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2015浙江省数学竞赛试题及答案

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案

一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）

1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22

221(,,0)x y a b R ab a b

+=∈≠经过点

(

)

2,1”的( A )．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件答案：A.

解答：当a =2， 2b =曲线C ：22

221x y a b

+=经过

(

)

2,1；当曲线C ：22

221x y a b

+=经过

点

(

)

2,1时，即有

221

1a b

+=，显然2,2a b =-=-也满足上式。所以“a =2， 2b =”是“曲线C ：22

221x y a b

+=经过点

(

)

2,1”的充分不必要条件。

2．已知一个角大于120o的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( B )．

A ． 1m >

B ． 312m <<

C ．3

m << D ．3m > 答案：B.

解答：由题意可知：

222

(1)2(2)(1)(1)

m m m m m m m m ++>+??+>++++?解得3

12m <<。

3．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点，则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )．

A ．

36 B ． 1

2 C ． 3

3 D ．63 答案：C.

解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则

(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)2

D A C D M ，且平面1ACD 的法向量为

1n = (1,1,1)，平面1MCD 法向量为2

(1,2,2)n =- 。因此123cos ,3

n n <>= ，即二面角第3题图

C 1

B 1D 1

A 1

C D A

M -CD 1-A 的余弦值为

。 4．若实数,a b 满足20

101

a b b a a +-≥??

--≤??≤?

，则22a b a b ++的最大值为 ( C )．

A ． 1

B ． 54

C ． 7

D ． 2 答案：C.

解答：由,a b 满足的条件知13b

a ≤

≤，所以

237225

2a b b

a b

+=-≤

++，当13

(,)(,)22a b =取等

号。

5．已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则

PQR ABC

S S ??的最小值为( D )．

A ． 12

B ． 13

C ． 14

D ． 1

5 参考答案：D.

解答：如图5-1所示，

图5-1 图5-2

（1）当PQR ?的直角顶点在ABC ?的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，

180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠ 所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ??中分别应

用正弦定理得

,sin sin sin sin PR AR QR BR A APR B BQR

==.又45,A B ∠=∠=

故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.

B C

P Q

P R

过R 作RH AC ⊥于H ，则1

2PR RH BC ≥=

,所以2

221

()124

PQR ABC

BC S PR S BC BC ??=≥=,此时

PQR ABC

S S ??的最大值为

. （2）当PQR ?的直角顶点在ABC ?的直角边上，如图5-2所示，设

1,(01),(0)2

BC CR x x BRQ π

αα==≤≤∠=<<

,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠=

在Rt CPR ?中，,sin sin CR x

PR αα

= 在BRQ ?中，3

1,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理, 1sin 3sin sin sin sin()44

PQ RB x

B PQB αππα-=?=?∠+

1sin cos 2sin x ααα=+，因此2

221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα

?===+. 这样，

PQR ABC

S S ??2222

111

(

)cos 2sin (12)(cos sin )5

αααα=≥=+++，当且仅当arctan 2α=取等号，此时

PQR ABC

S S ??的最小值为1

6. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)(1)

n nx a x x nx =

+++ ，*

n N ∈，若

1220151a a a +++< ，则实数x 等于（ D )．

A ．32-

B ．512

- C ．940- D ．1160- 答案：D.

(1)111

(1)(21)(1)(1)(21)[(1)1](1)(21)(1)

n nx a x x nx x x n x x x nx +-=

+++++-++++

则

2015

11(1)(21)(20151)0(1)(21)(20151)

k k a x x x x x x ==-

+++∑ ，所以

111111

(1,)(,)(,)(,)234201320142015

x ∈--?--??--?-+∞ ，经检验只有1160x =-

符合题意。

7．若过点P （1，0），Q （2，0），R （4，0），S （8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．

等于 ( C )． A ．

1617 B ． 365 C ． 265 D ． 196

53 答案：C.

