安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高三上学期第一次月考数学(理)试题

安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高三上学期第

一次月考数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{}A x x R ==∈，{}1,B m =，若A B ?，则m 的值为（ ）

A ．2

B ．1-

C ．1-或2

D ．2

2．命题p ：0x R ?∈，()02f x ≥，则p ?为（ ） A ．x R ?∈， ()2f x < B ．x R ?∈， ()2f x ≥ C ．0x R ?∈， ()2f x ≤

D ．0x R ?∈， ()2f x <

3．方程22

123

x y m m +=+-表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）

A ．30m -<<

B ．13m -<<

C ．34-<

D ．23m -<<

4．已知函数2

()2x f x e x x =-+，

1()ln 2g x x x =-+，1

()2h x x x

=--，且13x ，若

()()()0f a g b h c ===，则实数,,a b c 的大小关系是（ ）

A ．a b c <<

B ．b a c <<

C ．a c b <<

D ．c b a <<

5．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于y 轴对称，且函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，则不等式()(21)f x f x <-的解集为（ ） A ．1

(,)(1,)3

-∞?+∞

B ．1

(,1)

(,)3

-∞--+∞ C ．1(,1)3

D ．1(1,)3

--

6．函数11

()ln(1)1

x e x f x x x -?≤=?->?，若函数()()g x f x x a =-+只一个零点，则a 的取

值范围是（ ） A ．(,0]{2}-∞?

B ．[0,){2}+∞-

C ．(,0]-∞

D ．[0,)+∞

7．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πω?ω???

=+>><

??

?

，其图象相

邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,012π??

- ???

对称，则下列判断正确的是（ ）

A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2y x =的图象向右平移6

π

个单位

B ．函数()f x 的图象关于直线512

x π

=对称

C ．当,66x ππ??

∈-

???

?时，函数()f x 的最小值为 D ．函数()f x 在,63ππ??

?

???

上单调递增 8．已知

2π

απ<<，且3sin 65πα?

?+= ???，则cos 6πα??- ??

?等于（ ）

A B C D 9．已知函数()sin ,,03f x A x x R A π???

=+∈>

???

，02π?<<，()y f x =的部分图

像如图所示，,P Q 分别为该图像的最高点和最低点，点PR 垂x 轴于R ，R 的坐标为

()1,0，若23

PRQ π

∠=

，则()0f =（ ）

A ．

12

B ．

2

C D ．

4

10．《数学九章》中对“已知三角形三边长求三角形面积”的求法，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，具体求法是“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开平方

得积”.若把这段文字写成公式，即S =现有周长

的ABC ?满足)sin :sin :sin 1)1A B C =，用上面给出的

公式求得ABC ?的面积为（ ）

A

B

C

D

11．函数1ln sin 1ln x

y x x

-=

?+的图象大致为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

12．函数()log 11(0,1)a y x a a =-+>≠，图象恒过定点A ，若点A 在一次函数

y mx n =+的图象上，其中0m >，0.n >则12m n

+的最小值是( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

二、填空题

13．若2

2cos ()422

παβ

--13sin()αβ=+-，,(0,)2π

αβ∈，则

tan tan αβ=__________． 14．在Rt ABC ?中，2

A π

=

，2AB =

，AC =EF 在斜边BC 上运动，且

1EF =，设EAF θ∠=，则tan θ的取值范围是__________．

15．已知函数229,1,

()4

,1,

x ax x f x x a x x ?-+≤?

=?++>??

，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的取值范围是_________

16．已知函数()2x

x

f x e e

x -=--，则不等式()()2430f x f x -+>的解集为

________.

三、解答题

17．设集合1242

x

A x

??=≤≤????

∣，{}

2()0B x x b a x ab =+--≤∣. （1）若A B =且0a b +<，求实数,a b 的值；

（2）若B 是A 的子集，且2a b +=，求实数b 的取值范围. 18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c

，且

cos a A =

. ()1求角A 的值；

()2

若

ABC 的面积为a =ABC 的周长.

19．已知R a ∈，函数()1x

f x ae x =--，()()ln 1

g x x x =-+（ 2.71828e =是

自然对数的底数）.

（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数；

（Ⅱ）若1a =，且命题“[)0,x ?∈+∞，()()f x kg x ≥”是假命题，求实数k 的取值范围.

