《数学方法论》数学中的化归方法

第五章 数学中的化归方法

就数学思想方法的研究而言，一个重要问题在于：与一般的科学家（例如物理学家）相比，数学家在思想方法上是否有其特殊的地方。

对于上述问题、匈牙利著名数学家罗莎·彼得（Rosza Peter ）在其名著《无穷的玩艺》

中曾通过一个有趣的事例进行分析。她所给出的事例是这样的：

有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开

水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答。但是，他又追问到：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应当怎样去做？”这时被提问题者往往会很有信心地回答道：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上”。但是，这一回答却未能使提问者感到满意，因为，在后者看来，更为恰当的回答是：“只有物理学家才会这样的；而数学家则会倒去壶中的水，并声称他已经把后一问题化归成先前的已经得到解决的问题了。”

罗莎指出，这种思维方法对数学家来说是十分典型的。这就是说：“他们往往不是对问

题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化成能够得到解决的问题。”这也就是说，数学家思维的重要特点之一，就是他们特别善于使用化归的方法去解决问题。

本章的内容主要是论述化归方法的基本思想与原则以及一些具体的化归方法。

§5.1 化归方法的基本思想与原则

人们在认识一个新事物或解决一个新问题时，往往会设法将对新事物或新问题的分析

研究纳入到已有的认识结构或模式中来。例如，我们在解决数学问题的过程中，常常是将待解决的问题通过转化，归结为较熟悉的问题来解决，因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法于问题的解决。这种问题之间的转化概括起来就是化归方法。

“化归”是转化和归结的简称。化归方法是数学中解决问题的一般方法，其基本思想

是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A ，通过某种转化手段。归结为另一个问题B ，而问题B 是相对较易解决或已有固定解决模式的问题，且通过对问题B 的解决而得到原问题A 的解答。用框图可直观表示为：

其中，问题B 常被称为化归目标，转化的手段被称为化归途径或化归策略。

辩证法告诉我们：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断地

发展变化着。因此，作为一个数学系统或数学结构，其组成要素之间相互依存和相互联系的形式是可变的，正是这种可变的性质，产生了数学中的化归方法。化归方法有着坚实的客观基础，是人们对事物间的“普遍联系”和矛盾在一定条件下的“相互转化”的能动反映。它着眼于揭示联系，实现转化通过“矛盾转化”解决问题。

转化

在数学史上，曾有不少数学家从各种不同的角度对化归方法进行过论述。例如，笛卡儿在《指导思维的法则》一书中就曾提出过如下的“万能方法”：第一，将任何实际问题化归为数学问题；

第二，将任何种类的数学问题化归为代数问题；

第三，将任何代数问题化归为方程式的求解。

由于求解方程的问题被认为是已经解决的（或者说，是较为容易解决的），因此，在笛卡儿看来，我们就可以利用这样的方法去解决各种类型的问题。笛卡儿所给出的这一“问题解决”的模式可以看作是化归方法的一种具体运用。这一基本思想曾帮助笛卡儿发明了解析几何；而且现今人们把几何学命题的证明过程转化为代数方程组的零点集确定问题，最后实现机器证明定理的目标，也是这一思想的现代发展和深化。当然，任何方法都必然具有一定的局限性，因而所谓的“万能方法”是根本不存在的。

数学中的化归方法在数学的理论研究及数学问题的解决过程中都占有重要的地位。例如，两个数学系统之间的同构关系（视为一种化归），不同的数学对象化归在同一种数学系统中进行研究，从而导致新的数学理论的产生，因而推动了数学的发展。另一方面，化归又为解决数学问题提供了一个有力的武器。

例如，在微积分中，不定积分的计算方法中就有所谓分部积分法。

设函数

()()x v

x

u,具有连续的导数，则

()()()()()()

??'

-

=

'dx

x

v

x

u

x

v

x

u

dx

x

v

x

u

①

或写作

()()()()()()

?

?-

=x

du

x

v

x

v

x

u

x

dv

x

u

②

利用公式①或②有时可以使难求得不定积分

()()

?'dx

x

v

x

u

转化为易求的不定积分

()()

?'dx

x

v

x

u

，从而得到所要求的结果。

又如，在定积分理论中，有著名的牛顿—莱布尼茨公式：

若函数

()x

F是连续函数()x f在区间[]b a,上的一个原函数，则

()()()a

F

b

F

dx

x

f b

a

-

=

?

牛顿—莱布尼茨公式不仅在理论上是很重要的，而且在实际计算中也有重要的意义，即将求定积分的问题化归为求被积函数的原函数或不定积分的问题。

“问题是数学的心脏”，数学问题的解决是数学教学中的一个重要组成部分，而几乎所有的数学问题的解决都离开不化归，只是体现的化归形式不同而已。计算题是利用规定的计算法则进行化归；证明题是利用定理、公理或已解决了的命题进行化归；应用问题是利用数学模型进行化归。数学问题的化归方法也是多样的。把高次的化为低次的；多元的化为单元的；高维的化为低维的；把指数运算化为乘法运算；把乘法运算化为加法运算；把几何问题化为代数问题；把微分方程问题化为代数方程问题；化无理为有理；化连续为离散；化离散为连续；化一般为特殊；化特殊为一般；……。因此说，离开化归方法，数学问题的解决将寸步难行。

总之，数学中的化归方法的目的就是化难为易，化繁为简，化生为熟，化暗为明。

为了实现有效的化归，一般应遵循以下诸原则：

1、化归目标简单化原则

化归目标简单化原则是指化归应朝目标简单的方向进行，即复杂的待解决问题应向简单的较易解决的问题化归。这里的简单不仅是指问题结构形式表示上的简单，而且还指问题处理方式方法的简单。

例1，已知

,

4

)

2

1(

)1

2(2

2

2

2

2≠

-

=

-

+

-b

a

x

x

bf

x

af求)

(x

f。

分析：根据题设等式结构的特点，遵循简单化原则，予以简化。只须令y x =-122

，

条件等式就可化为22)()(+=-+y y bf y af ，在此条件下求f ，关系就明朗许多。由新条

件等式中)(y f 与)(y f -的特殊关系，我们可想到在等式中用y -代y ，仍会得到一个关于)(),(y f y f -的等式，这样，问题就化归为求解这两个等式组成的关于)(),(y f y f -的方程

组

???+-=+-+=-+22)()(22)()(y y bf y af y y bf y af

这是一个简单问题。

例2，一个凸n 边形，无三条对角线共点，它的边和对角线一共可以组成多少个三角形？

分析：我们根据目标——由凸n 边形的边和对角线组成的三角形，是否含有凸n 边形的

顶点，含有多少个顶点，将所求的三角形所成的集合S 分为4个集合{}

边形的顶点个顶点为凸的三顶点中恰有且n i s S s s S S S S S i ,,,,,3210∈==i 0,1,2,3。

显见，3S 与凸n 边形的顶点集的三元子集一一对应，故

;33n C S =2S 的每4个三角形对应于凸n 边形顶点集的一个四元子集，反之，不同的四元子集对应于2S 中完全不同的4

个三角形，于是

;442n C S = 同理： ;551

n C S = ;60n C S = 故 ∑=+++==30345645i n n n n i C C C C S S 。

2、和谐统一性原则

化归的和谐统一性原则是指化归应朝着使待解决的问题在表现形式上趋于和谐，在量、

形、关系方面趋于统一的方面进行，使问题的条件与结论表现得更匀称和恰当。

例3．已知1111=++=

++z y x z y x ，、求证：z y x ,,三个数中至少有一个为1。

分析：由于条件给出的是z y x ,,的运算关系。由和谐统一性原则，欲证结构，我们只需证：

① 0)1)(1)(1(=---z y x （将结果也表明为一种运算关系）

如何证明①？不妨把它化为

② 01=-+++---xyz zx yz xy z y x

联想到条件 1=++z y x ，可知要证②，只需证：

③ 0=-++xyz zx yz xy 而③与条件1

111=++z y x 等价的，可知原结论是成立的。

例4.在△ABC 中证明：

1cos cos cos 2cos cos cos 222=+++C B A C B A

分析：三角形的射影定理： ?????+=+=+=A b B a c A c C a b B c C b a cos cos cos cos cos cos

反映了三角形中边角之间所固有的和谐统一，正是这种和谐统一性启发我们将原问题化归为

齐次线性方程组的解的讨论问题：

我们将射影定理写成

?????=+--=-+-=--0cos cos 0cos cos 0cos cos c A b B a A c b C a B c C b a

由此可知，c b a ,,（非零的）是齐次线性方程组 ?????=+--=-+-=--0cos cos 0cos cos 0cos cos z A y B x A z y C x B z C y x

的一组非零解。

根据齐次线性方程有非零解的充要条件是其系数行列式等于零。即 ????