解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为a ，面积为,S 过P 的直线的倾斜角为(0)2

θθ<<。

当过点

,P Q 的直线为正方形的对边所在的直线时，

sin cos sin 4cos sin 17

PQ a RS θθθθθ==?=?=，此时正方形的面积216(sin )17

S PQ θ==

。同理，当过点,P R 的直线为正方形的对边所在的直线时，36

S =；当过点,P S 的直线为正方形的对边所在的直线时，196

S =

. 8．若集合{}2015

*(,)(1)(2)()10

,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈ ，则集合A

中的元素个数为( B )．

A ．4030

B ．4032

C ． 20152

D ． 20162 答案：B.

解答：由已知得20162015

(21)2

5n n m ++=，因为,21n n m ++一奇一偶，所以,21n n m ++两

者之一为偶数，即为2016201620162201620152,25,25,,25 共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所以集合A 共有4032个元素.

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）

9．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，(2)(2)0f x f x +--=，且2()13

f =，则

1000

(

f = ．答案：1-.

解答：(2)(2)[1(1)][1(1)()(4)()f x f x f x f x f x f x f x +=-=--=-+-=-?+=，所以

100044112()(332)()(1)(1)() 1.333333

f f f f f f =+==+=--=-=-

10．若数列{}n a 的前n 项和n

S =3

n n -，*

n N ∈，则20151

i i a i =+-∑

= ．

答案：

2015

6048

. 解答：1

352,n

n n i i i i a a a n n -===

-=-+∑∑又10a =，故2*

352()n a n n n N =-+∈, 2015

2015201511111111

()823(1)

31i i i i a i i i i i =====-=+-++∑∑∑20156048. 11．已知F 为抛物线2

5y x =的焦点，点A (3，1)， M 是抛物线上的动点．当||||MA MF +取最小值时，点M 的坐标为．答案：1

(

,1)5

. 解答：设抛物线的准线为5

l x

=-.过M 作l 的垂线，垂足为,H 则

AM MF AM MH AH +=+≥,当,,A M H 三点共线时取等号，此时M 的坐标为1

(,1)5

。 12．若22

sin cos 16

1610x

x +=，则cos 4x = .

答案：1

解答:设2sin 16

,116x

t t =≤≤，则2

cos 1sin 16

16x

x t

-==，代入方程得16102,t t t +=?=或8t =，即

1sin 4x =或3

4，所以cos 4x =12

-。

13. 设函数2

()min{1,1,1

}f x x x x =-+-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者．若(2)()f a f a +>，则实数a 的取值范围为．

答案：(,2)(1,0)-∞-?-.

解答：当21a +≤-时，21,a a <+≤-此时有()(2)f a f a <+；

当120a <+<时，32,a -<<-此时有()(2)1(2)f a f f a ≤-=-<+；当021a ≤+≤时，21,a -≤<-此时有()(2)f a f a ≥+；

当122a <+<时，10,a -<<此时有()(2)f a f a <+；

当22a +≥时，0,a ≥此时有

()(2)f a f a ≥+。

14．已知向量,a b 的夹角为3π， 5a b -= ，向量c a - ，c b - 的夹角为

π，23c a -=

，则a c ?

的最大值为．

答案：24.

解答：,,OA a OB b OC c === ，则23, 5.AC c a AB a b =-==-=

又

2,,3

AOB ACB π

π∠=

∠=

此时,,,O A C B 共圆，由正弦定理得3

sin 5ABC ∠=，则

c o s 5ABC ∠=

。在A C O ?中，A O C

A ∠=∠,由余弦定理得222

2cos AC a c a c AOC =+-∠ ,即8122305

a c a c a c ≥-?≤ ，所以

cos 24a c a c AOC ?=∠≤ ，当14

arctan 423

ACO π∠=+时取“=”，因此a c ? 的最大值为

24.

15．设,ab

Z ∈，若对任意0x ≤，都有2

(2)(2)0ax x b ++≤，则______a =,_______.

b =

答案：1,2a

b ==-.