20．已知函数()x m f x a =

（,m a 为常数，0a >且1a ≠）的图象过点()2,4A ，11,2B ?

?- ???

.

（1）求实数,m a 的值； （2）若函数()()()11

f x

g x f x -=

+，试判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由.

21．已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈． （1）若函数()y f x =有三个不同的极值点，求t 的值；

（2）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]

1,x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，求正整数m 的最大值．

22．已知某工厂每天的固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件

产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入为()2

1R 5004

x x x =-+（元），

()P x 为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润=总利润/总产量）.销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售，()b a c a λ=+-，其中c 为最高限价

()a b c <<，λ为该产品

畅销系数.据市场调查，λ由当b a -是,c b c a --的比例中项时来确定.

（1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求出()P x 的最大值； （2）求畅销系数λ的值；

（3）若600c =，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值.

参考答案

1．A 【解析】

解：由题意可知：{}2A = ，则满足题意时，2m = . 本题选择C 选项. 2．A 【分析】

根据特称命题的否定是全称命题得出正确选项． 【详解】

根据特称命题的否定，易知原命题的否定为： (),2x R f x ?∈<，故选A ． 【点睛】

全称命题与特称命题的否定

（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

（2）“p 或q ”的否定为：“非p 且非q ”；“p 且q ”的否定为：“非p 或非q ”． （3）含有一个量词的命题的否定

3．B 【分析】

根据充分不必要条件的定义，结合双曲线方程的性质进行判断即可． 【详解】

方程22

123

x y m m +=+-表示双曲线()()23023m m m ?+-

选项是23m -<<的充分不必要条件，

∴选项范围是23m -<<的真子集，

只有选项B 符合题意，

【点睛】

本题主要考查充分不必要条件的判断，以及双曲线的标准方程，属于简单题． 4．C 【分析】

a 是2,2x y e y x x ==-图像交点的横坐标；

b 是1

ln ,2y x y x

==

-图像交点的横坐标； c 是1

2,y y x x

=

-=图像交点的横坐标；利用数形结合即可得到结果. 【详解】

在同一坐标系内，分别作出函数2

1

,2,ln ,2,x

y e y x x y x y y x x

==-==-=的图像， 如图：

可得a 是2

,2x

y e y x x ==-图像交点的横坐标；

b 是1ln ,2y x y x

==-图像交点的横坐标；

c 是1

2,y y x x

=

-=图像交点的横坐标； 即,,a b c 分别是图中点,,A C B 的横坐标. 由图像可得：a c b <<. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了函数的性质问题以及函数的零点问题.属于中档题. 5．A 【分析】

函数图像关于y 轴对称，故函数在[)0,+∞上递增，由此得到21x x <-，两边平方后可解得这个不等式.

依题意，函数()f x 是偶函数，且()f x 在[

)0,+∞上单调递增， 故()()()()()2

2212121f x f x f

x f x x x <-?<-?<- 23410x x ?-+>

1

3

x ?<

1x >或，故选A. 【点睛】

本小题主要考查函数的对称性，考查函数的单调性以及绝对值不等式的解法，属于中档题. 6．A 【分析】

将函数()()g x f x x a =-+只一个零点，等价于函数11

()ln(1)1x e x f x x x -?≤=?

->?与函数y x a =-只有一个交点，作出函数11

()ln(1)1

x e x f x x x -?≤=?->?，利用数形结合法求解.

【详解】

作出函数11()ln(1)1x e x f x x x -?≤=?

->?

，如图所示：

若函数()()g x f x x a =-+只一个零点，

则函数11

()ln(1)1

x e x f x x x -?≤=?

->?与函数y x a =-只有一个交点， y x a =-与1x y e -=只有一个交点，则0a -≥，即0a ≤；

y x a =-与ln(1)y x =-只有一个交点，则两图象相切，

11

y x '=

-，令1

11y x '=

=-，解得2x =，所以切点为()2,0， 所以02a =-，解得2a =， 综上：a 的取值范围是{}(,0]2-∞? 故选：A 【点睛】

本题主要考查函数的零点与方程的根的关系以及导数的几何意义应用，还考查了数形结合的思想方法，属于较难题. 7．A 【分析】

首先根据函数性质求函数的解析式()26x f x π?

?=

+ ??