? ??------1 cos cos cos 1 cos cos cos 1 det A B A C B C = 0 ∴1cos cos cos 2cos cos cos 222=+++C B A C B A

3、具体化原则

化归的的具体化原则是指化归的方向一般应由抽象到具体，即分析问题和解决问题时，

应着力将问题向较具体的问题转化，以使其中的数量关系更易把握，如尽可能将抽象的式用

具体的形来表示；将抽象的语言描述用具体的式或形表示，以使问题中的各种概念以及概念

之间的相互关系具体明确。

例5 求函数11363)(2

424+--+--=x x x x x x f 的最大值。

分析：函数结构复杂，无法用常规方法解。设法将其具体化。由根式我们会联想到距离，

问题的关键是两个根式内的被开方式能否化成平方和的形式。通过拆凑，发现可以，即

222222)1()3()2()(x x x x x f +---+-=

对其作适当的语义解释，问题就转化为：求点),(2x x P 到点A （3，2）与点B （0，1）距离之差的最大值。进一步将其直观具体化（如图5.1）。由A 、B 的位置知直线AB 必交抛物

物2x y =于第二象限的一点C ，由三角形两边之差小于第三边知，P 位于C 时，)(x f 才能取到最大值。且最大值就是AB ，故 10)(max ==AB x f 。 上述分析过程的关键是将问题通过几何直观，转化为具体的形，“形”使我们把握住了)(x f 的变化情况。

4、标准形式化原则 化归的标准形式化原则是说将待解决问题在形式上向该类问题的标准形式化归，标准形

式是指已经建立起来的数学模式，因为数学从某种意义上来说是关于模式的科学，如一元二

方程求根公式及根与系数的关系都是关于标准形式的一元二次方程02

=++c bx ax 而言

的，只有化归成标准的一元二次方程形式后，才可用有关结果。二次曲线的有关理论都是针

对标准形式方程讨论的，因此也只有化成标准方程形式，才可能运用这些理论。所以，问题

向标准形式化归也是数学解题思维的一个基本原则。

5、低层次化原则

化归的低层次化原则是说，解决数学问题时，应尽量将高维空间的待解决问题化归成低

维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归为少元问题解决，这是因

为低层次问题比高层次问题更直观、具体、简单。

例6 求方程 613

3+=-xy y x 的自然数解y x ,。

分析：由方程结构知，x ＞y ，又由))(()(2233y x y x xy y x y x +-+-=-知x 不能

比y 大太多，考虑用线性代换d y x +=降低方程次数。代入原方程并整理得61)3()13(322=+-+-d y d d y d 。由x ＞y 得1≥d ，从而13-d ＞0。又因为y ＞0，

所以，3

d ＜61,d ≤3 。因此，d 只有三种可能的取值d =1,2,3.。

不难验证，只有1=d 时，y 才有自然数解，此时.6,5=+==d y x y 因此，原方程

的自然数解为.5,6==y x

又如§2.3中的例4就是一个将高维空间的待解决的问题化归成低维空间的问题的一个

成功例子。

下面我们将介绍一些具体的化归方法。

§5.2 变换方法

首先讲到的是恒等变形，这是最常用的方法。所谓“恒等”，其意思是不要变；所谓“变

形”当然又是要求变。在这里，变的要求是主要方面，要化归就必须变；但变化时又必须遵

守一定规则，在这里是要求“恒等”，也就说恒等变形是要求变要在“不变”的前提下进行。

例1．已知3010.02lg =，不查表求出5lg 。

分析：已知者2lg ，未知者5lg ；仅依靠一个已知的3010.02lg =怎么求出 5

lg 呢？当然还得寻求已知的东西。事实上，我们还知道ΛΛ,2100lg ,01lg ,110lg ===，但

对我们有用的，可能就是110lg =了，因为

2lg 10lg 210lg 5lg -==。这样，我们就能很快求出 5lg 的值。

这里，关键在把5变形为 210

，并得用了 110lg = 的这一隐含的已知条件。这是一个

再简单不过的例子，但它说明要会变，在变中将未知的东西化归为已知的东西。

还有一个有趣的事实在是上面利用了 110lg =，“1”在数系中占有重要地位，作为数

域里的元素，它是单位元。因此便产生了许多关于“1”的恒等式，比如，

∑?∞==-=+=?=≠=122.,211,11,cos sin 1,1),0(1n n b a dx a b x x a a a a ΛΛ。因此，在解题

中，有时利用这些恒等式，往往能起到事半功倍之效。

在初等数学中我们常利用变量替换、换元、增量替换等方法解题，关键在于根据问题的

结构特征，适当选取能够以简驭繁、化难为易的变换，以实现问题的化归。

例2 设1,0,,=++≥z y x z y x 且，求证：

27720≤-++≤xyz zx yz xy 。 分析：02≥-++xyz zx yz xy 较易证明，下面讨论2772≤-++xyz zx yz xy 。

由1=++z y x ，取其平均值31

为标准量，进行如下增量替换：

31,31,31-=-=-=z c y b x a ，则10,3a b c b ++=≥-且，于是，令

)2772(3-

-++=xyz zx yz xy f

2222

6()6()6() (a b c 0,)

(61)(6)ab bc ca abc

ab c a b abc a b ab ab a b b a b b a b =++-=++-=-++++++==-+--利用减少变量个数

因为c b a ，，不全为正，不妨设0b ≤，但13b ≥-，所以016≤-b ，于是 2222(6)4(61)()

(61)(63)0f b b b b b b b ?=----=-+≤ 即故,0≤f 2772≤-++xyz zx yz xy 。

例3，解方程241232

2=+--++x x x x 分析：换元：令a x x +=++11232，则142-=+-a x x 所以，方程化简为 ???+-=+-=+????+-=+-++=++(2) 214(1) 48421421123222222a a x x a x a a x x a a x x

由（1）得2-=a x ，代入（2）得：

22214)2()2(a a a a +-=+---

得 93=a 即 3=a ，从而 1=x 。

经检验知1=x 是原方程的解。

例4 解方程

01333223=-+++x x x 分析：解这个关于x 的三次方程较困难，但注意到系数的特点，我们不妨把 3看作未知数，即设t =3，则得到关于t 的二次方程

0)1()12(322=-+++?x t x t x

由于0≠x ，解上述方程得： x x x t x t 1,1221++-=-=

于是有 31312=++-=-x x x x 或。

所以，原方程的解为： )1213(21),1213(21,3143421++-=-+=

-=x x x

由以上这些具体例子可以看出，利用各种代换法解题，一方面要分析问题的结构特征，

对已知条件作适当的变形；另一方面要善于发现问题中的特殊条件、结构，挖掘问题中所隐

含的特殊关系，以便于由这些特殊条件提出各种可能的代换。这样可在作出这些代换后减少

变量的个数，降低次数，使问题结构简单，常收到出人意料的效果。

其次我们来讲参数变易法。辩证唯物论肯定事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰

富多彩的，有明有暗，有显有隐。科学的任务就是要揭示事物之间的联系，从而发现事物的

变化规律。

参数常存在于所研究的问题中，它虽不是直接的研究对象，但参数的作用是刻画事物的

变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。在解决数学问题时，引进了参数就能表现出较大

的能动作用和活力。利用参数可沟通问题中各个量之间的内在联系，或改变数量关系的结构，

或利用参数求出所需确定的常数和变量。在表现形式上即是将待解决的问题化归为参数问题

加以解决。

例5 在单位正方形的内接正三角形中，找出一个面积最大的与一个面积最小的，并求

出这两个面积。

分析 如图5.2，单位正方形ABCD 的内接正三角形EFG 必有两个顶点落在对边，不

妨设是在AB 、DC 两边上。 由于正三角形的面积由边长唯一确定，所以我们只要在

所有的内接正三角形中，找出一个边长最大的与一个边长最

小的即可，注意到EFG ?的边长大小是随FG 与AB 的交角

而变动，所以我们可考虑以 GFB ∠ 的大小为参数，即令

α=∠GFB ，因GFB ∠为钝角时，FGC ∠将为锐角，故由对称性可只讨论 ?≤90α的情况。 为了把α与FG 联系起来，我们作,H AB GH 于⊥

于是有

ααsin 1sin ==HG FG ， 即随α的增大（或减小），边FG 减小（或增大）。由此易知，当 F 与 H 重合时，正三角

形 EFG 的面积最小，此时 43)90sin 1(432=?=

?EFG S ；

当G 与C 重合时，正三角形EFG 的面积最大，此时 332)75sin 1(432-=?=?EFG S 。

此例解决问题的基本方法是引入必要的参数，利用参数与已知量及所求量之间的关系列

式，通过讨论参数的变化而求得原问题的解。在此，参数对我们解题所要达到的目的起着桥

梁作用，引入参数则是我们试图达到目的的一种手段。

例 6 已知b a ,是实数，且01234=++++ax bx ax x 至少有一个实数根，试计算

22b a +能取的最小值。

分析：原方程是一个偶次倒数方程，可化为

0)1()1(22=++++

b x x a x x （1）

并把原方程的实数根确定为正根x ＞0。 因为方程（1）的每一实根是正数或者是负数。如果0x ＜0是方程（1）的负根，则0

x -＞0是方程01234=+-+-ax bx ax x 的正根，而22)(b a +-=22b a +，所以只研究方程

（1）至少有一正根就可以了。 令x x u 1+=代入（1）得 022=-++b au u （2）

由x ＞0,2≥u ，可知方程（2）至少有一个不小于2的根。

另外，记222b a d +=，d 表示坐标平面上点),(b a 与原点的距离。

解：设方程（2）不小于2的实根为()()a b a u ---=24212，所以

C G

B 图5.2

??

???+≥---≥??????≥---≥--4)2(4)2(42)2(4(2

10)2(42222a b a b a a b a b a ()()()()??