解答：首先令0,x =知0b ≤.其次考虑过定点（0,2）的直线2y ax =+，与开口向上的抛物线2

2y x b =+，满足对任意0x ≤所对应图象上的点不在x 轴同侧，因此2

2b a

--=.又,a b Z ∈，故1,2a

b ==-.

三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分）

16．设,a b R ∈，函数2

()(1)2f x ax b x =++-．若对任意实数b ，方程()f x x =有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．参考答案：

因为方程()f x x =有两个相异的实根，即方程2

(1)20ax b x b +-+-=有两个相异的实数

根，所以

{

(1)4(2)0x a b a b ≠?=---> ………………………………4分

即

{

2(12)810

a b a b a ≠-+++>对任意实数b 恒成立，所以

{

4(12)4(81)0b a a a ≠?=+-+<，…………………………………………………12分

解得01a <<.…………………………………………………………………………16分

17．已知椭圆22

122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为

，右焦点为圆222:(3)7C x y -+=的圆心．

(I)求椭圆1C 的方程；

(II)若直线l 与曲线C 1，C 2都只有一个公共点，记直线l 与圆C 2的公共点为A ，求点A 的坐标．

参考答案：（Ⅰ）设椭圆1C 的半焦距长为c ，则332c c a

?=??=??，解得{

21a b ==，所以椭圆方程为

214

x y +=.………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线l 的率存在时，可设直线l 的方程为(,)y kx m k m R =+∈，点A 的坐标为(,)A A x y ，其中2

1A km y k

-=-

+. 联立方程2214x y y kx m

??+=??=+?，消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=…………（1）所以22116(41)0,k m ?=-+=即

22410k m -+=……………………（2）……………………………………………8分

联立方程22(3)7

x y y kx m

?-+=??=+??消去y 得

222(1)2(3)40k x km x m ++-+-= (3)

所以22216(4237)0,k m mk ?=--+=即

2242370k m mk --+=……………………………（4）…………………………12分

（2）-（4）得3km =

(5)

（5）代入（3）得2

01A km x k -=-

=+………………（6）…………………………16分

（6）代入2

2:(3)7C x y -+=得2A y =±.

经检验(0,2),A 或(0,2)A -符合题意，这样点A 的坐标为(0,2),(0,2)-.…………18分

18．已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1

n n n

n n n a a b a b n N b b a ++?

=+??>>∈?

???

．证明:505020a b +>．参考答案：

证明：因为2222

112211

2()n n n n n n n n n n

a b a b a b a b b a +++=++

+++，所以 49

22250

221111

()2()i i i i i i i i a b a b a b a b b a ==+=+++++∑∑

1122

1111

22494449200.a b a b >++

++??≥+?=……………………8分又111

2n n n n n n

a b a b a b ++=+

+，所以49

50501111

1111124998100i i i

a b a b a b a b a b ==+

+?>++≥∑.……………………16分所以2

505050505050()2200200400a b a b a b +=++>+=.因此505020a b +>……18分

四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分）

附加1已知数列{}n a 满足11a =，2

13221n n n a a a +=+-，*n N ∈．

(I) 证明：{}n a 是正整数数列；

(II) 是否存在*m N ∈，使得2015m a ，并说明理由．参考答案：（Ⅰ）由2

13221n n n a a a +=+-得

2211640n n n n a a a a +++++=， (1)

同理可得 22

2212640n n n n a a a a +++++++=，………………（2）……………………5分由（1）（2）可知，2,n n a a +为方程2

11640n n x a x a ++-++=的两根，又2n n a a +<，即有

216n n n a a a +++=，即216.n n n a a a ++=-

因为121,5,a a ==所以n a 为正整数.……………………………………………………10分（Ⅱ）不存在*m N ∈，使得2015m a .…………………………………………………15分假设存在*m N ∈，使得2015m a ，则31m a . 一方面，2214m m m a a a ++=+，所以2

1314m a ++,即

214(mod31)m a +≡-，所以301530142(mod31)m a +≡-≡-.