?，根据平移规律判断选项A ，

根据整体代入的方法和函数性质判断BCD 选项. 【详解】

由函数的最大值可知A =，且周期T π=，则

2π

πω

=，解得：2ω=，

又函数关于点,012π??

- ???对称，则212k π?π???-+= ???

， 解得：6

k π

?π=

+，k Z ∈，因为2

π

?<

，所以6

π

=

?，

所以函数()26x f x π?

?=

+ ??

?，

A.2y x =

向右平移6

π个单位后得到2263y x x ππ???

?=-=- ? ??

?

?

?

222233266x x x x πππππ?????????

?-=-=-+=+ ? ? ? ????????

?????，所以

A 正确； B.当512

x π=

时，52126ππ

π?

+=，不是函数的对称轴，所以不正确； C.当,66x ππ??∈-

????

时，2,662x πππ??+∈-????，所以函数在,66ππ??

-????单调递减，所以当

6

x π

=-

时，函数取得最小值-

，所以不正确； D.当,63x ππ??

∈????

时，32,622x πππ??+∈????，所以应是函数的单调递减区间，所以不正确.

故选：A 【点睛】

本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，以及判断函数的性质，重点考查整体代入的方法，属于基础题型，本题的关键是正确求出函数的解析式. 8．D 【解析】

274,,cos 236665π

ππππαπαα??<<∴<+<∴+==- ??? cos cos cos cos sin sin 6636363πππππππαααα???

??????

?

∴-=+-=+++ ? ? ? ?????????????

4134525210-+??=-?+?=

???

选D 9．B 【详解】 过Q 作QH

x ⊥轴，设(1,),(,)P A Q a A -，由图象，得

2

π

21)6π3

a -=

=，即 |1|

3a -=，因为23PRQ

π∠=

，所以6HRQ π∠=，则tan 3A QRH ∠==即A =

又

P 是图象的最高点，所以

ππ12π32k ??+=+，又因为02π?<<，所以π

6

?=，则π(0)6f ==

故选B.

10．A 【分析】

根据sinA ：sinB ：)1sinC =

：：)1，可得：

a ：

b ：)1

c =：：

)

1

，周长为2a =-，b =2c =，带入S ，可

得答案. 【详解】

由题意，sinA ：sinB ：)sinC 1=

：：)1，

根据正弦定理：可得a ：b ：)1c =：：)1，

周长为a b c ++=

可得2a =，b =2c =，

由S == 故选A 【点睛】

本题考查三角形的正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题． 11．A 【解析】 设1ln ()sin 1ln x

f x x x -=

?+，由1ln 0x +≠得1

x e

≠±，则函数的定义域为

1111

(,)(,)(,)e e e e

-∞-?-?+∞．

∵1ln 1ln ()sin()sin ()1ln 1ln x x f x x x f x x

x

----=

?-=-

?=-+-+，

∴函数()f x 为奇函数，排除D ．

又1

1e

>

，且(1)sin1>0f =，故可排除B ． 2

11

e e

<，且22222

1

1ln

11(2)11()sin sin 3sin 01121ln e f x e e e e

---=?=?=-?<-+，故可排除C ．选A ． 12．C 【分析】

令对数的真数等于1，求得,x y 的值，可得函数的图象恒过定点A 的坐标，根据点A 在一次函数y mx n =+的图象上，可得12m n =+，再利用基本不等式求得12

m n

+的最小值． 【详解】

解：对于函数()log 11(0,1)a y x a a =-+>≠，令11x -=，求得2x =，1y =，可得函数的图象恒过定点()2,1A ，

若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0m >，0.n >则有12m n =+，

则

122424448m n m n n m m n m n m n +++=+=++≥+=， 当且仅当4n m

m n

=时，取等号， 故

12

m n

+的最小值是8， 故选C ． 【点睛】

本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，以及基本不等式的应用，属于中档题． 13．2 【解析】 因为2

2cos 422παβ??--

??? ()13sin αβ=+-，所以1αβ2cos π??

+-- ???

()13sin αβ=+-， ()αβsin + ()3sin αβ=-，αβsin cos 2cos sin αβ=，α2tan βtan =，即

tan 2tan α

β

=.