???≤++≥+-≥??????+≥--≥+-≥?0220

4244240

4242222b a a b a a b a a b a

这组不等式的解集是图5.3，有斜纹线的平面块x 。所以d 是x 内（包括边界）的点与原点的距离。这些距离的最小值是边界022=++b a 与原点的距离。 54122002222=???? ??+++?=∴d 以上两例所解决的问题各异，而解决问题的基本方法是一致的，即引入必要

的参数，利用参数刻画过程的变化状态，以参数为媒介揭示变量之间的内在联系，从而达到将复杂而困难的问题，化归为简单且容易的问题的目的。应用参数变量

法的关键在于恰当地选取参数，只有参数引入得好，问题才能迎刃而解，收到事

半功倍的效果。

最后我们来讲几何变换法

1872年德国数学家克莱因（F.Klein ）提出了著名的变换群理论。他认为，每一种几何

应该有一个主变换群，图形在该变换群的变换下的不变性与不变量，就是几何所研究的对象。这就为几何研究的目标、对象提出了一个新颖的观点。

克莱因的变换群理论在几何学的历史上是一个重要的里程碑,世人称这一理论为“爱尔

兰根纲领”,现将此纲领简介如下：

设给定了一个集合V 和其中元素间的一个变换群G ，V 称为空间，其中的元素叫做点，

V 的子集叫图形。于是，以研究图形关于群G 所有不变量为内容的学科，就叫做V 上相应

于群G 的几何学。

依此观点，区分几何学有两个要素：空间V 和变换群G 。

（1）空间V 不同，相应的几何学也不同。例如，V 是平面谓之平面几何，V 是球面谓

之球面几何…。

（2）群G 不同，几何学也不同。例如与刚体运动群相应的是欧氏几何，与相似变换群

相应的是相似几何学…。

所谓几何变换法是指将在某一关系结构中的问题变换到另一关系结构中去研究的一种

化归方法，这种化归是通过几何图形在某一变换下的不变量或不变性来实现的，下面我们通

过几个例子来说明。

图5.3

例7 如图5.4，过一圆的弦AB 的中点M 引任意

两弦CD 和EF ，连CF 和ED 交AB 于P 、Q 两点

，求证：M 是PQ 的中点。

分析：由于圆是轴对称图形，欲证M 平分PQ ，

关健在于证明P 、Q 关于OM 对称。因此考虑点C

关于OM 的对称点C ˊ，于是可由轴反射变换下的

不变性和不变量分析得出证明的思路：首先证

明M 、Q 、E 、C ˊ四点共圆， 再证C MQ MPC '???，从而得证MQ PM =。

例8，试证：三角形的三边中点，三垂足，三个顶点到垂心连线的中点，九点共圆。

分析：如图5.5，设H 为ABC ?的垂心，S 、T 、L 是各顶点

到垂心连线的中点。

欲证的九点圆可由S 、T 、L 决定。由此可知，

这九点圆与ABC ?的外接圆O 位似。（建立了

以H 为位似中心，2为位似系数的位似变换）。

要证九点共圆，我们只须证下面两点：

（1）设AH 交BC 于N ，并延长AH 交

圆O 于H '，

往证H '点即为N 点的位似变换像

（即证H N HN '=）.

事实上，因BC AH ⊥，AB CH ⊥，

则有CB H AB H BCH '='

∠=∠。 故有H N HN '=。 （2）连MH （M 为BC 的中点），延长HM 至A '，

使A M HM '=。往证A '点即为M 点的位似变换像（即证A '圆O 上）。

事实上，因为BM=MC ，所以CH A B '是平行四边形，有BH C A ='，又?='∠90CA A ，

从而?='∠90BA A ，故A '在O O 上。

根据（1）、（2），即知ABC ?的三个垂足，三边中点都在S 、T 、L 决定的图上，即九

点共园。

例9，以任意四边形ABCD 的各边为斜边，分别向形外作等腰直角三角形

DAH CDG BCF ABE ,,,求证：FH EG FH EG ⊥=,。

证：如图5.6，因为EA=EB ，?=∠90AEB ，FB=FC ，?=∠90BFC ，作旋转变换，

使

A C

B A R F E R ???→???→????→????)180;0()90;()90;(

且I R F R E R =????)180;0()90;()90;(，其中I 为恒等变换，则由旋转变换的有关性质知： EOF ?为等腰直角三角形，且?=∠90EOF 。 同理，GOH ?为等腰三角形，且?=∠90GOH 。 我们再作变换)90;0(?R 。使 FOH EOG R ????→???)90;0( ∴ FH EG =（旋转变换下，对应线等相等）

图5.4 （O 为AC 的中点） F

C

D B A

E

G H

O

图5.6

图5.5

E

FH

EG （旋转变换下，对应直线所成的角等于旋转角）。

运用几何变换的理论和方法讨论欧氏几何是用现代数学的思想方法处理综合几何的一种重要途径。一个图形，可以看作是一个点集，讨论图形的位置关系或数量关系，可以用变换的观点讨论在某种变换下的特殊规律。用几何变换（或渗透几何变换的思想方法）处理中学几何，这是当前改革中学几何内容的基本思路之一。

§5.3 一般化与特殊化方法

众所周知，“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普

遍规律，它在如下两个方面制约着化归方法的运用。

一方面，由于事物的特殊性中包含着普遍性，即所谓共性存在于个性之中，而相对一般而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知，因而当我们处理问题时，必须注意到问题的普遍性存在于特殊之中，进而去分析考虑有没有可能把待解决的问题化归为某个特殊问题；另一方面，由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”更能反映事物的本质，因而当我们处理问题时，也必须置待解决的问题于更为普遍的情形之中，进而通过对一般情形的研究而去处理特殊情形。从总体角度来看，这两个方面既各有独特的作用，又是互相制约、互相补充的。一般化与特殊化方法是数学研究及数学解题中常用的化归方法。

1、特殊化方法

波利亚曾经说过：“特殊化是从考虑一组给定的对象集会过渡到该集合的一个较小的子集，或仅仅一个对象。”因此，特殊化常表现为范围的收缩或限制，即从较大范围的问题向较小范围的问题过渡，或从某类问题向其某子类问题的过渡。从形式上看，将一般性问题特殊化是不困难的，但某个一般性问题经过不同的特殊化处理会得到多个不同的特殊化命题，那么，哪个特殊化命题最有利于一般性问题的解决呢？显然，较为理想化的特殊问题是其自身容易解决，且从某解决过程中又易发现或得到一般性问题的解法，所以，特殊化的关键是能否找到一个最佳的特殊化问题。

先谈一个古老而著名的难题——“摆硬币”。

例1 两人相继往一张圆桌上平放一枚同样大小的硬币（两人拥有同样多的硬币，且两人的硬币合起来足够摆满桌子），谁放下最后一枚而使对方没有位置再放，谁就获胜，试问是先放者获胜还是后放者获胜？怎样才能稳操胜券？

当时有人向一位有才能的数学家提出这一难题时，引出了如下一段有趣的对话。

数学家：这有什么难的！如果圆桌小到只能放下一枚硬币，那么先放者获胜。

提问者：这还用你讲？简直是废话！

数学家：不！这是一个很重要的特殊情况，它的解决将导致一般情况的解决。

提问者：怎么解决？

数学家：我先放中心位置，利用圆桌的对称性，我就可以获胜，不管是圆桌还是方桌，只要有对称中心就行，硬币大小也可以不一，只要两人都有就行。

数学家独具慧眼，就从一般性问题一下子找到一个极易求解的特殊情形，并能将该特殊情形下的解法推向一般，从而轻而易举地解决了上述难题，而且还做了推广。

需要特别指出的，将一个一般性的问题特殊化，通常并不难，而且经特殊化处理后会得到若干个不同的特殊问题，我们应该注意从中选择出其解法对一般解法有启迪的，或一般情况易于化归为该特殊情况来求解的。如在例1中任取圆桌径为1米，硬币直径为2厘米，得到另一特殊问题，但其解法难于利用和推广。

例2 在单位正方形的周界上任意两点之间连一条曲线，如果它把正方形分成面积相

等的两部分，证明这条曲线的长度不小于1。

分析 满足题设的两点，所在位置可分为：

①

两点

在单位正方形的一组对边上； ②两点在单位正方形的一组邻边上；

③两点在单位正方形的同一条边上；

容易看到，①是最好解决的，如图5.7（a ），曲线MN 的长度≥1=AB 。

然后，设法把②、③类情况化归为情况①。

情况②如图5.7（b ），曲线MN 必与AC 相交（否则MN 不可能把正方形分为两个等

积形），设交点为G ，作GM 关于AC 的对称曲线M G '，此时M '在AD 上，由①知曲线

GN M '的长度≥1，从而曲线MN 的长度≥1。

情况③，如图5.7（c ），将它化归为①的情形的作法与②类似，只须把②中的对称轴AC

改为对称轴EF （EF 与M 、N 所以边AB 平行，且为中位线）即可。

例3 若0i x f (i =1,2,3,……, n)，则

n n x x x x x x x x x x ++++≥++ΛΛ3212

1223122 分析 把结论特殊化，取两项进行研究，即先证

21221122x x x x x x +≥+ (1)

逆推，去分母、比较，（1）即可得证，但这一证法不能推广到一般的n ，即它只具特殊性而

无一般性。若采取添项的办法，由算术——几何平均不等式得

21222

1112222x x x x x x x x +≥+++ (2)