由费马小定理知3021(mod31)≡，所以30

11(mod31)m a +≡-…………………………20分另一方面，1(,31)1m a +=.事实上，假设1(,31)1m a d +=>，则31d ，即31d =，所以131m a +，而2

1314m a ++，这样得到314.矛盾.

所以，由费马小定理得3011

(mod31)m a +≡. 这样得到11(mod31)≡-.矛盾.所以不存在*

m N ∈，使得2015m a .………………25分

附加2 设k 为正整数，称数字1~31k +的排列1231,,,k x x x + 为“N 型”的，如果这些数满足（1）121k x x x +<<< ；（2）1221k k k x x x +++>>> ；（3）212231k k k x x x +++<<< ．记k d 为所有“N 型”排列的个数．

(I)求1d ，2d 的值； (II)证明：对任意正整数k ，k d 均为奇数．

参考答案：

首先注意到1k x +的值只能取31,3,,21k k k ++ 这些数字，因为必须有2k 个值比它小，而21k x +的值只能取1,2,,1k + 这些数字，因为必须有2k 个值比它大。

记12132,k k x k j x i ++=+-=（,1,2,,1i j k =+ ）时的N 型排列个数为(,)

i j k d ，则

(,)

1131()

31()(1)

i j k i

k j

k i j k i j k i d

+-+-+-++-+-+-=，1

(,),1

k i j k k

i j d d

+==

∑.

化简得

(,)(31)!

(1)!(1)!(1)!

i j k k i j d k k i k j +--=

-+-+-.………………………………………………………10分

(1) 计算可得 125,71d d ==………………………………………………………………15分

(2) 易知 (,)

(,)i j j i k k d d =，

(,)

(312)!(1)!(1)!(1)!

i i k k i d k k i k i +-=

-+-+-（1,2,,i k = ），(1,1

)1k

k k d ++

当1k >时，对于所有1,2,,i k = ，(,)

i i k d 是偶数。事实上对于21k x i +=，132k x k i

+=+-（1,2,,i k = ）时的任何一个N 型排列，此时数字1,2,,1i - 只能放在121,,,i x x x - 的位置，数字32(1),32(2),,321k i k i k +--+--+- 只能放在

32(1)32(2)31,,,k i k i k x x x +--+--+ 上

（字母N 的两头），1,,,i i k x x x + 和3232(1)22,,,k i k i k x x x +-+-++ 的数字可以互换得到一个新的N 型排列，于是(,)i i k d 是偶数（1,2,,i k = ）.……25分

（也可以从表达式说明

(2)!

!!!

m n m n n +是偶数（1n ≥），它的组合意义就是将m 个白球，n 个红

球，n 个蓝球排成一行的排列数。于是任何一种排列，交换红蓝球可对应另一种排列。于是1

(,)(,)(1,1)(,),1

,,1

k k

k i j i j k k i j k k

k i j i i j i j d d

d ++++==≠==

=++

∑∑∑

为奇数！………………………25分）

初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全

初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全

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初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲（修订稿）数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。素数和合数，最大公约数与最小公倍数。奇数和偶数，奇偶性分析。带余除法和利用余数分类。完全平方数。因数分解的表示法，约数个数的计算。有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式综合除法、余式定理。拆项、添项、配方、待定系数法。部分分式。对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形恒等式，恒等变形。整式、分式、根式的恒等变形。恒等式的证明。 4、方程和不等式含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

全国数学竞赛概述

数学竞赛意义数学竞赛是发现人才的有效手段之一。一些重大数学竞赛的优胜者，大多在他们后来的事业中卓有建树。因此，世界发达国家都十分重视数学竞赛活动。十余年来，我国中学数学竞赛活动蓬勃发展，其影响越来越大，特别是我国中学生在影响最大、水平最高的国际数学奥林匹克竞赛中，多次荣登榜首，成绩令世人瞩目，充分显示了中华民族的聪明才智和数学才能。了解国际赛史，熟悉国内赛况，认识数赛意义是必要的，也是有益的。在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入一个新的阶段，为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。本大纲是在国家教委制定的“全日制中学数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出；“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。而“课堂教学。为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。 —试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。二试 1．平面几何基本要求：掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点——重心。三角形内到三边距离之积最大的点——重心。