14． 【解析】

∵Rt ABC ?中，2

A π

=，2AB =,4AC ==，

∴tan AC

B AB

==∴3

B π

=

．

如图，建立平面直角坐标系，设BF m =,则[0,3]m ∈，

∴点,F E 的坐标分别为3(2),(222m m -

-，

∴tan tan EAB FAB ∠=

∠=

,

∴tan tan tan tan()1tan tan EAB FAB EAB FAB EAB FAB θ∠-∠=∠-∠==+∠∠ ∵[0,3]m ∈， ∴

211

394

m m ≤-+≤，

≤≤即tan θ的范围为．

答案： 点睛：本题运用了解析法解题，通过代数运算求得所要的结果．解题时建立恰当的直角坐标系是解题的基础，在此基础上得到相关点的坐标，将tan θ转化为两角差的正切值是解题的关键，然后根据所得的结果，借助函数的知识求得tan θ的取值范围，本题的解法体现了转

化思想在解题中的应用． 15．2a ≥ 【分析】

1x >，可得()f x 在2x =时，最小值为4a +，

1x ≤时，要使得最小值为()1f ，则()f x 对称轴x a =在1的右边，

且()14f a ≤+，求解出a 即满足()f x 最小值为()1f . 【详解】

当1x >，()4

4f x x a a x

=+

+≥+，当且仅当2x =时，等号成立. 当1x ≤时，()2

29f x x ax =-+为二次函数，要想在1x =处取最小，则对称轴要满足

1x a =≥

并且()14+f a ≤，即1294a a -+≤+，解得2a ≥. 【点睛】

本题考查分段函数的最值问题，对每段函数先进行分类讨论，找到每段的最小值，然后再对两段函数的最小值进行比较，得到结果，题目较综合，属于中档题. 16．{}|14x x x ><-或 【分析】

首先明确函数的单调性与奇偶性，然后借助性质把抽象不等式转化为具体不等式. 【详解】

()'220x x f x e e -=+-≥=,

∴函数()f x 在R 上位增函数， ∵()()2x

x f x e

e x

f x --=-+=-，∴函数()f x 为奇函数，

由()

()2

430f x f x -+>可得()

()()2

433f x f x f x ->-=-

又函数()f x 在R 上为增函数， ∴243x x --＞，23x 4x ＞+-

∴不等式()()2

430f x f x -+>的解集为{}

14x x x 或<-

故答案为{}

14x x x 或<- 【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性的应用，考查转化思想，属于中档题． 17．（1）1a =-，2b =-，（2）01b ≤≤. 【分析】

（1）求得集合,A B ,根据A B =，计算即可得出结果；

（2）由2a b +=，可解得{}2B b x b =-≤≤-，由B 是A 的子集，根据集合关系列出不等式即可得出结果. 【详解】 （1）{}124122x A x

x x ??

=≤≤=-≤≤????

∣， ∵0a b +<，∴a b <-，

∴()(){}

{}|0 | B x x a x b x a x b =-+≤=≤≤-， ∵A B =，1a ∴=-，2b =-.

（2）∵2a b +=，∴{}

2B x b x b =-≤≤-， ∵B 是A 的真子集，∴1b -≥-且22b -≤， 解得01b ≤≤. 【点睛】

本题考查集合相等和包含关系，考查不等式的求解集问题，属于基础题.

18．（1）

3

π ；（2． 【分析】

(1)由cos a A =利用正弦定理得tan A ，再结合()0,A π∈得出A ；(2)由三角形面积

公式可得12bc =，ABC 中，由余弦定理得b c +，从而可得结果． 【详解】 (1)由正弦定理：

sin sin a b A B =，可得sin sin a B b A

=

又因为

cos a A =

，

所以

cos sin a A A

=，tan A =()0,A π∈，所以3A π=．

(

2)因为1sin 24

ABC

S

bc A bc =

==12bc =， ABC 中，由余弦定理，222222cos

12143

a b c bc b c π

=+-=+-=，

则2226b c +=，故2

2

2

()226b c b c bc +=+-=，b c +=

所以ABC 的周长为a b c ++= 【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．应用余弦定理一定要熟记两种形式：

（1）2

2

2

2cos a b c bc A =+-；（2）222

cos 2b c a A bc

+-=，同时还要熟练掌握运用两种形

式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o

等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

19．（1）当0a ≤时，()f x 没有极值点，当0a >时，()f x 有一个极小值点.（2）1,

【解析】

试题分析 ：（1）()x

f x ae 1'=-，分a 0≤，a 0>讨论，当a 0≤时，对x R ?∈，

()x f x ae 10'=-<，当a 0>时()f x 0'=，解得x lna =-，()f x 在(),lna ∞--上是减函

数，在()lna,∞-+上是增函数．所以，当a 0≤时，()f x 没有极值点，当a 0>时，()f x 有一个极小值点.（2）原命题为假命题，则逆否命题为真命题．即不等式()()f x kg x <在区间[