从而推出（1），显见此证法具有一般性，从这一特殊解法中我们得到一般解法的启迪，从而

使一般性问题获得解决。

例4 在一平面内给定n 个点，其中n ＞4，且任意三点不共线。证明：至少有23-n C 个

凸四边形，其顶点为给定的点。

分析：直接考虑一般情况较难。由于n ＞4，所以先考虑5=n 这一特殊情况。易证至

少存在一个（235-C ）以给定点为顶点的凸四边形。由此想到，当平面内给定n 个点时，可构成5

n C 个不同的五点集，利用当5=n 时的结论以及同一凸四边形至多属于4-n 个不同的

五点集，可得至少有45-n C n 个凸四边形以给定点为顶点，比较23-n C 与45-n C n 即得结论。

证明：先证明5=n 时结论成立。

M

B C N C B B C M ' F （a ）

（c ） 图5.7

N N

因

122235==-C C ，只须证明至少存在一个以给定点为顶点的凸四边形即可。对此又可分如下两种情况：

（1）五个点中的四个点是一凸四边形的顶点，另一点任意。

（2）五个点中的三个点A 、B 、C 构成一三角形，而其它两点D 、E 在该三角形内部。

在情形（1）已有一个以给定点为顶点的凸四边形。

在情形（2），由条件，DE 不经过ABC ?的顶点，故DE 与ABC ?的两边相交。不妨设

交AB 于P ，交AC 于Q 。则对角线BE 与CD 位于四边形BCED 内，故BCED 为凸边形。

故5=n 情形得证。

一般地，在一平面内给定n 个点，则可构成5

n C 个不同的五点集，由上面的讨论知，每

一个这样的五点集至少有一个以所给定点为顶点的凸四边形，又同一个凸四边形至多属于

414-=-n C n 个不同的五点集，故至于少有 45-n C n 个符合要求的凸四形。 比较45-n C n 与23-n C 的大小。

记 4)(5-=n C n f n ，

23)(-=n C n g 。 1)6(,1)5(,5===g f n 时

3)6(,3)6(,6===g f n 时

[]160626061)n(n )

4(526)1(601 )

4(60)2)(1()()(,7φ≥++≥-+++=---=≥n n n n n n n n g n f n 时

故)()(n g n f ≥对一切n ＞4恒成立。

本题以5=n 这一特殊情形作为突破口，5=n 的论证不仅具有奠基性作用，而且还架起了这一特殊情形与一般情形之间的桥梁。

不难看出，例4的特殊化是将原问题化为一个简单的新问题，但原问题与新问题并不

等价，新问题的解决并不意味着原问题解决了。即这种特殊化并没有实现将原问题的解决化

归为另一个新问题的解决，仅是有助于原问题的解决，我们这种特殊化为非等价特殊化。又

如

例5 设+

∈R c b a ,,，求证： q p r p r q r q p n n n c b a c b a c b a c b a ++≥++。

其中r q p R n ,,,∈都是非负数，且n r q p =++。

分析：欲证的不等式涉及量较多。为此考察特殊情形：0,1,2===r q p ，即欲证明：

a c c

b b a

c b a 222333++≥++ ①

该不等式关于c b a ,,对称，不妨设c b a ≥≥，则由

左式一右式

0))(())(()

()()()

()()(2222222222≥--+--=-+-+-+-=-+-+-=c b c b b a c a a b b c c c b b b a a a c c c b b b a a

故①成立。

进一步分析发现，①本身无助于原不等式的证明，其证明方法也不能推广到原不等式。

故需要重新考虑①的具有启发原不等式证明的其它证法。

考虑常用不等式证明方法发现，①式可利用“均值不等式”获证即 3

233

333333332b a b a a b a a b a a b a +=++≤??=??=

32,323

323

32a c a c c b c b +≤+≤，相加即得。 运用此法再考虑原一般问题就简单多了：仿上，

.,. ,,原不等式得证三式相加n qc pb ra c b a n pc rb qa c b a n rc qb pa c c b b a a c b a n

n n q

p r n

n n p r q n

n n n r n

n q n n p n n r q p ++≤++≤++≤??=43421Λ43421Λ43421Λ 在问题结构中常常存在那样一些特殊的数量或关系结构，或性质特殊的元素，抓住这些

特殊因素往往能直接切中问题的要害，找到解决问题的突破口。但这类特殊因素有时却难以

察觉。一般而言，对数学中的某些特殊图形、特殊关系及某些特殊概念及其性质掌握得越多、越熟练，就越易发现问题中的特殊因素。

例6，求证：任何整数可表示为5个整数的立方和的形式。

分析：题中的任何整数是不易入手思考的，为此先考虑特殊情形：,5,3,2,1,0=n 时，结论是显然的，当6≥n ，随着n 值增大。困难就越大，而且很难找出解决问题的一般

方法，此时我们不妨先考虑某一类整数，同时在和数的个数也减少一个。由下面一个特殊的

数量关系。

n n n n n 6)1()()()1(3333=-+-+-++

我们知道，能被6整除的任何整数均可表为四个整数的立方和。由此在所作等式上进一

步考虑。

3066+=n n ； 31616+=+n n ；

32)1(626+-=+n n ； 33)4(636+-=+n n ；

3)2()2(646-++=+n n ； 3)1()1(656-++=+n n

这样，结论就得到了证明。

例7，证明：对任意指定的正整数n ，都可以找出n 个连续正整数，使其中仅有一个素

数。

分析：因为对任意正整数k ，只要[]n k ,2∈，则)!(k n +均以k 为正约数，从而知道这

是一些连续的合数，其数目不少于1-n 。由素数个数的无限性及最小数原理，只要设p 是

大于)1!(+n 的最小素数，便知p ＞)!(n n +，故)1(,,2,1,----n p p p p Λ即为符合命题

要求的n 个连续正整数。

例8 证明：任何四面体中，一定有一个顶点，由它出发的3条棱可构成一个三角形。

分析：因为任何四面体的6条棱中必存在最长棱，不妨设为AB （如图5.8），若能证得A 、B 两点中至少有一点，从其出发的三条棱可构成一个三角形，则问题得证。用反证法，若不然，则必有

A

B C

D

图5.8

, ,AB BD BC AB AD AC ≤+≤+ 从而有

)()(2BD AD BC AC BD BC AD AC AB +++=+++≥＞AB AB AB 2=+

矛盾。因此，命题得证。

例9，平面上任交意给定六点，其中无三点共线，

试证：总存在这样三个点，使由该三点为顶点的三角形的内角

中有不超过?30的角。

分析：在任意给定的六个点中，总存在这样的两点，

使其余四个点在过这两点的直线的同侧。不妨设这样的两点

为A 、B （如图5.9）。

若?≤∠120BAF ，由抽屉原则知，EAF DAE CAD BAC ∠∠∠∠,,,中，必至少存在一个角，它不超过?30，则命题成立。

若BAF ∠＞?120，考察BAF ?的内角，同理可知，在AFB ABF ∠∠,中必有一个角不

超过?30。则命题也成立。

2、一般化方法

波利亚在其名著《怎样解题》是这样阐述一般方法的：“一般化就是从考虑一个对象，

过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小

集合的更大集合。”一般化是与特殊化相反的一个过程。运用一般化方法的基本思想是：为

了解决问题P ，我们先解比P 更一般的问题Q ，然后，将之特殊化，便得到P 的解。

例10 已知实数a b e f f ，其中e 是自然对数的底，证明b a ＜a

b 。 分析：欲证b a ＜a b ，只须证a b ln ＜b a ln ，即

b b a a ln ln π。 为此，只须证明一个更一般化的命题：函数),(ln )(+∞=e x x x f 在在

0ln 1)(,),(),(2πx x x f e e -='+∞+∞上上在上是严格递减的，事实，即)(x f 是严格递

减的。从而对于a b e f f ，有)()(b f a f π，此欲证结论。

例10 就是通过构造函数，将一个常元问题化归到一个变元问题去解决的。如大家所知，

方程、不等式与函数相比较，前者是特殊形式，后者是一般形式，方程和不等式的解可理解

为对应函数处在特定状态时的自变量的值，其个数、大小、范围都与函数的性质有着密切联

系。若我们运用一般化方法，把它们置于函数之中，则能使我们能在更一般、更广阔的领域

中，应用更多的方法去寻找化归的途径。

例11 设0=++z y x ，试证：7527

77555222z y x z y x z y x ++=++?++。

分析：对这个恒等式最容易想到的是直接将 )(y x z +-=代入等式两边验证，但这样

做是非常麻烦的，但我们利用递推方法不但可以较易的解决这个问题，而且可以解决一类恒

等式的证明。

我们先来建立递推关系：

设

)()(N n z y x n f n n n ∈++=, b xyz a zx yz xy =-=++;由0=++z y x ,则以z y x ,,为根的三次方程为 03=--b a ββ

容易得到：

0)()()(333222=++-++-++------n n n n n n n n n z y x b z y x a z y x A E D B F C 图5.9

则有 )( )4(

)3()2(()(*≥-+-=n n bf n f a n f b

a bf af f a

b bf af f a bf af f b xyz z y x f a zx yz xy z y x f z y x f 223332227)4()5()7( ;

5)2()3()5( ;

2)1()2()4( ;

33)3( ;

2)(2)2(0

)1(=+==+==+===++==++-=++=∴=++=Θ

由上可知：

7)7(5)5(2)2(f f f =? 结论获证。有了递推关系 )(*，我们还可证明一类恒等式： Λ,4)4(3)3(2)2(5)5( ,5)5(3)3(2)2(f f f f f f f ?=?=? 将问题一般化，然后借助一般性问题来解决特殊性问题往往会出奇制胜，而且还能抓住

一类问题的本质结构。希尔伯特对此曾经说过：在解决一个数学问题时，如果我们没有获得

成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的问题不过是一连串有关

问题的一个环节。

例12 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5

种颜然可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？

分析：可以用分类计算的方法来求解，但解完了依然对问题的实质没有任何新的认识。

而一般化考虑n 棱锥则便于递推，同时也抓住了问题的本质结构。

解：一般地考虑n 棱锥的5种颜色染法。如图5.10顶点S 可染5种颜色之一，有5种

染法，并且S 上的颜色不能再出现在底面多边形n i A A A Λ2的顶点上，问题转化为用4种颜

色给多边形顶点染色，相邻的顶点不同色，设有n a 种染法，

则 242343=??=a 。

对n ＞3，考虑n a 的递推关系，若从 1A 开始，

则1A 有4种染法，继而 132,,-n A A A Λ均有3种染法，

最后到n A ，如果只要求n A 与1-n A 不同色，则仍有3种染法， 于是总共有 134-?n 种染法，但在这个计算中包含两种情况，其一是n A 与1A 异色，这符合

