 【点睛】

本题考查幂的运算与二次根式的综合，需牢记非零常数的零次幂为1，二次根式运算时需化为最简二次根式，其次注意计算仔细．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C

【分析】

计算出各个选项中的正确结果，即可得到哪个选项是正确

【详解】

A错误；

∵2+B错误；

=，故选项C正确；

=

，故选项D错误.

2

故选C.

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．2．C

解析：C

【分析】

化简得到结果，即可做出判断．

【详解】

，不是最简二次根式；

解：A

2

B

，不是最简二次根式；

3

C是最简二次根式；

D

故选：C．

【点睛】

本题考查最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解题关键．

3．B

解析：B

【分析】

根据二次根式的性质求出每个式子的值，再得出选项即可．

【详解】

解：A

B3

=，故本选项符合题意；

C、5

=-，故本选项不符合题意；

D、=-，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次根式的性质和化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．

4．B

解析：B

【分析】

直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．

【详解】

解：A

B

C0.1，故此选项错误；

D

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．

5．B

解析：B

【分析】

根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据

=对D进行判断．

a

【详解】

解：A不能合并，所以A选项错误；

B6

=，正确，所以B选项正确；

C、3不能合并，所以C选项错误；

D22

()，所以D选项错误．

=--=

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减计算法则．

6．A

解析：A

【分析】

利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．

【详解】

解：a=2019×2021-2019×2020

=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020

=20202-1-20202+2020

∵20222-4×2021

=（2021+1）2-4×2021

=20212+2×2021+1-4×2021

=20212-2×2021+1

=（2021-1）2

=20202，

∴b=2020；

∵22

+>，

2020202020

∴c＞b＞a．

故选：A．

【点睛】

本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、2

-?，利用完全平方公式计算出其值，是

202242021

解决本题的关键．

7．D

解析：D

【解析】

利用二次根式的加减法计算，可知：

A、x+ 2x不能合并，此选项错误；

B、32﹣22=2，此选项错误；

C、2+5不能合并，此选项错误；

D、a x﹣b x=（a﹣b）x，此选项正确．

故选：D．

8．C

解析：C

【解析】

依据二次根式有意义的条件即可求得k的范围．

解：若实数a，b满足+=3，又有≥0，≥0，

故有0≤≤3 ①，0≤≤3，则

﹣3≤-≤0 ②

+②可得﹣3≤﹣≤3，又有﹣=3k，

即﹣3≤3k≤3，化简可得﹣1≤k≤1．

故选C．

点睛：本题主要考查了二次根式的意义和性质．解题的关键在于二次根式具有双非负性，即≥0（a≥0），利用其非负性即可得到0≤≤3，0≤≤3，并对0≤≤3变形得到﹣3≤-≤0，进而即可转化为关于k的不等式组，求出k的取值范围.

解析：D 【分析】

根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案. 【详解】

A 、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；

B 、x-3＞0，解得：x ＞3，故此选项错误；

C 、x+3＞0，解得：x ＞-3，故此选项错误；

D 、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确， 故选D ． 【点睛】

本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．

10．B

解析：B 【分析】

根据最简二次根式的条件：①根号下不含能开得尽方的因数或因式；②根号下不含分母，据此逐项判断即可． 【详解】

解：A 、被开方数含分母，故A 不符合题意；

B 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．，故B 符合题意；

C 被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C 不符合题意；

D 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D 不符合题意； 故选：B ． 【点睛】

本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的两个条件．

二、填空题

11．(1)、；(2);(3) 【解析】 【分析】

（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；

（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等

解析：(1)

=

；(2),,><<;(3)

,,<<< 【解析】

（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；

（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得

>1）的结论解答；

（3）利用（2）的结论进行填空. 【详解】

解：（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以

=

，

（2>

1>

>，

<

<

（3）由（1）、（2<，

故答案为：

=；(2),,><<;(3),,<<<

【点睛】

主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.

12．【分析】

根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案． 【详解】 解：原式= =． 故答案为． 【点睛】

此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观

解析：

2

20400x

x x

- 【分析】

-，将原式进行拆分，然后合并可得出答案． 【详解】 解：原式=

==

故答案为2

20400x

x x

-． 【点睛】

此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．

13．﹣6 【解析】

根据零指数幂的性质，二次根式的性质，负整指数幂的性质，可知（π-3）0=1﹣（3﹣2）﹣4×﹣4=1﹣3+2﹣2﹣4=﹣6. 故答案为﹣6．

解析：﹣6 【解析】

根据零指数幂的性质0

1(0)a a =≠，二次根式的性质，负整指数幂的性质

1

(0)p

p a

a a

-=≠，可知（π-3）0-2

1-2

（）

=1﹣（3﹣）﹣

4×

2

﹣4=1﹣﹣﹣4=﹣6. 故答案为﹣6．

14．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an ＝（n 为正整数）． 【解析】

（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC ＝1，∠B＝90°． ∴在Rt△ABC 中，AC ＝＝＝．同理：AE ＝2，EH ＝2，

解析：（1）a 2，a 3＝2，a 4＝；（2）a n n 为正整数）． 【解析】

（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．

∴

在Rt △ABC 中，AC

AE ＝2，EH ＝，…，

即a 2a 3＝2，a 4＝ （2）a

n n 为正整数）．

15．255 【解析】

解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．

点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和

解析：255 【解析】

解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．

点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．

16．9 【解析】 【分析】

设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】

设y=，则原方程变形为 ， ∴， 即，

∴4y+36-4y=y(y+9)， 即y2+9y-36=0， ∴

解析：9 【解析】 【分析】

设()111

11

y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.

【详解】

设则原方程变形为

()()()

()()

11

1

1112894

y y y y y y ++

=

+++++，

∴1111111112

894

y y y y y y -+-++

-=+++++， 即

11194

y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)， 即y 2+9y-36=0， ∴y=-12或y=3， ∵

， ∴

，

∴x=9， 故答案为：9. 【点睛】

本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()111

11

y y y y =-++的应用.

17．【解析】 【详解】

根据二次根式的性质和二次根式的化简，可知==. 故答案为. 【点睛】

此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.

【解析】 【详解】

22

.

故答案为2

. 【点睛】

此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.

18．且 【分析】

根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得． 【详解】

由题意得：， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】

本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分

解析：3x ≤且2x ≠- 【分析】

根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得． 【详解】 由题意得：20

30x x +≠??

-≥?

，

解得3x ≤且2x ≠-， 故答案为：3x ≤且2x ≠-． 【点睛】

本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．

19．【分析】

由，且，即知，，据此根据二次根式的性质化简可得． 【详解】 ∵，且，即， ∴，， ∴，

故答案为：． 【点睛】

本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．

解析：-【分析】

由0xy >，且2

0xy -≥，即?0y xy -≥知0x <，0y <，据此根据二次根式的性质化简可得． 【详解】

∵0xy >，且20xy -≥，即?0y xy -≥， ∴0x <，0y <，

=

=-

故答案为：- 【点睛】

本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．20．②③

【分析】

根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．

【详解】

②③是最简二次根式，

故答案为②③．

【点睛】

本题考查最简二次根式的定义，

解析：②③

【分析】

根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．

【详解】

是最简二次根式，

故答案为②③．

【点睛】

本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

三、解答题

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无