)0,∞+内有解．设()()()F x f x kg x =-= ()x

e kln x 1++ ()k 1x 1-+-，所以

()x

k F x e x 1=++' ()k 1-+，设()x k h x e x 1

=++ ()k 1-+，则()()x 2k h x e x 1=-+'，

且()h x '是增函数，所以()()h x h 0'≥' 1k =-．所以分k 1≤和k>1讨论． 试题解析：（Ⅰ）因为()x

f x ae x 1=--，所以()x

f x ae 1'=-，

当a 0≤时，对x R ?∈，()x

f x ae 10'=-<，

所以()f x 在(),∞∞-+是减函数，此时函数不存在极值， 所以函数()f x 没有极值点；

当a 0>时，()x

f x ae 1'=-，令()f x 0'=，解得x lna =-，

若()x ,lna ∞∈--，则()f x 0'<，所以()f x 在(),lna ∞--上是减函数， 若()x lna,∞∈-+，则()f x 0'>，所以()f x 在()lna,∞-+上是增函数， 当x lna =-时，()f x 取得极小值为()f lna lna -=， 函数()f x 有且仅有一个极小值点x lna =-，

所以当a 0≤时，()f x 没有极值点，当a 0>时，()f x 有一个极小值点.

（Ⅱ）命题“[)x 0,∞?∈+，()()f x kg x ≥”是假命题，则“[

)x 0,∞?∈+，

()()f x kg x <”是真命题，即不等式()()f x kg x <在区间[

)0,∞+内有解.

若a 1=，则设()()()F x f x kg x =-= ()x

e kln x 1++ ()k 1x 1-+-，

所以()x

k F x e x 1=+

+' ()k 1-+，设()x

k h x e x 1

=++ ()k 1-+， 则()()

x

2

k

h x e x 1=-

+'，且()h x '是增函数，所以()()h x h 0'≥' 1k =-

当k 1≤时，()h x 0'≥，所以()h x 在[

)0,∞+上是增函数， ()()h x h 00≥=，即()F x 0'≥，所以()F x 在[)0,∞+上是增函数，

所以()()F x F 00≥=，即()()f x kg x ≥在[

)x 0,∞∈+上恒成立.

当k 1>时，因为

()()

x

2

k

h x e x 1=-+'在[

)0,∞+是增函数，

因为()h 01k 0='-<，()h k 1'-= k 1

1

e

0k

--

>， 所以()h x '在()0,k 1-上存在唯一零点0x ，

当[

)0x 0,x ∈时，()()0h x h x 0''<=，()h x 在[

)00,x 上单调递减，

从而()()h x h 00≤=，即()F x 0'≤，所以()F x 在[

)00,x 上单调递减， 所以当()0x 0,x ∈时，()()F x F 00<=，即()()f x kg x <. 所以不等式()()f x kg x <在区间[

)0,∞+内有解 综上所述，实数k 的取值范围为()1,∞+. 20．（1）1m =，1

2

a =；（2）奇函数，理由见解析. 【分析】

（1）代入两个点的坐标，解方程组可得结果.

（2）根据（1）的条件可得()g x ，结合函数的定义域以及判断()g x -与()g x 的关系，简单判断即可. 【详解】

（1）把()2,4A ，11,

2B ??- ?

??的坐标代入()x

m

f x a =， 得214,1

2

m

a m a -?=????=??，解得1m =，12a =.

（2）()g x 是奇函数. 理由如下：

由（1）知()2x

f x =，所以()()()1

21

121

x x f x g x f x --=

=++. 所以函数()g x 的定义域为R .