要求，有

n a 种染法；其二是1A 与n A 同色，这不符合要求，但可将1A 与n A 合并成一点，得出1-n a 种染法，于是有

???=?=+--243431

1a a a n n n ①

变形并递推

3)1()3()1()3(3233311?-=--==--=-----n n n n n n a a a Λ

有

[]21)1(33---+=n n n a (4≥n ,*N n ∈) S 1A 2A n A 1-n A 图5.10

由乘法原理得染法共 []

21)1(3155---+==n n n a N

取4=n ，得 420)127(155=+==n a N 上题中，5种颜色也可以一般化为m 种颜色（)4,3≥≥m n ，得出相应的①式

???---=--=+--)3)(2)(1()3(,)2)(1(311m m m a n m m a a n n n φ 运用一般化方法解决问题的关键是仔细观察，分析问题的特征，从中找出能使命题一般

化的因素，以便把特殊命题拓广为包含这一特殊情况的一般问题，而且要注意比较一般化后

的各种命题，以选择最佳的一般命题，它的解决应包含着特殊问题的解决。

一般化方法除了在解决数学问题的作用外，它还在数学研究中常常用到。一般化方法是

数学概念形成与深化的重要手段，也是推广数学命题的重要方法。

例13 设c b a ,,为三个非负的实数，试证：

)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++

证法一：由题设和均值不等式有： ()b a b ab a b a b a +=++≥+=+212212********* 同理有： )(21),(212222a c a c c b c b +≥++≥+

于是有： )

(2)(21

222222c b a a c c b b a a c c b b a ++=+++++≥

+++++ 证法二：由22b a +等的形式可以联想到起直角三角形的斜边的表达式，所以我们可

以用作图的方法作出：（如图5.11）

）（及，，c b a a c c b b a +++++2222222

)(2,,,222222c b a AD a c CD c b BC b a BA ++=+=+=+= 显然有AD CD BC AB ≥++，即求证式成立。 证法三：由22b a +又使联想到

复数bi a +的模，故令 ,,,321ai c z ci b z bi a z +=+=+=

321321z Z Z Z Z Z ++≥++Θ 即

a c

b a ai

c ci b bi a ()(++++≥+++++故求证式成立

这个不等式可以作如下各种推广（等于号一般仅当诸

i z 相等且非负时成立，除非特殊情况，

否则，不再一一注明）。 ?1：在已知数的适用范围内作推广，即本例中的c b a ,,可以为任意实数，等号当且仅

当 c b a ==＞0时成立。

?2 ：在字母及根号个数上作推广。

问题1：设),,2,1(n i a i

Λ=为任意实数， 求证：21222123222221a a a a a a a a n n n ++++++++-Λ

c b a

图5.11

()n n a a a a ++++≥-1212Λ

问题2：设),,2,1(n i R a i Λ=∈，则

∑∑≠=-≥+j

i n j j j i a n a a `12221， 这里∑≠+j i j i a a `22表示取一切j i ≠的形如 22j i a a +的各个项之和

由均值不等式，得

∑∑∑≠≠=-=+≥+j

i j i n i i j i j i a n a a a a `12221)(21 ο3：在根号内字母个数上作推广。

问题3：设),,2,1(n i R a i Λ=∈，则

∑∑∑==≠-≥n i n

i i j i j a n a

1121

这里 ∑∑=≠=n i j

i j a

1221

22212232122322-++++++++++++n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛ 要证此不等式，可以利用Canchy 不等式；

若),,2,1(,n i b a i i Λ=为实数，则

∑∑∑===≥n i n i i i n i i i b a b a 112212))(()(

等号当且仅当i i b a ,成比例时成立。

事实上，在Canchy 不等式中，令121====n b b b Λ，即得：

)()(122

1∑∑==≤n i i n i i a n a

∴∑=?=+++n i i n a n n a a a 122

23221Λ ∑=+++=?≥n i n i a a a n a n 121)(11Λ 利用上面的不等式，问题3即易于解决。 ?4：本例题还可在字母个数上，根指数上作进一步的推广，再举其中之一。

问题4：设),,2,1(n i a i Λ=为实数，求证：

∑=-++-≥++++++++++n i i

n m n m n m a m n a a a a a a a 12

1

222221221ΛΛΛΛ

这里，2≥-m n ，且m n ,为正整数。

显然，利用Canchy 不等式和问题3容易证明这一结论。

§5.4 逐步逼近法

数学中的逐步逼近法是这样一种方法，为了解决一个数学问题，首先从与该问题的实

质内容有着本质联系的某些容易着手的条件或某些减弱的条件出发，再逐步地扩大（或缩小）范围，逐步逼近，以至最后达到问题所要求的解。逐步逼近法也是一种化归方法。基本上可

分为两类：一类是问题序列的逐步逼近法，另一类是问题解序列逐步逼近法。

哥德巴赫猜想提出已有两个多世纪，200多年来，中外许多数学家为它绞尽脑汁，但这

个问题迄今仍未得到彻底解决，从其的论证过程来看，就是一个运用问题序列的逐步逼近法

的典型例子。为了途述方便先引入一个概念和两个符号。

如果对于一个固定的整数n ＞0，当自然数m 的素因数不超过n 个时，称m 为素因数不

超过n 个的殆素数。例如，15=3×5，21=3×7都是不超过2的殆素数；30是素因数超过3

的殆素数。

如果对于每个充分大的偶数都可表示为两个素因数分别不超过a 与b 的殆素数之和时，

记为b a +；

如果对于每一个充分大的偶数都可表示为一个素数与一个素因数不超过C 的殆素数之

和时，记为)1(c +。

直接证明（1+1）很难，人们就去考虑证明（b a +）。

1920年，挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明了（9+9）；

1924年，德国数学家拉德马哈尔证明了（7+7）；

1932年，英国数学家麦斯特曼证明了（6+6）；

1938年，苏联数学家布赫斯塔勃证明了（5+5），事隔两年，1940年，他又证明了（4+4）；

1956年，苏联数论专家维诺格拉托夫证明了（3+3）；

1957年，我国数学家王元证明了（2+3）。

从1920年到1957年，经过三十七年的努力，数学家不断改进其结果，由（9+9）推进

到了（2+3），但最终目标是（1+1），毕竟是接近了些。但是上述的所有结果都有一个共同

的不足之处，即只是把每一个充分大的偶数表示为两殆素数之和（其中的两个数还没有一个

可以肯定为素数）。

1948年，匈牙利数学家兰恩依证明了（1+6）；

1962年，我国数学家潘承洞证明了（1+5），同年，潘承洞和王元又证明了（1+4）；

1965年，布赫斯塔勃、维诺格拉托夫和意大利数学家庞皮艾黎证明了（1+3）；

1966年，我国数学家陈景润证明了（1+2），这是至今距离（1+1）最近的优秀成果。

下面们再通过几个具体例子来说明逐步逼近法的运用。

例1、一个定义在有理数数集上的实值函数f ，对一切有理数x 和y ，都有

)()()(y f x f y x f +=+。求证：对一切有理数都有kx x f =)(，其中k 为实常数。

证明：k 究竟是什么数？不妨从2,1,0=x 等考察。在等式)()()(y f x f y x f +=+中，

令1==y x ，就有；)1(2)1()1()2(f f f =+=若取0==y x ，就有

()()()()()().0100.02000?===+=f f f f f f 即有

这使我们猜测)1(f k =，即对一切有理数x ，有x f x f ?=)1()(。

下面来逐步逼近目标：

（1） 先考虑x 为任意整数的情形。

若x 为正整数n ，则当1=n 时，有1)1()1(?=f f 。设当k n =时，有k f k f ?=)1()(，

那么当1+=k n 时，就有

)1)(1()1()()1(+=+=+k f f k f k f ，即对一切正整数n 都有n f n f ?=)1()(。

又由)()())(()0(0n f n f n n f f -+=-+==，知

)()1()()(n f n f n f -?=-=-

从而对一切整数x ，都有都有x f x f ?=)1()(。

（2） 再考虑x 为整数的倒数的情形。

假设n 为正整数。反复运用等式 )()()(y f x f y x f +=+，可得

()??? ??==??? ??-+??? ??=??? ??-+??? ??=??? ??=n nf n n f n f n n f n f n n f f 1212111Λ 即