高中数学竞赛培训工作总结

高中数学竞赛培训工作总结篇一：高中数学竞赛精华(小结) 高中数学竞赛精华小结一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：半角公式： sin 21cos 2 1cos 2 1cos1cossin 1cossin1coscos2tan 2 积化和差： sincos1sinsin 2 1cossinsinsin 2 1coscoscoscos 2 1sinsincoscos 2 和差化积： sinsin2sin

22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos2sinsin 22 万能公式： cos sin22tan 21tan 1tan2cos2 21tan tan22tan 1tan2 三倍角公式： sin33sin4sin34sin60sinsin60 cos34cos33cos4cos60coscos60 二、某些特殊角的三角函数值除了课本中的以外，还有一些三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去。举个例子

246coscos 777 2提示：乘以2sin，化简后再除下去。 7求值：cos 求值：cos10cos50sin40sin80 来个复杂的设n为正整数，求证22sin i1ni2n1 2n12n 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲。四、三角不等式证明最常用的公式一般就是：x为锐角，则sinxxtanx；还有就是正余弦的有界性。例求证：x为锐角，sinx+tanx 设xyz 12，且xyz 2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值。注：这个题目比较难数列 1给递推式求通项公式 (1)常见形式即一般求解方法 ①an1panq 若p=1，则显然是以a1为首项，q为公差的等差数列，若p≠1，则两边同时加上qq，变为an1p1p1qpanp1 显然是以a1q为首项，p为公比的等比数列 p1

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ，所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?，由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ，综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。

【解】作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ，所以，4 π= I 。四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。【解】因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0，容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。而3 3 1 2 132> ? <

初中数学竞赛大纲(修订稿)

初中数学竞赛大纲（修订稿）中国数学会普及工作委员会制定数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制"初中数学教学大纲"精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出："要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。"具体作法是："对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能"，"要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力"。《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻"少而精"的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。素数和合数，最大公约数与最小公倍数。奇数和偶数，奇偶性分析。带余除法和利用余数分类。完全平方数。因数分解的表示法，约数个数的计算。有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式综合除法、余式定理。拆项、添项、配方、待定系数法。

初中数学竞赛专题培训(6)：代数式的求值

初中数学竞赛专题培训第六讲代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍． 1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以 6x4+15x3+10x2 =(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1 =(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1 =0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式： a2+b2+c2=1，① 求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以 a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab) =a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式． 2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以 m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy =(x+y)2+4xy 3．设参数法与换元法求值

初中数学竞赛大纲

初中数学竞赛大纲数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促动教学改革、提升教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去实行积极的探索，持续培养和提升他们的创造性思维水平。数学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分。为了使全国数学竞赛活动持久、健康地发展，中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《初中数学竞赛大纲》这份大纲的制定对全国初中数学竞赛活动的展开起到了很好的指导作用，使我国初中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。新的课程标准的实施在一定水准上改变了初中数学课程的体系、内容和要求。同时，随着国内外数学竞赛活动的发展，对竞赛活动所涉及的知识内容、思想和方法等方面也有了一些新的要求。为了使新的《初中数学竞赛大纲》能够更好地适合初中数学教育形势的发展和要求，经过广泛征求意见和多次讨论，中国数学会普及工作委员会组织了对《初中数学竞赛大纲》的修订。本大纲是在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的精神和基础上制定的。在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中提到：“……要激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；……要注重学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；……”因为各种不同的因素，学生在数学知识、技能、水平方面和志趣上存有差异，教学中要承认这种差异，区别对待，因材施教，因势利导。应根据基本要求和通过选学内容，适合学生的各种不同需要；对学有余力的学生，要通过讲授选学内容和组织课外活动等多种形式，满足他们的学习愿望，发展他们的数学才能；鼓励学生积极参加形式多样的课外实践活动。学生的数学学习活动理应是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程，不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导，引导学生主动地从事数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，协助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法，获得广泛的数学活动经验。《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的基本要求。在竞赛中对同样的知识内容，在理解水准、灵活使用水平以及方法与技巧掌握的熟练水准等方面有更高的要求。“课堂教学为主，课外活动为辅”也是应遵循的原则。所以，本大纲所列的课程标准外的内容充分考虑到学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，重在培养学生的学习兴趣、学习习惯和学习方法，使不同水准的学生在数学上都得到相对应的发展，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提升的关系。 1、数：整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示性，约数个数的计算；