又()2122221222x x x x x x x x g x -----?--==+?+()21

21

x x g x -=-=-+，

所以函数()g x 为奇函数. 【点睛】

本题考查函数解析式的求法以及函数奇偶性的判断，重在计算以及概念的考查，属基础题. 21．（Ⅰ）t 的取值范围是()8,24-；（Ⅱ）正整数m 的最大值为5．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出()y f x =的导函数，()f x 有3个极值点等价于方程

323930x x x t --++=有3个根；令()32

393g x x x x t =--++，根据()g x 的单调性可

知()g x 有3个零点，则()()10{

30

g g -><，解出t 的取值范围即可；（Ⅱ）不等式()f x x ≤，即

()

3

263x x

x x t e x -++≤，分离参数得3263x t xe x x x -≤-+-．

转化为存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]

1,x m ∈，不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立；构造新函数，确定单调性，计算相应函数值的正负，即可求正整数m 的最大值． 试题解析：（Ⅰ）

()()()()

23232312363393x x x f x x x e x x x t e x x x t e =-++-++=--++'

∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个根

令()()()()3

2

2

393,369313g x x x x t g x x x x x =--++=--=+-'

()g x 在()(),1,3,-∞-+∞上递增，()1,3-上递减．

∴()g x 有3个零点，∴()()10{

30

g g -><，∴824t -<<

（Ⅱ）不等式()f x x ≤，即()

3

2

63x

x x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-．

转化为存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]

1,x m ∈， 不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立．

即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[]

1,x m ∈上恒成立． 即不等式2063x e x x -≤-+-在[]

1,x m ∈上恒成立 设()263x

x e

x x ?-=-+-，则()26x x e x ?--'=-+．

设()()26x

r x x e

x ?-==--+'，则

，因为1x m ≤≤，有()0r x '<．

故()r x 在区间[]

1,m 上是减函数； 又()()()1

23140,220,30r e

r e r e ---=->=->=-<

故存在()02,3x ∈，使得()()000r x x ?'==．

当01x x ≤≤时，有()0x ?'>，当0x x >时，有()0x ?'<． 从而()y x ?=在区间[]01,x 上递增，在区间[

)0,x +∞上递减 又()()()1

2

3

140,250,360e e e ???---=+>=+>=+<，

()()()456450,520,630e e e ???---=+>=+>=-<．

所以当15x ≤≤时，恒有()0x ?>；当6x ≥时，恒有()0x ?<； 故使命题成立的正整数m 的最大值为5.

考点：1、导数的运算；2、利用导数研究闭区间上函数的极值和最值．

【思路点晴】本题主要考查的是零点问题、实数的取值范围的求法、转化化归、函数与方程的数学思想方法，属于难题；利用导数知识把零点及实数的取值范围问题转化为闭区间上函数的极值和最值问题，此类问题的难点在于构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，得出极值与最值，从而达到解决问题的目的．

22．（1）每天生产量为400件时平均利润最大，最大值为200元；（2）1

2

λ=

；（3）400a =，

3)b =+.

【分析】

（1）先求出总利润＝2

1400400004

x x -

+-，依据（平均利润＝总利润/总产量）可得()140000

4004P x x x

=--+，利用均值不等式得最大利润；

（2）由已知得b a c a

λ-=-，结合比例中项的概念可得()()()2

b a

c b c a -=--，两边同时

除以()2

b a -将等式化为λ的方程，解出方程即可； （3）利用a =平均成本40000100x ??

+

???

+平均利润()p x ，结合厂家平均利润最大时（由

（1）的结果）可得a 的值，利用()b a c a λ-=-可得b 的值. 【详解】

（1）由题意得，总利润为2211

500100400004004000044

x x x x x -

+--=-+-.

于是21

40040000

1400004()400

4x x P x x x x

-+-==--+

400200400200≤-+=-+= 当且仅当

140000

4x x

=即400x =时等号成立. 故每天生产量为400件时平均利润最大，最大值为200元. （2）由()b a c a λ=+-可得b a

c a

λ-=

-， 由b a -是,c b c a --的比例中项可知2

()()()b a c b c a -=--， 即2()()1(1)()c b c a c a a b c a c a c a

b a b a b a b a b a

---+----=

=?=-?-----

化简得11

1(1)λλ

=-?

，解得λ=

. （3）厂家平均利润最大，生产量为400x =件.

()11

50040050040044

R x a x x =

=-+=-?+=. （或者4000040000

100()100200400400a P x x =++=++=） 代入()b a c a λ=+-

可得3)b =+. 于是400a =

，3)b =. 【点睛】

本题考查了函数与不等式综合的应用问题，均值不等式求最值，还考查了学生的分析理解能力，运算能力，属于中档题.