n f n f 1)1()1(?= 又由

)1()1()11()0(0n f n f n n f f -+=-== 知 )1()1()1(n n f -?=-

故对一切整数的倒数x ，也都有x f x f ?=)1()(。

（3） 最后设x 为任意有理数，记

n m x =，其中m 和n 是互质的整数，n ＞0。

此时有 n m f n f m n

m f n f n m f n f n m f ?=?==-+=-+=)1()1()2()1(2)1()1()(Λ

故对一切有理数x ，都有 x f x f ?=)1()(

例2 在平面内有100条不相重合的直线，它们的交点恰好是1988个，试给出这样的直

线的一种作法。

分析：若这100条直线处于一般位置，则有交点

49502100=C 个。因此可考虑从这种状态出发、经过适当调整一些直线的位置，使交点数下降，从而达到要求。我们可考虑使一些

直线共点而成为直线束。

将上述状态下的直线进行移动，得到K 个直线束，设每个直线束的条数分别为

),,2,1,3(,,,21k i n n n n i k ΛΛ=≥，且10021≤+++k n n n Λ，这样调整后，则每束直线

的交点数减少了12-i n C 个，),,2,1(k i Λ=，应减少的交点总数为 296219882100=-C 个。

先估计一下1n ：因为

29251277=-C 最接近2962，故1n =77。即通过移动，把77条直线变为一个直线束，则交点的几个数减少了2925个。这样只须再作调整，使交点的个数减

少37个即可。

再估计2n ：又

35129=-C 最接近37，故92=n 。即通过移动，把剩下的直线中的9条变为一个直线束，则交点的个数又减少35个。再调整使交点的个数减少2个即可。

因为

2123=-C ，故33=n ，即把剩下的14条直线中的3条变为一个直线束，而其余11条直线位置不变。这样，经过调整后的100条直线就恰好只有1988个交点。

例3、把2

22281,,3,2,1Λ这81个数分成三部分，使其和相等。 分析：因为180441813212222=++++=ΛS ，所以6014731=S 。目标是把81

个数分成3份，每份的和为60147。取哪些数作和，需经过几次探索：

取先取和：

(1) 63365573212222=++++Λ

这比S 31多出：63365-60147=3218。

再在（1）式中取和：

(2) 3311213212222=++++Λ 这又少了3311-3218=93。而22285293++=。

故60147572322852312222221=++++++==ΛS S

另外，因为(3) 121836713212222=++++Λ 而154212029412183632121836=-=-S ，即比S 32多取1542。

又 1526212019182222=+++，且241615261542==- 故S S 3171595817109763122222222222=

+++++++++++=ΛΛ 最后

S S 31817372212019184222222223=++++++++=Λ 例2、例3中我们所用到的方法称为逐步调整法，它是逐步逼近法的具体应用形式。

例4，设b a ,为正整数，1+ab 整除22b a +。证明：12

2++ab b a 是完全平方数。 证：设q ab b a =++12

2 则

)1(22+=+ab q b a (1)

因而),(b a 是不定方程 )1(22+=+xy q y x (2)

的一组整数解。

如果q 不是完全平方，那么（2）的整数解中y x ,均不为0，因而

22)1(y x xy q +=+＞0

则1-φxy ，推出0≥xy ，所以y x ,同号。

现在设00,b a 是（2）的正整数解中，使00b a +为最小的一组解，00b a ≥，那么0a 是

方程

0)(2

002=-+-q b qb x （3）

的解。

由韦达定理，方程（3）的另一解 001a qb a -=

1a 是整数，而且),(01b a 也是（2）的解，所以1a 与0b 同为正整数。但由韦达定理得：

020

1a q b a -=＜0020a a b ≤

与

00b a +为最小矛盾。这说明q 一定是完全平方。 这种解法就是所谓无穷递降法：如果在q 不是完全平方时，不定方程（2）有正整数解（00,b a ），那么它一定还有另一组正整数解（11,b a ），并且11b a +＜00

b a +。这样下去，将有无穷多组正整数解（

n n b a ,）满足（2），并且

数学分析中的英文单词和短语

数学分析中的英文单词和短语 第一章实数集与函数

第二章 数列极限 Chapter 2 Limits of Sequences 第三章 函数极限 Chapter 3 Limits of Functions 第四章 函数的连续性 Chapter 4 Continuity of Functions

第六章 微分中值定理 及其应用 Chapter 6 Mean Value Theorems of Differentials and their Applications

第七章 实数的完备性 Chapter 7 Completeness of Real Numbers 第八章 不定积分 Chapter 8 Indefinite Integrals 第九章 定积分 Chapter 9 Definite Integrals

第十章定积分的应用Chapter 10 Applications of Definite Integrals 第十一章反常积分Chapter 11 Improper Integrals 第十二章数项级数Chapter 12 Series of Number Terms 第十三章函数列与函数项级数 Chapter 13 Sequences of Functions and

Series of Functions 第十四章 幂级数 Chapter 14 Power Series 第十五章 傅里叶级数 Chapter 15 Fourier Series 第十六章 多元函数的极限与连续 Chapter 16 Limits and Continuity of Functions of Several Variavles

数学的公理化

数学的公理化 十九世纪末到二十世纪初，数学已发展成为一门庞大的学科，经典的数学部门已经建立起完整的体系：数论、代数学、几何学、数学分析。数学家开始探访一些基础的问题，例如什么是数？什么是曲线？什么是积分？什么是函数？……另外，怎样处理这些概念和体系也是问题。 经典的方法一共有两类。一类是老的公理化的方法，不过非欧几何学的发展，各种几何学的发展暴露出它的许多毛病；另一类是构造方法或生成方法，这个办法往往有局限性，许多问题的解决不能靠构造。尤其是涉及无穷的许多问题往往靠逻辑、靠反证法、甚至靠直观。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是无法断定的。 对于基础概念的分析研究产生了一系列新领域—抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。而在方法上的完善，则是新公理化方法的建立，这是希尔伯特在1899年首先在《几何学基础》中做出的。 十九世纪八十年代，非欧几何学得到了普遍承认之后，开始了对于几何学基础的探讨。当时已经非常清楚，欧几里得体系的毛病很多：首先，欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义；其次，欧几里得几何学运用许多直观的概念，如“介于……之间”等没有严格的定义；另外，对于公

理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。 在十九世纪八十年代，德国数学家巴士提出一套公理系统，提出次序公理等重要概念，不过他的体系中有的公理不必要，有些必要的公理又没有，因此他公理系统不够完美。而且他也没有系统的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通过理想元素的引进，把度量几何包括在射影几何之中。 十九世纪八十年代末期起，皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。皮亚诺的公理系统有局限性；他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学”，由于基本概念太少而把必要的定义和公理弄得极为复杂，以致整个系统的逻辑关系极为混乱。 希尔伯特的《几何学基础》的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特的公理系统是其后一切公理化的楷模。希尔伯特的公理化思想极深刻地影响其后数学基础的发展，他这部著作重版多次，已经成为一本广为流传的经典文献了。 希尔伯特的公理系统与欧几里得及其后任何公理系统的不同之处，在于他没有原始的定义，定义通过公理反映出来。这种思想他在1891年就有所透露。他说：“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”。当然，他的意思不是说几何学研究桌、椅、啤酒怀，而是在几何学中，点、线、

数学分析的基本内容和方法

渤海大学数理学院 毕业论文 论文题目：简述数学分析中的基本内容和方法 系别：数学系 专业年级：数学与应用数学专业07级 姓名：王迪 学号：07020176 指导教师：王长忠 日期：2011年5月20日

目录 一、数学分析中的研究对象 (3) 二、数学分析的基本内容 (3) 三、数学分析中的基本概念和相互关系 (3) 1.极限概念 (4) 2.连续和一致连续的概念 (5) 3.收敛和一致收敛概念 (6) 4.导数概念 (6) 5.微分概念 (7) 6.原函数和不定积分 (7) 7.定积分 (8) 8.一元函数中极限、连续、导数、微分之间的关系 (8) 9.多元函数中，极限、连续、偏导数、方向导数和全微分之间的关系 (9) 10.连续与一致连续的关系 (9) 11.收敛和一致收敛的关系 (9) 12.连续、不定积分和定积分的关系 (10) 13.微分和积分的关系 (10) 四、数学分析的主要计算 (11) 1.极限的求法 (12) 2.微分学中的计算 (13) 3.积分学中的计算 (14) 4.无穷级数中的计算 (14) 五、数学分析的主要理论 (15) 1.实数的连续性和极限的存在性 (16) 2.连续函数的基本性质 (17) 3.微分学的基本定理和泰勒公式 (18) 4.积分中的理论 (19) 5.无穷级数和广义积分的敛散性 (20) 6.函数级数和广义参变量积分的一致收敛性 (21) 六、数学分析的基本方法 (21) 七、数学分析教学内容的初步实践与思考 (22)

简述数学分析中的基本内容和方法 王迪 （渤海大学数学系辽宁锦州121000中国） 摘要：数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。应全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 关键词：极限，微分，积分，近似。 Contents and methods of mathematical analysis Wang di (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Mathematical analysis is based on the theory of real numbers. The real number system is the continuity of the most important feature, with the continuity of real numbers to discuss the limit, continuity, differentiation and integration. It is in discussing the function of the various limits of the legitimacy of the process of operation, it gradually established system of rigorous mathematical theory. Mathematical analysis should be fully grasp the basic theory of knowledge; develop logical thinking and rigorous reasoning ability; people with good computing power and skills; improve the mathematical model, and apply the tools of calculus to solve practical problems. Key word: Limits, differentiation, integration, and similar.