全国大学生数学竞赛大纲(数学专业组)

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、

初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛专题培训 -生活中的数学(2)

初中数学竞赛专题培训第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问鱼是人们喜欢吃的一种高蛋白食物，所以谁都希望买到物美价廉的鱼．假定现在商店里出售某种鱼以大小论价，大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米(图2-171)，那么买哪种鱼更便宜呢？有人可能觉得大鱼A和小鱼B高度之比为13∶10，差不了许多，而小鱼的价格却比大鱼便宜许多，因此，买小鱼比较合算．这种想法是合理的吗？我们还是用数学来加以分析吧！在平面几何中，我们已经知道以下定理．定理1 相似形周长的比等于相似比．定理2 相似形面积的比等于相似比的平方．例1 已知：△ABC∽△A′B′C′，并且AB=2c，BC＝2a，AC=2b，A′B′＝3c， B′C′=3a，A′C′=3b．求证：△ABC和△A′B′C′周长的比是2∶3(图2-172)．证△ABC的周长是 2a＋2b＋2c=2(a＋b＋c)， △A′B′C′的周长是 3a＋3b+3c=3(a＋b＋c)，所以△ABC和△A′B′C′的周长的比是 2(a+b+c)∶3(a＋b＋c)=2∶3．例2 图2-173是两个相似矩形，如果它们的相似比是3∶4，求证：它们面积的比是32∶42．证矩形ABCD的面积是3a·3b=32ab，矩形A′B′C′D′的面积是4a·4b=42ab，所以矩形ABCD和矩形A′B′C′D′的面积之比是 32ab∶42ab=32∶42．从定理1和定理2，我们自然会想到：相似的两个立体的体积之比与它们的相似比有什么关系呢？为此，我们看下面的例子．例3 图2-174是两个相似的长方体，它们的相似比为3∶5，求它们的体积之比．解长方体(a)的体积是3a·3b·3c=33abc，长方体(b)的体积是5a·5b·5c=53abc，所以长方体(a)与长方体(b)的体积的比是 33abc∶53abc＝33∶53 例4 图2-175是两个相似圆柱，它们的相似比为2∶3，求它们的体积之比．解小圆柱的体积是 (2a)2π·2b＝23a2bπ，大圆柱的体积是 (3a)2π·3b＝33a2bπ，所以小圆柱与大圆柱的体积之比为23∶33．定理3 相似形的体积之比，等于它的相似比的立方．

高中数学竞赛大纲(修订稿)

高中数学竞赛大纲（修订稿）在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学日的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养......，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。二试 1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。几何不等式。简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。

初中数学竞赛专题培训

第一讲：因式分解(一) (1) 第二讲：因式分解(二) (4) 第三讲实数的若干性质和应用 (7) 第四讲分式的化简与求值 (10) 第五讲恒等式的证明 (13) 第六讲代数式的求值 (16) 第七讲根式及其运算 (19) 第八讲非负数 (23) 第九讲一元二次程 (27) 第十讲三角形的全等及其应用 (30) 第十一讲勾股定理与应用 (34) 第十二讲平行四边形 (37) 第十三讲梯形 (40) 第十四讲中位线及其应用 (43) 第十五讲相似三角形(一) (46) 第十六讲相似三角形(二) .......................................... 49 第十七讲* 集合与简易逻辑 (52) 第十八讲归纳与发现 (57) 第十九讲特殊化与一般化 (61) 第二十讲类比与联想 (65) 第二十一讲分类与讨论 (68) 第二十二讲面积问题与面积法 (72) 第二十三讲几不等式 (75) 第二十四讲* 整数的整除性 (79) 第二十五讲* 同余式 (82) 第二十六讲含参数的一元二次程的整数根问题 (85) 第二十七讲列程解应用问题中的量 (88) 第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题 (92) 第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界 (96) 第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (99) 第一讲：因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决多数学问题的有力工具．因式分解法灵活，技巧性强，学习这些法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-… -ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7．解(1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 w