现代公理化方法的奠基人——希尔伯特

现代公理化方法的奠基人——希尔伯特 1900年8月6日，第二届国际数学家代表大会在法国巴黎召开。一位38岁的德国数学家神采奕奕地走上了讲台，他向与会者，也向国际数学界提出了横跨数学领域的尚待解决的23个数学问题，预示了20世纪数学的发展进程，他就是20世纪世界最伟大的数学家之一——希尔伯特。 希尔伯特于1862年1月23日生于哥尼斯堡，1943年2月14日在哥廷根逝世。他于1880年入哥尼斯堡大学，1885年获博士学位。希尔伯特的数学贡献是巨大的，他典型的研究方式就是直攻数学中的重大问题，开拓新的研究领域，并从中寻找普遍性的方法。1899年希尔伯特在汲取前人工作的基础上，完成了他著名的《几何基础》一书，第一次给出了完备的欧几里德几何公理体系——希尔伯特公理体体系，从而彻底结束了两千多年来，人们对欧几里德《几何原本》的补充、整理工作。在《几何基础》中，希尔伯特仍使用欧几里德的传统语言和叙述方法，首先补充了欧氏体系中缺少的公理，建立起欧几里德几何的完备公理集，从这个公理集可以无缺陷地推出欧氏几何中的所有定理，并精确地提出了公理系统的相容性、独立性和完备性，因而希尔伯特被誉为现代公理化方法的奠基人。 希尔伯特的数学贡献也是多方面的，他所研究的领域遍及代数学，几何学、分析学、数学基础及物理学许多方面，并取得了举世公认的伟大成就。他眼光深邃，精力充沛，富于创造、献身科学事业的信念使他深深地埋头科学研究，以致几乎考察了数学领域的每一个王国，超凡的才、学、识使他能以卓越的远见和洞察力提出了新世纪数学所面临的难题，从而推动了半个多世纪以来众多数学分支的发展。据统计，从1936——1974年，被誉为数学界诺贝尔奖的菲尔兹国际数学奖的20名获奖者中，至少有12人的工作与希尔伯特的问题有关。 希尔伯特的成功固然有其特定的社会因素，但也是与他本人的勤奋努力、顽强拼搏分不开的，在他的回忆录中，他承认自己小时候并非天才，而是一个愚钝的孩子，他的亲友也没人提到过希尔伯特的能力曾受到人们的注意，但他顽强的精神，却给周围人留下极深刻的印象：不论面对多么繁重的计算，他都具有计算到底的毅力，有一股不达目的绝不罢休的劲头。

初中数学教学论文 浅谈化归思想方法在数学教学中的应用

浅谈化归思想方法在数学教学中的应用 内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 关键词：化归法简述运用操作实现化归 随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 一．化归法简述 在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：

数学公理化方法

数学公理化方法 在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的公理出发，用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。 公元前6世纪前后，希腊数学家泰勒斯（Thales)开始了几何命题的证明，开辟了几何学作为证明的演绎科学的方向。毕达哥拉斯学派的欧多克斯于公元前4世纪在处理不可通约量时，建立了一公理为依据的演绎方法。爱奥尼亚学派的芝诺（Zeno）在论辩术中运用了归谬法。伯拉图阐明了许多逻辑原则。亚里士多德在其著作《分析篇》中，对公理方法作了系统总结，指出了演绎证明的逻辑结构和要求，从而奠定了公理化方法的基础。 公元前3、4世纪之交，希腊数学家欧几里德在总结前人积累的几何知识基础上，把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，运用他所抽象出的一系列基本概念和公理，完成了传世之作《几何原本》，标志着数学领域中公理化方法的诞生。由于《几何原本》在第五公设的陈述和内容上复杂而累赘，引起人们对这一公设本身必要性的怀疑。在此后的2000多年间，人们试图给出一个第五公设的证明，但所有的尝试都失败了。19世纪，俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基吸取前人失败的教训，从反面提出问题，给出了一个新的公理体系，创立了非欧几何学。这是公理化方法的进一步发展。 1899年，德国数学家希尔伯特在前人工作的基础上，著《几何基础》一书，解决了欧氏几何的欠缺，完善了几何公理化方法，创造了全新的形式公理化方法。为了避免在数学中出现悖论，希尔伯特认为要设法绝对的证明数学的无矛盾性，致使他从事“证明论的研究”，于是希尔伯特又把公理化方法推向一个新阶段，即纯形式化发展阶段，这就产生了纯形式公理化方法。 几何学的公理化，成为其它学科及分支的楷模。相继出现了各种理论的公理化系统，如理论力学公理化，相对论公理化，数理逻辑公理化，概率论公理化等。同时，纯形式公理化方法推动了数学基础的研究，并为机算机的广泛应用开阔了前景。

数学分析中极限的化归转化思想方法

万方数据

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试论数学分析中极限的化归转化思想方法 作者：杨丽星 作者单位：丽江师范高等专科学校数理系 刊名： 科技信息 英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 年，卷(期)：2010，""(12) 被引用次数：0次 参考文献(18条) 1.华东师大教学系.《数学分析》.高等教育出版社,1991 2.复旦大学数学系.《数学分析》.高等教育出版社,1983 3.解思泽,赵树智.《数学思想方法纵横论》.科学出版社,1987 4.明清河.《教学分析的思想与方法》.山东大学出版社,2004 5.徐利治.《数学方法论选讲》.华中工学院,1988 6.张雄,李得虎.《数学方法论与解题研究》.高等教育出版社,2003 7.米山国藏.《教学的精神、思想和方法》.四川教育出版社,1986 8.史九一,朱梧槚.《化归与归论化联想》.江苏教育出版社,1989 9.解思泽,徐本顺.《数学思想方法》.山东教育出版社,1995 10.M.克莱因.《古今数学思想》.上海科技社,1981 11.王仲春,李元中.《数学思维与数学方法论》.高等教育出版社,1989 12.喻平.《数学问题化归理论与方法》.广西师大出版社,1999 13.钱吉林等.《数学分析题解精粹》.崇文书局,2003 14.杨永平.运用化归思想,探索解题途径,数学通报,1994(08) 15.凌瑞壁.浅谈数学分析中的化归思想.广西教育学报,1995(02) 16.陈向阳.浅谈数学分析中的化归思想和化归法.桂林教育学院学报,1996(03) 17.黄焕萍.倒析数学分析中的化归思想方法.广西师院学报,1997(01) 18.林远华.化归思想在数学分析解题中的应用.河池师专学报,2002(02) 本文链接：https://www.sodocs.net/doc/a511816023.html,/Periodical_kjxx201012407.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：7949722f-5a15-4b0c-928e-9dcf008e8a3f 下载时间：2010年8月11日

公理化和形式化

公理化和形式化axiomatization and formalization 研究演绎科学理论和构造演绎系统的两种方法。它们被广泛应用于现代逻辑和数学研究中。 公理化 把一个科学理论公理化，就是用公理方法研究它，建立一个公理系统。每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系，公理化的实现就是：①从它的诸多概念中挑选出一组初始概念，即不加定义的概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，即都用初始概念定义，称为导出概念；②从它的一系列命题中挑选出一组公理，即不加证明的命题，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。其中，初始概念和公理是公理系统的出发点。 公理方法经历了从古代的实质公理学到现代的形式公理学的发展过程。 公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统。最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的。第一个现代公理系统是D.希尔伯特于1899年提出的。他在《几何基础》一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题。 古典公理系统的对象域即公理系统所研究的对象，是先于公理而给定的，概念是对象的反映，公理则反映对这些对象的认识，表达这类对象的重要性质和关系。古典公理系统的初始概念和公理都有直观的具体内容，而系统的公理和定理是关于这对象域的真命题。从认识的发展来看，现代形式公理系统虽然一般也是从某种直观理论得到的，并且通常有预先想到的解释。但是，系统自身并不给初始概念予直观的具体内容，它们的意义完全由公理规定，对初始概念和公理可以给予不同的解释，可以刻划多个不同的对象域，即有多个不同的对象域都可以使得一个公理系统的公理和定理为真，它们在不同的解释下成为不同对象域的真命题。 公理系统要满足某些一般要求，包括系统的一致性、完全性和范畴性，以及公理的独立性。其中一致性是最重要的，其他几个性质则不是每个公理系统都能满足的，或可以不必一定要求的。 形式化 公理系统的进一步形式化不仅可以有不同的解释，而且需要应用专门设计的人工符号语言，使一个理论更为精确化和严格化，也就是运用人工的表意符号语言陈述所要形式化的理论。这种人工语言称为形式语言。把一个理论形式化就是把理论中的概念转换为形式语言中的符号，命题转换为符号公式，定理的推演转换成符号公式的变形，并把一个证明转换成符号公式的有穷序列。形式语言的符号和它们所表示的概念之间的对应是确定的，符号公式的结构反映它们的意见。把一个理论形式化后，就可以暂时完全撇开原来理论中的概念、命题的意义，而只从语言符号、公式结构（符号组合的形状）方面研究。意义是抽象的，往往不容易精确理解和掌握。而符号和公式是有穷的具体的对象，能够对其作更精确、更严格的研究，从而通过对具体对象的研究把握抽象的东西。 形式系统 把一个理论形式化的结果是建立形式系统。形式系统是形式化了的公理系统，它包括以下3个部分：①形式语言。规定一个形式语言，首先要列出各种初始符号，它们是形式语言的字母，其中一部分是初始概念，包括逻辑概念；然后再列出一组形成规则，形成规则规定怎样由初始符号组合起来的符号序列是系统中的合式公式，只有合式公式才是有意义的命题，而不合式的符号序列则是无意义的。②形式系统的公理。公理是挑选出来作为出发点的一组合式公式，它们经解释后可以是真的命题。③一组变形规则，也称为推导规则。变形规则规

化归思想在初中数学解题中的应用

化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。

一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定

浅谈化归思想方法在数学教学中的应用

浅谈化归思想方法在数学教学中的应用 墨红镇中学李慧连内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 关键词：化归法简述运用操作实现化归 随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 一．化归法简述 在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：