中学生数理化学科能力竞赛竞赛大纲和样题-初中数学

（初中数学部分）第一部分解题技能竞赛大纲第二部分解题技能竞赛试题样题第三部分数学建模论文示范论文首届全国中学生数理化学科能力竞赛数学学科笔试部分竞赛大纲（2008年试验稿）为了提高广大青少年走进科学、热爱科学的兴趣，培养和发现创新型人才，团中央中国青少年发展服务中心、全国“青少年走进科学世界”科普活动指导委员会办公室共同举办首届“全国中学生数理化学科能力竞赛”（以下简称“竞赛”）。竞赛由北京师范大学《高中数理化》杂志社承办。为保证竞赛活动公平、公正、有序地进行，现将数学学科笔试部分竞赛大纲颁布如下： 1 命题指导思想和要求根据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课程标准》的要求，着重考查学生的基础知识、基本能力、科学素养和运用所学知识

分析问题、解决问题力及创新能力。命题吸收各地高考和中考的成功经验，以能力测试为主导，体现新课程标准对能力的要求，注意数学知识中蕴涵的丰富的思维素材，强调知识点间的内在联系；注重考查数学的通法通则，注重考查数学思想和方法。激发学生学科学的兴趣，培养实事求是的科学态度和创新能力，促进新课程标准提出的“知识与技能”、“过程与方法”、“情感与价值观”三维目标的落实。总体难度把握上，要追求“源于教材，高于教材，略高于高考”的原则。并提出以下三个层面上的命题要求： 1）从宏观上看：注意对知识点和能力点的全面考查，注意对数学基本能力（空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力）的考查，注意对数学思想和方法方面的考查，注意考查通则通法。 2）从中观上看：注意各个主要知识块的重点考查，注意对主要数学思维方法的考查。 3）从微观上看：注意每个题目的基础性（知识点）、技能性（能力点）、能力性（五大基本能力为主）和思想性（四种思想为主），注意考查大的知识块中的重点内容（如：代数中的函数的单调性、奇偶性、周期性），注意从各个知识点之间的交汇命题，注意每个题目的通则通法使用的同时也适度引进必要的特技，注意题目编拟中一些题目的结构特征对思路形成的影响。 2 命题范围依据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课程标准》的要求，初赛和决赛所考查的知识点范围，不超出相关年级在相应的时间段内的普遍教学进度。另外要明确初二年级以上开始，每个年级的命题范围包含下年级的所有的内容。比如：高一的命题范围包括初中所有内容和高中阶段所学的内容。 3 考试形式初一、初二、初三、高一、高二组：闭卷，笔答。考试时间为120分钟，试卷满分为120分。 4 试卷结构全卷选择题6题，非选择题9题（填空6题、解答题3题）

高中数学竞赛培优专题辅导-复数

高中数学竞赛培优专题辅导-复数一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1? ?z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ).