浅谈化归思想在中学数学中的应用

浅谈化归思想在中学数学中的应用 发表时间：2010-11-08T15:05:44.580Z 来源：《中小学教育》2010年第11期供稿作者：苏炳堂 [导读] 数与数之间的转化遵循着一些原则，例如具体化原则、简单化原则、和谐统一化原则等等。 苏炳堂广西柳州市第一中学545007 在中学数学中，化归思想不仅是一种重要的数学思想，也是一种最基本的思维策略。化归思想在中学数学中有着很广泛的应用，其关键就在于把原问题转化和归结。对于具体的数学问题，如何实行化归和选择有效的化归手段并没有固定的模式，中学数学常见的化归基本形式有以下三种： 一、数与数之间的转化 数与数之间的转化是中学数学中最常用的一种化归形式，通过转化可以使得原问题简单化、具体化、熟悉化，从而使问题迎刃而解。在中学数学中很多化归都是数与数之间的转化，例如变形所给出的方程求解，数学解法在于不断将高层次的解法化归为较低层次的解法，这就是我们常说的把问题“初等化”。 例1、关于x的方程cos2x+sinx+a=0在（0，π）内有解，求a的取值范围。 分析：假设由题意把x看作未知数，那么那就是一个复合的方程，很难下手，但若考虑以sinx为未知数，再由1-cos2x=sin2x，则问题转化为常见的一元二次方程了，原问题即可解决。所以由1-cos2x=sin2x，原式可化为：a=sin2x-sinx-1即a=（sinx- ）2- 。因为x∈（0，π），所以0

浅谈数学分析中的数学思想

浅谈数学分析中的数学思想 李静 赤峰学院 10级 数学与统计学院 数学与应用数学2班 10041100332 摘要: 在学习数学分析中，首先接触到的就是关于数学名词的概念问题，那么毫无疑问，深入了解概念是学习掌握数学分析的第一要务；在掌握了概念之后，接下来就是运算能力以及对数学符号的熟识程度；然后就是在学习过程中及做题中学习实践的做题技巧，这就逐渐形成了数学思想方法。 数学知识中蕴含的思想方法是极其丰富的,尤其是隐藏于数学知识背后的数学思想的价值不可忽视.本文对数学分析内容中的函数思想、极限思想、连续思想、数形结合思想、化归思想进行初步的分析. 关键词: 数学分析; 数学思想; 分析 一、函数思想 函数概念和函数思想的提出和运用,使得变量数学诞生了,常量数学发展到变量数学,函数思想起了决定性作用.函数是数学分析的研究对象.函数思想就是运用函数的观点,把常量视作变量、化静为动、化离散为连续,将待解决的问题转化为函数问题,运用函数的性质加以解决的一种思想方法.在数学分析中,我们通常用来解决不等式的证明、方程根的存在性与个数、级数问题、数列极限等. 例1 证明 当0x >时,()2 ln 12 x x x -<+. 分析 这是一个不等式证明问题,直接证明有一定难度,但是将此问题转化为函数问题的单调性,即可解决问题. 证明 构造辅助函数()f x =()2ln 12x x x +-+,则()f x '=111x x -++,可证当0x > 时,()0f x '>,因此单调递增.又因为()00f =,所以当0x >时, ()()00f x f >=,即原不等式成立. 例2 判断() ()1ln 111 n n n n ∞=+-+∑的敛散性. 分析 这是一个级数问题,该级数为交错级数.从函数的观点出发,化离散为连续,转化为函数问题,运用函数的性质,从而解决问题. 解 该级数为交错级数,由莱布尼兹判别法知,要判断其敛散性,只需判断通项的绝对值

浅谈中学数学中的化归思想(精)

浅谈中学数学中的化归思想 作者：中原中学刘继华 不断地变换你的问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成 功地找到某些有用的东西为止。 ————波利亚 化归是解决数学问题的一种重要思想方法．化归的思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，并学会用它分析问题、处理问题，有着十分重要的意义．匈牙利著名数学家路莎˙彼得以生动的比喻对这种思维方式作了如下风趣的描述：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。” 路莎˙彼得在这里说的就是化归方法。在数学教育中，化归思想是“问题解决”的一种重要手段和方法。 —、化归方法的基本思想 1、化归方法的含义：把待解决和未解决的问题，通过转化，或再转化，将原问题归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容

易解决的问题甚至为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决．我们就把这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法． 2、化归方法是辨证思维在方法论上的反映 数学中充满着矛盾，有着极其丰富的辨证内容，例如，数学概念中一与多、正与负、常量与变量、有限与无限以及数学运算中的加与减、乘与除、乘方与开方、微分与积分等都表现为矛盾的对立统一的形式． 化归方法正是根据客观事物是普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一及其相互转化的观点，来实现问题解决的，它着眼于揭示联系实现转化．因此说化归方法是辨证思维在方法论上的反映． 3、化归方法的作用 我们知道整个中学数学内容，始终贯穿着数学知识和数学方法这两条线．中学数学问题的解决过程常常表现为不断发现问题、分析问题直到归结转化为熟悉的或已能解决的问题的过程，化归方法是中学数学中的重要数学方法之一． 例如 (1代数中解一般方程(或不等式的基本思路是多元向一元、高次向低次的化归；分式方程向整式方程的化归，无理方程向有理方程的化归．

“化归”策略

“化归”思想在中学数学教学中的 渗透与化归的策略 河源市龙川县老隆镇第二中学邹秋雄 【摘要】化归思想是中学数学思想中最常见、最基本、较浅显的一种思想，而化归方法是中学数学学习过程中经常运用的一种有效手段。在数学教学中渗透化归思想是非常必要的。而在实际操作过程中，我们应如何渗透化归思想呢？如何把握化归的三要素“化归的对象、化归的目标、化归的方法”呢？又将如何准确地把握化归的策略呢？本文将对上述问题进行粗浅的阐述，以达到在解决数学问题的过程中能准确地运用化归方法。准确地把握化归策略，灵活地运用化归方法，有效地防止化归的错误的目的。

【关键词】化归思想化归方法化归策略 一、化归思想概述 数学思想方法教学比数学知识教学困难，尽管如此，数学思想还是有规律可循的。本文就来谈一下“化归”思想在中学数学教学中的渗透与化归策略。 化归思想是中学数学思想中最常见、最基本、较浅显的一种数学思想，而化归方法是中学数学学习过程中经常运用的一种有效手段。所谓“化归”就是将所要解决的问题转化归结为另一个较易问题或已经解决的问题。具体地说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”问题转化为“简单”问题等。善于化归的学生不仅经常会“逢凶化吉”、“柳暗花明又一村”，而且学习起点和总体认识

水平比其他同学往往略高一筹。因此，化归方法是人们从事数学活动时的程序、途径，是实施化归数学思想的技术手段。我们可以作一个比喻，化归数学思想相当于建筑的一张蓝图，化归方法则相当于建筑施工的手段，化归思想比化归方法更深刻，更抽象地反映数学对象间的内在关系，是化归方法的进一步的概括和升华。比如：“化归”去解方程372=-x 就是化归方法，而当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，又称之为化归思想。化归思想方法包含三个基本要素：化归的对象、化归的目标和化归的方法。 二、化归思想方法在教学中的渗透 那么，如何在中学数学教学中渗透“化归”思想呢？数学思想方法必须以基础知识和基本技能作为载体体现出来，中学数学中有许多体现“化归”思想知识和技能，无论在代数中还是几

转换与化归思想

浅谈转换与化归思想 转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。 一、 转换思想 （1）转换思想的内涵 转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。 （2）转换思想在同一学科中的应用 转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。 比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。 看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：12 2=+b a 。 [分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点 令人望而生畏。 再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。 [解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα 化简得1cos cos sin sin =+αααα 所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb 则 1cos sin 2 222=+=+ααb a [小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现 三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。 转换思想对思维要求确实很高，但这一点还是能够做到的。因为各学科都有对知识模块的介绍，同时也有对各知识模块之间横向纵向的对比联系的研究。典型的例子就是数与形之间的思维转换，因为学生已经在初中老师的指导下

九年级数学公理与定理

2.3公理和定理 一、教学目标： 1、了解公理、定理的含义，初步体会公理化思想，并了解本教科书所使用的定理。 2、通过介绍欧几里得的原本，使学生感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。 二、教学重点、难点： 公理和定理的区别和联系 三、教法：引导发现法 四、教具准备：投影仪 五、教学过程： 一．创设情景 想一想 如何通过推理的方法证实一个命题是真命题呢？ 在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。 公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得将前人积累下来的几何学成果整理在系统的逻辑体系之中。他挑选了一部分不定义的数学名词(称为原名)和一部分公认的真命题(称为公理)作为证实其他命题的起始依据，定义出其他有关的概念，并运用推理的方法，证实了数百个有关的命题，使几何学成为一门具有公理化体系的科学。 二．回顾总结 通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。例如，欧几里得将“两点确定一条直线”，“直角都相等”等五条基本几何事实作为公理。通过推理得到证实的真命题叫做定理。 本教科书选用如下命题作为公理：

此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。例如“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替”，简称为“等量代换”。 三．应用举例 由上面给出的公理，可以证明如下命题的正确性：等角的补角相等。 已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180，∠2+∠4=180。 求证：∠3=∠4 证明：∵∠1+∠3=180，∠2+∠4=180(已知)， ∴∠3=180-∠1，∠4=180-∠2 (等式的性质) ∵∠1=∠2 (已知)， ∴∠3=∠4 (等式的性质)。 这样，我们便可以把上面这个经过证实的命题称作定理了。已经证明的定理可以作为以后推理的依据。 证明一个命题的正确性，要按照“已知”、“求证”、“证明”的顺序和格式写出。其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件(已知)出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论(求证)的过程。四、巩固练习： 课本随堂练习2、习题1、2

化归思想在初中数学解题中的应用

【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。 一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想， 是一种把待解决或未解决

的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定解决方案的问题，从而使问题获解。中学数学受多年应试教育的影响，有些问题被复杂化了，而学生对于这类问题却又相当头疼，所以通过