全国中学生物理竞赛大纲

全国中学生物理竞赛内容提要 (2015年4月修订，2016年开始实行) 说明：按照中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会第9次全体会议(1990年)的建议，由中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会常务委员会根据《全国中学生物理竞赛章程》中关于命题原则的规定，结合我国中学生的实际情况，制定了《全国中学生物理竞赛内容提要》，作为今后物理竞赛预赛、复赛和决赛命题的依据。它包括理论基础、实验、其他方面等部分。1991年2月20日经全国中学生物理竞赛委员会常务委员会扩大会议讨论通过并开始试行。1991年9月11日在南宁经全国中学生物理竞赛委员会第10次全体会议通过，开始实施。经2000年全国中学生物理竞赛委员会第19次全体会议原则同意，对《全国中学生物理竞赛内容提要》做适当的调整和补充。考虑到适当控制预赛试题难度的精神，《内容提要》中新补充的内容用“※”符号标出，作为复赛题和决赛题增补的内容，预赛试题仍沿用原规定的《内容提要》，不增加修改补充后的内容。 2005年，中国物理学会常务理事会对《全国中学生物理竞赛章程》进行了修订。依据修订后的章程，决定由全国中学生物理竞赛委员会常务委员会组织编写《全国中学生物理竞赛实验指导书》，作为复赛实验考试题目的命题范围。 2011年对《全国中学生物理竞赛内容提要》进行了修订，修订稿经全国中学生物理竞赛委员会第30次全体会议通过，并决定从2013年开始实行。修订后的“内容提要”中，凡用※号标出的内容，仅限于复赛和决赛。 2015年对《全国中学生物理竞赛内容提要》进行了修订，其中标☆仅为决赛内容，※为复赛和决赛内容，如不说明，一般要求考查定量分析能力。力学 1. 运动学参考系坐标系直角坐标系 ※平面极坐标※自然坐标系

初中数学竞赛专题培训(13)：梯形

初中数学竞赛专题培训第十三讲梯形与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用．例1 如图2-43所示．在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF∥EC交BC延长线于F．求证：四边形EBFD是等腰梯形．分析因为E，D是三角形ABC边AB，AC的中点，所以ED∥BF．此外，还要证明(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF．证因为E，D是△ABC的边AB，AC的中点，所以 ED∥BF．又已知DF∥EC，所以ECFD是平行四边形，所以 EC=DF．① 又E是Rt△ABC斜边AB上的中点，所以 EC=EB．② 由①，② EB=DF．下面证明EB与DF不平行．若EB∥DF，由于EC∥DF，所以有EC∥EB，这与EC与EB交于E矛盾，所以EB DF．根据定义，EBFD是等腰梯形．例2 如图2-44所示．ABCD是梯形， AD∥BC， AD＜BC，AB=AC 且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．分析由于△BCD是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边BC(即BD)的长．又梯形的高，即Rt△ABC斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD的度数．解过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF．设AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知 AF2+BF2=AB2，即又 BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，由于BC=DB，所以，在Rt△BED中，从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理)．在△CBD中，例3 如图2-45所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF．

2015山东省大学生数学竞赛(专科)试卷2015总决赛答案

绝密★启用前山东省大学生数学竞赛（专科）总决赛试卷（非数学类，2015）一、填空题（每小题5分，共30分）一、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在题中横线上。） 1. 已知1 )1(42 +=+x x x x f ，)(x f =___________. 2. 设8)2(lim =-+∞→x x a x a x ，则a =___________. 3. 设方程x y e xy cos 2=+确定y 为x 的函数，则dx dy =_________________. 4. 曲线22)3()1(--=x x y 的拐点个数为__________个. 5. 求不定积分=___________. 2 02 d 6. cos d ______.d x x t t x =? 二、综合题（本题共6小题，共70分，请写出相应演算步骤。） 1. （15分） 1cos ,0()sin 0, 0(1)0(2)'(). x x f x x x x x f x ?-≠?=??=?=讨论函数在处的连续性和可导性；求出导函数 2. （12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，1)21(=f ，试证：（1）存在)1,21(∈η，使得ηη=)(f （2）对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使得1])([)(=--'ξξλξf f 3. （13分）求dx x t t 1 0 ?- 4. （10分）求平面上的圆盘)0()(222b a a y b x <<≤+-绕y 轴旋转所得圆环体的体积. 5. （10分）选做题（考生在下面两道题中选择一道作答，答题时请标明题号，两题全答的只计算一题得分。） 2222222(1)r r r r r x y z ???=++=???已知成立.

2015浙江省数学竞赛试题及答案

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